考研數(shù)學(xué)三（定積分及應(yīng)用）模擬試卷1（共110題）

考研數(shù)學(xué)三（定積分及應(yīng)用）模擬試卷1（共4套）（共110題）考研數(shù)學(xué)三（定積分及應(yīng)用）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：當(dāng)0≤x≤1時，F(xiàn)(x)=∫0xt2dt=當(dāng)1＜x≤2時，F(xiàn)(x)=I=∫0xf(t)dt=∫01t2dt+∫1x(2-t)dt選B．2、雙紐線(x2+y2)2=x2-y2所圍成的區(qū)域面積可表示為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：雙紐線(x2+y2)2=x2-y2的極坐標(biāo)形式為r2=cos2θ，再根據(jù)對稱性，有面積A=4×r2dθ=cos2θdθ，選A．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：=∫01xsin2πxdx=πxsin2πxd(πx)∫0πtsin2tdt=∫0πsin2tdt=∫0πsin2tdt=sin2tdt4、∫0π=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：∫0π=∫0π｜sinx+cosx｜dx5、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：則故6、設(shè)區(qū)域D由與x軸圍成，區(qū)域D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π2知識點解析：取[x，x+dx][0，2]，dV=2πxydx=2πx，則7、∫-11[x2ln(x+)+(x2+1)]dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為為奇函數(shù)，所以x2ln為奇函數(shù)，而∫01x2sin2tcos2tdt=(sin2t-sin4t)dt=I2-I4=∫01，所以原式=8、設(shè)f(x)∈C[1，+∞)，廣義積分∫1+∞f(x)dx收斂，且滿足f(x)=∫1+∞f(x)dx，則f(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令∫1+∞f(x)dx=A，則由f(x)=∫1+∞f(x)dx，得A=∫1∞，解得A=，所以f(x)=9、=_________(其中a為常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令則10、設(shè)f(x)連續(xù)，則∫0xtf(x-t)dt=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)知識點解析：由∫0xtf(x-t)dt∫x0(x-u)f(u)(-du)=x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du得∫0xtf(x-t)dt=[x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du]=∫0xf(u)du+xf(x)-xf(x)=∫0xf(u)du，故∫0xtf(x-t)dt=∫0xf(u)du=f(x)．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：則知識點解析：暫無解析12、當(dāng)x≥0時，f(x)=x，設(shè)當(dāng)x≥0時，求∫0xf(t)g(x-t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xf(t)g(x-t)dt∫x0f(x-u)g(u)(-du)=∫0xf(x-u)g(u)du，(1)當(dāng)0≤x≤時，∫0xf(t)g(x-t)dt=∫0x(x-u)sinudu=x-sinx；(2)當(dāng)x＞時，∫0xf(t)g(x-t)dt=(x-u)sinudu=x-1，于是∫0xf(t)g(x-t)dt=知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)連續(xù)，且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt．證明：(1)若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)；(2)若f(x)單調(diào)不增，則F(x)單調(diào)不減．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)f(-x)=f(x)，因為F(-x)=∫0-x(-x-2t)f(t)dt∫0x(-x+2u)f(-u)(-du)=∫0x(x-2u)f(u)du=F(x)，所以F(x)為偶函數(shù)．(2)F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt-2∫0xtf(t)dt，F(xiàn)’(x)=∫0xf(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)]，其中ξ介于0與x之間，當(dāng)x＜0時，x≤ξ≤0，因為f(x)單調(diào)不增，所以F’(x)≥0，當(dāng)x≥0時，0≤ξ≤x，因為f(x)單調(diào)不增，所以F’(x)≥0，從而F(x)單調(diào)不減．知識點解析：暫無解析14、求∫0nπ｜cosx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0nπx｜cosx｜dx=∫0π｜cosx｜dx+∫π2πcosx｜dx+…+∫(n-1)πnπx｜cosx｜dx，∫0πx｜cosx｜dx=∫0π｜cosx｜dx=cosxdx=π，∫π2πx｜cosx｜dx∫0π(t+π)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt+π∫0π｜cost｜dt=π+2π=3π，∫2π3πx｜cosx｜dx∫0π(t+2n)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt+2π∫0π｜cost｜dt=5π，則∫0nπx｜cost｜dx=π+3π+…+(2n-1)π=n2π．知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=-∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫01f(x)dx=A，對f(x)=-∫01f(x)dx兩邊積分得A=∫01-A，于是故∫01f(x)dx=知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=∫0x標(biāo)準(zhǔn)答案：因為，所以原式=arctan知識點解析：暫無解析17、求∫-11(｜x｜+x)e-｜x｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由定積分的奇偶性得∫-11(｜x｜+x)e-｜x｜dx=∫-11｜x｜e-｜x｜dx=2∫01xe-xdx=-2∫01xd(e-x)=-2xe-x｜01+2∫01e-xdx=2e-1-2e-x｜01=2-知識點解析：暫無解析18、求∫-22(3x+1)max{2，x2}dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫-22(3x+1)max{2，x2}dx=∫-22max{2，x2}dx=2∫02max{2，x2}dx，由max{2，x2}=得∫-22(3x+1)max{2，x2}dx知識點解析：暫無解析19、求∫-11(2+sinx)標(biāo)準(zhǔn)答案：∫-11(2+sinx)知識點解析：暫無解析20、計算∫01exdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=∫axf(t)dt-∫xbf(t)dt，因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x)＞0，所以g(a)=-∫abf(t)dt＜0，g(b)=∫abf(t)dt＞0，由零點定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)連續(xù)，證明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：今F(x)=∫0xf(t)dt，則F’(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xF(t)dt，∫0xf(t)(x-t)dt=x∫0xf(x)dt-∫0xtf(t)dt=xF(x)-∫0xtdF(t)=xF(x)-tF(t)｜0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt．命題得證．方法二因為∫0x[∫0xf(u)du]dt=∫0xf(u)du，∫0xf(t)(x-t)dt=[x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt]=∫0xf(t)dt，所以∫0x[∫0xf(u)du]dt-∫0xf(t)(x-t)dt≡C0，取x=0得C0=0，故∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，顯然φ(x)在[a，b]上可導(dǎo)，又φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知識點解析：由f(c)∫xbg(t)dt=g(x)∫axf(t)dt得g(x)∫axf(t)dt+f(x)∫bxg(t)dt=0即∫axf(t)dt∫bxg(t)dt=0，則輔助函數(shù)為9(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt．24、求曲線y=cosx與x軸圍成的區(qū)域分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：Vx=cos2xdx=cos2xdx=2π×取[x，x+dx]，則dVy=2πxcosxdx，故Vy=xcosxdx=xd(sinx)=知識點解析：暫無解析25、求圓x2+y2=2y內(nèi)位于拋物線y=x2上方部分的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：由所求面積為A=∫-11-x2]dx=2∫01[(1+)-x2]dx=知識點解析：暫無解析26、設(shè)曲線y=a+x-x3，其中a＜0．當(dāng)x＞0時，該曲線在x軸下方與y軸、x軸所圍成圖形的面積和在x軸上方與x軸所圍成圖形的面積相等，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線y=a+x-x3與x軸正半軸的交點橫坐標(biāo)為α，β(α＜β)，由條件得-∫0α(a+x-x3)dx=∫αβ(a+x-x3)dx，移項得∫0α(a+x-x2)dx+∫αβ(a+x-x3)dx=∫0β(a+x-x3)dx=0β(4a+2β-β3)=0，因為β＞0，所以4α+2β-β3=0．又因為(β，0)為曲線y=a+x-x3與x軸的交點，所以有a+β-β3=0，從而有β=-3aa-3a+27a3=0知識點解析：暫無解析27、求由曲線y=4-x2與x軸圍成的部分繞直線x=3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x，x+dx][-2，2]，則dV=2π(3-x)(4-x2)dx，V=2π∫-22(3-x)(4-x2)dx=6π∫-22(4-x2)dx=12π∫02(4-x2)dx=12π×=64π．知識點解析：暫無解析28、設(shè)直線y=kx與曲線y=所圍平面圖形為D1，它們與直線x=1圍成平面圖形為D2．(1)求k，使得D1與D2分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周成旋轉(zhuǎn)體體積V1與V2之和最小，并求最小值；(2)求(1)中條件成立時的SD1+SD2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由方程組得直線與曲線交點為V1(k)=V2(k)=，則V(k)=，因為V’’(k)＞0，所以函數(shù)V(k)當(dāng)k=時取最小值，且最小值為(2)因為SD1+SD2=，所以(1)中條件成立時SD1+SD2=知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（定積分及應(yīng)用）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、下列廣義積分發(fā)散的是()．A、∫-11B、∫-11C、∫0+∞e-x2dxD、∫2+∞標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：∫-11中，x=0為該廣義積分的瑕點，且sinx～x1，由1≥1，得廣義積分∫-11發(fā)散；為該廣義積分的瑕點，且收斂，同理∫01也收斂，故∫-11收斂；∫0+∞e-x2dx中，e-x2為連續(xù)函數(shù)，因為x2e-x2=0，所以∫0+∞e-x2dx收斂；根據(jù)廣義積分收斂的定義，∫2+∞收斂，選A．2、設(shè)f(x)，g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且g(x)＜f(x)＜m，則由曲線y=g(x)，y=f(x)及直線x=a，x=b所圍成的平面區(qū)域繞直線y=m旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為()．A、π∫ab[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxB、π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dxC、π∫ab[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxD、π∫ab[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由元素法的思想，對[x，x+dx][a，b]，dV={π[m-g(x)]2-π[m-f(x)]2)dx=π[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x]dx．則V=π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx，選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)3、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2-知識點解析：=∫01xln(1+x2)dx=ln(1+x2)d(1+x2)∫12lntdt=lnt｜12=∫12t=ln2-4、∫02=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：5、=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為在[-a，a]上連續(xù)的函數(shù)f(x)有∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx，所以7、設(shè)f(x)=e-t2dt，則∫01=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1-1知識點解析：=-2∫01=-∫01e-xdx=e-1-1．8、∫0+∞x7e-x2dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點解析：∫0+∞x7e-x2dx=∫0+∞x6e-x2d(x2)=∫0+∞t3e-tdt==3．9、曲線y=x4e-x2(x≥0)與x軸圍成的區(qū)域面積為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：A=∫0+∞x4e-x2dx∫0+∞t2e-t.e-tdt三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)10、設(shè)f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=∫01f(x)dx，對f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx兩邊積分，得A=∫01xe2xdx+2A，解得A=∫01f(x)dx=-∫01xe2xdx=∫01xd(e2x)=知識點解析：暫無解析11、設(shè)L：，過原點O作L的切線OP，設(shè)OP、L及x軸圍成的區(qū)域為D．(1)求切線方程；(2)求區(qū)域D的面積；(3)求區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)切點為由，解得a=2，切點為P(2，1)，故切線OP：y=(2)區(qū)域D的面積為(3)區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為知識點解析：暫無解析12、設(shè)φ(x)=∫sinxcos2xln(1+t2)dt，求φ’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ’(x)=-2ln(1+cos22x)sin2x-ln(1+sin2x)cosx．知識點解析：暫無解析13、求∫01xarctanxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01xarctanxdx=∫01arctanxd(x2)=x2arctanx｜01-dx知識點解析：暫無解析14、求∫02π｜sinx-cosx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02π｜sinx-cosx｜dx=｜sinx｜dx知識點解析：暫無解析15、求∫01標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)y’=arctan(x-1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01y(x)dx=xy(x)∫01-∫01xarctan(x-1)2dx=y(1)-∫01(x-1)arctan(x-1)2d(x-1)-∫01arctan(x-1)2dx=∫01arctan(x-1)2d(x-1)2=∫01arctantdt=(tarctant｜01-∫01知識點解析：暫無解析17、計算下列定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)=求∫02πf(x-π)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02πf(x-π)dx=∫02πf(x-π)d(x-π)=∫-ππF’(x)dx=∫-π0+∫0πxsin2xdx=-arctan(cosx)｜-π0+∫0πsin2xdx知識點解析：暫無解析19、求+sin2x]cos2xdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為為奇函數(shù)，所以+sin2x]cos2xdx=sin2xcos2xdx=sin2x(1-sin2x)dx=2(I2-I4)知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)為偶函數(shù)，所以只研究f(x)在[0，+∞)內(nèi)的最大值與最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)e-x2=0，得f(x)的唯一駐點為x=當(dāng)x∈(0，)時，f’(x)＞0，當(dāng)x∈(，+∞)時，f’(x)＜0，注意到駐點的唯一性，則x=及x=為函數(shù)f(x)的最大值點，最大值為因為f(+∞)=f(-∞)=I(2-t)e-tdt=1及f(0)=0，所以最小值為0．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫abf(x)dx∫01f[a+(b-a)t].(b-a)dt=(b-a)∫01f[a+(b-a)t]dt=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可積，當(dāng)0≤x＜y≤1時，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，證明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜≤｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-｜得｜∫01f(x)dx｜≤∫01｜f(x)｜dx≤∫01｜arctanx-｜dx=∫01(-arctanx)dx=-∫01arctanxdx=-xarctanx｜01+∫01ln(1+x2)｜01=ln2．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(t)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．證明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因為F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因為sinx1≠0，所以f(x1)=0．設(shè)x1是f(x)在(0，π)內(nèi)唯一的零點，則當(dāng)x∈(0，π)且x≠x1時，有sin(x-x1)f(x)恒正或恒負，于是∫0πsin(x-x1)f(x)dx≠0．而∫0πsin(x-x1)f(x)dx=cosx1∫0πf(x)sinxdx-sinx1∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)內(nèi)至少有兩個零點．不妨設(shè)f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由羅爾定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析24、求曲線y=x2-2x與直線y=0，x=1，x=3所圍成區(qū)域的面積S，并求該區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求面積為S=∫12｜f(x)｜dx=J(2x-x2)dx+I(x2-2x)dx=(x2-x3)｜12+(x3-x2)｜23=2；Vy=2π∫13x｜f(x)｜dx=2π[∫12x(2x-x2)dx+∫23x(x2-2x)dx]=2π[(x3-x4)｜12+(x4-x3)｜23]=9π．知識點解析：暫無解析25、設(shè)L：y=sinx(0≤x≤)，由x=0，L及y=sint圍成面積S1(t)；由y=sint，L及x=圍成面積S2(t)，其中0≤t≤(1)t取何值時，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?(2)t取何值時，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?標(biāo)準(zhǔn)答案：S1(t)=tsint-∫0tsinxdx=tsint+cost=1，S2(t)=sinxdx-sint=cost-sint，S(t)=S1(t)+S2(t)=sint+2cost-1．由S’(t)=cost=0得(1)當(dāng)t=時，S(t)最小，且最小面積為(2)當(dāng)t=0時，S(t)最大，且最大面積為S(0)=1．知識點解析：暫無解析26、曲線y=(x-1)(x-2)和x軸圍成平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x，x+dx][1，2]，dV=2πx｜(x-1)(x-2)｜dx=-2πx(x-1)(x-2)dx，V=-2π∫12(x3-3x2+2x)dx=知識點解析：暫無解析27、過曲線y=x2(x≥0)上某點作切線，使該曲線、切線與x軸所圍成圖形的面積為，求切點坐標(biāo)、切線方程，并求此圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點坐標(biāo)為(a，a2)(a＞0)，則切線方程為y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2.知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（定積分及應(yīng)用）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)(x)為其原函數(shù)，則()．A、若f(x)是周期函數(shù)，則F(x)也是周期函數(shù)B、若f(x)是單調(diào)函數(shù)，則F(x)也是單調(diào)函數(shù)C、若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)D、若f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令f(x)=cosx-2，F(xiàn)(x)=sinx-2x+C，顯然f(x)為周期函數(shù)，但F(x)為非周期函數(shù)，A不對；令f(x)=2x，F(xiàn)(x)=x2+C，顯然f(x)為單調(diào)增函數(shù)，但F(x)為非單調(diào)函數(shù)，B不對；令f(x)=x2，F(xiàn)(x)=x3+2，顯然f(x)為偶函數(shù)，但F(x)為非奇非偶函數(shù)，C不對；若f(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=∫axf(t)dt，因為F(-x)=∫a-xf(t)dt∫-axf(-u)(-du)=∫-axf(u)du=∫-aaf(u)du+∫axf(u)du=∫axf(u)du=F(x)，所以F(x)為偶函數(shù)，選D．2、設(shè)在區(qū)間[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’’(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b-a)，S3=[f(a)+f(b)]，則()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為函數(shù)f(x)在[a，b]上為單調(diào)減少的凹函數(shù)，根據(jù)幾何意義，S2＜S1＜S3，選B．3、在曲線y=(x-1)2上的點(2，1)處作曲線的法線，由該法線、x軸及該曲線所圍成的區(qū)域為D(y＞0)，則區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：過曲線y=(x-1)2上點(2，1)的法線方程為y=+2，該法線與x軸的交點為(4，0)，則由該法線、z軸及該曲線所圍成的區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為V=π∫12(x-1)4dx+π∫24，選D．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設(shè)f(x)連續(xù)，則∫0xtn-1f(xn-tn)dt=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：xn-1f(xn)知識點解析：由∫0xtn-1f(xn-tn)dt=∫0xf(xn-tn)d(xn-tn)∫0xnf(u)du，得∫0xtn-1f(xn-tn)dt=∫0xnf(u)du=f(xn).nxn-1=xn-1f(xn)．5、∫-ππ=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、設(shè)f(2)=3，∫02f(x)dx=2，則∫01xf’(2x)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：∫01xf’(2x)dx=∫012xf’(2x)d(2x)∫02tf’(t)dt=∫02tdf(t)=tf(t)｜02-∫02f(t)dt=f(2)-∫02f(t)dt==1.7、設(shè)f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則b=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0Tf(t)dt知識點解析：F(x+T)=∫0x+Tf(t)dt+b(x+T)-∫0xf(t)dt+bx+∫xx+tf(t)dt+bT=F(x)+∫xx+Tf(t)dt+bT=F(x)+∫0Tf(t)dt+bT，由F(x+T)=F(x)，得b=∫0Tf(t)dt．8、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：9、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，則∫01xf(2x)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：∫01xf’’(2x)dx=∫012xf’’(2x)d(2x)∫02tf’’(t)dt=∫02tdf’(t)=[tf’(t)｜02-∫02f’(t)dt]=(10-f(t)｜02)=2．10、∫1+∞=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、討論反常積分∫02的斂散性，若收斂計算其值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為又因為收斂．于是知識點解析：暫無解析12、設(shè)φ(x)=∫0x(x-t)2f(t)dt，求φ’’(x)，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(x)=x2∫0xf(t)dr-2x∫0xtf(t)dt+∫0xt2f(t)dr，φ’(x)=2x∫0xf(t)dt+x2f(x)-2∫0xtf(t)dt-2x2f(x)+x2f(x)=2x∫0xf(t)dt-2∫0xtf(t)dt，φ’’(x)=2∫0xf(t)dt+2xf(x)-2xf(x)=2∫0xf(t)dt，φ’’’(x)=2f(x)．知識點解析：暫無解析13、設(shè)求∫02f(x-1)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02f(x-1)dx=∫02f(x-1)d(x-1)=∫-11f(x)dx=∫-10+∫011n(1+x)dx=arctanx｜-10+xln(1+x)｜∫01-∫01dx知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)∈C[-π，π]，且f(x)=+∫-ππf(x)sinxdx，求f(x).標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫-ππf(x)sinxdx=A，則f(x)=+A，于是f(x)sinx=+Asinx，兩邊從-π到π積分得則知識點解析：暫無解析15、求∫01x4標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01x4sin4t(1-sin2t)dt=I4-I6知識點解析：暫無解析16、(1)設(shè)f(t)=∫0tex2dx，求∫01t2f(t)dt．(2)設(shè)f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)∫01t2f(t)dt=∫01f(t)d(t3)=f(t)｜01-∫01t3et2dt，因為f(1)=0，所以∫01t2f(t)dt=∫02t3er2dt=∫01t2et2d(t2)=∫01xexdx=sin3xdx=，(2)∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π-∫0πf’(x)sinxdx=-∫0πf’(x)sinxdx=-∫0πecosxsinxdx=∫0πecosxd(cosx)=ecosx｜0π=e-1-e．知識點解析：暫無解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：∫-11｜t｜dt=2∫01tdt=1．知識點解析：暫無解析18、求∫013x2arcsinxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫013x2arcsinxdx3tsin2td(sint)=td(sin3t)=tsin3tsin3tdt=知識點解析：暫無解析19、求∫0π標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，(1)證明：∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx；(2)證明：∫02πf(｜sinx｜)dx=f(sinx)dx；(3)求∫0π標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令I(lǐng)=∫0πxf(sinx)dx，則I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt=∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-I，則I=∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx．(2)∫02πf(｜sinx｜)dx=∫-ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx．(3)知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(a)=f(b)=0，∫abf2(x)dx=1，f’(x)∈C[a，b]．(1)求∫abxf(x)f’(x)dx；(2)證明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)∫abxf(x)f’(x)dx=∫abxdf2(x)=f2(x)｜ab-∫abf2(x)dx=(2)∫abxf(x)f’(x)dx=(∫abxf(x)f’(x)dx)2=∫abf’2(x)dxIx2f2(x)dx．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．證明：｜∫02f(x)dx｜≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)-f(0)=f’(ξ1)x，其中0＜ξ1＜x，f(x)-f(2)=f’(ξ2)(x-2)，其中x＜ξ2＜2，于是從而｜∫02f(x)dx｜≤∫02｜f(x)｜dx=∫01｜f(x)｜dx+∫12｜f(x)｜dx≤∫012xdx+∫122(2-x)dx=2．知識點解析：暫無解析24、設(shè)L：y=e-x(x≥0)．(1)求由y=e-x、x軸、y軸及x=a(a＞0)所圍成平面區(qū)域繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)；(2)設(shè)V(c)=V(a)，求c．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)V(a)=π∫0ae-2xdx=(1-e-2a)．(2)由V(c)=(1-e-2c)，V(a)=(1-e-2c)=，解得c=ln2．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)=∫-1x(1-｜t｜)dt(x＞-1)，求曲線y=f(x)與x軸所圍成的平面區(qū)域的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)-1＜x≤0時，f(x)=∫-1x(1-｜t｜)dt=∫-1x(t+1)dt當(dāng)x＞0時，f(x)=∫-10(t+1)dt+∫0x(1-t)dt=即由=0得x=1+故所求的面積為知識點解析：暫無解析26、設(shè)平面圖形D由x2+y2≤2x與y≥x圍成，求圖形D繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x，x+dx][0，1]，則dV=2π(2-x)dx，知識點解析：暫無解析27、設(shè)曲線(0＜a＜4)與x軸、y軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積為V1(a)，繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V2(a)，問a為何值時，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線與x軸和y軸的交點坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲線可化為y=，對任意的[x，x+dx][0，a]，dV2=2πx.ydx=2πx于是V2=2π∫0ax.a2b，根據(jù)對稱性，有V1=ab2．于是V(a)=V1(a)+V2(a)=a(4-a)．令V’(a)=(4-2a)=0a=2，又V’’(2)＜0，所以a=2時，兩體積之和最大，且最大值為V(2)=知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（定積分及應(yīng)用）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)M=cos4xdx，N=(sin3x+cos4x)dx，P=(x2sin3x-cos4x)dx，則有()．A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：cos4xdx=0．N=(sin3x+cos4x)dx=cos4xdx＞0，P=(x2sin3x-cos4x)dx=cos4xdx＜0，則P＜M＜N，選D．2、曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為()．A、-∫02x(x-1)(2-x)dxB、∫01x(x-1)(2-x)dx-∫12x(x-1)(2-x)dxC、-∫01x(x-1)(2-x)dx+∫12x(x-1)(2-x)dxD、∫02x(x-1)(2-x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸的三個交點為x=0，x=1，x=2，當(dāng)0＜x＜1時，y＜0；當(dāng)1＜x＜2時，y＞0，所以圍成的面積可表示為C的形式，選C．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：4、∫0xxsin(x-t)2dt=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xsinuxn-1f(xn)du+xsinxxn-1f(xn)知識點解析：由∫0xxsin(x-t)xn-1f(xn)dt=x∫0xsin(x-t)xn-1f(xn)dtx∫0xsinuxn-1f(xn)du，得∫0xxsin(x-t)xn-1f(xn)dt=(x∫0xsinuxn-1f(xn)du)=∫0xsinuxn-1f(xn)du+xsinxxn-1f(xn)．5、∫02πx｜sinx｜dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4π知識點解析：∫02πx｜sinx｜dx=∫0πx｜sinx｜dx+∫π2πx｜sinx｜dx，∫0πx｜sinx｜dx=∫0πxsinxdx=∫0πsinxdx=sinxdx=π。∫π2πx｜sinx｜dx∫0π(π+t)｜sin(π+t)｜dt=π∫0πsintdt+∫0πtsintdt=2π+π=3π，則∫02πx｜sinx｜dx=4π．6、∫0+∞x3e-2xdx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：∫0+∞x3e-2xdx=∫0+∞(2x)3e-2xd(2x)∫0+∞t3e-tdt=7、∫01=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：8、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)=+∫01xf(x)dx，則f(x)=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令∫01xf(x)dx=k，則兩邊積分何得∫01xf(x)dx=∫01+∫01kxdx，即k=，所以k=，從而9、設(shè)則∫-15f(x-1)dx______.標(biāo)準(zhǔn)答案：+ln3知識點解析：∫-15f(x-1)dx=∫-15f(x-1)d(x-1)=∫-24f(x)dx=∫-20f(x)dx+∫04f(x)dx10、∫e+∞=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、設(shè)f(x)=∫1xe-t2dt，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01f(x)dx=xf(x)｜01-∫01xf’(x)dx=-∫01xe-x2dx=∫01e-x2d(x2)=e-x2｜01=知識點解析：暫無解析12、求∫0ln5標(biāo)準(zhǔn)答案：令=t，則x=ln(1+t2)，于是=4-2arctan2．知識點解析：暫無解析13、設(shè)φ(x)=∫abln(x2+t)dt，求φ’(x)，其中a＞0，b＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：φ(x)=∫abln(x2+t)d(x2+t)=∫x2+ax2+blnudu，φ’(x)=2xln(x2+b)-2xln(x2+a)=2xln知識點解析：暫無解析14、求∫0nπ｜cosx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0nπ｜cosx｜dx=n∫0π｜cosx｜dx=cosxdx=2n．知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=∫1xe-t2dt，求∫01x2f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01x2f(x)dx=∫01f(x)d(x3)=x3f(x)｜01-∫01x3f’(x)dx=∫01x3e-x2dx=∫01te-tdt=(te-t｜01-∫01e-tdt)=(2e-1-1)．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=f(x-π)+sinx，且當(dāng)x∈[0，π]時，f(x)=x，求∫π3πf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫π3πf(x)dx=∫π3π[f(x-π)+sinx]dx=∫π3πf(x-π)dx+∫π3πsinxdx=∫02πf(x)dx=∫0πxdx+∫π2πf(x)dx=+∫π2π[f(x-π)+sinx]dx=+∫π2πf(x-π)dx+∫π2πsinxdx=+∫π3πxdx-2=π2-2．知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)=sin3x+∫-ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫-ππxf(x)dx=A，則f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin3x+Ax兩邊積分得∫-ππxf(x)dx=∫-ππxsin3xdx+∫-ππAxdx，即A=∫-ππxsin3xdx=2∫0πxsin3xdx=π∫0πsin3xdx=sin3xdx=，從而f(x)=sin3x+故∫0πf(x)dx=∫0π(sin3x+)dx=∫0πsin3xdx+∫0πdx=(1+π2)．知識點解析：暫無解析18、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：∫-10｜t｜.etdt=-∫-10td(et)=-tet｜-10+∫-10etdt=-e-1+1-e-1=1-2e-1．知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(2)=，f’(2)=0，∫02f(x)dx=1，求∫01x2f’’(2x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01x2f’’(2x)dx=∫01(2x)2f’’(2x)d(2x)∫02t2f’’(t)dt=∫02t2d[f’(t)]=[t2f’(t)｜02-2∫02tf’(t)dt]=∫02tdf(t)=[tf(t)｜02-∫02f(t)dt]=[2f(2)-1]=0．知識點解析：暫無解析21、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：x=1為被積函數(shù)的無窮間斷點，則知識點解析：暫無解析22、證明：sinnxcosnxdx=2-nsinnxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：sinnxcosnxdx=2-n-1sinn2xd(2x)=2-n-1∫0πsinnxdx=2-nsinnxdx．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，f(1)=x2f(x)dx．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=x2f(x)，由積分中值定理得f(1)=x2f(x)dx=c2f(