2024-2025學(xué)年廣東省三校決勝高考?jí)魣A乙巳第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前6.世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，以他的名字命名的盧卡斯數(shù)列滿足2024-2025學(xué)年度上學(xué)期廣東省三?！皼Q勝高考，夢(mèng)圓乙巳”第一次聯(lián)合模擬考試，若其前項(xiàng)和為，則()B.B.C.7.已知向量，，且，則向量與的夾角等于()C.參加學(xué)校：諾德安達(dá)學(xué)校、金石實(shí)驗(yàn)中學(xué)、英廣實(shí)驗(yàn)學(xué)校8.設(shè)函數(shù)函數(shù)，則()學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________無(wú)極值點(diǎn)為的極大值點(diǎn)B.為為的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn)注意事項(xiàng):C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.午飯時(shí)間；同學(xué)從教室到食堂的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖，記時(shí)刻的瞬時(shí)速度為上的平均速度分別為，則下列判斷正確的有(1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。，區(qū)間2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，請(qǐng)2B用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干)凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為和，高為，則它的表面積為()B.C.2.某校高一年級(jí)有名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本B.已知在高一年級(jí)中抽取了名學(xué)生，則在高二年級(jí)中應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為()C.對(duì)于，存在，使得B.C.C.整個(gè)過(guò)程小明行走的速度一直在加快10.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是(3.已知點(diǎn)心率等于(，分別是橢圓的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，滿足，則橢圓的離))在上單調(diào)遞減，在時(shí)，上單調(diào)遞增B.B.當(dāng)4.由數(shù)字，，，，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有()C.若函數(shù)設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，若對(duì)，個(gè)B.個(gè)C.個(gè)上單調(diào)遞增，個(gè)，使得過(guò)點(diǎn)成立，則5.已知是定義在在的解集為()11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線，過(guò)且與垂直的直線與拋B.C.物線的另一交點(diǎn)為，則()．中，底面，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，B.C.直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)第卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是分別在所成角的余弦值為_(kāi)_____．14.已知等差數(shù)列的公差，且四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題．Ⅰ求證：Ⅱ求平面與平面；13.在正方體、、，，則異成角的正弦值；面直線與Ⅲ在線段由．上是否存在點(diǎn)平面，，成等比數(shù)列，則的值為_(kāi)_____．18.本小題分分已知無(wú)窮數(shù)列滿足，若，滿足，，如圖，在三棱錐證明：中，；，，為中點(diǎn)．滿足為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列同理令為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)平面上，若點(diǎn)在棱，且，求二面角的大?。?，，，，若列．已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項(xiàng)公式若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列已知，令的前項(xiàng)和為，，，證明：．19.本小題分16.本小題已知實(shí)數(shù)證明：分如果三個(gè)互不相同的函數(shù)，則稱，與與在區(qū)間上恒有或滿足．；“”在區(qū)間上的分割函數(shù)．為證明：函數(shù)若函數(shù)為函數(shù)在上的分割函數(shù)；證明：．“”上的分割函數(shù)的取值范為函數(shù)與在17.本小題分圍；若，為函數(shù)與在區(qū)間“”上的分割函數(shù)，求的最大值．4.【答案】1.【答案】個(gè)位置有種不同的方法，由數(shù)字，，，【解析】解：依題意結(jié)合圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為和，圓臺(tái)的高為，，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有考點(diǎn)：本題考查了排列的運(yùn)用，故選B所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為則圓臺(tái)的表面積為，．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有特殊元素的排列問(wèn)題優(yōu)先安排，然后再排其余元素，屬基礎(chǔ)題5.【答案】故選：．根據(jù)題意，結(jié)合圓臺(tái)的側(cè)面積公式，即可求解．本題考查圓臺(tái)的表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，是中檔題．利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性做出函數(shù)圖象，然后按的符號(hào)進(jìn)行分類討論．【解析】【分析】【解答】解：由題意畫出的大致圖象如圖所示，【詳解】解：在總?cè)藬?shù)中高二與高一學(xué)生人數(shù)之比為所以在抽取的樣本中高二與高一學(xué)生人數(shù)之比仍為：：因?yàn)楦咭怀槿×巳耍愿叨?yīng)抽取人故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】由，可得或【解析】解解：結(jié)合的圖象得或．，即，整理得即故選C．6.【答案】等號(hào)兩邊同時(shí)除以求得得，即【解析】【分析】本題考查裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)遞推公式累加即可．【解答】故選B解：因?yàn)槔奂拥茫核允紫雀鶕?jù)推斷出和的方程求得即離心率的值．本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．要求學(xué)生熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，和的關(guān)系以及橢圓的圖象．即．故選：．函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為7.【答案】．【解析】【分析】函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．利用向量垂直則數(shù)量積為零，可求出，再由利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的夾角即可．【解答】故選：．9.【答案】【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，瞬時(shí)速度，平均速度，屬于中檔題．，C解：因?yàn)樗裕?，，，，與直線的交點(diǎn)，即可判斷，選項(xiàng)，可以觀察曲線在各點(diǎn)處的切線方程的斜率，即可判斷．又，，【解答】所以則，解：由題意可知；，，，，所以由圖像可知所以，，即，因此，此時(shí)，，則，，因此，故A正確；，由，故由，故B不正確；時(shí)，，，故C正確；又，時(shí)刻的瞬時(shí)速度為由圖象可知，當(dāng)判斷平均速度的快慢，可以看整個(gè)曲線在各點(diǎn)處的切線方程的斜率，時(shí)，切線方程的斜率最大，所以．故選：．8.【答案】【解析】【分析】本題考查函數(shù)的極值問(wèn)題，屬基礎(chǔ)知識(shí)的考查．熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求極值的方法步驟是解答的關(guān)鍵．首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)【解答】，求得其單調(diào)區(qū)間，然后求極值．故而在此時(shí)，速度最快，故D不正確．故選：10.【答案】．解：，，11.【答案】【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)，對(duì)于選項(xiàng)，的定義域?yàn)闀r(shí)，，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；遞減，【解析】【分析】，當(dāng)，本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，考查拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．由于，所以，，將點(diǎn)的由于，，得方程，與拋物線方程聯(lián)立解得點(diǎn)，從而求出【解答】，可判斷；易求出直線與準(zhǔn)線交點(diǎn)，可判斷．所以由兩邊乘以，所以選項(xiàng)正確；解：由拋物線過(guò)點(diǎn)，故A正確；，準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；，對(duì)于選項(xiàng)，令由于，，可得，則，所以在區(qū)間，，，，遞減，拋物線所以，在區(qū)間當(dāng)，遞增，，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋院瘮?shù)的圖象如圖所示，時(shí)，，，由已知可得直線與，函數(shù)，垂直，且過(guò)，所以直線的方程為，即，又為偶函數(shù)，與聯(lián)立方程組由此畫出由圖可知，當(dāng)即當(dāng)或或時(shí)，直線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，得，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；解得或，故，所以，故C正確；由直線的方程，得所以直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，令，，故D正確．對(duì)于選項(xiàng)，由上述分析可知，，則，，，“要使對(duì)”成立，，，使得則需，所以選項(xiàng)正確．．故選：故選：．根據(jù)函數(shù)的定義域即可判斷；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)區(qū)間，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可判斷；結(jié)合選項(xiàng)即可判斷本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬難題．在上的單調(diào)性即可判斷；求出函數(shù)的單調(diào)．12.【答案】【解析】【分析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)極值或極值點(diǎn)求參，屬于中檔題．由，可得出，可知直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)非切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：，則，則，，，，若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，，，則在上有唯一的根，可得設(shè)異面直線則與所成角為，所以由，則有唯一的根，．直線又與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)非切點(diǎn)，，異面直線與所成角的余弦值為．所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，單調(diào)遞減，，故答案為：．14.【答案】所以，函數(shù)則函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，的圖象如下圖所示：【解析】解：等差數(shù)列的公差，解得，且，，成等比數(shù)列，，，故答案為：．所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)非切點(diǎn)，根據(jù)等差數(shù)列的公差求出答案．，且，，成等比數(shù)列，求出與等量關(guān)系，再根據(jù)通項(xiàng)公式代入式子，即可因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是13.【答案】本題綜合考查了等差，等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)算解決求值問(wèn)題，注意通項(xiàng)公式的運(yùn)用．【解析】【分析】15.【答案】解：證明：因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線所成角的余弦值．因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，以與因?yàn)樗运杂郑覟橹悬c(diǎn)，，，因?yàn)?，，【解答】，所以，解：設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，平面，以為原點(diǎn)，為軸，所以因?yàn)樗匀鐖D，建立以為原點(diǎn)，以平面；當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，所以，，且為中點(diǎn)，，兩兩垂直，因?yàn)椋瑥亩?，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，【解析】根據(jù)絕對(duì)值不等式并結(jié)合17.【答案】【解析】【分析】Ⅰ根據(jù)線面垂直判定與性質(zhì)定理進(jìn)行論證，Ⅱ先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解得平面Ⅲ先設(shè)直接利用即可證明．中結(jié)論即可證明．Ⅰ見(jiàn)證明；ⅡⅢ點(diǎn)是靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)易知設(shè)，，，，，由，即，可求得，坐標(biāo)，再根據(jù)與平面的法向量的數(shù)量積為零解得結(jié)果．所以，，【詳解】Ⅰ證明：底面，，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則又，，平面平面，，即．令，則，，所以，為的中點(diǎn)，，取平面所以的一個(gè)法向量為，．．，平面；所以二面角的大小為．Ⅱ【解析】本題考查平面與平面所成角的向量求法，線面垂直的判定，屬于中檔題．證得，然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出結(jié)論；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果．16.【答案】解：和因?yàn)椋?8.【答案】解：由，由，則則則為公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，，則，．設(shè)為階等差數(shù)列，則為一次多項(xiàng)式，為常數(shù)，則猜測(cè)是關(guān)于的次多項(xiàng)式，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：由題意建立空間直角坐標(biāo)系．，，，當(dāng)時(shí)，顯然成立時(shí)，是關(guān)于的次多項(xiàng)式，當(dāng)，，．假設(shè)當(dāng)時(shí)，則是關(guān)于的次多項(xiàng)式，，，．由又是次多項(xiàng)式，故是關(guān)于的次多項(xiàng)式，設(shè)平面設(shè)的法向量為，則，?。且浑A等比，則是關(guān)于的次多項(xiàng)式，則是常數(shù)列，故，則，與平面成角為，由故是關(guān)于的次多項(xiàng)式，則是階等差數(shù)列．則．是階等比數(shù)列．由，所以與平面成角正弦值為上存在點(diǎn)，使得，設(shè)則，Ⅲ假設(shè)在線段平面．設(shè)，．故則則，，的法向量為，則，得證，平面，平面，解得，．【解析】本題考查數(shù)列的新定義，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，數(shù)學(xué)歸納法，屬于難題．點(diǎn)是靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)．由新定義得為公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；能力，屬中檔題．設(shè)為階等差數(shù)列，則為常數(shù)，則為一次多項(xiàng)式，猜測(cè)是關(guān)于的次多項(xiàng)式，用數(shù)學(xué)歸納法證明；設(shè)相消求和證明結(jié)論．19.【答案】解：證明：設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，在單調(diào)遞減，所以故F設(shè)處取得極大值，即為最大值，關(guān)于函數(shù)，，所以，則時(shí)，，，令當(dāng)，可得與，，時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在，在上單調(diào)遞增，當(dāng)與時(shí)，所以故H綜上：處取得極小值，即為最小值，可知是函數(shù)極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，的圖象如圖所示：，所以時(shí)，時(shí)，，該函數(shù)與，“”上的分割函數(shù)；所以函數(shù)若函數(shù)則為函數(shù)與在“”在區(qū)間上的分割函數(shù)，是函數(shù)與對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，它的值為，的圖象在“”上的分割函數(shù)，由為與在區(qū)間可知它也是處的切線為直線，故存在使得并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)此時(shí)切線方程為且直線與的圖象相切，的圖象在，可得處的切線，，所以所以即，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，，即，，且設(shè)直線與的圖象交于點(diǎn)，，可得又且，即則由所以，可得，時(shí)，