中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：“將軍飲馬”類問題

最全“將軍飲馬”類問題（類型大全+分類匯編）

1.如圖，直線1和1的異側(cè)兩點A、B,在直線1上求作一點P,使PA+PB最小。

2.如圖，直線1和1的同側(cè)兩點A、B,在直線1上求作一點P,使PA+PB最小。

3.如圖，點P是NMON內(nèi)的一點，分別在OM,ON上作點A,B。使4PAB的周長最小

4.如圖，點P,Q為NM0N內(nèi)的兩點，分別在OM,ON上作點A,B。使四邊

形PAQB的周長最小。

5.如圖，點A是NMON外的一點，在射線0M上作點P,使PA與點P到射線ON的距離

之和最小

6..如圖，點A是NMON內(nèi)的一點，在射線0M上作點P,使PA與點P到射線ON的距

離之和最小

二、常見題型

三角形問題

1.如圖，在等邊AABC中，AB=6,AD±BC,E是AC上的一點，M是AD上的一點，若AE=2,求EM+EC的最小值

解：：點C關(guān)于直線AD的對稱點是點B,A

二^(3^)2+12=2^7

2.如圖，在銳角SBC中，AB=4J,zBAC=45°,zBAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點，

則BM+MN的最小值是

解：作點B關(guān)于AD的對稱點B',

過點B作B1E±AB于點E,交AD于點F,

則線段B'E的長就是BM+MN的最小值在

等腰RfAEB'中,根據(jù)勾股定理得到，B'E

=4

3.如圖，AABC中，AB=2,zBAC=30°,若在AC,AB上各取一點M、N,使BM+MN的值最小，則這個最小值

解：作AB關(guān)于AC的對稱線段AB',

過點B'作B1N±AB,垂足為N,交AC于點M,

則B'N=MB'+MN=MB+MN

B'N的長就是MB+MN的最小值

貝！UB'AN=2zBAC=60°,AB'=AB=2,

zANB'=90°,zB'=30%

.'.AN=1

在直角AAB'N中，根據(jù)勾股定理

B'N=/

N2B

正方形問題

1.如圖，正方形ABCD的邊長為8,M在DC上，丐DM=2,N是AC上的一動點，DN+MN的最小值為

即在直線AC上求一點N，使DN+MN最小

解：故作點D關(guān)于AC的對稱點B,連接BM,

交AC于點N。貝UDN+MN=BN+MN=BM

線段BM的長就是DN+MN的最小值在直角△B

CM中，CM=6,BC=8，則BM=10

故DN+MN的最小值是10

2.如圖所示，正方形ABCD的面積為12,AABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使

PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.2.^3B.2^6C.3D.J6

解：即在AC上求一點P,使PE+PD的值最小

點D關(guān)于直線AC的對稱點是點B,

連接BE交AC于點P,則BE=PB+PE=PD+PE,

BE的長就是PD+PE的最小值BE=AB=2^3

3.在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ,貝SPBQ周長的

最小值為cm（結(jié)果不取近似值）.

解：在AC上求一點P,使PB+PQ的值最小

?.點B關(guān)于AC的對稱點是D點，

二連接DQ,與AC的交點P就是滿足條件的點

DQ=PD+PQ=PB+PQ

故DQ的長就是PB+PQ的最小值

在直角ACDQ中，CQ=1,CD=2

根據(jù)勾股定理，得，DQ=小

4.如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm,E為邊BC的中點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；

解：連接AE,交BD于點P,則AE就是PE+PC的最小值

在直角AABE中，求得AE的長為5^5

BEC

矩形問題

1.如圖，若四邊形\BCD是矩形，AB=10cm,BC=20cm,E為邊BC上的一個動點下為BD上的一個動點，求PC+PD的

最小值；

解：作點C關(guān)于BD的對稱點C,過點C,

作CBLBC,交BD于點P,則CE就是PE+PC的最小值

20

直角&BCD中，CH=-_

曠

直角ABCH中，BH=8s

△BCC'的面積為:BHxCH=160

C'ExBC=2x160貝!JCE'=16

菱形問題

1.如圖，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm,zABC=45°,E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PE

的最小值；

解：點C關(guān)于BD的對稱點是點A,過

點A作AELBC,

交BD于點P,則AE就是PE+PC的最小值

在等腰AEAB中，求得AE的長為5.

梯形問題

1.已知直角梯形ABCD中，ADnBC,AB±BC,AD=2,BC=DC=5，點P在BC上桐動，則當(dāng)PA+PD取最小值時，A

APD中邊AP上的高為（）

A、之后B\,行,、頡D、3

17171"

解：作點A關(guān)于BC的對稱點A',連接A'D,交BC于點P

則A'D=PA'+PD-PA+PD

A'D的長就是PA+PD的最小值

SMPD=4

在直角AABP中，AB=4,BP=1根

據(jù)勾股定理，得AP=1

48而

..AP上的高為：2x-=

J1717

4

圓的有關(guān)問題

1.已知。0的直徑CD為4,NAOD的度數(shù)為60°,點B是AD的中點，在直徑CD上找一點P,使BP+AP的值最小，

并

求BP+AP的最小值.

解：在直線CD上作一點P,使PA+PB的值最小

作點A關(guān)于CD的對稱點A1,連接A'B,

交CD于點P,則A'B的長就是PA+PB的最小值

連接OA',OB,貝!UA'OB=90°,

OA'=OB=4

根據(jù)勾股定理，A1B=峙

2.如圖，MN是半徑為1的的直徑，點A在。。上,ZAMN=30°,B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則

PA+PB的最小值為()

A2函B,C1D2

解:MN上求一點P,使PA+PB的值最小

作點A關(guān)于MN的對稱點A',連接A'B，交MN于點P,

則點P就是所要作的點

A'B的長就是PA+PB的最小值

連接OA\OB,貝必OA'B是等腰直角三角形

A,B=

一次函數(shù)問題

20.一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A(2,0),B(0,4).

(1)求該函數(shù)的解析式；

(2)0為坐標(biāo)原點，設(shè)OA,AB的中點分別為C、D,P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點

坐標(biāo).

解：Q)由題意得：0=2x+b,4=b解

得k=-2,b=4,

y=-2x+4

(2)作點C關(guān)于y軸的對稱點C,連接CD,交y軸于點P

則CD=C'P+PD=PC+PD

C'D就是PC+PD的最小值

連接CD,貝CD=2,CC'=2

在直角AC'CD中,根據(jù)勾股定理C'D=2雌直

線CD的解析式，由C,(-l,0),D(1,2)

，有。=-k+b,2=k+b解

得k=1zb=1z

y=x+l

當(dāng)x=0時，y=l,貝UP(O,1)

二次函數(shù)問題

1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(-2,0),連結(jié)0A,將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)12Q,得到線段OB.

(1)求點B的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過人、0、B三點的拋物線的解析式；

(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使ABOC周長最?。咳舸嬖谇蟪鳇cC坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解:

(l)B(l,3y

(2)y+之次

33

(3)；點0關(guān)于對稱軸的對稱點是點A,則連接AB,交對稱

軸于點C,貝hBOC的周長最小

yNx2+猖，當(dāng)x=-l時，y=^

333

2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A,B,C的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0),(0,3)，過A,B,C三點的拋物線的對稱軸為直

線I,D為直線I上的一個動點，

(1)求拋物線的解析式；

(2)求當(dāng)AD+CD最小時點D的坐標(biāo)；(3)以

點A為圓心，以AD為半徑作圓A;

解：(1)①證明：當(dāng)AD+CD最小時，直線BD與圓A相切；

②寫出直線BD與圓A相切時，點D的另一個坐標(biāo)。

(2)連接BC,交直線I于點D,則DA+DC=DB+DC=BC,

BC的長就是AD+DC的最小值

BC:y=-X+3

則直線BC與直線x=1的交點DQ,2),

3.拋物線y=ax2+bx+c(a30)對稱軸為x=-1,與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,其中A(-3,0)、C(0,-2)

(1)求這條拋物線的函數(shù)表達式.

(2)已知在對稱軸上存在一點P,使得WBC的周長最小.請求出點P的坐標(biāo).

(3)若點D是線段OC上的一個動點(不與點0、點C重合).過點D作DE"PC交x軸于點E,連接PD、PE.設(shè)CD

的長為m,APDE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.

試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由.

Ip

1:=工⑴由24

,解得a、,b=?zc=-2

|9a-3b+c=0

c=-2

24

.?拋物線的解析式為y=-x2+-x-2

33

(2)點B關(guān)于對稱軸的對稱點是點A,連接AC交對稱軸于點P,貝?。軼BC的周長最小設(shè)直

線AC的解析式為y=kx+b，「A(-3,0),C(0,-2),則

I[0=-3k+bEa,2

\解得k=--,b=-2

U-2=b3

2

，直線AC的解析式為y=--x-2

3

44

把x=-1代入得y=-一/,-P(-l，-二)

33

(3)S存