拋物線-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第8課時拋物線

［考試要求］1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握拋物線的簡單

幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應(yīng)用.4.理解數(shù)

形結(jié)合的思想.

［鏈接教材?夯基固本】落實主干?激活技能

?梳理?必備知識

1.拋物線的概念

把平面內(nèi)與一個定點/和一條定直線/(/不經(jīng)過點F)的距離相笠的點的軌跡叫做

拋物線，點尸叫做拋物線的焦點,直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=~2py(p>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

夕的幾何意義：焦點廠到準(zhǔn)線/的距離

1L「/r

\j.___A\|F/

圖形F\Ox7/￡

\yF

11\/1\\

頂點。(0,0)

對稱軸J=ox=0

隹占式二H)S)

八'、八、、唱°)「(3-0

離心率6=1

_p_V.

準(zhǔn)線方程X2X2L—5

范圍xNO,y￡R

［常用結(jié)論］

1.與焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論

如圖，傾斜角為a的直線4s與拋物線產(chǎn)=22x(p>0)交于Z,B兩點、,尸為拋物線

的焦點,設(shè)N(xi,yi),5(x2,J2).則有

口2

(1)X1X2=Y>=

(2)焦點弦長：\AB\=xi+x2+p=^<a為弦AB的傾斜角)；

(3)通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2；

(4)焦半徑：\AF\=-^F\=-^—,

1—cosa1+cosa

特別地」-+工=z；

\AF\\BF\U

(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線粗切;

(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;

(7)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準(zhǔn)線上；

(8)焦點弦端點與頂點構(gòu)成的三角形面積：S^AQB=-^=kOF\?|V1-V2|.

2.若Z,5為拋物線產(chǎn)=22x(p>0)上異于原點。的兩點，則是直線Z8

過定點(2p,.0)的充要條件.

O激活?基本技能

一'易錯易混辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.

()

(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切.()

⑶方程了="2伍中0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是

&0),準(zhǔn)線方程是x=一泉()

(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)X

二、教材經(jīng)典衍生

1.(人教A版選擇性必修第一冊P133練習(xí)T2改編)拋物線>=32的準(zhǔn)線方程是

()

A.y=_1B.y——2

C.x=—1D.x=-2

22

A［Vj/=ix,/.x=4yf.,?準(zhǔn)線方程為y=-1.］

2.（人教A版選擇性必修第一冊P133練習(xí)T3改編）若拋物線y=4N上的一點M到

焦點的距離為1,則點M的縱坐標(biāo)是（）

A.—B.—

1616

C.；7D.0

B［初到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點的距離，又準(zhǔn)線方程為產(chǎn)一七，設(shè)M（x，M，

11E

則y+a=l,.,?產(chǎn)R.］

3.（人教A版選擇性必修第一冊P135例4改編）過拋物線儼=4x的焦點的直線I

交拋物線于尸（xi,yi）,0（x2,力）兩點，如果XI+X2=6,則|PQ|等于（）

A.9B.8

C.7D.6

B［拋物線儼=4x的焦點為網(wǎng)1,0）,準(zhǔn)線方程為x=—1.根據(jù)題意可得，|P0|

\PF\-\~\QF\=x\-\~1+%2+1=xi+%2+2=8.］

4.（人教A版選擇性必修第一冊P134例3改編）已知拋物線的頂點是原點，對稱

軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點尸（一2,-4）,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

儼=一8x或/=—v［設(shè)拋物線方程為儼=22W0）或x2=2眇（/?W0）.將尸（一2,

-4）代入，分別得方程為儼=—8x或爐=-，］

［典例精研?核心考點］重難解惑?直擊高考

□考點一拋物線的定義及應(yīng)用

考向1動點軌跡的判定

［典例1］（1）在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，動點尸（x,歷到直線x=l的距離比它到

定點（一2,0）的距離小1,則尸的軌跡方程為（）

A.y2=2xB.y2=4x

C.y2=~4xD.y2=~8x

（2）動圓與定圓N：（x+2）2+V=i外切，且和直線》=1相切，則動圓圓心的軌跡

是（）

A.直線B.橢圓

C.雙曲線D.拋物線

(1)D(2)D[⑴由題意知動點尸(x,y)到直線x=2的距離與定點(一2,0)的距離

相等，由拋物線的定義知，尸的軌跡是以(一2,0)為焦點，x=2為準(zhǔn)線的拋物線，

所以夕=4,軌跡方程為V=一網(wǎng).故選D.

(2)設(shè)動圓的圓心為點C,半徑為r,則點C到定圓Z:(》+2)2+產(chǎn)=1的圓心的

距離等于尸+l.又動圓的圓心到直線x=l的距離等于人所以動圓的圓心到直

線x=2的距離為r+1.根據(jù)拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡為拋物線.故選

D.]

考向2拋物線上的點到定點的距離及最值

[典例2](1)(2023?北京高考)已知拋物線C：j2=8x的焦點為R點河在C上,

若/到直線x=—3的距離為5,則|四川=()

A.7B.6

C.5D.4

(2)已知點MQ0，40)不在拋物線C：y2=2px(p>0)±.,拋物線C的焦點為E若對

于拋物線上的一點P,+的最小值為41，則p的值等于.

(1)D(2)42或22[(1)如圖所示，因為點/到直線》=一3的距離|畫|=5,所

以點拉到直線x=—2的距離|〃M=4.

又拋物線上點M到準(zhǔn)線x=—2的距離和到焦點E的距離相等，ii.\MF\=\MN\=

4.故選D.

(2)當(dāng)點MQ0,40)位于拋物線內(nèi)時，如圖1,過點尸作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足

為D,則|=|尸。|,

\PM\+\PF\=\PM\+\PD\.

當(dāng)點P,。三點共線時，的值最小.

由最小值為41,得20+1=41,解得夕=42.

當(dāng)點MQ0,40)位于拋物線外時，如圖2,當(dāng)點尸，M,尸三點共線時，PM+FE

的值最小.

由最小值為41,得J402+(20—5=41,

解得夕=22或2=58.

當(dāng)夕=58時，V=u6x,點M(20,40)在拋物線內(nèi)，故舍去.

綜上，2=42或2=22.

名師點評拋物線定義的應(yīng)用規(guī)律

拋物線上的點到拋物線的焦點的距離

|定義應(yīng)用i

與到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化

I拋物線|____________________________

I廠?幾何法i圖象，數(shù)形結(jié)各碉

?最值問題一

T代數(shù)法一轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題

或不等式解決

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)(2024?廣東珠海模擬)已知拋物線爐=%的焦點為八準(zhǔn)線/與坐標(biāo)軸交

于點N,又是拋物線上一點，若回M=FM，則△FW的面積為()

A.4B.2V3

C.2V2D.2

(2)已知尸為拋物線儼=4x上的一個動點，0為圓4)2=1上的一個動點,

那么點P到點Q的距離與點P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是.

(1)D(2)V17-1［(1)由x2=4y,得P=2,則|河=|尸M=2,

根據(jù)拋物線的定義知幽F|=州/+々=加+1=2,

解得yw=1,代入爐=4p，得XM=±2,

所以△8心的面積為］X2X2=2.故選D.

(2)由題可知，拋物線產(chǎn)=以的準(zhǔn)線方程為x=—1,焦點坐標(biāo)為尸(1,0),圓/

+0—4)2=1的圓心坐標(biāo)為￡(0,4),半徑為R=l,設(shè)點尸到拋物線準(zhǔn)線的距離

為1Ppi,則\PP'\=\PF\,it\PP'\+\PQ\=\PF\+\PQ\,所以當(dāng)動點。,尸位于線段

E/上時，點尸到點0的距離與點尸到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小，此時|尸尸'|

+\PQ\=\EF\-R=y[r7-1.]

【教師備選資源】

(2024?浙江金麗衢十二校模擬)已知直線/1：3x-4y-6=0和直線/2：歹=一2,

則拋物線x2=4j上一動點P到直線3直線h的距離之和的最小值是()

A.2B.3

C.—D.—

516

B[拋物線》2=4卜的焦點F(o,1),準(zhǔn)線/：y=—l,

設(shè)動點尸到直線/,Z1,/2的距離分別為d,d\,d2,

點F到直線Zi的距離為dJ；：..：?

則di=d+\=\PF\+\,

可得力+"2=%+|尸6+1三d3+1=3,

當(dāng)且僅當(dāng)點尸在點尸到直線/i的垂線上且尸在尸與人之間時，等號成立，動點

尸到直線/1、直線/2的距離之和的最小值是3.故選B.]

II考點二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

[典例3](1)(多選)過點(1,—2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()

A.j2=4xB.y2=—4x

c.x2=—D.x2=iy

(2)(2021?新高考I卷)已知。為坐標(biāo)原點，拋物線C：儼=22傘>0)的焦點為F,

尸為C上一點，尸尸與x軸垂直，。為x軸上一點，且尸0，。尸.若尸0|=6,則C

的準(zhǔn)線方程為

(1)AC(2)x=--[(1)點(1,—2)滿足儼=4x,好=一歹，

所以過點(1,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是V=4x,/=-%.故選AC.

⑵法一(解直角三角形法)：由題易得尸尸會閘=p,ZOPF=ZPQF,所以tan

p

ZOPF=tanZPQF,所以"=粵，即？=￡解得P=3,所以C的準(zhǔn)線方程為

IP川\FQ\P6廠

3

法二(應(yīng)用射影定理法)：由題易得|。回=今\PF\=p,(|PF|2)=|OF|?\FQ\,即p2

=1X6,解得夕=3或P=0(舍去)，所以C的準(zhǔn)線方程為x=一|.]

名師點評1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)定義法.

(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點位置不確定時，為避免過多的討論，通常依據(jù)焦點所在

的位置，將拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為產(chǎn)=ax(aW0)或》2=即(°三0).

2.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用要樹立兩個意識

(1)轉(zhuǎn)化意識：“見準(zhǔn)線想焦點，見焦點想準(zhǔn)線”.

(2)圖形意識：借助平面圖形的性質(zhì)簡化運算.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.(1)(2023?湖北武漢二模)設(shè)拋物線儼=6x的焦點為R準(zhǔn)線為/,尸是拋物

線上位于第一象限內(nèi)的一點，過尸作/的垂線，垂足為0,若直線。尸的傾斜角

為120。，則尸目=()

A.3B.6

C.9D.12

(2)如圖所示，過拋物線廿=2.3>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點

A,B,C,若15cl=2|8/|,且0回=4,則拋物線的方程為()

A.j2=8x

C.y2=2xD.y1=x

(3)。為坐標(biāo)原點，咒為拋物線C：V=4x的焦點，尸為C上一點，若甲回=4,則

△P。尸的面積為.>——

(1)B(2)B(3)V3[⑴設(shè)準(zhǔn)線/與X軸交于點8(圖略)，依題意N0切=60。，因川

=3,|2^=3V3,\QF\=6,又|尸尸|=|00ZPQF=60°,

則4PQF為等邊三角形，|PF|=6.

故選B.

(2)如圖，分別過點2,8作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點E,D,設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于

點G,設(shè)尸|=a,則由已知得15cl=2a,由定義得故N5CQ=30。，

則在Rt^ZCE中，20￡|=|2。|,又|4F|=4,

：.\AQ=4+3a,|ZE|=4,.*.4+30=8,從而得a=：「：AE〃FG,.,.等=生,即巳

3AEAC4

=g,p=2,.,.拋物線的方程為V=4x.故選B.

(3)法一(通性通法)：由V=以可得拋物線的焦點/(1,0),準(zhǔn)線方程為》=一1,

如圖，過點尸作準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足為點拉，根據(jù)拋物線的定義可知

=|PF|=4,設(shè)尸(x,j),則x—(—1)=4,解得x=3,將x=3代入儼=4x,可得了

=±2V3,所以△POE的面積為力|?Qp=1x2百Xl=b.

法二（巧用結(jié)論）：設(shè)N尸71=仇則|尸尸|=\D.=1乞八=4,/.cos0=^,即。=60°.

1—cos。1—cos02

設(shè)尸（x,歷，則例=|Ppsine=4X?=2b.

??.5APOF=|X|OF|X[y|=ixiX2V3=V3.]

【教師備選資源】

（2023?廣東佛山二模）已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中

ZNBNOQ'E'E現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進(jìn)行判斷，提出了四個命題：

甲：可以是圓的方程；

乙：可以是拋物線的方程；

丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

T：可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

其中真命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

C[因為方程Zf+協(xié)2+加+9+切+/=0,其中NNBNCNQNENE,

所以當(dāng)Z=8=l—方程為始十廿一1=0,即+儼=]

是圓的方程，故方程可以是圓的方程；

當(dāng)Z=1三5=C=D=0>E=—1三尸=—2時，方程為f—y—2=0,即y=x2—2

是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；

Y2

當(dāng)2=2三8=1NC=D=￡=O三/=—1時，方程為2爐+了2—1=0,即儼+丁=1

2

是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有4BV0,C=D=E=0,F<0,這與

A?B》C?D》E》F矛盾,故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

所以真命題有3個.故選C.]

13考點三直線與拋物線的位置關(guān)系

[典例4](1)(多選X2023?新高考n卷)設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線y=—K(x—1)過

拋物線C：V=22如＞0)的焦點，且與。交于N兩點，/為。的準(zhǔn)線，則()

A.2=2

B.\MN\=^

C.以跖V為直徑的圓與/相切

D.為等腰三角形

⑵拋物線￡：儼=2x上存在兩點關(guān)于直線y=k(x—2)對稱，則上的取值范圍是

(1)AC(2)(-V2,V2)[(1)由題意，易知直線＞=—K(x—1)過點(1,0).

因為直線經(jīng)過拋物線C的焦點，所以易知焦點坐標(biāo)為(1,0),所以5=1,即夕=2,

A正確.

不妨設(shè)M(X1,Jl),N(X2,J2),Xl＜X2,聯(lián)立方程"(久1)'消去y并整理

(y，=4%,

得3/—10工+3=0,解得xi="|,%2=3.由拋物線的定義得，|AW|=XI+X2+夕=￡

+2=?，B錯誤.

/的方程為x=—1,以跖V為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為6，—竽)，半徑

=|=|+1,所以以"N為直徑的圓與/相切，C正確.

由兩點間距離公式可得QM=?，\ON\=421,又弓，D錯誤.故選AC.

(2)當(dāng)k=Q時，顯然成立.

當(dāng)左W0時，設(shè)兩對稱點為5(x1,yi),C(%2,j2),8c的中點為M(xo,yo),由資

=2%i，y1=2x2,兩式相減得⑴+—)?⑴-P2)=2(XL⑼，則直線8c的斜率屆c

=左二也=，_=2_=J_,由對稱性知&c=—；,點/在直線y=Z:(x—2)上，所以

yo=~k,yo=k(xo—2),所以xo=l.由點M在拋物線內(nèi)，得%v2xo,即(一上＞＜2,

所以一聲＜左＜迎，且左?0.

綜上，上的取值范圍為(一魚，V2).]

名師點評解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法

(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物

線的焦點，可直接使用公式|/8|=xi+x2+p,若不過焦點，則必須用一般弦長公

式.

(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系，

采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.

提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解.

(3)重視在選擇、填空題中有關(guān)結(jié)論的靈活應(yīng)用.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.(1)(2024?廣東深圳模擬)已知尸為拋物線C：j?=4x的焦點，直線/：y=k(x

+1)與C交于48兩點(Z在8的左邊)，則4|4F|+|AF|的最小值是()

A.10B.9

C.8D.5

⑵(多選)(2022?新高考I卷)已知。為坐標(biāo)原點，點省1,1)在拋物線C：x2=2py(p

>0)上，過點8(0,—1)的直線交C于尸，0兩點，則()

A.C的準(zhǔn)線為了=—1

B.直線4g與C相切

C.\OP\?|02|>|<9^|2

D.\BP\?\BQ\>\BA^

⑴B(2)BCD［(1)由題知。的焦點尸(1,0),準(zhǔn)線為x=-1,如圖，作

準(zhǔn)線，8N,準(zhǔn)線，/:y=k(x+l)過定點(-1,0),設(shè)N(xi,ji),5(X2,#),聯(lián)立

(y2—4x,

y-k(x+1),

&2

得敏/+2x+1)—4x=0,即左2-+(2左2—4)x+左2=0,.，.X1X2=^=1.

又|ZF|=WM=X1+1，內(nèi)/I==X2+1,

.,.4|^F|+|J8F|=4x1+4+x2+l=4xi+x2+5^2A/4%p^+5=2X2+5=9,

當(dāng)且僅當(dāng)4XI=X2時取等號.故選B.

(2)將點Z的坐標(biāo)代入拋物線方程得1=2夕，所以拋物線方程為》2=了，故準(zhǔn)線方

程為,v=A錯誤；

丘=所以直線的方程為1,

'二1(——0？=2,ABy=2x-

V—2%_1

――'可得2x+l=0,解得》=1,即直線Z8與。相切于點Z,

(/=y,

故B正確；

設(shè)過8的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線C只有一個交點，

所以直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=丘一1,P(xi,vi),0(X2,/),

聯(lián)立得/_區(qū)+]=0,

Ix2-y,

p=/-4>0,

所以《x1+x2-k,

=1,

所以左>2或左V—2,J1J2=(X1X2)2=1,

又Q尸尸J/+y§=Jyi+比,Q0尸J%]+%=』2+%,

所以尸「|。。|=&/2(1+%)(1+、2)=辦％1?&=附>2=|。4肉故c正確;

因為|AP|=WFF|XI|,\BQ\=Vm^\x2\,

所以囚尸|?|3Q|=(l+r)|xiX2|=l+F>5,而18a2=5,故D正確.故選BCD.]

拓展視野4拋物線中的阿基米德三角形

如圖，假設(shè)拋物線方程為爐=2眇①>0),過拋物線準(zhǔn)線y=—修上一點尸(xo,

次)向拋物線引兩條切線，切點分別記為aB,其坐標(biāo)為(XI,yi),(X2,竺)，則以

點尸和兩切點Z,8圍成的△口5中，有如下的常見結(jié)論：

(1)拋物線在/處的切線方程：xix=p(y+yi),拋物線在8處的切線方程：X2%=

夕0+了2)，直線48的方程：xox=2//y^=7?(yo+j);

(2)直線AB過拋物線的焦點；

(3)過尸的直線與拋物線交于48兩點，以48分別為切點作兩條切線，則這

兩條切線的交點P(xo,/)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線;

(5)4PU5；

(6)直線48的中點為則PM平行于拋物線的對稱軸.

[典例1](多選)阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，享有“數(shù)

學(xué)之神”的稱號.若拋物線上任意兩點48處的切線交于點P,則稱△B45為

“阿基米德三角形”.已知拋物線/=87的焦點為R過拋物線上兩點45的

直線的方程為x—了+2=0,弦幺5的中點為C,則關(guān)于“阿基米德三角形”E45,

下列結(jié)論正確的是()

A.點尸(E,-2)B.PClxtt

C.PALPBD.PFLAB

X8'消去y可得A2—8%一16=0.

BCD[由

.y-x+2,

令Z(X1,J1),8(X2,J2),則X1+.X2=8,X1X2=-16,

2

?y一百O，-4-jk4pA——,

尸子(％一打)+蔗=■一*PB:尸―

XiXi“x+x

y=-x——-,X=-1---2=4,

2

聯(lián)立，-4B解得

—2,

748

即尸(4,-2),A錯誤；

xc=生產(chǎn)=弘,\pc±x^,B正確；

kpF=J^=—l,kAB=l,kpF-kAB=-l,:.PF1AB,D正確；kPA-kPB=^

4—U16

=-l,：.PA±PB,C正確.故選BCD.]

[典例2](2021?全國乙卷)已知拋物線C：N=2"v(p>0)的焦點為R且尸與圓

M：/+。+4)2=1上點的距離的最小值為4.

⑴求P的值；

(2)若點P在圓〃上，PA,05是拋物線C的兩條切線，A,8是切點，求△B45

面積的最大值.

［解］⑴由題意知M（0，-4）,尸（0,Q,圓〃的半徑r=l,所以幽用一尸=4,

即々+4—1=4,解得夕=2.

（2）由（1）知，拋物線方程為9=4/

由題意可知直線48的斜率存在，設(shè)Zg,B），B&2,f）,直線48的方程為

y^kx~\~b,

v—kxH-b

'消去y得4點一4b=0,

（x2=4y,

貝14=16-+16b>0,陽

=

XI+%2=4攵，xiX2-4b,

222

所以\AB\=V1+fc2|xi—%2|=V1+/c?J+%2尸—4%］%2=4V1+fc?Vfc+b.

因為，=4?即所以v=2,則拋物線在點4處的切線斜率為生，在點/

處的切線方程為y一子=￡（%—xi）,即—

同理得拋物線在點B處的切線方程為y=這%-反，

24

聯(lián)立'

即尸（2左，—b）.因為點尸在圓〃上，所以4左2+（4—6）2=1,①

11

且一1W2左W1,—5W—6W—3,即一左W；,3W6W5,滿足（※〉

設(shè)點P到直線AB的距離為d,則d=與幽，

7i+/c2

所以S△物卜d=4j（H+匕）3.

由①得，左2=上正之=一房+8人15,

44

令/=F+b,則I="+了—15,且3W6W5.

4

因為1=一"+：2"竺在［3,5］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)6=5時，/取得最大值，/max=5,

4

此時左=0,所以△E45面積的最大值為20V5.

課時分層作業(yè)（五十八）拋物線（一）

一、單項選擇題

1.（2024?廣東中山模擬）拋物線y=—1?的焦點坐標(biāo)為（）

A.（-1,0）B.0）

C.（0,-1）D.（0,

D[拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=—2y，所以焦點坐標(biāo)為（0,故選D.]

2.（2024?新疆模擬）已知拋物線儼=2"x（p>0）上任意一點到焦點F的距離比到

了軸的距離大1,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.B.~~

C.y2=4xD.y2=8x

C[根據(jù)題意，拋物線V=2/x（p>0）的準(zhǔn)線方程為》=一會與了軸平行，若拋

物線產(chǎn)=28。>0）上任意一■點到焦點E的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,則該拋物線

上任意一點到準(zhǔn)線的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,故與=1,解得P=2,故拋物線的

標(biāo)準(zhǔn)方程為y=4乂故選C.]

3.（2023?江西南昌一模）“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線G：

儼=—2夕xg>0）和C2：儼=2夕x（p>0）構(gòu)造了一個類似“米”字形的圖案，如圖所

示，若拋物線Cl,C2的焦點分別為E,尸2,點尸在拋物線C1上，過點尸作X

軸的平行線交拋物線G于點0,若|PE|=2|P。=4,則P=（）

A.2B.3

C.4D.6

D[因為2|尸。|=4,即|P0|=2,由拋物線的對稱性知刀尸=一1,由拋物線定義可

知，\PFI\=^-XP,即4=/（一1）,解得夕=6.故選D.]

4.過拋物線儼=2.30）的焦點/作直線/,交拋物線于48兩點，若阿=3|印,

則直線/的傾斜角等于（）

A.30?；?50°B.45?；?35°

C.60?；?20°D.與夕值有關(guān)

C[如圖所示，拋物線產(chǎn)=28。＞0)的焦點為/，準(zhǔn)線方程為X=一多分別過Z,

8作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4,B',直線/交準(zhǔn)線于點C,作垂足為

則|44'|=|4F|,=又因4|=3|用|,所以|2M|=2|BF|,\AB\=4\BF\,

所以N/AW=30。，即直線/的傾斜角等于NZEx=60。，同理可得直線/的傾斜角

為鈍角時即為120°,故選C.]

5.已知點尸為拋物線》2=4y上任意一點，點/是圓》2+任-6)2=5上任意一點，

則|我|的最小值為()

A.V5B.2V5

C.3V5D.6-V5

A[圓》2+任-6)2=5的圓心為C(0,6),半徑尸=迷.設(shè)P(%o，箋)，貝"尸CF=焉十

222

(+6)=高焉—2焉+36=(那一4)+20,

當(dāng)焉=16時，|PC|2有最小值20,數(shù)形結(jié)合可知(|pa|min)=『Gmin一花=2瓶一遍

=V5.]

6.如圖所示，點廠是拋物線產(chǎn)=8x的焦點，點45分別在拋物線儼=8x及圓

(x—2)2+產(chǎn)=16的實線部分上運動，且Z5總是平行于x軸，則△9臺的周長的

取值范圍是()

C.[6,8]D.[8,12]

B[拋物線產(chǎn)=8%的準(zhǔn)線方程/：x=-2,焦點n(2,0),由拋物線的定義可得|4F|

=XA+2,圓(》-2)2+產(chǎn)=16的圓心(2,0),半徑氏=4,

所以AFAB的周長為|ZF|+081+\BF\=XA+2+(XB-XA)+4=6+XS,

V2=8%

聯(lián)立'r'消去y得r+以-12=0,解得x=2(x=—6舍去),

-%2+y2-4%—12=0,

即交點的橫坐標(biāo)為2,

所以XB@(2,6),所以6+XBG(8,12),

所以△￡48的周長的取值范圍是(8,12).

故選B.]

7.(2024?河北張家口模擬)設(shè)拋物線E：V=8x的焦點為后過點M(4，0)的直

線與E相交于48兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C,點8在線段ZC上，|防|=3,

則△BCF與△ZCF的面積之比評”=()

SAACF

1

A.B

4-1

C.1D

6-1

C[如圖，過點5作AD垂直準(zhǔn)線x=—2于點。，則由拋物線定義可知：\BF\

=\BD\=3,

設(shè)直線4s的方程為x=7町+4,A(xi,ji),8(x2,J2),C(—2,vc),不妨設(shè)機(jī)>0,

則yi>0,j2<0,

所以》2+2=3,解得X2=l,

則％=8x2=8,解得/=一2魚，則5(1,-2V2),

所以一2V2m+4=1,解得加=a2,

4

則直線AB的方程為》=。+4,

所以當(dāng)x=-2時，即當(dāng)+4=—2,

解得加=—4讓，則。(一2,-4V2),

X4>+4，消去x得；1^_67^_32=0,則川”二—32,

聯(lián)立,

y2—8x,

所以力=8奩，其中產(chǎn)=*=上"=券胃

SRACFACyi~yc12V26

故選C.]

8.已知e為拋物線C：儼=4x的焦點，過尸作兩條互相垂直的直線伍h,直線

/1與C交于a8兩點，直線/2與。交于。，E兩點，則|48|十|0￡|的最小值為

()

A.16B.14

C.12D.10

A[由題意知，拋物線C:儼=心的焦點為網(wǎng)1,0),/i,/2的斜率存在且不為0.不

妨設(shè)直線/i的斜率為左，則直線L的斜率為一，，故人：了=左(x—1),L：y=一，(x

-1)?

由，7消去y得左2好一(2左2+4)X+F=0.

ly=k(x—1),

2“2444

設(shè)Z(xi,ji),5(X2,yi),所以XI+X2=F^=2+77,

由拋物線定義可知，\AB\=x\+x2+2=4+-^-.

同理得|￡>E|=4+4F,

所以=8+4R+與28+2V16=16.

K

當(dāng)且僅當(dāng)劣=居，即左=±1時取等號.

k'

故0目十|。0的最小值為16.]

二、多項選擇題

9.(2024?黑龍江大慶模擬)已知拋物線>=2好的焦點為RM(xi,yi),Ng,y2)

是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是()

A.點尸的坐標(biāo)為Q,0)

B.若直線"N過點R則xiX2=一卷

c.若市=7祈，則1MM的最小值為1

D.若幽F|+|NF|W，則線段跖V的中點0到x軸的距離為:

Zo

BCD[拋物線y=2/,即爐=3，

由拋物線方程知其焦點在了軸上，焦點為尸(0,，)，A錯誤；

依題意，直線跖V斜率存在，設(shè)其方程為

2

(x=-y,11

由《之消去y整理得12—盧—=o,

216

[y=kx+l9

所以Xl%2=-七X\+X2=^k,B正確；

若帝=而,則直線MV過焦點，

所以\MN\=\MF\-\-|NF尸yi+：+/2+==Axi+=+京2+=+

8888422

i

所以當(dāng)k=0時四N|min=5，

,1

所以|肱V|的最小值為拋物線的通徑長5,C正確；

因為此，+|詆|=6+:+竺+==之所以即尸點縱坐標(biāo)為空也="

882H+H=4),28

所以尸到x軸的距離為之D正確.故選BCD.]

10.(2024?廣東揭陽模擬)已知拋物線C：j2=4x的焦點為F,直線I繞點P(~2,

1)旋轉(zhuǎn)，點。為C上的動點(。為坐標(biāo)原點)，貝1)()

A.以0為圓心，10人為半徑的圓與直線x=—1相切

B.若直線/與拋物線有且只有一個公共點，則這樣的直線/有兩條

C.線段尸尸的垂直平分線方程為3x—y+2=0

D.過點尸的直線交C于Z,8兩點，若|48|=4,則這樣的直線有2條

AC[由拋物線C:V=4x可知，。的焦點為網(wǎng)1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.

由拋物線的定義可知以。為圓心，I。9|為半徑的圓與直線x=—l相切，A正確；

當(dāng)過點P(—2,1)的直線/的斜率不存在時，直線/與拋物線無公共點；

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)斜率為左，則過點P(—2,1)的直線方程為/:7=人(%

+2)+1,當(dāng)左=0時，直線/:7=1與拋物線有且只有一個公共點，

V—k(x+2)+]

―一'整理可得上2/+(4左2+2左一4)x+4R+4bM

(y2=4x,

=0,

所以/=(4左2+2左一4)2-4砍4『+4人+1)=0,化簡得2F+左一1=0,解得左=—1

或k=g

所以此時直線/與拋物線有且只有一個公共點的直線有3條，B錯誤；

線段尸尸的中點為（一；，又而尸=蕓=一；，所以線段尸尸的中垂線方程為歹

-|=3（%+|）,即3x-y+2=0,C正確；

因為|43|=4=2/，此時線段48為拋物線的通徑，所以這樣的直線只有一條，D

錯誤.故選AC.]

11.已知拋物線C：》2=2眇防＞0）的焦點坐標(biāo)為R過點P的直線與拋物線相交

于45兩點，點（或，m在拋物線上，則（）

A.p=l

B.當(dāng)軸時，|48|=4

c嵩+素為定值1

D.若方=2而，則直線AB的斜率為必

4

BCD[將點（魚，代入拋物線方程，可得夕=2,A錯誤；

焦點F（0,1）,當(dāng)軸時，點（一2,1）,點（2,1）在拋物線上，可得0回=4,

B正確；

由題意知，直線48的斜率存在，設(shè)直線45的方程為y=bc+l,A（xi,ji）,Bg

H）,聯(lián)立方程廣"

ly=fcx+1,

消去y后整理得x2—4Ax—4=0,

_2

可得XI+%2=4左，xiX2=4,ji+y2=k（xi+x2）+2=4k+2,yij2=-77^=1,\AF\

=yi+l,\BF\=y2+l,

.4---1---,1----1---_----1----,1----1--

\AF\\BF\yi+1y2+l

_yi+y2+2_yi+y2+2_J

yiyz+yi+yz+iyi+y2+2'

C正確；

由（一xi,l—yi）=2（x29/—I）,

x1+x2=4k,

xrx2=—4,

2X=-%I,

{2

得2一解得左=逐，D正確.故選BCD.]

「2靖=_4,4

12.已知尸為拋物線儼=4x的焦點，點尸在拋物線上，過點尸的直線/與拋物

線交于8,C兩點，。為坐標(biāo)原點，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為則下列說

法正確的是()

A.的最大值為：

B.若點4(4,2),則。|+|PF|的最小值為6

C.無論過點p的直線/在什么位置，總有NOW=N(WC

D.若點C在拋物線準(zhǔn)線上的射影為。，則8,0,。三點共線

ACD[設(shè)直線M3的方程為x=—l+叼，與拋物線的方程y2=4x聯(lián)立，可得

j2-4mv+4=0,

當(dāng)且僅當(dāng)Affi與拋物線相切時，N0M3取得最大值.

由/=16切2—16=0,即掰=±1,直線"3的斜率為±1,此時取得最大值工，

4

A正確；

設(shè)點幺在準(zhǔn)線x=—1上的射影為?(—1,2),設(shè)尸到準(zhǔn)線的距離為d,則|E4|十

\PF\=\PA\+d^\AA'\=5,

當(dāng)且僅當(dāng)Z,P,4三點共線時等號成立，B錯誤；

Af(-1,0),設(shè)直線8c的方程為x=〃.v+l,

代入拋物線的方程V=4x,可得y2-4ny-4=0,

設(shè)丫1)‘。(常’力)‘可得yi+Hu+z-ijk—4,則版B+左+

2+1T+1

=(yi+y2)(V+i)=Q^故MB,的傾斜角互補(bǔ)，所以/OMB=/OMC.

C正確;

=kOD,可得三點、B,0,。在同一條直線上.D正確.

故選ACD.］

三'填空題

13.(2023?北京豐臺二模)在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點炸開的每塊碎

片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分.這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和

該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分(如圖中虛線所示)，稱該條拋物線為安全

拋物線.若某次定向爆破中碎片達(dá)到的最大高度為40m,碎片距離爆炸中心的

最遠(yuǎn)水平距離為80m,則這次爆破中，安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為

m.

80［以拋物線最高點為坐標(biāo)原點，平行于地面為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),

由題意得2(80,-40),將其代入拋物線方程得6400=80/7,解得夕=80,故安

全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為80m.

14.(2023?江蘇南通、泰州等八市二模)已知點尸在拋物線C：y2=2px(p>0)±,

過尸作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為〃，點尸為。的焦點.若/m野=60。，點尸的

橫坐標(biāo)為1,則P=.

|［如圖所示，不妨設(shè)點尸在第一象限，

聯(lián)立p2=2p"，可得即點尸（1,師）.

（%=1,3=±回，

易知PHLy軸，則PH//x軸，則ZxFP=ZHPF=60°,

所以直線PF的傾斜角為60°,易知點、FQ,0）,

所以上尸=曜=遮，整理可得2回=b（2—p）,且有2一夕＞0,故0＜pV2,

等式2j第=舊（2—p）兩邊平方可得322—202+12=0,即（32一2）防—6）=0,

解得?=|（p=6舍去）.]

15.設(shè)廠為拋物線儼=2x的焦點，A,B,C為拋物線上三點，若尸為△48。的

重心，^\\FA\+\FB\+\FC\=.

3