2023年新北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)（上冊(cè)）各章知識(shí)點(diǎn)

第一章特殊平行四邊形

第二章一元二次方程

第三章概率時(shí)深入認(rèn)識(shí)

第四章圖形的相似

第五章投影與視圖

第六章反比例函數(shù)

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與鑒定

菱形日勺定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條

對(duì)角線平分一組對(duì)角。

菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。

※菱形的鑒別措施：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

1.2矩形的性質(zhì)與鑒定

※矩形的定義：有一種角是直角的平行四邊形叫更形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。（矩形是軸對(duì)

稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）

※矩形的鑒定：有一種內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。

對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之一。

1.3正方形的性質(zhì)與鑒定

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖

形，有兩條對(duì)稱軸）

※正方形常用時(shí)鑒定：有一種內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對(duì)角線相等的菱形是正方形；

對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）：

※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等。

同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的二分之一。

※夾在兩條平行線間的平行線段相等。

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的二分之一

第二章一元二次方程

2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程

2.2用配措施求解一元二次方程

2.3用公式法求解一元二次方程

2.4用因式分解法求解一元二次方程

2.5一元二次方程的跟與系數(shù)的關(guān)系

2.6應(yīng)用一元二次方程

※只具有一種未知數(shù)的整式方程，且都可以化為"6%+。=。的、nc為

常數(shù)，a#0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把4%2+陵+。=0%、b、c為常數(shù)，aWO）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次

項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

※解一元二次方程的措施：①配措施〈即將其變?yōu)椋▁+mf=0的形式〉

②公式法x=（注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形

2a

式）

③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求

解。（重要包括“提公因式”和“十字相乘”）

※配措施解一元二次方程的基本環(huán)節(jié)：①把方程化成一元二次方程的一般形式;

②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1;

③把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

④兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的二分之一的平方;

⑤把方程轉(zhuǎn)化成(%+根)2=0的形式；

⑥兩邊開(kāi)方求其根。

※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b'Yac〉。時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

※假如一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為xi、X2,則有：

bc

玉+%2=一

※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

(1)已知方程的一根，求另一根；

(2)不解方程，求二次方程的根XI、X2的對(duì)稱式時(shí)值，尤其注意如下公式:

+xl-2

①x；(x；+x2)-2XXX2

XJx2X1X2

2

④I%1-x2|=+x2)-4%1%2

2

(Ix,|+1x21)=(%i+/)2-2X[X2+21xxx21

⑥X：+%2=a+%2)3-3毛%(玉+%2)⑦其他能用再+%2或體現(xiàn)的I代數(shù)

(3)已知方程的兩根XI、X2,可以構(gòu)造一元二次方程：_(為+々)％+玉兀2=°

(4)已知兩數(shù)XI、X2日勺和與積，求此兩數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程

X2-(%)+%2)1+/兀2=0時(shí)根

※在運(yùn)用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，重要分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：①設(shè)未知數(shù)(在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)狀

況只要設(shè)問(wèn)題為X；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮)；②尋找

等量關(guān)系(一般地，題目中會(huì)具有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其

列出方程)。

※處理問(wèn)題的過(guò)程可以深入概括為：?jiǎn)栴}f方程/黑f解答

抽象檢驗(yàn)

第三章概率時(shí)深入認(rèn)識(shí)

3.1用樹(shù)狀圖或表格求概率

3.2用頻率估計(jì)概率

※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻藜；

每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的蓼率；即：

頻率=頻數(shù)=頻數(shù)

數(shù)據(jù)總數(shù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)

在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于對(duì)應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等

于1。因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和等于1。

※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不一樣表達(dá)形式，前者精

確，后者直觀。

用一件事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。

可用列表的措施求出概率，但此措施不太合用較復(fù)雜狀況。

※假設(shè)布袋內(nèi)有m個(gè)黑球，通過(guò)多次試驗(yàn)，我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白

球的概率；

※要估算池塘里有多少條魚(yú)，我們可先從池塘里捉上100條魚(yú)做記號(hào)，再放回池塘，之后

再?gòu)某靥林凶缴?00條魚(yú)，假如其中有10條魚(yú)是有標(biāo)識(shí)的，再設(shè)池塘共有x條魚(yú)，則可

根據(jù)W2=也估算出魚(yú)的條數(shù)。(注意估算出來(lái)的數(shù)據(jù)不是確切的，因此應(yīng)謂之“約

x200

是XX”)

※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能精確地衡量出

事件發(fā)生的也許性的大小，并不表達(dá)一定會(huì)發(fā)生。

概率的求法：

(1)一般地，假如在一次試驗(yàn)中，有n種也許日勺成果，并且它們發(fā)生日勺也許性都相

等，事件A包括其中的m個(gè)成果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=—

n

(2)、列表法

用列出表格的措施來(lái)分析和求解某些事件的概率的措施叫做列表法。

(3)樹(shù)狀圖法

通過(guò)列樹(shù)狀圖列出某事件的所有也許的成果，求出其概率的措施叫做樹(shù)狀圖法。

(當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的原因時(shí)，用列表法就不以便了，為了不重不漏地列出

所有也許的成果，一般采用樹(shù)狀圖法求概率。)

第四章圖形的相似

4.1成正比線段

4.2平行線段成比例

4.3形似多邊形

4.4探索三角形相似的條件

4.5相似三角形鑒定定理的證明

4.6運(yùn)用相似三角形測(cè)高

4.7相似三角形的性質(zhì)

4.8圖形的位似

一.線段日勺比

.假如選用同一種長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB,CD日勺長(zhǎng)度分別是m、

n,那么就說(shuō)這兩條線段日勺比AB:CD=m:n,或?qū)懗闪x=%.

Bn

派2.四條線段a、b、c、d中，假如a與b日勺比等于c與d的比，即色=二，

bd

那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

X3.注意點(diǎn)：

①a:b=k,闡明a是b的Ik倍；

②由于線段a、b日勺長(zhǎng)度都是正數(shù)，因此k是正數(shù)；

③比與所選線段日勺長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān)，求出時(shí)兩條線段日勺長(zhǎng)度單位要一致；

④除了a=b之外,a:bWb:a,人與2互為倒數(shù)；

ba.__________.______.

⑤比例的基本性質(zhì)：若q=￡，則ad=bc;若ad=bc,則幺=9ACB

bdbd

二.黃金分割圖1

XL如圖1,點(diǎn)C把線段AB提成兩條線段AC和BC,假如生=生,那么稱

ABAC

線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB日勺黃金分割點(diǎn),AC與AB日勺比叫做

黃金比.AC;AB=立二x0.618:1

派2.黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最令人賞心悅目日勺點(diǎn).

四.相似多邊形

ai.一般地，形狀相似日勺圖形稱為相似圖形.

X2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例日勺兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形

對(duì)應(yīng)邊日勺比叫做相似比.

五.相似三角形

XI.在相似多邊形中,最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)樸日勺就是相似三角形.

X2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例日勺三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)

邊的比叫做相似比.

X3.全等三角形是相似三角的特例，這時(shí)相似比等于1.注意:證兩個(gè)相

似三角形，與證兩個(gè)全等三角形同樣，應(yīng)把表達(dá)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)日勺字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)日勺

位置上.

※業(yè)相似三角形對(duì)應(yīng)高日勺比，對(duì)應(yīng)中線日勺比與對(duì)應(yīng)角平分線日勺比都等于相似

X5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

X6.相似三角形面積日勺比等于相似比日勺平方.

六.探索三角形相似日勺條件

XI.相似三角形的鑒定措施:

一般三角形直角三角形

基本定理:平行于三角形日勺一邊且和其他兩邊（或兩邊日勺

延長(zhǎng)線）相交日勺直線，所截得日勺三角形與原三角形相似.

①兩角對(duì)應(yīng)相等；①一種銳角對(duì)應(yīng)相等；

②兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相②兩條邊對(duì)應(yīng)成比例：

等；a.兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例；

③三邊對(duì)應(yīng)成比例.b.斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比

例.

X2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線，所得日勺對(duì)應(yīng)線段成比

例.

ARBC

如圖2,〃〃/2〃/3,則一=

DEEF

X3.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成日勺

三角形與原三角形相似.

八.相似的多邊形的性質(zhì)

※相似多邊形日勺周長(zhǎng)等于相似比;面積比等于相似比的平方.

九.圖形日勺放大與縮小

XI.假如兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,并且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在日勺直線都通過(guò)同一

點(diǎn),那么這樣日勺兩個(gè)圖形叫做位似圖形;這個(gè)點(diǎn)叫做位似生心；這時(shí)日勺相似比又稱

為位似比.

派2.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的;距離之比等于位似比.

03.位似變換：

①變換后的圖形,不僅與原圖相似,并且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)日勺連線相交于一點(diǎn)，

并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊日勺相似變換叫做位似變

換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.

②一種圖形通過(guò)位似變換后得到另一種圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形.

③運(yùn)用位似的措施,可以把一種圖形放大或縮小.

第五章投影與視圖

5.1投影

5.2視圖

※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫(huà)在主視圖的下方，左視

圖要畫(huà)在正視圖的右邊。

主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象

俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象

左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象

※視圖中每一種閉合的線框都表達(dá)物體上一種表面（平面或曲面），而相連的兩個(gè)閉合線框

一定不在一種平面上。

※在一種外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個(gè)

小時(shí)平面體（或曲面體）。

※在畫(huà)視圖時(shí)，看得見(jiàn)的部分的輪廓線一般畫(huà)成實(shí)線，看不見(jiàn)的部分輪廓線一般畫(huà)成虛

線。

物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是讀影。

太陽(yáng)光線可以當(dāng)作平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行填影。

探照燈、手電筒、路燈時(shí)光線可以當(dāng)作是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為

中心、填影。

※辨別平行投影和中心投影：①觀測(cè)光源；②觀測(cè)影子。

眼睛的位置稱為視，卓；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視續(xù)眼睛看不到的地方稱為富日。

※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見(jiàn)的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。

①點(diǎn)在一種平面上的投影仍是一種點(diǎn)；

②線段在一種面上的投影可分為三種狀況：

線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；

線段平行于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度；

線段傾斜于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度不大于線段的實(shí)際長(zhǎng)度。

③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種狀況：

平面圖形和投影面平行的狀況下，其投影為實(shí)際形狀；

平面圖形和投影面垂直的狀況下，其投影為一線段；

平面圖形和投影面傾斜的狀況下，其投影不大于實(shí)際的形狀。

第六章反比例函數(shù)

6.1反比例函數(shù)

6.2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)

6.3反比例函數(shù)的I應(yīng)用

※反比例函數(shù)的概念：一般