江蘇省連云港市東?？h某中學2024屆高三年級下冊5月模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

江蘇省連云港市東海縣石榴高級中學2024屆高三下學期5月模

擬考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合N={1,3,4},5={l,a+2）,B^A,則實數(shù)。的值為（）

A.2B.一1或2C.1或2D.0或2

9

2.已知（1—2x）=旬+H--+，則。0+〉）％=（）

i=2

A.-2B.-19C.15D.17

3.命題咱2,1],——X_Q>O”為假命題的一個充分不必要條件是（）

A.aW—B.。V0C.Q26D.

4

4.已知歹為拋物線產(chǎn)=4x的焦點，尸為拋物線上任意一點，。為坐標原點，若|'1=3,

則I。尸1=（）

A.272B.3C.2A/3D.后

5.某班元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這2

個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）

A.42B.48C.96D.124

,、（?！?2,〃=2左一1，、

6.己知數(shù)列{叫滿足q=。2=1,%+2=/eN*）,若S"為數(shù)列{%}的前"項

一，幾一，左

和，則$50=（）

A.624B.625C.626D.650

7.已知耳，與分別是橢圓C：二+與=1（。>6>0）的左、右焦點，M,N是橢圓C上兩點,

ab

且2通=3及拓，MF\-MN=O,則橢圓C的離心率為（）

A

-4B.半C-tD，￥

8.已知定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/（x+2）=4-/（x）,且〃x+3）-2為奇函數(shù)，〃4）=5,

試卷第1頁，共4頁

2026

則￡/(")=

k=l

A.4047B.4048C.4049D.4050

二、多選題

9.《中華人民共和國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠景目標綱要》中明

確提出要創(chuàng)新實施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務中心功能，廣泛開展群眾性文化

活動.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進行滿意度測評，滿分

100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)

甲村的評分X和乙村的評分y都近似服從正態(tài)分布，其中X?N（70,b；）,y?N（75,b；）,

0<CT]<%，則（）

A.x對應的正態(tài)曲線比y對應的正態(tài)曲線更扁平

B.甲村的平均分低于乙村的平均分

C.甲村的高度滿意率與不滿意率相等

D.乙村的高度滿意率比不滿意率大

10.已知函數(shù)/（x）=2sin15-「|（0>O）的圖象關于點中心對稱，則下列結論正確

的是（）

A.“X）的最小正周期3兀

C./（x）的圖象關于直線工=兀對稱

D./（X）的圖象向左平移;個單位長度后關于y軸對稱

II.已知拋物線/=2.5>0）的焦點為尸，點尸（5,%）在拋物線上，且I尸用=6,過點尸作

尸軸于點0,則（）

A.p=2B.拋物線的準線為直線>=-1

C.%=26D.△尸的面積為4石

試卷第2頁，共4頁

12.已知復數(shù)2=—；—,則z?Z=.

1

13.設45是一個隨機試驗中的兩個事件，且尸（/）=:尸（8）=；,尸（4+可=（，則

W）=.

14.如圖曲線為“笛卡爾葉形線”，其方程為/+J?-3a中=0,該曲線的漸近線方程為

x+y+a=0.若。=2,直線x-y=0與該曲線在第一象限交于點/,則過點N且與該曲線

的漸近線相切的圓的方程為（寫出一個即可）

四、解答題

15.一個車間有3臺機床，它們各自獨立工作，其中A型機床2臺，B型機床1臺.A型機

床每天發(fā)生故障的概率為0.1,B型機床每天發(fā)生故障的概率為02

⑴記X為每天發(fā)生故障的機床數(shù)，求X的分布列及期望頤X）；

（2）規(guī)定：若某一天有2臺或2臺以上的機床發(fā)生故障，則這一天車間停工進行檢修.求某

一天在車間停工的條件下，3型機床發(fā)生故障的概率.

16.如圖，在直三棱柱4BC-/4G中，。是棱3c上一點（點。與點C不重合），且

過4作平面8CC圈的垂線/.

（1）證明：IHAD-,

（2）若NC=CG=2,當三棱錐C「/CD的體積最大時，求/C與平面4D￡所成角的正弦值.

試卷第3頁，共4頁

,,1

17.已知函數(shù)[(x)=ex--9x-X.

⑴求函數(shù)在x=l處的切線方程.

(2)證明：VxG[0,+oo),/(x)>sinx.

22

18.已知橢圓氏※+%=l(a>6>0)的離心率1為短軸長為2道.

(1)求橢圓E的方程；

⑵設48是橢圓E的左、右頂點，尸是橢圓E的右焦點.過點尸的直線/與橢圓E相交于

OP

M,N兩點(點"在X軸的上方)，直線分別與y軸交于點尸,0,試判斷質(zhì)■是否

為定值？若是定值，求出這個定值；若不是定值，說明理由.

19.記R上的可導函數(shù)“X)的導函數(shù)為f(x),滿足斗+i=x“-點'(〃?N*)的數(shù)列N｝稱

為函數(shù)/(X)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝為函數(shù)〃x)=x?-X的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛0｝滿足

%=2,a?=ln^—,x?>1.

Z-1

(1)求。2；

(2)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列并求?！?；

⑶設數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，若不等式(-1)"1S"-14VS；對任意的〃wN*恒成立，求才的

取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用集合元素的互異性及集合的包含關系列式計算即得.

【詳解】由/={1,3,/},得/wi,即QW±1,此時〃+2wl,a+2w3,

由5="/,得Q2=Q+2,而QW-1,所以4=2.

故選：A

2.D

【分析】令x=l得到展開式系數(shù)和，再寫出展開式的通項，求出生,即可得解.

【詳解】令X=l,得4+%+a2T-----+。9=—1，

r

又(1-2x)9展開式的通項為Tr+l=C；(-2x)=C；(-2丫￡(0W9且/wN),

9

所以%=(-2)，C；=-18,所以/+X/=T-(T8)=17.

i=2

故選：D

3.D

【分析】首先轉化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)。的取值范圍，再求其真子集，即可判斷

選項.

【詳解】若命題為假命題，

2

則命題的否定“依e[-2,1],x-x-a<0”為真命題，

即aNx2-x,尤?[-2,1]恒成立，

y=x2-x=^x-^xe[-2,l],當x=-2,取得最大值…，

所以.26,選項中只有是{a|a\6}的真子集，

2

所以命題“土e[-2,1],x-x-a>0”為假命題的一個充分不必要條件為?>8.

故選：D

4.C

【分析】根據(jù)拋物線定義結合產(chǎn)廠1=3,求得點尸的坐標，即可求得答案.

【詳解】由題意尸為拋物線V=4x的焦點，則廠(1,0),且準線方程為

答案第1頁，共13頁

設尸（馬,力），由|尸尸|=3可得尤p+l=3,，Xp=2,代入了2=4無得"=8,

即P（2,±2V2），故\0P|=業(yè)+好=厄=2囪，

故選：C

5.A

【分析】因為原定節(jié)目順序已確定，所以可以把新節(jié)目一個一個進行插空即可.

【詳解】因為原定節(jié)目順序已確定，有6個空，插入第一個新節(jié)目有6種插法，

這時6個節(jié)目產(chǎn)生7個空，插入第二個節(jié)目有7種插法，所以共6*7=42種.

故選：A.

6.C

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分類求和即得.

,、（。“+2,〃=2左一1*

【詳解】數(shù)列叫中，%=%=1,。,+2=/?N*）,

[-an,n=2k

當力=2人-1,丘N*時，an+2-a?=2,即數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項構成等差數(shù)列，其首項為1,公差

為2,

25x24一

貝U%+生+。5+?,,+。49=25x1H-----——x2—625,

當〃=2左，左eN*時，%必=-1,即數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項構成等比數(shù)列，其首項為1,公比為-1,

an

[X「]—（―]）25]

貝!J出+%+〃6+…+々50=：_7=1，

1一（一1）

以—（〃]+。3+45-----〃49）+（02+〃4++。50）=626.

故選：C

7.B

【分析】設1明1=2〃，結合橢圓定義得I班上2°-3〃，\NF2\=2a-2n,在中由勾股

定理得〃=，，再結合Rt△町瓦求解.

【詳解】連接叫，設1町上2〃，則1Ml=3%\MF2\=2a-3n,\NF2\=2a-2n,

在RtAMAq中，峭叫『，即（5"）2+（2"3"）2=（2”2療，

所以〃嗯，所以I町寸，電1=黑

答案第2頁，共13頁

在Rt△町月中，|崢『+|火加尸百/，即25c2=17/,所以e=乎.

故選:B.

【分析】首先判斷抽象函數(shù)的周期，再根據(jù)條件求函數(shù)值，再根據(jù)周期求函數(shù)值的和.

【詳解】由/(x+2)=4-/(x)可得〃x+4)=4-/(x+2)=4-[4-/卜)]=/卜)，

故“X)的一個周期為4,

由〃x+3)-2為奇函數(shù)可得〃0+3)-2=0,得/⑶=2*

對于/(x+2)=4-/(x),令x=l,得/⑴+/(3)=4,則〃1)=2,

令>2,得/⑵+/(4)=4,又"4)=5,所以〃2)=-1,

則/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=8,

2026

故￡/㈤=/⑴+八2)+〃3)+〃4)+.?+〃202今

k=l

=506x[/(l)+/(2)+/(3>/(4J+/>506x8+2+(1>4049.

故選：C.

9.BCD

【分析】A選項，曲線越扁平，方差較大，判斷A錯誤；B選項，求出兩村的平均分，比

較出大??；CD選項，由正態(tài)分布曲線的對稱性判斷.

【詳解】A選項，曲線越扁平，說明評分越分散，方差較大，

因為0<巧</，所以￥對應的正態(tài)曲線比X對應的正態(tài)曲線更扁平，A錯誤；

B選項，甲村的平均分為70,乙村的平均分為75,故B正確；

C選項，因為甲村的平均分為70,由對稱性知尸(X280)=尸(X460),C正確；

D選項，因為乙村的平均分為75,由對稱性知尸(X"O)>P(X46O),D正確.

故選：BCD.

答案第3頁，共13頁

10.BC

【分析】利用正弦型函數(shù)的對稱性結合。的取值范圍求出。的表達式，利用正弦型函數(shù)的周

期公式可判斷A選項；代值計算可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項；

利用三角函數(shù)圖象變換結合正弦型函數(shù)的奇偶性可判斷D選項.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=2sin(m-2)(o>0)圖象關于點&,()]中心對稱，

貝！=析(左eZ),可得=4左+|■(左eZ),

因為0>0,可得0=4左+|■(左eN),所以，/(x)=2sin+|-^x-ReN),

對于A選項，/(x)的最小正周期為7=二了*3兀(左eN),人錯；

3

對于B選項，/[；]=2$也[[4左+：色-[=2sin[2阮七)=2sin{=1(左d\),B對；

對于C選項，/(兀)=2sin[14無兀-1=2sin14Ar￡]=2sin2=2(左州)，

故函數(shù)/(x)的圖象關于直線》=兀對稱，C對;

對于D選項，將/(x)的圖象向左平移二個單位長度后，

可得到函數(shù)

2sin[(4左+|■4]，左為偶數(shù)

_2sin[(4k+g[x],左為奇數(shù)

故「(X)的圖象向左平移;個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，D錯.

故選：BC.

11.AD

【分析】根據(jù)拋物線的定義以及焦半徑的長度可求出。值，即可判斷選項AB,根據(jù)點在拋

物線上即可求出點尸的縱坐標，即可判斷選項C,利用三角形的面積公式即可求出△尸尸0的

面積，即可判斷選項D.

【詳解】拋物線V=2px5>0)的準線為直線x=設點P在第一象限，過點P向準線作

答案第4頁，共13頁

垂線垂足為w，

由拋物線的定義可知\PF\=\PM\=5+^=6,解得。=2,

則拋物線的方程為/=4x,準線為直線x=-l,故A正確，B錯誤;

將x=5代入拋物線方程，解得％=±2石，故C錯誤；

焦點廠(1,0),點尸(5,±2近)，即|尸0|=2石，

所以S△即°=；x26x(5-l)=46,故D正確；

故選：AD.

12.2

【分析】由復數(shù)的運算和共軌復數(shù)的定義計算求出結果即可.

【詳解】由題意可得z="=-i(l+i)=l-i,

所以z=l+i，

所以z￡=(l_i)(l+i)=l_i2=2,

故答案為：2.

【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.

【詳解】由題知，尸(4)=)尸⑶=],尸(4+研=二

所以網(wǎng)/+耳=尸(/)+尸(可-尸(癡)=:，

Bp|+1-P(^)=|,則網(wǎng)點)=；.

因尸(13)+尸(/Z)=P(N),

答案第5頁，共13頁

711

所以尸(/5)=g_3=§

￡

則尸（即）=常/

2

3

故答案為：f

14.(X-1)2+(J-1)2=8(答案不唯一)

【分析】聯(lián)立y=x與/+J?一6孫=0,解得/（3,3）,利用兩直線的位置關系求出從點N向

漸近線作垂線的垂足8,進而求出圓的圓心坐標和半徑，即可求解.

【詳解】聯(lián)立了=%與/+/_60=0,得2/一6丁=0,解得尸0或y=3.

結合題意可得/（3,3）.漸近線的方程為x+y+2=0.

從點/向此漸近線作垂線，垂足為8,

設3（外〃），貝!]3,解得，，即即-1,-1）,

YI——]

加+〃+2=0i

所以上同=J（3+iy+（3+l）2=4逝,AB的中點坐標為（?，U）=（1」），

所以以N3為直徑的圓與漸近線相切的圓的方程為

（X-l）2+（y-1）2=8.

故答案為:(x-1)2+(y-1)2=8.

15.（1）分布列見解析,0.4；

【分析】（1）求出X的可能值及各個值對應的概率，列出分布列并求出期望;

答案第6頁，共13頁

(2)根據(jù)給定條件，利用條件概率公式計算即得.

【詳解】(1)X的可能值為0,1,2,3,

P(X=0)=(1-0.1)2x(l-0.2)=0.648,

P(X=l)=2x(l-0.1)x0.1x(l-0.2)+(l-0.1)2x0.2=0.306,

P(X=2)=0.12X(1-0.2)+2X(1-0.1)X0.1X0.2=0.044,

P(X=3)=0.12X0.2=0.002,

所以X的分布列為：

X0123

P0.6480.3060.0440.002

期望E(X)=0x0.648+1x0.306+2x0.044+3x0.002=0.4.

(2)記事件A為“車間停工”，事件B為3型機床發(fā)生故障”,

則尸(4)=P(X=2)+尸(X=3)=0.046,尸(48)=0.1x(l-0.1)x0,2x2+0.12x0.2=0,038,

L,…/…、PQB)0.03819

因此P(BA)=——-=----=—

尸⑷0.04623

IQ

所以某一天在車間停工的條件下，B型機床發(fā)生故障的概率為q.

16.(1)證明見解析

⑵g.

【分析】(1)先證明平面8CG耳，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證得；

(2)法1：由三棱錐的體積最大推理得到S“CD最大，利用基本不等式得

AD=CD=g，作CH1DC、于H,可推得C4，平面，得到/C與平面所成的

角等于NC4〃，解三角形即得；法2：依題建系，分別求得〃和平面4DG的法向量的坐

標，利用空間向量的夾角公式計算即得.

【詳解】(1)在直三棱柱N3C-4耳。中，平面N2C,因為/Ou平面48C,所以

CQ1AD.

答案第7頁，共13頁

又4DLDC,CCqDC=C,CG，DCu平面BCC#,所以平面BCC4.

又因為//平面8CG4,所以

（2）因為％TC3=；SUC3CG，所以當三棱錐G-/CD體積最大時，SMS最大.

由（1）可知_L平面BCG4,因為CDu面BCC4，所以4D_LCZ）.

又4c=2,所以4=心=?+"22/DS=4S“C3，

當且僅當/。=CD=時取等號，即當S.CD最大時，AD—CD=V2-

法1：綜合法

如圖，作CH工DQ于H,連結工〃

由（1）可知_L平面BCC4,因為CHu面8CG4，所以4DJ.CH.

又DJcAD=D,AD,OC|u平面ADCX,所以C〃，平面ADQ.

因此，NC與平面ZDG所成的角等于

因為CH,平面4DG，4f/u平面4DG，所以8,47.

在RtAQ?G中，CD=?,CC、=2,所以Z）G=V^,因止匕CH=2W,

yj6A/3

2

在Rt"CH中，sinZCAH=CH_,

~AC~~T~^

所以NC與平面40。所成角的正弦值立.

3

法2：向量法

在平面BCC[Bi內(nèi)，作DE//CG,DE交4。于E,因為CG_L平面ABC,所以DE上平面ABC.

分別以。。。/,?！隇榱?》2軸建立空間直角坐標系如圖.則4（0,71,0）,。（0,0,0），6（&，0,2）.

答案第8頁，共13頁

z」

設平面ADCX的法向量為五=(%/,z),易得方=(0,y/2,0),DQ=(JI,0,2),

DA?n=也y=0,

可取方=(0,0,—1).

DC\-n=41x+lz-0,

因就=(行，一后,0),貝Ijcos〈就，亢〉=擊=，，

所以/C與平面ADQ所成角的正弦值等于|cos〈就,力1=??

17.(l)(e-2)x-j+|=0

(2)證明見解答

3

【分析】(1)求導可得/'(l)=e-2,又〃l)=e-；,可求切線方程；

(2)求導得/(X)=e"-、-1,令〃(%)=e"-再求導，進而判斷力(%)=e"-％-1在[0,+q)

上單調(diào)遞增，可得/'(無)=e，-gx2-x在⑼+⑹上單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=l,可得結論.

【詳解】(1)由“尤)=e'-；x2-x,可得八x)=e'-x-l,

13

/,(l)=e'-l-l=e-2,X/(l)=e1--xl2-l=e--,

31

所以函數(shù)在％=1處的切線方程為y-e+]=(e-2)(x-1),即(e-2)x->+5=0.

(2)由/'(x)=e*-；x2-無，可得/'(x)=e'-x-l,

令〃(尤)=e*-x-1,可得/?'(x)=e'-1,

當xe[0,+oo)時，Af(x)=ex-l>0,所以〃(x)=e*-x-1在[0,+8)上單調(diào)遞增，

又〃(x)2/z(0)=e°-0-1=0,即/''(x)=eX-x-120,

答案第9頁，共13頁

所以/(x)=ex-gf-x在[0,。)上單調(diào)遞增，

所以/(x)N/(O)=e°_；x()2_o=i,當尤=0時，/(0)=l>sin0=0,

當％>0時，/(x)>l>sinx,

綜上所述：VxG[0,+oo),/(x)>sinx.

22

18.⑴土+匕=1

43

OP1

(2)是定值；——-=~

【分析】(1)由橢圓的性質(zhì)和離心率解方程組求出即可;

OP1

(2)當斜率不存在時，分別求出直線和BN的直線方程，得到萬萬=%；當斜率存在

時，設出直線方程，直曲聯(lián)立，表示出韋達定理，由點斜式求出直線方程可得到RO兩點

OP

坐標，再用韋達定理表示出該化簡即可.

c_1

a2

【詳解】(1)由題意可得26=

a2=b2+c2

解得a=2,b=V3,c=1f

所以橢圓方程為《+片=1,

43

(2)是定值，理由如下：

由題意可得4-2,0),8(2,0),下(1,0),

答案第10頁，共13頁

當Wx軸時，直線/的方程為x=l,易知

直線AM的方程為y=g(x+2),所以尸(O,l),Q尸卜1,

aOPi

直線8N的方程為y=：(x-2),所以。(0,-3),|OQ|=3,則而萬=4;

當直線AGV的斜率存在時，設直線/的方程為了=左(尤-1),(%0),

(22

工+匕=1

由，43得(3+4左2)x?-8左?x+4左2—12=0,

y=k(x-\)

則公=144儼+1)>0,

設M(為,乂),NG?,%)，貝1U+w=3：；//〃=，

直線⑷/的方程為>(x+2),令x=0,則力=2，所以/｛。，之

%+2再+2(xx+2)

直線8N的方程為>=上;(》-2),令》=0,則坨=",所以。［o,飛

x2~1x2—2I%—2,

OP￡

綜上,

OQ3

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問關鍵在于討論斜率存在與不存在的情況，不存在時，直曲

OP

聯(lián)立，由韋達定理結合直線方程表示出3°,再化簡即可.

19.(1)4

答案第11頁，共13頁

(2)證明見解析，％=2〃

25

(