2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：整式的乘除

整式的乘除

知識梳理

1.同底數(shù)幕的運算

(1)乘法:am-an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=db11(其中m,n都是正整數(shù)).

注意事項：

①am+n區(qū)別加法毆1+a114產(chǎn)+n(如23+22=1232=25);

②區(qū)分一am,峻與((—a)”?a”一個是積的符號，另一個是底數(shù)的符號；

③推廣(am)n=amn:[(am)n]p=amnp.

⑵除法(將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算)：

circlelam+an=am,■!■=am-n=am-a-n,由此我們還可以得到X=a-n；

anan

(2)a0=1,因為a1*1+=1=a'm-m=a0.

2.單項式相乘

單項式與單項式相乘的法則：把它們的系數(shù)、同底數(shù)嘉分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因

3.多項式相乘

(1)多項式與單項式相乘：利用分配律，用單項式去乘以多項式的每一項，再把所得的積相加.

m(a+b+c)=ma4-mb+mc

(2)多項式與多項式相乘：先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式中的每一項，再把所得的積相加.

(a+b+c)(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce

多項式乘法結(jié)束后，一般按照各項的次數(shù)高低進行排列.

4.重要公式

(1)平方差公式：

a2—b2={a+b)(a—b)

(2)完全平方公式：

(a+b)2=(a+b)(a+ft)=a2+2ab+b2

(a—b)2=(a—h)(a—ft)=a2-2ab+b2

典型例題

例1

計算：

(1)(-2%2)?(-3x2y3z)

(2)-6x2y-(a-b)3-l%y2?(b-a)2

,3

2

⑶(一4ab3).(一工。瓦)-(工赤)

82

分析本題主要考查單項式的乘法運算和混合運算，乘法運算可以根據(jù)單項式與單項式的乘法法則進行.特別是

第(3)題注意運算順序，先算乘方，再算乘法，最后算減法.

解⑴原式：=(—2)?(—3)?x2-x2y3z=6x4y3z

(2)原式=—6x2y--xy2?(a—b)3?(b—a)2=—6x2y-l%y2-(a—b)3?(a—b)2

33

=—6?--x2y?xy2?[(a-b)3?(a—6)2]=—2?%3y3?(a—b)s

3

(3)原式=(—4ab3),(--ah')—TQ2b4=La2b4—la2b4=

計算:

(1)(%+1)(——1)

(2)(%—y)(%2+%+y)

分析本題考查的是多項式的乘法運算，可以根據(jù)多項式與多項式的乘法法則進行.

解(1)原式=x3—x+x2—l=x3+x2—%—1

232

(2)原式=%3+%2+_x2y—%y—y=%—xy+%2—y=：

計算:

(1)(—1%+3y3)(—ly3—1%)

(2)(2/+/))(-2ci2+b)

分析本題主要考查平方差公式的運用.

解⑴原式=—(Zy3—1%)(-y34-1%)=—(Zy3)2+(lx)2=——y6+1%3

434343169

⑵原式:=(b+2a2)(b—2a2)=b2—4a4

雙基訓(xùn)練

L下面是某同學(xué)在一次作業(yè)中的計算摘錄：

?a+2b=5ab;@4m3n-5mn3=—m3n;③4久③?(―2%2)=-6x3;

④4a3b+(—2a2&)=—2a;@(a3)2=a5;@(—a)3+(—a)==-a2

其中正確的個數(shù)有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.計算(必—3%+H)(%2+mx+8)的結(jié)果中不含x2和的項，則m,n的值分別為().

A.m=3,n=lB.m=O,n=O

C.m=-3,n=-9D.m=-3,n=8

3.下列分解因式不正確的是().

A.x3—x=x(x2—1)B.m2+m—6=(m+3)(m—2)

C.(a+4)(a-4)=a2—16D.x2+y2=(%+y)(%—y)

4.我們約定a軟=10“xl0”,如:203=1O2X1O3=10)那么4軟為().

A.32B.KFC.1012D.12i0

5.下列各式是完全平方式的是（）.

4%2-％+工1+4x2C.a2+ab+b2D.x2+2x-1

4

6.如圖18-1所示，矩形花園ABCD中,AB=a,AD=b，花園中建有一條矩形道路LMPQ及一條平行四邊形道路RST

K.若LM=RS=c,則花園中可綠化部分的面積為（）.

A.be—ab+ac+b2B.a2+ab+be—ac

C.ab—be—ac+c2D.b2—be+a2—ab

B(b)

圖18-1圖18-2

7.如圖18-2(a)所示，從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部分裁剪后拼成一個

矩形(如圖18-2(b)所示)，上述操作所能驗證的等式是().

A.a2—b2=(a+b)(a—b)B.(a—b)2=a2-2ab+b2

C.(a+b)2—a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)

8.下列多項式中能用平方差公式分解因式的是()

A.a2+(―b)2B.5m2—20mnC.—x2—y2D.—x2+9

9.若9x2+mxy+16y?是一個完全平方式，那么m的值是__.

1O.(-)2007x(1.5)2008-(-1)2009=.

11.分解因式:a?-1+b?-2ab=

12.如果((2a+2b+l)(2a+2b-l)=63,那么a+b的值為.

13.把20厘米長的一根鐵絲分成兩段，將每一段圍成一個正方形，如果這兩個正方形的面積之差是5平方厘

米，則這兩段鐵絲分別長.

14.多項式9必+1加上一個單項式后，能成為一個完全平方式，那么加上的單項式可能是_.

15.若獷=1,3曠=2,則3*-2丫等于.

23

16.比較3555,4匚［ZQ5333的大小:_>____>.

17.計算.

32

(l)(Z(z2b)+(1ab2)X3Q3b2

334

22

(2)e+3y)一(工―3y)

44

(3)(2a-3b+l)2

(4)(x2—2x—l)(x2+2x—1)

18.化簡求值：(狂”+(%-押2(2X2一y)，其中x=-3,y=4.

19.已知實數(shù)x滿足x+2=3,求X2+工的值.

Xx2

20.已知.A=2x+y,B=2x-y,計算A2-B2.

能力提升

21.若x+y=2m+l,xy=l,且2lx2—48xy+21y2=2010,則m=.

22

22.設(shè)(1+x)(l—x)=a+bx+ex+d/,則oa+b+c+d=.

23.如圖18-3所示是某住宅的平面結(jié)構(gòu)示意圖，圖中標注了有關(guān)尺寸（墻體厚度忽略不計，單位：米）.房的主人

計劃把臥室以外的地面都鋪上地磚，如果他選用地磚的價格是a元/米2,則買地磚至少需用元（用含a,x,y的

代數(shù)式表示).

24.已知：m?=n+2,標=m+2(m豐n),求m3—2mn+"的值.

25.已知x2+%-1=0,求%3+2x2+3的值.

圖18-3

26.若d2+b2=35,a2b—ab2=—6,求(a2—ft2)+(3a2b—a2b)—2(ah2—6)的值.

27.若|a+2|+/-2b+1=0,求c?。+ab2的值.

28.已知a,b,c是乙ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a?+c?=2ab+2bc-2b試說明△ABC是等邊三角形.

29.計算.

(1)(a--b)(2a+Ife)(3a2+J_》2)；

6312

(2)[(a—b)(a+h)]2+(a2-2ab+b2)—2ab.

30.已知工+工=2,求%2+工,％4+工的值.

X%2%4

拓展資源

31.若((%2+px+q)(x2-2x-3)展開后不含d,/項，求pg的值.

32.(1—工)(1一(1-工)"(1—[)(1——的值.

22324292102

33.如圖18-4所示，該圖是我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出的，此圖揭示了(a+b)”(n

為非負數(shù))展開式的各項系數(shù)的規(guī)律.例如：

(a+瓦)。=L它只有一項，系數(shù)為1；

(a+b)i=a+仇它有兩項，系數(shù)分別為1,1;

(a+b)2=出+2而+〃,它有三項,系數(shù)分別為1,2,1；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+它有四項，系數(shù)分別為1,3,31;

根據(jù)以上規(guī)律，(a+by展開式共有五項，系數(shù)分別為.

34.(%—1)(%+1)=%2—1

(%—l)(x2+%+1)=%3—1

(%—l)(x3+x2+%+1)=x4—1

(1)分解因式:?％5-1=

(2)根據(jù)規(guī)律可得(%—1)(%九-1H----F%+1)=(其中n為正整數(shù));

(3)計算：(3—1)(350+349+348+???+32+3+1);

(4)計算：(--2)1999+(-2)1998+(-2)1997+…+(-2)3+(一2)2+(-2)+1.

35.已知a,b,c為實數(shù)，設(shè)4=必一25+支,8=b2+2c+匹,C=C2—2a+匹.證明:A,B,C中至少有一個值大于

236

第十八講

1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.A8.D

9.±2410.-◎ll.(a-b--l)(a-b+l)12.±413.12厘米和8厘米

2

14.答案不唯一.6x,或-6x,或匣％415-16.52。3<3555<4m

48

17.(l)2a7b;(2)3xy;(3)4a2+9b2-12ab+4a-6b+l;((4)x4-6x2+1

18.4K—工y4,20

4

19.對％+工=3兩邊平方，得比2+工+2=9,故久2+-=7.

X%2%2

20.8xy

21.—11或222.0(提示:令x=l,代入即可)23.llaxy

22

24.由已知得m2—n2=n—m,

所以m+n=-1,m3-2mn+n3=m(n+2)-2mn+n(m+2)=2(m+n)=-2.

25.x2+%—1=0兩邊同時乘x,得久③+%2=居所以久3+2%2-|-3=X3+X2+X2+3=X+X2+3=4.

26.原式：=a2—/?2+2a2b—2ab2+2b2=a2+ft2+2(a2/?—a/),當(dāng)a2+b2=35,a2b—ab2=-6時，原式=35

+2x(-6)=23.

27.因為|d+2|+b2—2b+1=0即|a+2|+(6—l)2=0所以a=-2,b=l

所以W2匕+a/?2=ab(a+b)=(-2)X1X(-2+1)=2.

28.原式可化為a2+c2—2ah—2bc+2b2=0,即(a—&)2+(b—c)2=0,所以a-b=O且b—c=0,即a=b且b=c,

所以@=6=a故4ABC是等邊三角形.

29.(1)6。4一，?g⑵Q2+b2.

216

30.2,2

31.因為(、/+p%+q)(%2—2%—3)=%4—2x3—3x2+^x2—3px+qx2—2qx—3q

=%4+(p—2)x3—(2p—q+3)x2—(3p+2q)x—3q

因為不含x2,x3］項，席以p-2=0,2p-q+3=0,解得p=2,q=7.

32.運用平方差公式：

=(1-1)(1+1)(I-1)(1+1)X…X(1-i)(1+耳

122331010

-?XNx±xZx￡x…x2xll