數(shù)理統(tǒng)計(jì)（研究生）全冊配套完整課件3

數(shù)理統(tǒng)計(jì)（研究生）全冊配套完整課件3概率論基礎(chǔ)

第一章隨機(jī)事件及其概率

第二章隨機(jī)變量第三章隨機(jī)向量

第四章數(shù)字特征

第五章極限定理

內(nèi)容提要1隨機(jī)事件及其概率1.1

隨機(jī)事件1.2

隨機(jī)事件的概率1.3

條件概率1.4

獨(dú)立性主觀概率1.1隨機(jī)事件1.1.1、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間1.1.2、隨機(jī)事件1.1.3、事件間的關(guān)系與運(yùn)算§1.1隨機(jī)事件及其概率的統(tǒng)計(jì)定義

一、概率論的誕生及應(yīng)用1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念─數(shù)學(xué)期望。概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.概率論的廣泛應(yīng)用幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域,例如天氣預(yù)報(bào),地震預(yù)報(bào),產(chǎn)品的抽樣調(diào)查;另外在經(jīng)濟(jì)、金融、保險(xiǎn)；管理決策；生物醫(yī)藥；農(nóng)業(yè)（試驗(yàn)設(shè)計(jì)等）等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會(huì)從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結(jié)果在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例2

“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)會(huì)各不相同”.1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

“過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實(shí)例6“一只燈泡的壽命”可長可短.隨機(jī)現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結(jié)果1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.

1.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;

2.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).定義在概率論中，把具有以下特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)E.3.其中，可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)稱為可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)，否則稱為不可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)

1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.2隨機(jī)試驗(yàn)說明

1.隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn),是一個(gè)廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn),也包括對客觀事物進(jìn)行的“調(diào)查”、“觀察”、或“測量”等.實(shí)例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析

2.隨機(jī)試驗(yàn)通常用E來表示.(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;1.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:正面，反面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).故為隨機(jī)試驗(yàn).3.記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.定義1

對于隨機(jī)試驗(yàn)E，它的每一個(gè)可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)（ω），由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件。所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間或必然事件，用

或S表示我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能事件，用

表示。P(Ω)=1,P(

)=01.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.3樣本空間TH1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.3樣本空間THTHHHTT1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.3樣本空間THTHHHTT1次0次2次1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.3樣本空間在某一批產(chǎn)品中任選一件，檢驗(yàn)其是否合格1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

1.1.1.3樣本空間記錄某大超市一天內(nèi)進(jìn)入的顧客人數(shù)

在一大批電視機(jī)中任意抽取一臺(tái)，測試其壽命

觀察某地明天的天氣是雨天還是非雨天

注：試驗(yàn)的樣本空間是根據(jù)試驗(yàn)的內(nèi)容確定的！在一大批電視機(jī)中任意抽取一臺(tái)，測試其壽命規(guī)定電視機(jī)的壽命超過10000小時(shí)時(shí)為合格品

滿足這一條件的樣本點(diǎn)組成的一個(gè)子集

稱為隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)隨機(jī)事件

1.1.2隨機(jī)事件基本事件：隨機(jī)試驗(yàn)有兩個(gè)基本事件和

隨機(jī)試驗(yàn)有三個(gè)基本事件、和樣本空間的兩個(gè)特殊子集

它包含了試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，所以在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生，稱為必然事件

它不包含任何樣本點(diǎn)，因此在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生稱之為不可能事件

由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集

隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件必然事件不可能事件是兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件1.1.3、事件間的關(guān)系與運(yùn)算研究原因：希望通過對簡單事件的了解掌握較復(fù)雜的事件

研究規(guī)則：事件間的關(guān)系和運(yùn)算應(yīng)該按照集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來規(guī)定

子事件和事件積事件差事件互斥（互不相容）對立事件（逆事件）運(yùn)算規(guī)律子事件等價(jià)的說法是：B不發(fā)生，則A也不發(fā)生。事件的相等若AB且BA，稱事件A與B相等。即A與B中的樣本點(diǎn)完全相同。記作A=B擲一顆骰子A表示點(diǎn)數(shù)小于3，B表示點(diǎn)數(shù)為1或2則A=B事件的和（并）推廣實(shí)例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

BA事件的積（交）圖示事件A與B

的積事件.

ABAB實(shí)例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)事件的差事件A與B的差也記為：圖示A與B的差

AB

B實(shí)例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.A事件的互斥（不相容）“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子出現(xiàn)2點(diǎn)”圖示A與B互斥

AB互斥實(shí)例拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).說明當(dāng)A

B=

時(shí),可將A

B記為“直和”形式A+B.

任意事件A與不可能事件為互斥.對立事件若事件A、B滿足則稱A與B為互逆(或?qū)α?事件.A的逆記作事件間的運(yùn)算規(guī)律事件間的運(yùn)算規(guī)律完備事件組例1設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);不多于一個(gè)事件出現(xiàn);(7)至少兩個(gè)事件出現(xiàn);(8)恰好兩個(gè)事件出現(xiàn);解逆分配律例3某城市的供水系統(tǒng)由甲、乙兩個(gè)水源與三部分管道1，2，3組成，每個(gè)水源都足以供應(yīng)城市的用水，設(shè)事件于是“城市斷水”這一事件可表示為“城市能正常供水”這一事件可表示為甲乙12城市3

設(shè)x表示一個(gè)沿?cái)?shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位置，試說明下列各事件的關(guān)系：A={x|x≤20}B={x|x>3}C={x|x<9}D={x|x<-5}E={x|x≥9}解：ACD,BED與B,D與E互不相容C與E為對應(yīng)事件。B與C，B與A，E與A相容A與C,A與D,C與D,B與E也是相容的。符號(hào) 集合含義 事件含義Ω

全集 樣本空間，必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 樣本點(diǎn){ω} 單點(diǎn)集 基本事件AΩ

一個(gè)集合 一個(gè)事件AB A的元素在B中 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A=B 集合A與B相等 事件A與B相等A∪B A與B的所有元素 A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∩B A與B的共同元素 A與B同時(shí)發(fā)生ā A的補(bǔ)集 A的對立事件A-B 在A中而不在B中的元素 A發(fā)生而B不發(fā)生A∩B=φ

A與B無公共元素 A與B互斥概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系記號(hào)概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機(jī)事件A的對立事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)事件A與事件B相等空間(全集)空集元素子集A的補(bǔ)集A是B的子集A集合與B集合相等小結(jié)事件A與事件B的差A(yù)與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集事件A與B的積事件

A集合與B集合的交集1.2隨機(jī)事件的概率古典概率統(tǒng)計(jì)概率幾何概率主觀概率概率的公理化

它是事件固有的,不隨人們主觀意愿而改變,可以在相同條件下通過大量重復(fù)試驗(yàn)予以識(shí)別和檢驗(yàn)研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是指在大量試驗(yàn)中呈現(xiàn)出的數(shù)量規(guī)律概率是指刻劃隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)符合常情：事件發(fā)生可能性大,該值就大,反之就小;不可能事件的值最小(0);必然事件的值最大(1)概率論？什么是概率？問題一問題二,這個(gè)數(shù)量指標(biāo)應(yīng)該滿足：①②頻率是否有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(一)頻率設(shè)為一隨機(jī)事件,在相同條件下進(jìn)行

次重復(fù)試驗(yàn)令次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)稱為事件的頻數(shù)為事件的頻率在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生特性：一般地越大,則越大的值是“隨機(jī)的”問？實(shí)驗(yàn)者實(shí)例一出現(xiàn)正面歷史上有名的“拋硬幣”試驗(yàn)0.5005

12012

24000皮爾遜

0.5016

6019

12000皮爾遜

0.5069

2048

4048蒲豐

0.5181

1061

2048德·

摩根問有什么規(guī)律？“拋硬幣”試驗(yàn)將一枚硬幣連續(xù)拋次，記“蒲豐投針試驗(yàn)”實(shí)例二記投針的總數(shù)為,針與平行線相交的次數(shù)為則？考察英語文章中26個(gè)字母出現(xiàn)的頻率，當(dāng)觀察次數(shù)較大時(shí)，每個(gè)字母出現(xiàn)的頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性，下面是

Dewey

統(tǒng)計(jì)了438023個(gè)字母得到的統(tǒng)計(jì)表實(shí)例三0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母0.00060.00090.00100.00160.0060頻率0.01020.01560.01860.01870.02020.02140.0244頻率0.02560.02680.02800.03890.03940.05730.0594頻率0.06340.07060.07070.07760.07880.09780.1268頻率ZQJXK字母FCUDLHR字母VBPGYWM字母SNIOATE字母如果一顆骰子六個(gè)面是均勻的，則當(dāng)很大實(shí)例四在“擲骰子”試驗(yàn)中，記事件出現(xiàn)點(diǎn)將一棵骰子連續(xù)擲次，問有什么規(guī)律？分析時(shí)有應(yīng)有由于頻率的取值是“隨機(jī)的”，那么極限

是什么意思值得研究（后面討論該問題）隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性頻率的穩(wěn)定性當(dāng)

很大時(shí),事件的頻率接近一個(gè)常數(shù),即有注①②常數(shù)

就是事件

發(fā)生的可能性大小,即概率

這三條性質(zhì)刻畫了頻率的本質(zhì)特征,啟發(fā)我們定義事件的概率頻率的基本性質(zhì)若是兩兩不相容事件,則有限可加性？非負(fù)性：規(guī)范性：(二)概率的公理化定義設(shè)為可測空間與之對應(yīng),且滿足若存在實(shí)數(shù)①②③可列可加性：對兩兩不相容的事件列有則稱為事件的概率,稱概率空間為？樣本空間全體事件構(gòu)成的事件域σ可加性1933年蘇聯(lián)的柯爾莫哥洛夫提出概率論的公理化體系定義(三)概率的基本性質(zhì)性質(zhì)①證因?yàn)楦怕蕿閷?shí)數(shù),故性質(zhì)②若是兩兩不相容的事件,則證故由可列可加性，有有限可加性概率加法定理證明：只要證明P(A+B)=P(A)+P(B)即可，這里根據(jù)古典概型來證明．設(shè)試驗(yàn)的樣本空間Ω共有N個(gè)等可能的基本事件，事件A包含M1個(gè)基本事件，事件B包含M2個(gè)基本事件．由于事件A與B是互不相容的，因此A與B的并A+B所包含的基本事件共有M1+M2個(gè)．于是有

P(A+B)=(M1+M2)/N=M1/N+M2/N=P(A)+P(B)推論2對立事件的概率和等于一：性質(zhì)③若則證因互不相容,故由有限可加性有再由概率非負(fù)性得事件解釋為區(qū)域概率解釋為區(qū)域面積事件與概率的圖示性質(zhì)④性質(zhì)⑤性質(zhì)⑥對任何事件有(加法公式)對于三事件有挖挖挖補(bǔ)由定義證明由圖可得又由定理２

得因此得挖補(bǔ)原理多事件的加法公式對于

個(gè)事件，有全加減二加三挖補(bǔ)規(guī)律:加奇減偶減四甲參加有獎(jiǎng)問答競猜活動(dòng)，他能答出第一道題的概率是0.8，能答出第二道題的概率是0.3，例1兩道題都能答出的概率是0.2，試求：（1）能答出第一道題而答不出第二道題的概率（2）至少有一道題能答不出的概率（3）兩道題都答不出的概率解已知？？0.80.3（1）（2）（3）？等可能型概率“拋硬幣”、“擲骰子”等隨機(jī)試驗(yàn)的特征：怎樣計(jì)算等可能概型中事件的概率(一)古典概型每個(gè)基本結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的只有有限個(gè)基本結(jié)果等可能概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為若①②只含有限個(gè)樣本點(diǎn),即每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的,即則稱該試驗(yàn)為等可能概型古典概型,也稱為

問？(一)古典概型等可能概型的概率計(jì)算設(shè)是等可能概型的任一事件，則有樣本點(diǎn)總數(shù)包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有利場合古典概型的概率計(jì)算公式樣本點(diǎn)總數(shù)包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)的有利場合數(shù)拋兩枚硬幣，求出現(xiàn)一個(gè)正面一個(gè)反面的概率該試驗(yàn)的樣本空間為他計(jì)算得解例這是一個(gè)古典概型,事件“一個(gè)正面一個(gè)反面”的有利場合是

18世紀(jì)著名的法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾取樣本空間為這不是等可能概型！小趣聞解：為簡便，每位數(shù)字有10種選擇?；臼录倲?shù)是106。事件A表示找到張某，則A只有一個(gè)基本事件。例

隨意撥一個(gè)6位電話號(hào)碼，正好找到朋友張某的概率。故所求概率為解例袋中有

只白球，

只紅球.從袋中任取

只球，求取到

只白球的概率.從

只球中任取

只，樣本點(diǎn)總數(shù)為取到

只白球的有利場合數(shù)為排列與組合選排列當(dāng)

時(shí)，稱為全排列，計(jì)算公式為從

個(gè)不同的元素中,任取

個(gè)元素,按照一定的順序排成一列，全部排列個(gè)數(shù)為全排列組合從

個(gè)不同的元素中,任取

個(gè)元素并成一組，全部組合數(shù)為取數(shù)與次序有關(guān)排列的特點(diǎn)取數(shù)與次序無關(guān)組合的特點(diǎn)解

ABAB（先從4雙中取2雙，再從每雙中任取一只）（先從５雙中?。措p，再從每雙中任取一只）（先從５雙中取出１雙，在從剩下的８只鞋中?。仓唬├?

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”則所求概率為解于是所求概率為加法原理第一類方法有

種方法第二類方法有

種方法

第

類方法有

種方法……做一件事共有

類方法完成這件事的方法總數(shù)乘法原理第一步有

種方法第二步有

種方法

第步有

種方法……做一件事共有

個(gè)步驟完成這件事的方法總數(shù)古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設(shè)袋中有M個(gè)白球和

N個(gè)黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出m+n個(gè)球,求所取球恰好含m個(gè)白球,n個(gè)黑球的概率?樣本點(diǎn)總數(shù)為A所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為解設(shè)A={所取球恰好含m個(gè)白球,n個(gè)黑球}(2)有放回地摸球問題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球樣本點(diǎn)總數(shù)為A所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制問題1

把

4個(gè)球放到

3個(gè)杯子中去,求第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率,其中假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球.

4個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為(2)每個(gè)杯子只能放一個(gè)球問題2

把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,求第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率.解第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為將只球隨機(jī)地放入

個(gè)盒子中去，試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率。

任一只球進(jìn)任一盒子是等可能的,故這是古典概型問題故所求概率為樣本點(diǎn)總數(shù)為“每個(gè)盒子至多有一只球”的有利場合數(shù)為解例分析基本事件很多問題都可以歸結(jié)為摸球模型摸球模型的應(yīng)用實(shí)例概率論歷史上有名的問題---生日問題參加某次聚會(huì)共

個(gè)人,求沒有兩人生日相同的概率分析只球個(gè)人個(gè)人生日各不相同,則天個(gè)盒子至少有兩人生日相同結(jié)果有點(diǎn)出乎人們意料注記

在實(shí)際應(yīng)用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，稱為幾乎必然事件概率非常小的事件，稱為小概率事件實(shí)際推斷原理:小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的

(匹配問題)將四把能打開四間不同房門的鑰匙隨機(jī)發(fā)給四個(gè)人,試求至少有一人能打開門的概率.由對稱性及乘法原理得不妨給門和鑰匙編上號(hào).則所求概率為解例記第把鑰匙打開號(hào)門

50只鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上,其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱,每個(gè)部件用3個(gè)鉚釘.若將3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上,則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱.問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？解例記第

個(gè)部件強(qiáng)度太弱因只有個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱,故互不相容故發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是問按古典概型公式怎樣計(jì)算？任選個(gè)鉚釘裝在一個(gè)部件上作為基本事件故樣本點(diǎn)總數(shù)為而有利場合數(shù)為故所求概率為先從10個(gè)部件選出一個(gè),再將3個(gè)強(qiáng)度太弱的鉚釘全裝上古典概型的特點(diǎn)：(二)幾何概型基本事件的等可能性有限個(gè)樣本點(diǎn)問題question

怎樣推廣到“無限個(gè)樣本點(diǎn)”而又有某種“等可能性”？

認(rèn)為任一點(diǎn)能鉆探到石油是等可能的,則所求概率為

某5萬平方公里的海域中，大約有40平方公里的大陸架貯藏有石油。若在這海域中任選一點(diǎn)進(jìn)行鉆探，問能夠發(fā)現(xiàn)石油的概率是多少？解例發(fā)生的概率定義為如果樣本空間為有界區(qū)間、空間有界區(qū)域，則“面積”改為“長度”、“體積”幾何概型的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為有界區(qū)域事件試驗(yàn)結(jié)果落在區(qū)域

中的面積的面積稱為幾何概型注：①②事件

發(fā)生的概率與位置無關(guān),只與

的面積有關(guān)，這體現(xiàn)了某種“等可能性”

說明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概率.

(約會(huì)問題)兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過時(shí)離去。試求這兩人能會(huì)面的概率。這是一個(gè)幾何概型，所求概率是

設(shè)

分別表示兩人達(dá)到的時(shí)間，則兩人能會(huì)面的充要條件是解例習(xí)題：P.326,7,8,11END在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有

練習(xí)（分房問題）有n個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定間房中各有一人

;(2)恰有間房，其中各有一人；

(3)某指定一間房中恰有人。

解先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。首先，把n個(gè)人分到N間房中去共有種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。(b)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為

(a)某指定n間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可能的的分法為：(c)某指定一間房中恰有m人，可能的分法為

進(jìn)而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為:（2）

（3）

(1)那末兩人會(huì)面的充要條件為練習(xí)

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有例４

甲、乙兩人約定在下午1時(shí)到2時(shí)之間到某站乘公共汽車,又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車它們的開車時(shí)刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果它們約定見車就乘;求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)刻是互相不牽連的,且每人在1時(shí)到2時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車站是等可能的.見車就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻,則有解概率論基礎(chǔ)

曹剛

2009-08第一章隨機(jī)事件及其概率

第二章隨機(jī)變量第三章隨機(jī)向量

第四章數(shù)字特征

第五章極限定理

內(nèi)容提要1.3條件概率（概率的乘法定理）1.3

條件概率1.4

獨(dú)立性主觀概率引例：投擲骰子，觀察點(diǎn)數(shù)，A表示“出現(xiàn)３點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，求P(A)及已知B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率P(A|B).解：P(A)=1/6,P(B)=1/2,P(AB)=1/6,P(A|B)=1/3,從而P(A)≠P(A|B),但

P(A|B)=P(AB)/P(B)1.3條件概率與概率乘法定理定理１

ABAB證明：利用古典概型來證明．設(shè)樣本空間為Ω包含N個(gè)樣本點(diǎn)，A包含M1個(gè)樣本點(diǎn),B包含M2個(gè)樣本點(diǎn)，A,B的交包含M個(gè)樣本點(diǎn)．則

甲、乙兩市位于長江下游,根據(jù)一百多年的氣象記錄,知道一年中雨天的比率甲市占20%,乙市占18%,兩地同時(shí)下雨占12%.試問甲、乙兩市下雨是否有關(guān)系？解例記

甲市下雨乙市下雨,則故可以認(rèn)為甲、乙兩市下雨是有聯(lián)系的因較小較大什么叫“兩個(gè)事件有關(guān)系”,

其數(shù)學(xué)描述是什么？條件概率的性質(zhì)條件概率也是一種概率（5）可列可加性設(shè)是兩兩不相容事件列，則有證兩兩不相容亦兩兩不相容為概率空間從另一角度看條件概率設(shè)為概率空間,且事件已發(fā)生分析已發(fā)生，所以樣本空間變?yōu)閺亩鴹l件概率可視為縮小的“樣本空間”上的概率,即（條件概率空間）例

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義定理2乘法定理第一個(gè)袋中有黑、白球各2

只,第二個(gè)袋中有黑、白球各3

只.先從第一個(gè)袋中任取一球放入第二個(gè)袋中,再從第二個(gè)袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率.由乘法公式求得解例記第次取到白球則條件概率是定義的，但條件概率的值通常是根據(jù)實(shí)際問題中的具體意義確定的在概率論發(fā)展初期，古典概型中的加法公式及乘法公式是概率論的兩條基本定理，是概率論深入發(fā)展的起點(diǎn)①③②一般地,若則條件概率乘法公式的說明則所求概率為解例

袋中有只紅球、

只白球，依次將球一個(gè)個(gè)從袋中取出.求第

次

取出紅球的概率.是不是所求概率？記第次取到紅球解球隊(duì)第

輪被淘汰記

某球隊(duì)要經(jīng)過三輪比賽才能出線.該球隊(duì)第一輪比賽被淘汰的概率為0.5,第二輪比賽被淘汰的概率為0.7,第三輪比賽被淘汰的概率為0.9.求球隊(duì)出線的概率.例球隊(duì)出線則是不是所求概率？例

一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品,1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,試求條件概P(B|A).解例

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解例4

五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字,三個(gè)鬮內(nèi)不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

依此類推故抓鬮與次序無關(guān).如何將一個(gè)復(fù)雜概率計(jì)算問題分解為簡單計(jì)算問題之和全概率公式question問題？樣本空間的分劃：設(shè)

為樣本空間，若事件滿足：①②兩兩不相容，即則稱為樣本空間

的一個(gè)分劃想法將

的計(jì)算分解到上計(jì)算然后求和通常要求于是設(shè)為樣本空間

的一個(gè)分劃，即對任何事件有全概率公式

袋中有a

只紅球b

只白球,先從袋中任取一球,記下顏色后放回，同時(shí)向袋中放入同顏色的球1只,然后再從袋中取出一球.求第二次取到白球的概率.解例記第次取到白球第次取到紅球第次取到白球則是

的一個(gè)分劃，由全概率公式有

第二次取到白球的概率與第一次取到白球的概率相等，與前面放入什么顏色的球無關(guān)如果加入c

個(gè)同色球有什么結(jié)果？說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.

有10個(gè)袋，其中甲袋二個(gè),每袋中有紅球、白球各2個(gè);乙袋三個(gè),每袋中有紅球3個(gè)、白球2個(gè);丙袋五個(gè),每袋中有紅球2個(gè)、白球3個(gè).從十個(gè)袋中任取一袋,再從袋中任取一球,

求取到白球的概率.解例記分別表示取到甲、乙、丙袋由全概率公式有取到白球從甲、乙、丙袋取到白球的概率全概率公式是概率的加權(quán)平均如果將三個(gè)袋中的球混合在一起，然后任取一球，那么取到白球的概率是否相同？例

有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%Bayes公式設(shè)為樣本空間的一個(gè)分劃，且則由乘法公式有由全概率公式有Bayes公式P(ABi)=由全概率公式有解例記取到次品取到的產(chǎn)品是

車間生產(chǎn)的

某工廠的一、二、三車間都生產(chǎn)同一產(chǎn)品,產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的

三個(gè)車間的次品率分別為

現(xiàn)從匯總起來的產(chǎn)品中任取一個(gè)，經(jīng)檢查是次品，問它是哪個(gè)車間生產(chǎn)的可能性較大？由Bayes

公式有可見該次品是第二車間生產(chǎn)的可能性較大Bayes推斷則解例記甲每天參加課后體育活動(dòng)乙每天參加課后體育活動(dòng)因?yàn)檩^小，較大,兩人去活動(dòng)可能是相約的，故可推斷甲、乙相識(shí)

根據(jù)長期觀察知道甲、乙兩學(xué)生每天參加課后體育活動(dòng)的比率分別為和兩人同時(shí)參加體育活動(dòng)的比率為試問甲、乙兩學(xué)生是否相識(shí)？

Bayes

方法廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)、分類、診斷、估計(jì)、檢驗(yàn)、判別、推理等方面Bayes公式的實(shí)際意義假定為導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的“原因”稱先驗(yàn)概率為若試驗(yàn)產(chǎn)生事件,則要探討事件發(fā)生的“原因”稱為后驗(yàn)概率①②后驗(yàn)概率可以通過Bayes

公式進(jìn)行計(jì)算

后驗(yàn)概率反映了試驗(yàn)后對各種“原因”發(fā)生的可能性大小的推斷先驗(yàn)概率反映了各種“原因”發(fā)生的可能性大?。ㄔ谠囼?yàn)前是知道的）

Bayes公式的重要意義在于利用人們掌握的先驗(yàn)知識(shí)來推斷后驗(yàn)概率應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法確定先驗(yàn)概率應(yīng)用

Bayes

公式計(jì)算機(jī)可計(jì)算出后驗(yàn)概率應(yīng)用醫(yī)學(xué)知識(shí)確定實(shí)例：計(jì)算機(jī)自動(dòng)輔助診斷系統(tǒng)假定為各種“疾病”對人進(jìn)行觀察與檢查,可以確定某個(gè)指標(biāo)如體溫、脈搏、血液中轉(zhuǎn)氨酶含量等對應(yīng)于較大的“疾病”可提供給醫(yī)生作進(jìn)一步的臨床診斷由Bayes

公式,此人真正患有癌癥的概率為解例用某種診斷法診斷癌癥,記判斷被檢驗(yàn)者患有癌癥被檢驗(yàn)者患有癌癥已知現(xiàn)在若有一人被診斷患有癌癥，問此人真正患有癌癥的可能性有多大？,又設(shè)人群中

可見，雖然檢驗(yàn)法相當(dāng)可靠，但被診斷患有癌癥而真正患有癌癥的可能性并不大解例由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.a.條件概率全概率公式貝葉斯公式小結(jié)乘法定理1.4隨機(jī)事件的獨(dú)立性(一)兩個(gè)事件的獨(dú)立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：則有1.引例2.定義注.1o說明

事件A與B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).2o獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.又如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥可以證明：

特殊地，A與B

獨(dú)立

A與B

相容(不互斥)

或A與B

互斥

A與B

不獨(dú)立證若A與B獨(dú)立,則

即A與B

不互斥(相容).若A與B互斥，則AB=

B發(fā)生時(shí)，A一定不發(fā)生.這表明:B的發(fā)生會(huì)影響A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生),即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零.所以A與B不獨(dú)立.理解:

BA分析獨(dú)立不相容故當(dāng)或時(shí)不能同時(shí)成立獨(dú)立不相容3.性質(zhì)(1)必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立.證∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A)即與A獨(dú)立.∵

A=

,P(

)=0∴P(

A)=P(

)=0=P(

)P(A)即與A獨(dú)立.(2)若事件A與B相互獨(dú)立,則以下三對事件也相互獨(dú)立.①②③證①注

稱此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉.又∵A與B相互獨(dú)立③甲,乙兩人同時(shí)向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6,乙擊中敵機(jī)的概率為0.5,求敵機(jī)被擊中的概率.解設(shè)A={甲擊中敵機(jī)}B={乙擊中敵機(jī)}C={敵機(jī)被擊中}依題設(shè),∴A與B不互斥例

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))由于甲，乙同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以A與B獨(dú)立,進(jìn)而=0.8則于是整個(gè)系統(tǒng)的可靠性為系統(tǒng)可靠性概念：系統(tǒng)可靠性系統(tǒng)正常工作解例

某系統(tǒng)由四個(gè)部件構(gòu)成(見圖).設(shè)每個(gè)部件的可靠性均為

且四個(gè)部件是相互獨(dú)立的.求整個(gè)系統(tǒng)的可靠性.記整個(gè)系統(tǒng)正常工作第

個(gè)部件正常工作

I、II

串聯(lián)

III、IV

串聯(lián)并聯(lián)相互獨(dú)立1.三事件兩兩相互獨(dú)立的概念(二)多個(gè)事件的獨(dú)立性定義2.三事件相互獨(dú)立的概念定義

設(shè)A1，A2，…，An為n個(gè)事件，若對于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

3.n個(gè)事件的獨(dú)立性定義若事件A1，A2，…，An

中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，即對于一切1≤i<j≤n,有定義注.兩個(gè)結(jié)論n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立即n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.結(jié)論的應(yīng)用則“

至少有一個(gè)發(fā)生”的概率為

P(A1

…

An)=1-(1-p1)…(1-pn)若設(shè)n個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率分別為類似可以得出：至少有一個(gè)不發(fā)生”的概率為“=1-p1

…pn

設(shè)每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,求混合100個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率.則所求概率為解例記第

個(gè)人血清含肝炎病毒根據(jù)實(shí)際問題判斷事件獨(dú)立性甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解

A,B,C

分別表示甲、乙、丙擊中敵機(jī),例因而,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為思考幾個(gè)問題相互獨(dú)立？否!必然事件與任何事件是否獨(dú)立？不可能事件與任何事件是否獨(dú)立？事件甲患感冒與乙患感冒能否認(rèn)為是獨(dú)立的？條件概率與事件獨(dú)立性通常是根據(jù)實(shí)際意義來確定的注意：解

設(shè)一支步槍擊中目標(biāo)的概率為

試求支槍齊射能擊中目標(biāo)的概率.例記第支槍擊中目標(biāo)易知相互獨(dú)立可見即使p

很小，但只要試驗(yàn)不斷進(jìn)行下去，小概率事件幾乎必然要發(fā)生,所求概率為

1、2、3號(hào)高炮同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三門炮擊中飛機(jī)的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一門炮擊中而被擊落的概率為0.2,被兩門炮擊中而被擊落的概率為0.6,若被三門炮擊中,飛機(jī)必定被擊落.求飛機(jī)被擊落的概率。則解例

記飛機(jī)被擊落飛機(jī)被

門炮擊中第

門炮擊中飛機(jī)由全概率公式有由事件的不相容性及獨(dú)立性有樣本空間的分劃思考題

(分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？解法一：應(yīng)按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。甲最終獲勝的概率為P4(2)+P4(3)+P4(4)每局甲獲勝的概率是1/2賭注應(yīng)按11：5的比例分配。解法二：一般情況下不必比到第五局，有一方贏得三局即中止。甲方在第三局結(jié)束賭博獲得勝利的概率為甲方在第四局結(jié)束賭博獲勝的概率為甲方在第五局結(jié)束賭博獲勝的概率為故甲方最終獲勝的概率為P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)賭注應(yīng)按11：5的比例分配。獨(dú)立試驗(yàn)序列1.定義(獨(dú)立試驗(yàn)序列)設(shè){Ei

}(i=1,2,…)是一列隨機(jī)試驗(yàn),Ei的樣本空間為

i,設(shè)Ak

是Ek中的任一事件,Ak

k,若Ak出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)Ei(ik)的結(jié)果,則稱{Ei

}是相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)序列,簡稱獨(dú)立試驗(yàn)序列.則稱這n次重復(fù)試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn)，簡稱為貝努里概型.若n

次重復(fù)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：2.n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)1)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)A或2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，(在各次試驗(yàn)中p是常數(shù)，保持不變）實(shí)例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).實(shí)例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點(diǎn)”,就是

n重伯努利試驗(yàn).一般地，對于貝努里概型，有如下公式：定理如果在貝努里試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),則在n次試驗(yàn)中，A恰好出現(xiàn)k

次的概率為：3.二項(xiàng)概率公式推導(dǎo)如下：此式剛好是二項(xiàng)式(p+q)n

的展開式中的第k+1項(xiàng)，故亦稱為二項(xiàng)概率公式。顯然

證明

n次試驗(yàn)中事件A在某k次發(fā)生，在其余n-k次不發(fā)生，由試驗(yàn)的獨(dú)立性，有在n次試驗(yàn)中，A發(fā)生k次的方式有種。且任何兩種方式都是互不相容的，于是有稱上式為二項(xiàng)分布.記為（1）{n重貝努里試驗(yàn)中A恰好出現(xiàn)k次}=Bk的Pr：（2）{首次成功恰好出現(xiàn)在第K次試驗(yàn)}=Wk的Pr：pqk-1（3）{第r次成功恰好出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)}=Ck的Pr：

例1

有一批棉花種子，出苗率為0.67，現(xiàn)每穴播六粒，求解下列問題：

(1)恰有k粒種子出苗的概率；

(2)至少有一粒出苗的概率；

(3)要保證出苗率為98%，應(yīng)每穴至少播幾粒？

解恰有k粒種子出苗的概率為K0123456P6(k)0.00130.01570.07980.21620.32920.26730.0905

(3)要保證出苗率為98%，即要使

1-P6(0)≥0.98解得

n=4。

例1

有一批棉花種子，出苗率為0.67，現(xiàn)每穴播六粒，求解下列問題：

(1)恰有k粒種子出苗的概率；

(2)至少有一粒出苗的概率；

(3)要保證出苗率為98%，應(yīng)每穴至少播幾粒？

解(2)

至少有一粒出苗的概率為經(jīng)計(jì)算得解例

解三、內(nèi)容小結(jié)4二項(xiàng)分布5幾何分布備用題伯恩斯坦反例一個(gè)均勻的正四面體,其第一面染成紅色,第二面染成白色

,第三面染成黑色,而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A,B,C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅,白,黑顏色朝下的事件,問A,B,C是否相互獨(dú)立?解由于在四面體中紅,白,黑分別出現(xiàn)兩面,因此又由題意知例1故有因此A、B、C不相互獨(dú)立.則三事件A,B,C兩兩獨(dú)立.由于例2、設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問擊落飛機(jī)的概率是多少?射擊問題解事件B為“擊落飛機(jī)”,En:可看成將E

重復(fù)了n次,這是一個(gè)n重

貝努里試驗(yàn).解例E

：觀察1局比賽甲是否獲勝設(shè)在n次試驗(yàn)中，A恰好出現(xiàn)k

次的概率為：“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;

······如：比賽3局，“甲甲甲”；比賽4局，概率論基礎(chǔ)

曹剛

2009-08趣味題瑪麗蓮問題

有三扇門可供選擇，其中一扇門后面是汽車，另兩扇門后面是山羊。你當(dāng)然想選中汽車。主持人讓你隨便選。比如，你選中了一號(hào)門。于是，主持人打開了后面是山羊的一扇門，比如是三號(hào)門。現(xiàn)在主持人問你：“為了以較大的概率選中汽車，你是堅(jiān)持選一號(hào)門，還是愿意換選二號(hào)門？一乘客問空姐，一個(gè)恐怖分子帶炸彈上飛機(jī)的概率是多少？空姐答：百萬分之一。乘客

又問，那正巧兩個(gè)恐怖分子帶炸彈上飛機(jī)的概率是多少？空姐答：那可要千萬分之一了。

次日，這位乘客攜炸彈上飛機(jī)。被警察抓住，詢問。乘客問答：為了減低被炸死的概率。

莫澤（1921-1970），加拿大數(shù)學(xué)家，他曾提出如下一道有趣的數(shù)學(xué)問題。一位數(shù)學(xué)家與他的妻子、兒子都喜歡下棋。一天，兒子為了周末與女朋友約會(huì)，向父親要100元錢。父親想了一會(huì)兒說：“今天是星期三，你在今天、明天和后天3天中，每天下一盤棋，要選擇我與你媽媽輪流作你的對手。如果你能連勝2局(當(dāng)然也包括連勝3局)，就可以得到錢。”顯然，因?yàn)?天中要輪流與父母下，因此年輕人可選擇的順序只能是父親-母親-父親，或者母親-父親-母親。年輕人還知道，父親的棋藝比母親要高。問題是：這位年輕人應(yīng)選擇哪種順序，才能使連勝2局的可能性更大？常理推斷：要連贏兩局，因此必贏第2局，所以這一局要和棋力較弱的母親下。而對棋力較高的父親，有兩次機(jī)會(huì)交手，只要贏1局就可達(dá)到目的。數(shù)學(xué)解決所需工具：關(guān)于可能性（概率）的乘法規(guī)則（舉例來說，每次擲硬幣國徽朝上的概率是1/2，那么兩次擲硬幣國徽都朝上的概率就是（1/2）*（1/2）=1/4，N次擲硬幣國徽都朝上的概率就是N個(gè)1/2相乘，即（1/2）的N次方；可見當(dāng)N越大時(shí)，國徽均朝上的可能性越來越小。）莫?jiǎng)t問題數(shù)學(xué)解答：不妨設(shè)兒子贏父親的概率（通俗地說，就是可能性）是（1/2），贏母親的概率是（2/3）；要連勝2局，因此其戰(zhàn)績應(yīng)為：贏贏贏、贏贏輸或輸贏贏。當(dāng)采取策略A：父親－母親－父親時(shí)，三種戰(zhàn)績的可能性贏贏贏：（1/2）*（2/3）*（1/2）=1/6贏贏輸：（1/2）*（2/3）*[1-(1/2)]=1/6輸贏贏：[1-(1/2)]*（2/3）*（1/2）=1/6因此連勝兩局的可能性就是1/6+1/6+1/6=1/2.同理，如果采取策略B：母親—父親—母親時(shí)，三種戰(zhàn)績的可能性為贏贏贏：(2/3）*(1/2)*(2/3)=2/9贏贏輸：(2/3)*(1/2)*[1-(2/3)]=1/9輸贏贏：[1-(2/3)]*(1/2)*(2/3)=1/9因此連勝兩局的可能性就是2/9+1/9+1/9=4/9，它小于1/2，因此最佳策略是（A）。以上利用了特殊化的技巧，如果一般地假設(shè)兒子贏父親的概率是p，贏母親的概率是q，你可類似推得（A）和（B）策略對應(yīng)的取勝可能性分別為pq(2-p)與pq(2-q)。因?yàn)閜<q,所以應(yīng)選擇策略（A）。第一章隨機(jī)事件及其概率

第二章隨機(jī)變量第三章隨機(jī)向量

第四章數(shù)字特征

第五章極限定理

內(nèi)容提要第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量的定義2.2離散型隨機(jī)變量2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布第一章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量§2離散型隨機(jī)變量§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)§4連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布非等可能事件的概率怎么計(jì)算？在概率論中怎么應(yīng)用微積分理論？··········設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)

的概率空間問題一樣本空間

中的元素與試驗(yàn)有關(guān),從數(shù)學(xué)角度看,希望

是抽象的集合問題二問題三問題四拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則這樣就把原來有具體含意的樣本空間化為直線上的抽象點(diǎn)集如果令則在上述映射下，新的“樣本空間”為例，而樣本點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系為設(shè)為概率空間是定義在上的單值實(shí)函數(shù)，若有定義則稱為隨機(jī)變量注一：自變量是實(shí)數(shù)自變量是樣本點(diǎn)因變量是確定的實(shí)數(shù)因變量是不確定的實(shí)數(shù)普通函數(shù)隨機(jī)變量注二：是隨機(jī)變量是事件隨機(jī)變量的引入使得所有試驗(yàn)的樣本空間都是直線上的集合事件直線上的集合利用微積分來研究隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).2.說明(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同實(shí)例

擲一個(gè)硬幣,觀察出現(xiàn)的結(jié)果,共有兩種情況:若用X表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則有即X(e)是一個(gè)隨機(jī)變量.若用X表示該家女孩子的個(gè)數(shù)時(shí),則有可得隨機(jī)變量X(e),實(shí)例

在有兩個(gè)孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個(gè)樣本點(diǎn):

將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為考慮事件例定義隨機(jī)變量正面出現(xiàn)的次數(shù)則很多試驗(yàn)產(chǎn)生的結(jié)果本身就是隨機(jī)變量

考察某地區(qū)的日平均氣溫

日平均降水量都是隨機(jī)變量例例電子產(chǎn)品的壽命

是隨機(jī)變量

從一大批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取

件進(jìn)行測試，其測得的次品數(shù)

是一隨機(jī)變量例例某城市的日耗電量

是一隨機(jī)變量注一：通常用大寫字母

等表示隨機(jī)變量,或希臘字母,,η,ζ,….等表示。用小寫字母

等表示實(shí)數(shù)注二：隨機(jī)變量簡記為隨機(jī)變量X的含義是把樣本點(diǎn)（具體的內(nèi)容）映射到實(shí)數(shù)軸上。隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)的或無限多個(gè)的(可列個(gè)的)或連續(xù)的,它們對應(yīng)實(shí)數(shù)軸上形成的離散點(diǎn).是事件

隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或無限多個(gè)(可列個(gè)),叫做離散型隨機(jī)變量.觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量X

的可能值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例

1,2,3,4,5,6.非離散型其它實(shí)例2

若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”,則X

的可能值是:實(shí)例3設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,則X

的所有可能取值為:電子產(chǎn)品的壽命

是否是離散型

r.v問？實(shí)例

隨機(jī)變量X為“測量某零件尺寸時(shí)的測誤差”.則X的取值范圍為(a,b)內(nèi)的任一值.實(shí)例

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為

則X的取值范圍為

離散隨機(jī)變量且r.v的所有可能的取值設(shè)

為離散型

r.v,設(shè)所有可能的取值為易知的統(tǒng)計(jì)規(guī)律完全由數(shù)列確定定義稱為離散型的概率函數(shù)，或概率分布．分布律。離散型隨機(jī)變量的分布律包括兩方面①②r.v取各個(gè)值的概率

將一枚硬幣連拋三次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況，記為正面出現(xiàn)的次數(shù),求的分布律的取值為故的分布律為例解,其樣本空間為問分布律有什么特點(diǎn)？全部和為1所有樣本點(diǎn)遍歷一次分布律的基本性質(zhì)：①②證②分布律的本質(zhì)特征本質(zhì)特征的含義：離散型r.v的分布律必滿足性質(zhì)①②滿足性質(zhì)的數(shù)列必是某離散型r.v的分布律①②注：當(dāng)X取有限個(gè)可能值時(shí)，表示有限項(xiàng)和；當(dāng)X取可列無窮多個(gè)可能值時(shí)，表示收斂級(jí)數(shù)的和．離散型r.v的概率分布規(guī)律相當(dāng)于向位于處的“盒子”中扔球分布律的幾種表示方法解析式法列表法矩陣法想象扔進(jìn)第

個(gè)“盒子”的可能性是.記解

一球隊(duì)要經(jīng)過四輪比賽才能出線.設(shè)球隊(duì)每輪被淘汰的概率為記

表示球隊(duì)結(jié)束比賽時(shí)的比賽次數(shù)，求

的分布律.例可能的取值為通過第輪比賽則代入

求得

的分布律為例

：袋中有２個(gè)白球和３個(gè)黑球，每次從其中任?。眰€(gè)球直到取得白球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)的概率分布,假定：（１）每次取出的黑球不再放回去；（２）每次取出的黑球仍放回去．解：（１）設(shè)隨機(jī)變量X是取球次數(shù)，因每次取出的球不放回去，所以X的可能值是1,2,3,4．易知（２）設(shè)隨機(jī)變量Y是取球次數(shù)，因?yàn)槊看稳〕龅暮谇蛉苑呕厝?，所以Y的可能值是一切正整數(shù)．易知幾何分布：一次試驗(yàn)中只考慮事件A出現(xiàn)或不出現(xiàn)．做獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到事件A出現(xiàn)為止，設(shè)試驗(yàn)次數(shù)為X,則X的可能取值為1,2,3,……,其概率分布為：

嚴(yán)格說單點(diǎn)分布并不具有“隨機(jī)性”,視為隨機(jī)變量完全是理論上的需要幾種重要的離散型隨機(jī)變量（0）單點(diǎn)分布如果的分布律為則稱服從，其中

為常數(shù)單點(diǎn)分布注單點(diǎn)分布也稱為退化分布某事件發(fā)生的概率為則稱該事件“幾乎處處”發(fā)生例如記為或記為或a.e.為almosteverywhere,幾乎處處含義下相一門課程的考試是“及格”還是“不及格”剛出生的新生兒是“男”還是“女”產(chǎn)品檢驗(yàn)的結(jié)果是“合格”還是“不合格”射擊結(jié)果是“擊中目標(biāo)”還是“沒有擊中目標(biāo)”（一）（0-1）兩點(diǎn)分布如果的分布律為則稱服從兩點(diǎn)分布,其中為常數(shù)(0-1)分布的實(shí)際背景若一個(gè)試驗(yàn)只產(chǎn)生兩個(gè)結(jié)果，則可以用服從(0-1)分布的r.v來描述例例例例實(shí)例1“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.隨機(jī)變量X服從(0-1)分布.其分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.記為X~b(1,p)

兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明超幾何分布設(shè)X的分布律為

超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用到.說明例

：設(shè)一批產(chǎn)品中有N件，其中M件次品，現(xiàn)從中任取n件（n≤N),則此n件產(chǎn)品中的次品數(shù)X是一離散隨機(jī)變量X的可能值是0,1,2,….,min(n,M),其概率分布為：（二）伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)：只產(chǎn)生兩個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)產(chǎn)生什么樣的隨機(jī)變量？重伯努利試驗(yàn)：n將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行

次的試驗(yàn)例某戰(zhàn)士用步槍對目標(biāo)進(jìn)行射擊，記擊中目標(biāo)沒擊中目標(biāo)每射擊一次就是一個(gè)伯努利試驗(yàn),如果對目標(biāo)進(jìn)行

次射擊,則是一個(gè)

重伯努利試驗(yàn).例從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記合格不合格每檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品就是一個(gè)伯努利試驗(yàn).

獨(dú)立地抽