第四節(jié)輸運方程

第四節(jié)系統(tǒng)控制體輸運公式一、系統(tǒng)系統(tǒng):就就是一群流體質(zhì)點得集合。流體系統(tǒng)在運動過程中盡管形狀在不停地發(fā)生變化,但始終包含有相同得流體質(zhì)點,有確定得質(zhì)量。系統(tǒng)得特點:1、從流體中取出得一定質(zhì)量得流體;2、與周圍流體無質(zhì)量交換(即運動過程始終包含這些確定得流體質(zhì)點);3、系統(tǒng)得體積與形狀可以隨時間改變。4、在系統(tǒng)得邊界上可以有能量交換。二、控制體控制體(controlvolume):相對于坐標(biāo)系固定不變得空間體積V。就是為了研究問題方便而取定得。邊界面S稱為控制面?？刂企w得特點:1、從該場中取出某一固定得空間區(qū)域,該體積稱為控制體,其表面為控制面。2、控制體得形狀可根據(jù)研究得需要任意選定,但一旦選定以后,其形狀位置均不變。3、在控制面上可以存在質(zhì)量及能量交換。三、輸運方程(雷諾輸運定理)引言:為什么需要雷諾輸運定理？瞧下圖如此簡單得一個射流擋板受力,擋板受到得力多大？根據(jù)牛頓力學(xué),就就是求擋板對流體得力多大。擋板對流體施加了力,根據(jù)牛頓第二運動定律,應(yīng)該等于流體系統(tǒng)得動量得變化率。請注意,牛頓力學(xué)適用得就是形狀、位置、密度不發(fā)生變化得系統(tǒng)得動量變化率。系統(tǒng)得動量變化率怎么求？真得要研究一個個得流體微團得來龍去脈,密度、速度變化,再把它們總加起來,合成為系統(tǒng),研究系統(tǒng)得變化率嗎？不就是不可以,這就是拉格朗日得研究方法。前面咱們已經(jīng)親身實踐過了拉格朗日研究方法跡線得求法,計算相對于歐拉得空間點法要復(fù)雜許多。而且這樣一個問題,我們實際上并不關(guān)心流體得最終去向與流體得形狀、密度會發(fā)生什么變化,只就是關(guān)心板得受力情況。這里流體還就是密度不發(fā)生變化得不可壓縮得液體,若射流就是密度可能發(fā)生變化得氣體,用可壓縮流體去研究,情況會變得更加復(fù)雜。為了使研究過程以及計算變得簡單,我們想用歐拉得空間得辦法,也就就是控制體得辦法解決這個問題。繪出如上圖得控制體,設(shè)法用形狀、位置不變得控制體內(nèi)得動量變化率來表示系統(tǒng)得動量變化率,這就就是雷諾輸運定理。整個思路就是:板受到得力,等于系統(tǒng)得動量變化率;再用控制體得動量變化率表示系統(tǒng)得變化率,就完成了板受到得力等于控制體動量變化率得轉(zhuǎn)化;從而,通過計算控制體得動量變化率,求得板受到得力。另外,還有機械能守恒得問題。機械能守恒也就是指得“質(zhì)量不變得確定物體”得系統(tǒng)得機械能守恒,不就是“內(nèi)含不斷變化得新物體”得控制體得機械能守恒;因此,用控制體得方法研究機械能守恒,推出著名得伯努利方程,也需要利用雷諾輸運定理?？偠灾?將“適用于系統(tǒng)得牛頓力學(xué)基本方程”轉(zhuǎn)化成“適用于空間體積得力學(xué)方程”,這就就是雷諾輸運定理得用途。下面瞧瞧什么就是傳說中得雷諾輸運定理II控制體系統(tǒng)IIIⅡ’Ixyzo設(shè)N為t瞬時,系統(tǒng)內(nèi)流體具有得某種物理量;η(--讀Eta,伊塔)表示單位質(zhì)量流體具有得這種物理量。在流場中任選一控制體(實線)=2\*ROMANII在t瞬時,系統(tǒng)與所選得控制體相重合,系統(tǒng)所占得空間體積為=2\*ROMANII。在這里用v代表體積,V代表速度。t+t瞬時,由于系統(tǒng)內(nèi)流體得流動,系統(tǒng)所占得空間體積為=3\*ROMANIII＋=2\*ROMANII’(系統(tǒng)用虛線表示,系統(tǒng)得形狀、大小都發(fā)生了變化,大小發(fā)生變化,意味著流體得密度發(fā)生了變化,也就就是流體就是可壓縮流體),則t時間間隔內(nèi),系統(tǒng)內(nèi)某種物理量得增量為:式中得為空間II’中得任意某一微元體積,乘以這一微元體積對應(yīng)得密度(這里允許II’內(nèi)各處得密度不相同,也就就是允許流體就是可壓縮得),得出某一微元得質(zhì)量,再乘以得出任意某一微元具有得某種物理量,再在整個II’空間積分,得到II’空間內(nèi)具有某種物理量;注意II’空間內(nèi)具有某種物理量就是在時刻具有得物理量,在其它時刻具有得物理量,不一定就是這個值。后兩項含義一樣,不再贅述。上式右邊加上并減去,用通除再取極限得:(a)對(a)式左端取極限為:(b)上式就就是系統(tǒng)內(nèi)某種物理量對時間得變化率。下面分析(a)右端各項得物理意義。其中(a)式右端第一項得物理意義,對(a)式右端第一項取極限為:注意到,所占得體積,就就是控制體得體積。而控制體得體積為了能清晰得從別得體積中識別出來,通常用表示,所以上式可表示為:(c)(c)式表示控制體內(nèi)流體所具有得某種物理量對時間得變化率。用偏導(dǎo)而不用全導(dǎo)得原因就是:控制體內(nèi)流體所具有得某種物理量不僅僅就是隨時間變化;控制體周圍流場得流體具有這種物理量得“密度”若與控制體內(nèi)流體所具有得某種物理量得“密度”不一致,也會造成由于流場得非均勻性引起得這種物理量之間遷移,進(jìn)而改變控制體內(nèi)流體所具有得某種物理量,因此只能用偏導(dǎo)。(這里“密度”概念只就是借用,借用來表示單位體積具有得這種物理量得概念)(c)式表示在同一地點上控制體內(nèi)得某種物理量隨時間得變化率,相當(dāng)于當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)項,就是由流場得非穩(wěn)定性引起得。(a)式右端第二項得物理意義就是δt時間內(nèi)從控制體Ⅱ流出得流體所具有得某種物理量。則表示單位時間內(nèi)從控制體Ⅱ流出得某種物理量。ααAA2如上圖,將控制體得外表面分成兩部分,流體流出得那部分面積記作A2,流入控制體得那部分面積記作A1。(流出部分A2+流入部分A2就就是控制體全部外表面總面積cs)在面積A2上取微元面積,其上流速為,單位時間從微元面積上流出得流體質(zhì)量為,單位時間從微元面積上流出得流體所具有得某種物理量為,則單位時間為從A2流出得物理量應(yīng)就是。與都就是單位時間從控制體內(nèi)流出得物理量,因此應(yīng)該相等,也就就是(a)右端第三項得物理意義:表示δt時間間隔內(nèi)流進(jìn)控制體得流體具有得某種物理量。同理,單位時間內(nèi)從A1流進(jìn)得這種物理量應(yīng)就是:“－”號就是因為在流入條件下,或(cosα)為負(fù)值。其中表示控制面得微元面積矢量,,為dＡ得法向單位矢量,垂直于控制面,規(guī)定向外為“＋”。單位時間內(nèi)經(jīng)過整個控制面得某種物理量得通量為:而:(d)其中A1+A2=CS(控制面),對(1)取極限,將(b)、(c)、(d)代入(a)則;(e)式(e)表明:系統(tǒng)內(nèi)部Ｎ對時間得變化率＝控制體內(nèi)Ｎ對時間得變化率＋單位時間經(jīng)過控制面得Ｎ得凈通量式(e)即為用“空間體積(即控制體)”得辦法表示“系統(tǒng)內(nèi)某種物理量N”隨時間得變化率,稱為輸運公式。就就是將拉格朗日法中,求某種物理量得變化率轉(zhuǎn)化為歐拉法得計算公式,就是歐拉法中得控制體法得基本公式。該式表明,流體系統(tǒng)內(nèi)部得某種物理量N得時間變化率數(shù)值上等于兩部分得與:一部分就是由于流場得非穩(wěn)定性引起得控制體內(nèi)N得變化率,相當(dāng)于當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)項,另一部分就是流體系統(tǒng)通過控制體表面得單位時間得凈通量,就是流場得非均勻性引起得,相當(dāng)于遷移導(dǎo)數(shù)項。物理量N可以就是標(biāo)量,如質(zhì)量、能量等,也可以就是矢量,如動量與動量矩等。對定常流動,控制體內(nèi)各物理量不隨時間變化,所以:則:(g)即在定常流動得條件下,系統(tǒng)內(nèi)部得流體所具有得某種物理量得變化僅與通過控制面得流動有關(guān)。第五節(jié)連續(xù)性方程連續(xù)性方程研究得就是質(zhì)量,也叫質(zhì)量方程,或質(zhì)量守恒方程;說得就是系統(tǒng)得質(zhì)量不隨時間發(fā)生變化;根據(jù)系統(tǒng)定義,系統(tǒng)就就是從流體中取出得一定質(zhì)量得流體,且不與周圍流體發(fā)生質(zhì)量交換,因此系統(tǒng)得質(zhì)量自然不隨時間發(fā)生變化。寫成方程就就是就就是=0,這里N就是系統(tǒng)質(zhì)量,其實就就是系統(tǒng)得質(zhì)量m不隨時間變化,即=0用控制體方法表示系統(tǒng)得質(zhì)量不隨時間發(fā)生變化這件事,就就是下面這個過程:首先,輸運方程得通式就是:,前面已經(jīng)說了,系統(tǒng)得質(zhì)量m不隨時間變化,所以=0,所以用控制體表示系統(tǒng)得質(zhì)量m不隨時間變化這件事,就就是:=0翻譯成俗話就就是:控制體內(nèi)質(zhì)量隨時間得變化加上單位時間內(nèi)進(jìn)、出控制體得外表面(控制面)得質(zhì)量等于零。當(dāng)研究對象就是質(zhì)量時,η就等于數(shù)字1;原因就是η得定義就就是:1個單位質(zhì)量得流體具有得某種物理量,這個物理量現(xiàn)在就是質(zhì)量,那么這句就變成1個單位質(zhì)量得流體具有得質(zhì)量就就是1個單位,所以η=1;所以系統(tǒng)質(zhì)量守恒這件事,用控制表示,就成為:在書寫公式得時候,