人教版九年級數(shù)學下冊《銳角三角函數(shù)（第1課時）》示范教學課件

銳角三角函數(shù)（第1課時）人教版九年級數(shù)學下冊如圖，在Rt△ABC

中，兩個銳角之間有什么關系？三邊之間有什么關系？角邊角邊∠A＋∠B＝90°？a2＋b2＝c2？ACBacb問題為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌．現(xiàn)測得斜坡的坡角（∠A）為30°，為使出水口的高度為35

m，需要準備多長的水管？你能用數(shù)學語言來表述這個實際問題嗎？如何解決這個問題？這個問題可以歸結為：如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35

m，求

AB．根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”，即＝＝，可得AB＝2BC＝70（m）．也就是說，需要準備70

m

長的水管．ABCABC在上面的問題中，如果出水口的高度為50

m，那么需要準備多長的水管？思考B′C′如圖，根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”，即＝＝，可得AB′＝2B′C′＝100（m）．也就是說，如果出水口的高度為50

m，那么需要準備100

m

長的水管．對于有一個銳角為30°的任意直角三角形，30°角的對邊與斜邊的比是多少？思考在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么無論這個直角三角形大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于．問題ABC如圖，任意畫一個

Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計算∠A

的對邊與斜邊的比．由此你能得出什么結論？在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∵∠A＝45°，∴Rt△ABC

是等腰直角三角形．由勾股定理得

AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，

∴AB＝

BC，∴

＝

＝

＝

．問題ABC如圖，任意畫一個

Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計算∠A

的對邊與斜邊的比．由此你能得出什么結論？結論：在一個直角三角形中，當一個銳角等于45°時，無論這個直角三角形大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于．問題猜想：在

Rt△ABC

中，當銳角

A

的度數(shù)一定時，無論這個直角三角形大小如何，∠A

的對邊與斜邊的比都是一個固定值．由上述兩個結論可知，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，當∠A＝30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于

，是一個固定值；當∠A＝45°時，∠A

的對邊與斜邊的比都等于

，也是一個固定值．由此你能猜想出什么一般的結論呢？探究如圖，任意畫Rt△ABC

和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么與有什么關系？你能解釋一下嗎？

＝

．理由如下：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．∴

＝

，即

＝

．ABCB′C′A′這就是說，在

Rt△ABC

中，當銳角

A

的度數(shù)一定時，無論這個直角三角形大小如何，∠A

的對邊與斜邊的比都是一個固定值．在Rt△ABC

中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A

的正弦，記作sinA，即sinA＝＝．ACB斜邊a對邊cb例如，當∠A＝30°時，我們有sin

A＝sin

30°＝；當∠A＝45°時，我們有sin

A＝sin

45°＝．∠A

的正弦sin

A

隨著∠A

的變化而變化．正弦是一個比值，是兩條線段長度的比，是沒有單位的數(shù)值，只與角的大小有關，與三角形的大小無關．ACB斜邊a對邊cb提醒（1）正弦是在直角三角形中相對于銳角定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，不能在非直角三角形中套用．（2）sin

A

是一個整體符號，不能寫成乘積的形式，即sin·A

的寫法是錯誤的．（3）若角是用一個大寫字母或一個小寫希臘字母表示的，則正弦的寫法中可省略“∠”，如sin

α；若角是用三個大寫字母或數(shù)字表示的，則不能省略“∠”，如sin∠ABC．

例1

如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，求sin

A

和sin

B

的值．ABC43（1）BAC513（2）

分析：求sin

A

就是要確定∠A

的對邊與斜邊的比；求sin

B

就是要確定∠B

的對邊與斜邊的比．

例1

如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，求sin

A

和sin

B

的值．ABC43（1）BAC513（2）

解：如圖（1），在Rt△ABC

中，由勾股定理得

AB＝＝＝5．∴sinA＝＝，

sinB＝＝．

例1

如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，求sin

A

和sin

B

的值．ABC43（1）BAC513（2）

解：如圖（2），在Rt△ABC

中，由勾股定理得

AC＝＝＝12．∴sinA＝＝，

sinB＝＝．歸納在直角三角形中，求銳角的正弦值時，如果沒有給出銳角的對邊長或斜邊長，那么應先根據(jù)勾股定理求出所需的邊長，再根據(jù)銳角的正弦的定義求解．

例2

如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，sin

A＝．（1）若AB＝10，求AC

和BC；ACBD

解：（1）∵在Rt△ABC

中，sinA＝＝，AB＝10，

∴BC＝6，∴由勾股定理得

AC＝＝＝8．

例2

如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，sin

A＝．（2）若AC＝8，求AB

及AB

邊上的高CD．

解：（2）∵在Rt△ABC

中，sinA＝＝，

AC＝8，

∴設BC＝3x(x＞0)，則AB＝5x．

由勾股定理得

AC＝＝＝4x＝8，解得x＝2，∴BC＝3x＝6，AB＝5x＝10．

∵在Rt△ACD

中，sinA＝＝，

AC＝8，

∴CD＝4.8．ACBD歸納用正弦值求直角三角形邊長的兩種方法（1）在直角三角形中，若已知銳角的正弦值及該角的對邊長或斜邊長，則先直接根據(jù)正弦