人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相似《相似三角形（第1課時(shí)）》示范教學(xué)課件

相似三角形（第1課時(shí)）人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

1．相似多邊形：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．

2．相似多邊形的性質(zhì)：

3．相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是____________．相似三角形你能說(shuō)出相似三角形的定義嗎？問(wèn)題如圖，在△ABC

和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，即三個(gè)角分別相等，三條邊成比例，我們就說(shuō)△ABC

與△A′B′C′相似，相似比為

k．

思考：△A′B′C′與△ABC

的相似比是什么？

相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”．△ABC與△A′B′C′相似記作“△ABC∽△A′B′C′”．ABCA′B′C′如圖，在△ABC

和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，即三個(gè)角分別相等，三條邊成比例，我們就說(shuō)△ABC

與△A′B′C′相似，相似比為

k．△A′B′C′與△ABC

的相似比為．相似比具有順序性．

相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”．△ABC與△A′B′C′相似記作“△ABC∽△A′B′C′”．ABCA′B′C′

特別提醒：用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上．△ABC∽△A′B′C′

表示頂點(diǎn)A與A′，B與B′，C與C′

分別對(duì)應(yīng)；如果僅說(shuō)“△ABC與△A′B′C′相似”，沒(méi)有用“∽”連接，則需要分類討論它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．ABCA′B′C′如果k＝1，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？當(dāng)＝＝＝k＝1時(shí)，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，故△ABC≌△A′B′C′（SSS），即當(dāng)k＝1時(shí)，這兩個(gè)三角形全等．全等三角形是相似比為1

的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形．思考ABCA′B′C′根據(jù)相似三角形的定義你能得到相似三角形的性質(zhì)嗎？相似三角形的定義可以看作是性質(zhì)，即相似三角形的三個(gè)角分別相等，三條邊成比例．

符號(hào)表示：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝．思考ABCA′B′C′如何判定兩個(gè)三角形相似？相似三角形的定義也可以看作是判定，即三個(gè)角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形相似．思考

符號(hào)表示：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，

∴△ABC∽△A′B′C′．ABCA′B′C′判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，除了可以驗(yàn)證它們所有的角和邊分別相等外，還可以使用簡(jiǎn)便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．類似地，判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，是不是也存在簡(jiǎn)便的判定方法呢？我們先來(lái)探究下面的問(wèn)題．問(wèn)題問(wèn)題如圖，任意畫(huà)兩條直線l1，l2，再畫(huà)三條與l1，l2

都相交的平行線l3，l4，l5．分別度量l3，l4，l5

在l1

上截得的兩條線段AB，BC

和在l2

上截得的兩條線段DE，EF

的長(zhǎng)度，與相等嗎？l1

l2

l3

l4

l5

ADBECF問(wèn)題任意平移l5，與還相等嗎？直線l3，l4，l5在直線l1，l2上截得的線段有什么關(guān)系？l1

l2

l3

l4

ADBE可以發(fā)現(xiàn)：＝，

＝，＝，＝等．CFl5

l5

CF平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2）所有的成比例線段是指被截直線上的線段，與這組平行線上的線段無(wú)關(guān)．（3）對(duì)應(yīng)線段的比相等是指同一直線上的兩條線段的比等于另一條直線上與它們對(duì)應(yīng)的線段的比．

注意：（1）截線是一組平行線，被截直線不一定平行．l1

l2

l3

l4

l5

ADBECF把平行線分線段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)兩種情況，如圖所示．l1

l2

l3

l4

l5

ADEBC圖①l1

l2

l3

l4

l5

ADEBC圖②在圖①中，把l4看成是平行于△ABC

的邊BC

的直線；在圖②中，把

l3看成是平行于△ABC

的邊BC

的直線，那么我們可以得到結(jié)論：

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．l1

l2

l3

l4

l5

ADEBC圖①l1

l2

l3

l4

l5

ADEBC圖②問(wèn)題

如圖，在△ABC

中，DE∥BC，且DE

分別交AB，AC

于點(diǎn)D，E，△ADE

與△ABC

有什么關(guān)系？ABCDE猜想：△ADE∽△ABC．

你能證明你的猜想嗎？問(wèn)題

如圖，在△ABC

中，DE∥BC，且DE

分別交AB，AC

于點(diǎn)D，E，△ADE

與△ABC

有什么關(guān)系？ABCDE猜想：△ADE∽△ABC．

分析：利用相似的定義證明，即證明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝＝．ABCDE由前面的結(jié)論可得，＝．F而

中的DE

不在△ABC

的邊BC

上，不能直接利用前面的結(jié)論．但從要證的＝可以看出，除DE

外，AE，AC，BC都在△ABC

的邊上，因此只需將DE

平移到BC

邊上去，使得BF＝DE，再證明＝就可以了．如圖，只要過(guò)點(diǎn)

E

作EF∥AB，交BC

于點(diǎn)F，BF

就是平移DE

所得的線段．ABCDEF

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E

作EF∥AB，交BC

于點(diǎn)

F．在△ADE與△ABC中，∠A＝∠A．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE

為平行四邊形，

＝

，

＝

．∴＝＝．∴DE＝BF．ABCDEF∴△ADE∽△ABC．∴＝．平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．因此，我們有如下判定三角形相似的定理：

符號(hào)表示：

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC．ABCDE

例1

如圖，DE∥BC，AB＝5，AC＝6，AD＝2，求AE的長(zhǎng)．ABCDE

解：∵DE∥BC

，∴＝．

∵AB＝5，AC＝6，AD＝2，∴＝．∴AE＝

．

例2

如圖，在△ABC

中，DE∥BC，＝，BC＝12，求DE

的長(zhǎng)．ABCDE

解：∵DE∥BC

，

∴△ADE∽△ABC．∴＝＝．

∵

＝，BC＝12，∴DE＝BC＝4．