2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步單元質(zhì)量測評(píng)新人教A版必修第二冊

PAGE1-第八章單元質(zhì)量測評(píng)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．軸截面是正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A．4倍 B．3倍C.eq\r(2)倍 D．2倍答案D解析設(shè)等邊圓錐的母線長為l，底面半徑為r，由已知得l＝2r，所以eq\f(S側(cè),S底)＝eq\f(πrl,πr2)＝eq\f(l,r)＝2.2．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為()A.eq\f(4π,3) B．3πC.eq\f(\r(3)π,2) D．π答案C解析由三視圖知，如圖，此四面體的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(3)，R＝eq\f(\r(3),2).所以球的體積為V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2).3．如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德墓碑上刻著的一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)．圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為()A.eq\f(3,2)，1B.eq\f(2,3)，1C.eq\f(3,2)，eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)，eq\f(3,2)答案C解析設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.∵V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴eq\f(V圓柱,V球)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).∵S圓柱表面積＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球表面積＝4πR2，∴eq\f(S圓柱表面積,S球表面積)＝eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).4．已知一個(gè)棱長為2的正方體，被一個(gè)平面截去一部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.eq\f(14,3)B.eq\f(17,3)C.eq\f(20,3)D．8答案B解析由三視圖，知該幾何體的直觀圖是如圖所示的多面體B1C1D1－BCDFE，該多面體可補(bǔ)全為棱長為2的正方體，其中E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，多面體AEF－A1B1D1為棱臺(tái)，棱臺(tái)高為2，上、下底面均為等腰直角三角形．則該幾何體的體積是2×2×2－eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2＋\r(2×\f(1,2))))＝8－eq\f(7,3)＝eq\f(17,3)，故選B.5．用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知點(diǎn)O′是斜邊B′C′的中點(diǎn)，且A′O′＝1，則△ABC的邊BC上的高為()A．1B．2C.eq\r(2)D．2eq\r(2)答案D解析∵△ABC的直觀圖是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝eq\r(2).根據(jù)直觀圖平行于y軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄唷鰽BC的BC邊上的高為AC＝2A′C′＝2eq\r(2).故選D.6．E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則EG與FH的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．重合答案C解析如圖所示，連接BD，EF，F(xiàn)G，GH，HE，EG，HF，由E，F(xiàn)，G，H是空間四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，有EH綊eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)BD，∴EH綊FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，EG與FH是對(duì)角線，故選C.7．設(shè)直線l?平面α，過平面α外一點(diǎn)A與l，α都成30°角的直線有且只有()A．1條B．2條C．3條D．4條答案B解析如圖，和α成30°角的直線一定是以A為頂點(diǎn)的頂角為120°的圓錐的母線所在的直線，當(dāng)BC與l平行時(shí)，直線AC，AB都滿足條件．故選B.8．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面D．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線答案C解析垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可能相交也可能平行，故A錯(cuò)誤；平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行、相交或異面，故B錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面相交，則一個(gè)平面內(nèi)與交線平行的直線一定和另一個(gè)平面平行，故D錯(cuò)誤；若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行，所以若兩條直線不平行，則它們不可能垂直于同一個(gè)平面，故C正確．9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析本題可借助正方體模型求解，如圖，BA1與AC1所成的角即為BA1與BD1所成的角．在△A1BD1中，A1B＝A1D1＝BD1，所以BA1與BD1所成的角為60°.10．在四面體ABCD中，已知棱AC的長為eq\r(2)，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),3)答案C解析如圖，取AC的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF，BE.∵AC＝eq\r(2)，其余各棱長都為1，∴BF⊥CD，AD⊥CD，∴EF⊥CD.∴∠BFE是二面角A－CD－B的平面角．∵EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，∴EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).11．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析解法一：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB∥平面MNQ.故選A.解法二：對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)正方體的底面對(duì)角線的交點(diǎn)為O(如圖所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行，故選A.12．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，則下列說法正確的是()A．設(shè)平面ADF與平面BEC1的交線為l，則直線C1E與l相交B．在棱A1C1上存在點(diǎn)N，使得三棱錐N－ADF的體積為eq\f(\r(3),7)C．設(shè)點(diǎn)M在BB1上，當(dāng)BM＝1時(shí)，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在點(diǎn)P，使得C1P⊥AF答案C解析連接CE交AD于點(diǎn)O，則O為△ABC的重心，連接OF.由已知得OF∥EC1，則EC1∥l，故A錯(cuò)誤；若在A1C1上存在點(diǎn)N，則VN－ADF＝VD－AFN，當(dāng)N與C1重合時(shí)，VD－AFN取最小值為eq\f(\r(3),6)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)BM＝1時(shí)，可證得△CBM≌△FCD，則∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又AD⊥平面CB1，CM?平面CB1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM?平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正確．過C1作C1G∥FA交AA1于點(diǎn)G.若在A1B1上存在點(diǎn)P，使得C1P⊥AF，則C1P⊥C1G.又C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1?平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D錯(cuò)誤．故選C.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，則CD與EF的位置關(guān)系為________．答案CD∥EF解析因?yàn)锳B∥α，AB?β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可證AB∥EF，所以CD∥EF.14．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________.答案①③④?②(或②③④?①)解析∵α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同的直線，若①m⊥n，③n⊥β，則m∥β.又④m⊥α，∴②α⊥β.即①③④?②.若②α⊥β，③n⊥β，則n∥α，又④m⊥α，∴①m⊥n.即②③④?①.15．若一個(gè)圓臺(tái)的軸截面是腰長為a的等腰梯形，下底邊長為2a，對(duì)角線長為eq\r(3)a，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為________．答案eq\f(7\r(3),24)πa3解析圓臺(tái)的軸截面如圖，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，可知∠ADB＝90°，∠DAB＝60°.分別過點(diǎn)D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，則DH＝eq\f(\r(3),2)a，所以HB＝eq\r(BD2－DH2)＝eq\r(3a2－\f(3,4)a2)＝eq\f(3,2)a，所以DC＝HG＝a，所以圓臺(tái)的體積為V＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2))·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(7\r(3),24)πa3.16．把由折線y＝|x|和y＝2圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)360°，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________．答案eq\f(32π,3)解析由題意，y＝|x|和y＝2圍成圖中陰影部分的圖形，旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)共頂點(diǎn)的圓錐．∵V圓柱＝π×22×4＝16π，2V圓錐＝2×eq\f(π,3)×22×2＝eq\f(16π,3)，∴所求幾何體的體積為16π－eq\f(16π,3)＝eq\f(32π,3).三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖所示是一個(gè)圓臺(tái)形的紙簍(有底無蓋)，它的母線長為50cm，兩底面直徑分別為40cm和30cm.現(xiàn)有制作這種紙簍的塑料制品50m2，問最多可以做這種紙簍多少個(gè)？解根據(jù)題意可知，紙簍底面圓的半徑r′＝15cm，上口的半徑r＝20cm，母線長l＝50cm，則紙簍的表面積S＝πr′2＋eq\f(2πr′＋2πrl,2)＝π(r′2＋r′l＋rl)＝π(152＋15×50＋20×50)＝1975π(cm2)．因?yàn)?0m2＝500000cm2，故最多可以制作這種紙簍的個(gè)數(shù)n＝eq\f(500000,S)≈80.18．(本小題滿分12分)已知正三棱錐(底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的正投影為底面的中心)S－ABC，一個(gè)正三棱柱的一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)在正三棱錐的三條側(cè)棱上，另一底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為15cm，底面邊長為12cm，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為120cm2.(1)求三棱柱的高；(2)求棱柱上底面截棱錐所得的小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比．解(1)設(shè)正三棱柱的高為hcm，底面邊長為xcm，如圖，則eq\f(15－h(huán),15)＝eq\f(x,12)，∴x＝eq\f(4,5)(15－h(huán))．①又S三棱柱側(cè)＝3x·h＝120，∴xh＝40.②解①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,h＝10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8，,h＝5.))故正三棱柱的高為10cm或5cm.(2)由棱錐的性質(zhì)，得eq\f(S三棱錐S－A1B1C1側(cè),S三棱錐S－ABC側(cè))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15－10,15)))2＝eq\f(1,9)或eq\f(S三棱錐S－A1B1C1側(cè),S三棱錐S－ABC側(cè))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15－5,15)))2＝eq\f(4,9).19．(本小題滿分12分)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M在AD1上移動(dòng)，點(diǎn)N在BD上移動(dòng)，D1M＝DN＝a(0<a<eq\r(2))，連接MN.(1)證明：對(duì)任意a∈(0，eq\r(2))，總有MN∥平面DCC1D1；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長度最??？解(1)證明：如圖，作MP∥AD，交DD1于點(diǎn)P，作NQ∥BC，交DC于點(diǎn)Q，連接PQ.由題意得MP∥NQ，且MP＝NQ，則四邊形MNQP為平行四邊形．∴MN∥PQ.又PQ?平面DCC1D1，MN?平面DCC1D1，∴MN∥平面DCC1D1.(2)由(1)知四邊形MNQP為平行四邊形，∴MN＝PQ.∵DD1＝AD＝DC＝BC＝1，∴AD1＝BD＝eq\r(2).∵D1M＝DN＝a，∴eq\f(D1P,1)＝eq\f(a,\r(2))，eq\f(DQ,1)＝eq\f(a,\r(2)).即D1P＝DQ＝eq\f(a,\r(2))，∴MN＝PQ＝eq\r(1－D1P2＋DQ2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))(0<a<eq\r(2))．故當(dāng)a＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，MN的長度有最小值，為eq\f(\r(2),2).即當(dāng)M，N分別移動(dòng)到AD1，BD的中點(diǎn)時(shí)，MN的長度最小，此時(shí)MN的長度為eq\f(\r(2),2).20．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn)．(1)證明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值．解(1)證明：如圖，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接A1E，AE.由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因?yàn)锳B＝AC，所以AE⊥BC.所以AE⊥平面A1BC.連接DE，由D，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，得DE∥BB1，且DE＝BB1，從而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四邊形AA1DE是平行四邊形，所以A1D∥AE.又因?yàn)锳E⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足為F，連接BF.因?yàn)锳1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因?yàn)锽C⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，所以平面AA1DE⊥BB1C1C，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF為直線A1B與平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，得EA＝EB＝eq\r(2).又A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝eq\r(14).由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝eq\r(2)，∠DA1E＝90°，得A1F＝eq\f(\r(7),2).所以sin∠A1BF＝eq\f(\r(7),8).21．(本小題滿分12分)如圖，△BCD內(nèi)接于直角梯形A1A2A3D，若A1D＝5，A1A2＝4，沿△BCD三邊分別將△A1BD，△A2BC，△A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后記為A.(1)求證：AB⊥CD；(2)求平面BCD與平面ACD所成二面角的正切值．解在題圖中，由A1，A2，A3三點(diǎn)可重合知A1B＝A2B＝2，A1D＝A3D