2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-不等式

（6）不等式

——2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一站式復(fù)習(xí)之講義

【高考考情分析】

不等式在高考中的主要命題點(diǎn)有：（1）不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，常將不等式與函數(shù)相結(jié)合,

注意不等式的等價(jià)變形；（2）不等式的解法，常與集合的基本運(yùn)算相結(jié)合；（3）一元二次不等

式的恒成立問(wèn)題，常與函數(shù)相結(jié)合；（4）利用基本不等式求最值、證明不等式及實(shí)際應(yīng)用等,

常與函數(shù)綜合命題.不等式一般以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，在解答題中也有出現(xiàn)，如求函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值時(shí)需要解不等式.

【基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)】

L不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果a>b,那么6<a；如果那么a>b.即

性質(zhì)2如果a>。，b>c,那么a>c.即a>"b>cna>c.

性質(zhì)3如果a〉b,那么a+c>Z?+c.

性質(zhì)4如果a>。，c>0,那么ac>6c；如果a>b,c<0,那么ac<Z?c.

性質(zhì)5如果a〉。，c>d,那么a+c〉b+d.

性質(zhì)6如果a>Z?>0,c>d>0,那么ac〉bd.

性質(zhì)7如果a〉b〉0,那么…2）.

2.基本不等式

（1）若a>。方>0,疝,，學(xué)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

其中，等叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，疝叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

（2）基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3.一元二次不等式

一般地，把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.一

元二次不等式的一般形式是at?+法+00或ax?+bx+c<0,其中a,b,c均為常數(shù)，awO.

【重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

(1)作差法(a,)eR)

a>boa-b>。；a=b<^>a-b=Q；a<boa-b<Q.

(2)作商法(aeR2>0)

a..a.,a.,

—>1a>b；—=1a=b；—<1a<b.

bbb

2.不等式的倒數(shù)和分式性質(zhì)

(1)倒數(shù)性質(zhì)：a>b,ab>0^-<-,

ab

a<0八</?，=>—1<-1.

ab

(2)有關(guān)分式的性質(zhì)：若。>匕>0,m>0,

?,bb+mbb-m八、

則一<----,-<-----(b-m>0)；

aa+maa—m

aa+maa-m八、

—<----,—<----(Zz?7-m>0).

bb+mbb—m

3.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問(wèn)題

(1)恒成立問(wèn)題：若/(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式/(x)>A在區(qū)間D上恒成立

o/(x)min>A(xeD).

若于(x)在區(qū)間。上存在最大值，則不等式/(X)<8在區(qū)間。上恒成立of(x)max<B(xeD).

(2)能成立問(wèn)題:若/(%)在區(qū)間。上存在最大值,則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式/(x)>A

成立o/(XU〉A(chǔ)(xeD).

若了(%)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式/(X)<B成立

o/(x)min<B(xeD).

(3)恰成立問(wèn)題：不等式/(X)>A恰在區(qū)間。上成立o/(x)>A的解集為D；

不等式/(X)<3恰在區(qū)間D上成立=/(x)<B的解集為D.

【基本方法與技能復(fù)習(xí)】

1.利用不等式性質(zhì)比較大小的常用方法

(1)作差法：一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論.

其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式，當(dāng)

兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差

（2）作商法：一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④下結(jié)論.

（3）特值法：若是選擇題、填空題可以用特值法比較大??；若是解答題，可以用特值法探究

思路，其實(shí)質(zhì)就是利用特殊值判斷.

2.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：

（1）二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)與0的關(guān)系，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系

數(shù)為正的一元二次不等式；

（2）判斷一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，即討論判別式A與0的關(guān)系；

（3）確定方程無(wú)實(shí)根或有兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，可直接寫(xiě)出解集；確定方程有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)，

要討論兩實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.

3.利用基本不等式求最值的方法

（1）拆（裂項(xiàng)拆項(xiàng)）：對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離，分離成整式與“真

分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定值創(chuàng)造條件;

（2）并（分組并項(xiàng)）：目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式，或分組后先對(duì)一組應(yīng)用基

本不等式，再在組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值；

（3）配（配式配系數(shù)，湊出定值）：有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題

設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值,

或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項(xiàng)之和為定值；

（4）換（常值代換、變量代換）：對(duì)條件變形，以進(jìn)行“1”的代換，從而構(gòu)造利用基本不等

式求最值的形式.

【典型例題復(fù)習(xí)】

1.【2024屆?海南??？肌恳阎虾?{-2,—1,0,1,2},N={x/+2x—8N0},則N=（）

A.{-2,2}B.{-2}C.{2}D,2

1114

2.【2024屆.長(zhǎng)沙一中.模擬考試】若正數(shù)eb滿足—十7=1,則一；十二的最小值為（）

aba-1b—1

A.4B.6C.9D.16

3

3.【2024屆?江蘇前黃高中?一?！吭O(shè)實(shí)數(shù)％,y滿足%>jy>3,不等式

左（2x—3）（y—3）48/+：/—12f—3/恒成立，則實(shí)數(shù)上的最大值為（）

A.12B.24C.2V3D.4A/3

4.【2022年新高考II卷】（多選）若x,y滿足f+/一孫=i,貝版）

A.%+y?lB.X+”-2C.x2+y2<2D.x2+/>1

5.【2020年新高考I卷】（多選）已知。>0乃〉0,且a+〃=l,貝1）（）

22

A.,ci+b>—B.2"">5C.log2a+1°§2b2-2D.y/a+yfb<5/2

121

6.【2024屆.海南華僑中學(xué)?二模】已知九〉0,y>0,^x+2y=—,則一+一的最小值為

2兀y

答案及解析

1.答案：c

解析：因?yàn)镹={x|f+2x—820}={x|x<—4或x?2},所以/N={2}.故選C.

2.答案：A

11b14411

解析：由一+7=1,可得。==,所以一+=b-i+由〃，?為正數(shù)且—+=1,

abb-\a-1b-1b-1ab

144I~A~4

可得〃〉1,b>L所以一^+上=方一l+上>2.3—1）,上=4,當(dāng)且僅當(dāng)人一1二1二，即

a-1b-1b-1Vb-1b-1

3

b=3,a=撩時(shí)等號(hào)成立.故選A.

3.答案：B

3

解析：x>-,y>3,變形為2%-3>0,y-3>0,令。=2%-3〉0,b=y-3>0,則

左⑵-3）（y-3）<江+V_i2f_3/轉(zhuǎn)化為k<?，即9+J"，

其中4、J/（a+3『杷+3）242瓦『」2癡『="0力>24,口1

y-32x-3babaI"“J\ba

a=3

b=3

當(dāng)且僅當(dāng)即％=3,y=6時(shí)取等號(hào)，可知左<24.故選B

b_a

b

4.答案：BC

解析：由基本不等式可得孫《《!金，白等4丁+洛從而沖之三金之在誓.

結(jié)合題設(shè)條件好+/一孫=1,可得必+；/<2,以及(x+y)2<4,即|x+y|W2,所以選項(xiàng)B

和C正確.取無(wú)=y=l,則必+產(chǎn)一孫=i,且％+y=2,因此選項(xiàng)A不正確.取x=￥，>=一”,

2

則爐+>2一孫=1,且％2+y2=§,因此選項(xiàng)D不正確.故正確選項(xiàng)為B和C.

5.答案：ABD

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,Qa2+b2>2ab,：.2(^a2+b2>)>a2+b2+2ab^(a+b)2=1,:.a2+b2>^,正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,易知0<a<l