廣東省東莞市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試題 （含解析）

其中，％=lnx,（z=分別為數(shù)據(jù)4%,%（i=1,2,…,5）的平均數(shù).

（1）請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，判斷/=&+￡與+1哪一個(gè)模型更適合刻畫(huà)日銷(xiāo)售額V關(guān)于日

產(chǎn)量尤的關(guān)系？

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果解決下列問(wèn)題:

(i)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(斜率的結(jié)果四舍五入保留整數(shù));

(ii)如果日產(chǎn)量X(單位：噸)與日生產(chǎn)總成本c(x)(單位：萬(wàn)元)滿足關(guān)系c(x)=gx+3,根據(jù)⑴

中建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程估計(jì)日產(chǎn)量X為何值時(shí)，日利潤(rùn)r(X)最大？

￡(%-可他-刃

i=l

■可7)

②經(jīng)驗(yàn)回歸方程/=&+2的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：右=上―-------------,a=y-bx.

￡(x,一元丫

Z=1

③參考數(shù)據(jù)：71612x40,71.6x161.2工16,,39x15.9?25.

18已知函數(shù)/(x)=lnx.

(1)若g(x)=/(x)，(x—1),討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

X+1

(2)若0<x<l,求證：/(X)〉x+1.

x-1ex

19.設(shè)集合Z={1,2,3,…,〃}(〃eN*),3qZ,且8工0,記集合B中的最小元素和最大元素分別為隨機(jī)

變量x,y.

7

(1)若XN3的概率為一，求〃；

31

(2)若〃=20,求X=8且Y=18的概率;

Y-L-YMil

⑶記隨機(jī)變量Z=—^―,證明：E(z)=;一

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查

局一數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

1.已知函數(shù)/(X)=SLCOSX,則/(x)的導(dǎo)函數(shù)為()

A.(x)=sin2x-cos2xB.(x)=cos2x-sin2x

c./'(x)=lD.r(x)=-l

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的乘法法則求導(dǎo)即可.

【詳解】由/(x)=sinxcosx可得=(sinx)cosx+sinx(cosx)=cos2x-sin2x-

即f'(x)=cos2x-sin2x.

故選：B

2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,tr2),且=4,則尸(2<X<3)=()

3231

A.-B.—C.—D.一

53103

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性得出概率.

【詳解】因?yàn)?工丁=4,所以P(X<3)=4P(X<1),P(X<3)+P(XN3)=1,

又因?yàn)檎龖B(tài)分布的對(duì)稱軸為2,所以P(X>3)=P(X<1),

所以4尸(X<1)+P(X<1)=1,0(X<1)=|,

111Q

所以尸(2<X<3)=尸(1<X<2)=5—P(X<1)=Q—1=..

故選：C.

3.兩個(gè)相關(guān)變量滿足如下關(guān)系：

X23456

y25?465865

根據(jù)表格已得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為3=10.2x+5.2.若表格中有一數(shù)據(jù)模糊不清，則推算該數(shù)據(jù)是()

A.35.5B.36C.36.5D.37

【答案】B

【解析】

【分析】應(yīng)用回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)代入求參即可.

【詳解】因?yàn)閰^(qū)=2+3+；+5+6=4,代入3=10.2x4+5.2=46,

所以46x5-(25+46+58+65)=36.

故選：B.

4.在區(qū)間(0,1)上，若/則下列四個(gè)圖中，能表示函數(shù)>=/(x)的圖像的是()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)切線斜率的關(guān)系即可判斷.

【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與切線斜率的關(guān)系可知，在區(qū)間(0,1)上時(shí)，函數(shù)圖象在任意一點(diǎn)處的切線斜率恒大于

1,則顯然BCD不合題意，

對(duì)A選項(xiàng)，函數(shù)在(0,0)處的切線斜率等于1,且在(0,1)上，切線斜率不斷增大，則/'(x)>l恒成立，故

A正確.

故選：A.

5.某中學(xué)推出了籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球共5門(mén)球類體育選修課供同學(xué)們選擇，其中羽毛球火爆,

只剩下一個(gè)名額，其余4門(mén)球類課程名額充足.現(xiàn)有某宿舍的四位同學(xué)報(bào)名選課，每人只選擇其中的1門(mén)課

程，四位同學(xué)選完后，恰好選擇了3門(mén)不同球類課程，則不同的選課情況總共有（）

A.316種B.360種C.216種D.288種

【答案】D

【解析】

【分析】分選不選羽毛球兩種情況討論，再分別利用分步乘法原理計(jì)算報(bào)名情況，利用分類加法原理求和

即得結(jié)果.

【詳解】分兩種情況討論：

不選羽毛球，其余4門(mén)球類課程選3門(mén)，有C：種選法，

四人中有2人選擇同1門(mén)課程，其余2人各自選1門(mén)課程，有C：A；種選法，

故報(bào)名的情況有C：C；A；=144種;

1人選羽毛球，則C：種選法，再?gòu)钠溆?門(mén)球類課程選2門(mén)課程，則種選法,

其余3人中選1人選一門(mén)課程，其余2人同選另1門(mén)課程，則C；A：種,

故報(bào)名的情況有C；C：C；A；=144種.

所以他們報(bào)名的情況總共有144+144=288種.

故選：D

6.袋中有5個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中依次不放回取球，當(dāng)取出三個(gè)相同顏色的球時(shí)停止取球，記X為取出

球的總數(shù)，則X=4的概率為（）

5555

A.—B.-C.—D.—

1474221

【答案】A

【解析】

【分析】先明確X=4所代表的意義以及所包含的可能情況，再根據(jù)全概率公式即可計(jì)算所求概率.

【詳解】根據(jù)題意第一、二、三、四次取出的球的顏色符合的情況有以下六種：白白黑白、白黑白白、黑

rHrHrH?dzi?國(guó)臼函電rH00?

這六種情況的發(fā)生是相互互斥的，所以由全概率公式得:

―八54435443454343524532

n(X=4=—x—x—x——|-一X—X—x--1——X—X—x——|——X—X—x——|——x—x—x——F

,,98769876987698769876

54325555555

__y___y___y___—______I________I________I__________I__________I________—_____

987663636312612612614,

故選：A.

7.如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳

解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右.現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2024

的概率為（）

第楊輝三角

0行

1

行

第1

211

行

第121

3行

第1331

4行

第14641

5行

第615101051

行

第31615201561

A1313

.-C.—D.—

72021

【答案】D

【解析】

【分析】先明確楊輝三角第20行的數(shù)的個(gè)數(shù)，通過(guò)C；o〈2O24和C；o>2O24結(jié)合組合數(shù)對(duì)稱性質(zhì)得出楊

輝三角第20行中比2024大的數(shù)的個(gè)數(shù)即可得解.

【詳解】由題意可知楊輝三角第20行共有21個(gè)數(shù)，

其中從左往右第4個(gè)數(shù)為《0=———=1140<2024,

3!（20—3）!

“201

從左往右第5個(gè)數(shù)為Co=———;=4845>2024,

4!（20-4）!

所以根據(jù)組合數(shù)的對(duì)稱性得楊輝三角第20行的21個(gè)數(shù)里有21-4x2=13個(gè)大于2024,

13

故從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為—.

21

故選：D.

8.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足eZunye”且片出工=26）若0<y<l,貝!!（）

x

A.x〉y〉z(mì)B.x>z>y

C.y>z>xD.V〉x〉z(mì)

【答案】A

【解析】

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則將等式變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域及對(duì)數(shù)不等式可得了，？的范圍

【詳解】由-扇=聲、得也二=二，

e%ey

,1Inxz

由eZ1In—=zex得-----=一,

xexez

因此一4=j

又0<y<l,所以m=一2<0，

e一ey

又e=>0,所以z<0,

利用0<y<l得里==〉0,

又e'>0，所以lnx>0,即x>l,

所以x〉l〉y>0>z,即x>y>z,

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題

卡中的相應(yīng)位置涂黑.

9.變量x與V的成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示，由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線右的方程為

y=bxx+ax,相關(guān)系數(shù)為4,決定系數(shù)為R；；經(jīng)過(guò)殘差分析確定第二個(gè)點(diǎn)8為離群點(diǎn)（對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大），

把點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)去掉后，用剩下的7組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為夕=區(qū)》+62,相關(guān)系數(shù)為

C.&<b2D.4<82

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)8的特點(diǎn)判斷選項(xiàng)C,D;由于去掉8,其它點(diǎn)的線性關(guān)系更強(qiáng)，從而可判斷A，B選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)楣?個(gè)點(diǎn)且離群點(diǎn)2的橫坐標(biāo)較小而縱坐標(biāo)相對(duì)過(guò)大，去掉離群點(diǎn)后回歸方程的斜率更大，

而截距變小，所以C正確，而D錯(cuò)誤；

去掉離群點(diǎn)后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，所以外<々，R；<R；，

故B錯(cuò)誤，A正確.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/(x)=o?+云2+cx+d(aw0)在x=l處取到極大值1,則以下結(jié)論正確的是()

A.3。+26+。=0B.d=2a+/?+1

C.b<—3aD.b>—3Q

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)意義，判斷A,B；根據(jù)函數(shù)在x=l處取到極大值，則函數(shù)在x=l

的附近單調(diào)性為“左增右減”，用導(dǎo)數(shù)正負(fù)來(lái)判斷C,D.

【詳解】因?yàn)?(%)=4%3+樂(lè)2+0%+1(。。0),則/，(x)=3Q*+2&V+C.

f(y)=a+b+c+d-1

函數(shù)在x=l處取到極大值1.則1八Q八八，則A正確；

j(1)=3Q+26+C=0

兩式子相減，得到—2Q—b—d=l,即d=2a+6+l,則B正確；

由前面知道，c=-3a-2b,則/'(x)=3。、2+2區(qū)一3。一26,

由于函數(shù)在x=l處取到極大值，則函數(shù)x=l的附近單調(diào)性為“左增右減”.

則/'(%)=3分+2bx-3a-2b,對(duì)于％—「時(shí)，/r(x)=3ox2+2bx-3a-2b<0,

即3a(/—1)+2/x—l)<0(x-1+),即3。(％+1)+26<0(1-1+),即

6a+2b<3a(x+1)+26<0(x>1+),

即6a+26<0(x-「)，則6<-3。.則C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

71_2

11.設(shè)43是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸(4)二五,尸(的=5,尸(4+5)=7則()

A,0(A8)=；B.尸(彳萬(wàn))='

14

C.P(A\B)=-D.P(B\A)=-

【答案】ACD

【解析】

【分析】P(彳+8)=尸(彳)+尸(8)—尸(五8),求出尸(血)，利用P(48)+尸(粉)=尸(5)可判斷A,由

月)=1—P(4+5)可判斷B,由條件概率公式可判斷D.

【詳解】由P(N+3)=P(7)+P(3)—P(l3)=],因?yàn)镻(Z)=內(nèi)，則P(彳)=1—五=正，

所以「(彳8)=；,因?yàn)镻(45)+P(Z5)=P(5),所以尸(28)=：—；=；,故A正確；

則P(/+3)=P(/)+P(3)—P(/5)=：,所以P(I與)=1—P(/+3)=:,故B錯(cuò)誤；

由于產(chǎn)(刁3)=更物=’，所以C正確；

P(B)2

由于P(/月)=?(4),則P(/月)=「(/)—g—；=所以==

故D正確；

故選：ACD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

12.1辦2+1|的展開(kāi)式中，一的系數(shù)是80,則。=,

【答案】2

【解析】

nrr

【分析】由二項(xiàng)式定理公式I』=Cna-b即可得到結(jié)果.

【詳解】依題意，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：

&i=C；(分2)5-，dy=《小，”

X

當(dāng)10—3r=4時(shí)，r=2,此時(shí)。"一‘=C；/=80,

所以。=2.

故答案為：2.

13.若甲筐中有5個(gè)蘋(píng)果，3個(gè)梨子，2個(gè)橙子，乙筐中有x個(gè)蘋(píng)果、1個(gè)梨子、2個(gè)橙子，現(xiàn)從甲筐中隨機(jī)取

出一個(gè)水果放入乙筐，再?gòu)囊铱鹬须S機(jī)取出一個(gè)水果，記“從乙筐中取出的水果是蘋(píng)果”為事件A,若

則整數(shù)x的最小值為.

【答案】3

【解析】

【分析】記4、4、4分別表示從甲筐中隨機(jī)取出一個(gè)水果為蘋(píng)果、梨子、橙子，則利用全概率公式

p(⑷=P(4)P(a4)+?(4)尸(川4)+P(4)P(川4)即可得解.

【詳解】記4、4、4分別表示從甲筐中隨機(jī)取出一個(gè)水果為蘋(píng)果、梨子、橙子的事件，則4、4、4

相互互斥，

所以由全概率公式得：

?(/)=尸(4)尸(川4)+P(4)尸(，14)+尸(4)尸(出4)

5x+13x2x2x+l、l

=X------1X------1X-----=—；-----r——

10x+410x+410x+42(x+4)2

nx?3,故整數(shù)x的最小值為3.

故答案為：3.

14.若直線＞=履+加是曲線^=二一2的切線，也是曲線^=/7的切線，則加=.

【答案】-21n2

【解析】

【分析】設(shè)直線＞=履+"?與^=d-2和^=尸1的切點(diǎn)分別為卜1，d-2),(%,1戶)，分別求出切點(diǎn)

處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到加的值.

【詳解】y=d—2和y=分布求導(dǎo)，得到了=e'和了=e"-1.

設(shè)直線廣質(zhì)+機(jī)與—2和y=—的切點(diǎn)分別為國(guó)鏟-2),(%，蜜2T),

xx1

則切線方程分別為，y-(e'-2)=e'(x-xl),y-e^'e^(x-x2),

x1x1x1

化簡(jiǎn)得，y=eax—西爐+爐—2,j=e^x-x2e^+e^.

依題意上述兩直線與y=kx+m是同一條直線，

所以，二,cXI工1，解得X=ln2，

一+eX1-2=—々e+e2

所以加=一xg"+e*—2=—In2eln2+eln2-2=-2In2

故答案為：-21n2.

四、解答題：本大題共5小題，第15題13分，第16、17題各15分，第18、19題各17分，共

7分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.必須把解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的

區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效.

15.已知函數(shù)/卜)=吧的圖象在點(diǎn)(兀,0)處的切線方程是x+盯-兀=0.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若x>0,求證：

【答案】(1)a=l

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及切線方程即可求解.

(2)先由(1)得/(x)解析式，再由解析式結(jié)構(gòu)特征結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具分x>l和0<x<l兩段研究/(x)的

值的情況即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

由題小“亨卜axcosx-asmx_xcosx-sinx

(ax)?ax2

71

所以由導(dǎo)數(shù)幾何意義以及切線方程得/'(兀)=cos"丁11"=_±=-1；

anan7i

na=1.

【小問(wèn)2詳解】

,、sinx

由(z1)xf(x)=---,

因?yàn)閟inxe［-1,1］,故當(dāng)x>1時(shí)/(x)<1恒成立；

令g(x)=x-sinx,0<x<1,則g'(x)=1-cosx之0在［0,1］上恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)g'(x)=0,

所以g(x)在［0』上單調(diào)遞增，

所以g(x)之g(0)=0-sin0=0,所以當(dāng)xe(O,l］時(shí)x—sinx〉0即sinx<x恒成立，

所以當(dāng)xe(O,l］時(shí)，/(x)=^<-=l,

XX

綜上得：若x>0,f(x)<\

16.某社區(qū)以網(wǎng)上調(diào)查問(wèn)卷形式對(duì)轄區(qū)內(nèi)部分居民做了體育鍛煉的宣傳和調(diào)查.調(diào)查數(shù)據(jù)如下：共100份有

效問(wèn)卷，50名男性中有5名不經(jīng)常體育鍛煉，50名女性中有10名不經(jīng)常體育鍛煉.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別因素是否會(huì)

影響經(jīng)常體育鍛煉？

經(jīng)常體育鍛煉與否

性別合計(jì)

經(jīng)常體育鍛煉不經(jīng)常體育鍛煉

男

女

合計(jì)

(2)從不經(jīng)常體育鍛煉的15份調(diào)查問(wèn)卷中得到不經(jīng)常鍛煉的原因：有3份身體原因；有2份不想鍛煉;

有4份沒(méi)有時(shí)間；有6份沒(méi)有運(yùn)動(dòng)伙伴.求從這15份問(wèn)卷中隨機(jī)選出2份，在已知其中一份是“沒(méi)有時(shí)間”

的條件下，另一份是“沒(méi)有運(yùn)動(dòng)伙伴”的概率.

n(ad-be)2

附：①/=其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

②臨界值表

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷性別因素會(huì)影響經(jīng)常體育鍛煉;

12

(2)—.

25

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，計(jì)算％2的值，作出判斷；(2)由條件概率公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題可得50名男性中有5名不經(jīng)常體育鍛煉，45名經(jīng)常體育鍛煉，50名女性中有10名不經(jīng)常體育鍛煉,

40名經(jīng)常體育鍛煉;

2x2列聯(lián)表如下：

性別經(jīng)常體育鍛煉與否合計(jì)

經(jīng)常體育鍛煉不經(jīng)常體育鍛煉

男45550

女401050

合計(jì)8515100

100x(45xl0-5x40)2100,…

所以％2==x1.961，

50x50x85x15----51

因?yàn)?.961<3.841,根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷性別因素會(huì)影響經(jīng)常體育鍛

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)A事件為其中一份是“沒(méi)有時(shí)間”，3事件為另一份是“沒(méi)有運(yùn)動(dòng)伙伴”，

P(AB]

所以尸(8|2)=備半=12

P⑷25

17.某企業(yè)生產(chǎn)一種熱銷(xiāo)產(chǎn)品，產(chǎn)品日產(chǎn)量為x(x?l)噸，日銷(xiāo)售額為了萬(wàn)元(每日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日可銷(xiāo)售

完畢)，且產(chǎn)品價(jià)格隨著產(chǎn)量變化而有所變化.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的產(chǎn)銷(xiāo)，隨機(jī)收集了某5天的日產(chǎn)量

X,?=1,2,..,5)(單位：噸)和日銷(xiāo)售額％(i=l,2,…,5)(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對(duì)這5組數(shù)據(jù)做

了初步處理，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

55555555

丸Sz春,￡(x,一葉EU--37)2￡(%—療Z(x,一可他一歹

Z=1i=li=li=li=li=li=li=l

15734.810161.21.63915.9

其中，ui=]nxi(j=i,2,...,5),x,y,u分別為數(shù)據(jù)看,%,%(i=1,2,…,5)的平均數(shù)

(1)請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，判斷/=&+&與/=21nx+1哪一個(gè)模型更適合刻畫(huà)日銷(xiāo)售額了關(guān)于日

產(chǎn)量x的關(guān)系？

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果解決下列問(wèn)題:

(i)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(斜率的結(jié)果四舍五入保留整數(shù));

(ii)如果日產(chǎn)量X(單位：噸)與日生產(chǎn)總成本c(x)(單位：萬(wàn)元)滿足關(guān)系c(x)=gx+3,根據(jù)⑴

中建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程估計(jì)日產(chǎn)量X為何值時(shí)，日利潤(rùn)r(X)最大？

￡(%-可他-刃

i=l

可(％-7)

②經(jīng)驗(yàn)回歸方程/=&+2的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：右=上―-------------,d=y-bx.

￡(七一元『

Z=1

③參考數(shù)據(jù)：71612工40,71.6x161.2?16,,39x15.9?25.

【答案】(1)3=21nx+3模型更適合刻畫(huà)日銷(xiāo)售額》關(guān)于日產(chǎn)量x的關(guān)系

(2)(i)y=101nx+5；(ii)20

【解析】

【分析】(1)利用相關(guān)系數(shù)的公式求解即可；(2)(i)利用回歸方程的定義計(jì)算求解即可；(ii)求出r(x)的

解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究?x)的單調(diào)性，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)f=gx+&模型的相關(guān)系數(shù)為小設(shè)_P=21nx+S模型的相關(guān)系數(shù)為G，

-可他一刃39

所以4=1~--------?--------------=[―1--------0.975,

色…&i?際

5-刃KO

々]=/'1工0.994,

啟忌27<6x7161.2

心"廠〃)心57)

由于0〈八<々，所以》=21nx+1模型擬合更好，即/=21nx+c'模型更適合刻畫(huà)日銷(xiāo)售額了關(guān)于日產(chǎn)量

x的關(guān)系

【小問(wèn)2詳解】

(i)由(1)知V關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為j)=21nx+i,

〃)(力-刃

由題可得：2=上―-------------=9.9375^10,

/—\21.6

一0

z=l

,__734.8;

c—y—u5Li------110Ax=5,

55

所以y=101nx+5

(ii)由題可得r(x)=101nx+5-—x-3=101nx-—x+2(x>l),

「22

所以/(x)=竺」20—x

V7x22x

20-x

令/(x)=-------=0解得：=20

-2xx

當(dāng)l〈x<20時(shí)，/(x)>0,當(dāng)x>20時(shí)，/(x)<0

則r(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,20),單調(diào)減區(qū)間為(20,+8),

所以當(dāng)x=20時(shí)，日利潤(rùn)r(x)最大

18.已知函數(shù)/(x)=lnx.

(1)若g(x)=/(x)，(xT,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;

X+1

(2)若0<x<1,求證：'⑴>1.

x-1e*

【答案】(1)答案見(jiàn)詳解

(2)證明見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得g(x),求導(dǎo)得g'(x):『+2(l—?x+l,對(duì)。分類談?wù)摚袛嗪瘮?shù)單調(diào)性即可.

7x(x+l)

Y_1]n22￥?1

(2)由(1)得，lnx<2(^),因?yàn)閤￡(0,l),整理得——>——，只需證——>——即可，即證

x+1x-1x+1x-le"

/z(x)=2ex-(x+l)2>0,對(duì)〃(x)求導(dǎo)分析單調(diào)性，求出最小值即可證明.

【小問(wèn)1詳解】

a(l)Y〉0

由題可得g(x)=Inx-

X+l

22

2a(x+l)-2ax_X+2(1-<2)x+1

則

(X+1)2x(x+1)2x(x+1)2

①當(dāng)A=4(l—a)?—4V0,即0?Q?2時(shí)，g'(x)20恒成立,

，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)A=4(l—a)?—4>0,即或。>2時(shí),

%2+2(1—a)x+1?.,

(i)當(dāng)QVO時(shí)，g'(x)--------7-V——>0恒成立,

x(x+1)

???g(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增;

(ii)當(dāng)。>2時(shí)，由g'(x)=%％+1=0得丁=q-]_Jq2_2q,x?=a-1+J/-2〃，經(jīng)判

斷得0<X]<x?,

當(dāng)g'(x)＞。時(shí)，0＜、＜再或X＞%2，當(dāng)g'(x)＜。時(shí)，再

??.g(x)在(0,西)，(%2，+°0)上單調(diào)遞增；在(須,％)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)。42時(shí)，g(無(wú))在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)。＞2時(shí)，g(X)在(0,西)，(/，+00)上單調(diào)遞增；在(斗工2)上單調(diào)遞減.(其中西=OT—J。？一2〃,

%2=〃-1+J〃2—2〃)-

【小問(wèn)2詳解】

V—1

由(1)得，當(dāng)a=2,g(x)=lnx-2(——)在(0,1)上單調(diào)遞增,

x+l

g(x)<g(l)=0,

x—1

lnx<2(——),

x+l

/八一Inx2

VXG(0,1),----->------,

x-lx+l

。Ii

下面證——>-一，xe(O,l),即證〃(x)=2ex—(x+l>〉0在xe(O,l)上恒成立,

x+lex''

/z,(x)=2ex-2x-2,xe(0,l),

令(p(x)=h'(x)=2ex-2x-2,xe(0,1),

"(x)=2e*—2〉0在xe(0,l)恒成立，

夕(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

M(x)>1(0)=2-2=0恒成立，

???〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

A(x)>/z(0)=2-1=1>0恒成立，

Y2

2e-(x+l)>0,即2〉區(qū)，Xe(0,l),

.4〉"即ZH〉土.

x-le*X-1ex

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)含參二次型討論單調(diào)性的參數(shù)分類方法：

求導(dǎo)后能通分則通分，通分后對(duì)分子因