備考2024年中考數(shù)學(xué)突破二倍角的解題策略：倍半角模型與絕配角（解析版）

專題1一6二倍角的解題策略：倍半角模型與絕配角

導(dǎo)語：見到2倍角的條件，首先想到“導(dǎo)”，將圖形中的角度都推導(dǎo)出來，挖掘出隱藏邊的信息，再觀察角

度的位置，結(jié)合其他條件，這里做題的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了六個(gè)字：翻、延、倍、分、導(dǎo)、造

題型?歸納

目錄

知識(shí)點(diǎn)梳理.................................................................................

策略一：向外構(gòu)造等腰（大角減半）......................................................

策略二：向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）............................................

策略三：沿直角邊翻折半角（小角加倍）..................................................

策略四：鄰二倍角的處理................................................................

【經(jīng)典例題講解】......................................................................

【一題多解1】圍繞2倍角條件，解法圍繞“翻”“延”倍”“分”................................

【一題多解2】常規(guī)法與倍半角處理對(duì)比..................................................

策略五：絕配角模型....................................................................

題因O向外構(gòu)造等腰三角形（大角減半）....................................................

2023?深圳南山區(qū)聯(lián)考二模................................................................

2023?山西?統(tǒng)考中考真題.................................................................

ms向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）................................................

題園且沿直角邊翻折半角（小角加倍）......................................................

2023?深圳寶安區(qū)二模.................................................................

2023?深圳中學(xué)聯(lián)考二模...............................................................

m0鄰二倍角的處理....................................................................

題國區(qū)絕配角.............................................................................

題四筑坐標(biāo)系中的二倍角問題..............................................................

宿遷?中考..............................................................................

鹽城?中考..............................................................................

河南.中考..............................................................................

2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題...........................................................

江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題..................................................................

內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題...........................................................

2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題.......................................................

2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題.............................................................

題四強(qiáng)其它構(gòu)造方式......................................................................

知識(shí)點(diǎn),梳理］

知識(shí)點(diǎn)梳理

策略一：向外構(gòu)造等腰（大角減半）

已知條件：如圖，在△ABC中，ZABC=2ZACB

輔助線作法：延長CB到。，使BD=BA,連接A。

結(jié)論：AD=AC,/\BDA^/\ADC

策略二：向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）

已知條件：如圖，在△ABC中，ZABC=2ZB

輔助線作法：法一：作NABC的平分線交AC于點(diǎn)。，結(jié)論：NDBC=NC,DB=DC

法二：在BC上取一點(diǎn)E,使AE=CE,則（作AC中垂線得到點(diǎn)E）

A

總結(jié)：策略一和策略二都是當(dāng)2倍角和1倍角共邊時(shí)對(duì)應(yīng)的構(gòu)造方法，下面我們?cè)賮砜纯床辉谕粋€(gè)三角

形中時(shí)該如何處理

策略三：沿直角邊翻折半角（小角加倍）

已知條件：如圖，在RtZkABC中，NACB=90°,點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，連接A￡）,ZB=2,ZCAD

輔助線作法：沿AC翻折△AC。得到XACE

結(jié)論：AD=AE,NDAE=NB,BA=BE,/\ADE^ABAE

策略四：鄰二倍角的處理

已知條件：如圖，在RtZkABC中，NC=90°,點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn)，ZBAD=2.ZCAD

輔助線作法：

法一：向外構(gòu)造等腰（導(dǎo)角得相似）

延長到E,使AE^AB,連接BE

結(jié)論：BD=BE,NDBE=NBAD,ABDE^AABE

法二：作平行線，把二倍角轉(zhuǎn)到同一個(gè)三角形中

延長AD到F,使CE〃AB,則ZF=ZBAD

［經(jīng)典例題講解】

例題1如圖，在正方形A8CZ）中，AB=1,點(diǎn)E、F分別在邊BC和CO上，AE=AF,Z￡AF=60°,則CP

的長是（）

A/3+1C.g

A.---------B縣D

42-t

【簡析】（1）方法一（常規(guī)解法）：如圖，連接所，易證△AEP為等邊三角形,

且AADF且△ABE（HL）,則DF=BE,從而CF=CE,即△CEP為等腰直角三角形；設(shè)CF=x,

則DF=l-x,AF=EF=-72x,在RtZkAZ）/中，由勾股定理可得l+（l-x）2=29,

解得x=—l（x=-—1舍去），故選C;

方法二（倍半角模型）：如圖，在邊上取點(diǎn)P,使AP=PR

同上可得△ADFgZ\A8E(//L),則ND4尸=NBAE=15°,從而NOP尸=30°；設(shè)。尸=x,則PO=6x,

AP=PF=2x,故AO=(2+百次=1,解得x=2—J^,:.CF=6一、,選C

例題2如圖，正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，平分/BAE,交BC于點(diǎn)孔將△AOE繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG,則CF的長為.

【簡析】（1）方法一（常規(guī)解法）：由題可得NAFG=ND4尸=ND4E+NE4/=N8AG+NBA尸=NE1G,即

ZAFG=ZMG,故FG=AG=AE=2下,從而CF=CG-FG=6—26；

方法二（倍半角模型）：如圖17—2—3,延長A/、￡>C交于點(diǎn)尸，易得NP=NBAF=NEAF,則尸E=AE

=2#,故CP=2、氐-2,DP=2亞+2：又易證/\PCFs/\PDA,故竺=名，即2=2堂-2

7"7°3DADP,4275+2

從而CF=6—亞;

【反思】方法一的關(guān)鍵是通過導(dǎo)角得到等腰△4尸G,方法二由“倍角NAED”造“半角NP”，并且這里的

構(gòu)造是通過“角平分線+平行線T等腰三角形”自然衍生出來的

例題3如圖，面積為24的28CD中，對(duì)角線BO平分NABC,過點(diǎn)。作。交BC的延長線于點(diǎn)E,

?！?6,貝Usin/DCE的值為（）

【簡析】方法一（常規(guī)解法）：如圖，作DG_LBE于點(diǎn)G,由題易得NC3￡）=NABO=NCZ）B,則2C=CD;

進(jìn)一步由￡>E_L2￡）,可得NCDE=NE,則CD=C￡=BC,從而SoABCD=2S^BCD=S^BDE,FpS^BDE

,“2424

=24,故80=8,BE=10,所以。G=g,CD=5,sinZDCE=—,選1tA

方法二（倍半角模型）：如圖，在2。上取點(diǎn)尸，使EF=BF,易證NDFE=2NEBF,/DCE=2/EBF,故

NDFE=/DCE,要求sin/DCE的值，只需求sin/OFE；設(shè)EF=BF=x,同上可得2￡>=8,則。/=8一%,

24DF24

在Rt/\DEF中，由勾股定理可得36+（8—x）2=V解得x=,從面sinZDFE=----=——，即sin

5EF5

24

Z￡）CE=~,選A.

5

【反思】方法一通過作高是線構(gòu)造RtZkCOG,結(jié)合面積法求解，方法二由“半角/C8?！痹臁氨督?OFE”,

結(jié)合勾股定理列方程求.

例題4如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,CD//AB,/ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)

E,則DE=.

簡析（1）方法一（常規(guī)解法）：由題得NCBD=NABO=N。，則CO=BC=6；又易得LCDEs^ABE,則——

AE

DECD3,3,39J5

=---=——=—,ikCE=—AC—3,從而BE=3仁，DE=—BE=----;

BEAB58"55

方法二（倍半南模型）：如圖，延長C2至點(diǎn)尸，使BF=AB=1Q,連接由題可得AC=8,CF=16,則tan

ZF=-;又易得NCBE=NF,故tanNCBE=」，即竺=」，從而CE=3,BE=3反；再作CG_L8￡>

22BC2"

于點(diǎn)G,易得BG=9BC=坦叵；同上可得CB=C，故8。=286=經(jīng)心，因此。后=8。-8￡=述；

-555

總結(jié)：具體問題具體對(duì)待，并非哪一種方法絕對(duì)簡單，需根據(jù)問題特征選取較為合適的方法.

【一題多解1】圍繞2倍角條件，解法圍繞“翻”“延”倍”“分”

如圖，在△ABC中，ZABC^2ZACB,AB=3,BC=5,求線段AC的長.

法1：延長或翻折向外構(gòu)造等腰（雙等腰）

A

易知4￡=20=>47=2幾

法2：翻折或取點(diǎn)向內(nèi)構(gòu)造等腰（雙等腰）

法3：作角平分線

A

y

H

3

a/

4a

B5C

3

易知△ABHs/^ACB①

x+y35

法4:翻折一邊+平行線向外作等腰（補(bǔ)成等腰梯形）

法5:向外延長作等腰

易知△ABCS/\ADC

A

H

【一題多解2】常規(guī)法與倍半角處理對(duì)比

如圖，為。。的直徑，BC、8是。。的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)8、。，點(diǎn)E為線段02上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

CE

接。。、CE、DE,已知AB=26，BC=2,當(dāng)CE+OE的值最小時(shí)，則——的值為（）

簡析（1）方法一（常規(guī)解法）：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CD,交AB于點(diǎn)E,連接CE,此時(shí)

CE+DE取得最小值，且——=——；再作DG±AB于點(diǎn)G連接。C、80,易證△OBCZAODC,則NBOC

DEDE

2ZBOC=—,從而BO=48sinNA=述；又

=NDOC=NA,故sinZA=sinZBOC=—,cosZA=cos

333

叵義好=衛(wèi)；由ACBES/\DGE,可得空

易證N3OG=ZA,故DG=BDcosNBDG=BDcosNA=—

339DE

CB9…CE止

=----=一,因此——=10,選A;

DG10DE

JD

方法二（倍半角模型）：如圖17-4-3,同上作相關(guān)輔助線，易得NOOG=2N3OC；在03上取點(diǎn)尸，使。尸

=CF,則N5=2N3OC=NOOG;設(shè)。/=。/=元，則3/=J5-x,在RtABCF中，由勾股定理得4

22

+（^5-x）=x,解得x=9石,故smZDOG=sinZBFC=46，從而DG=ODsinZDOG=2Q，下略；

"W"~9~~9

D

方法三（面積法）：如圖17-4-4,同上作相關(guān)輔助線（為說理方便,省去部分線段），則NOOG=2N5OC=

ZCOC；再作CH，。。于點(diǎn)H',易得CH=CCOB=4下,故sinZDOG=sinZCOC=4行,下略.

0C亍~9~

D

C

￥B

、-----C

反思：本題結(jié)構(gòu)相當(dāng)于已知“半角求“倍角NZJOG”，方法一通過作高法，構(gòu)造直角三角形求解；方

法二構(gòu)造“倍半角模型”，結(jié)合勾股定理列方程求解；方法三依然基于導(dǎo)角分析，借助對(duì)稱性,結(jié)合面積法求

解.以上提供的三種方法都是“倍半角''處理的常見方法.

如圖，AB為00的直徑,。患弧的中點(diǎn)，BC與AD、0。分別交于點(diǎn)￡F.

(1)求證：DO//AC；

⑵求證：DE-DA=DC2

⑶若tanZ.CAD――,求sin^CDA的值。

2

簡析(1)如圖，連接。C,易證D0_L2C且AC_L8C,故DOHAC;

(2)由題可得NBC￡>=NCA￡),故△DCEsafHC,進(jìn)一步可證DE-D4=DC2；

CE]DE]

(3)方法一(母子型相似)：由tan/CW二一，可得?一二一；又XDCEs故‘一二一二一=-；設(shè)DE

2AC2DCDAAC2

PEDEFE1

=k,則。。=2%,DA=4kfAE=3k;又易證——=—,故——=-;由此再設(shè)廠E=m，則CE=3m，CF=

CEAECE3

33

4m,從而BC=8m,AC=&mf因此A3=10根，sinZB=—,FpsinZCDA=—；

方法二(角平分線之雙垂法)：如，作EG_LA5于點(diǎn)G,易證△AECgZkAEG;由tanNCAO='，

2

BCBAAC

可設(shè)CE=1,AC=2,則EG=1,AG=2;又易得ABEGs/\BAC,——二——=——=2,;再設(shè)5G=x,則

BGBEEG

4

BC=2x,BA=BG+AG=x+2,BE=BC-CE=2x~\,從而有x+2=2（2x-l）,解得元二7所以AB=

10.AC3口一/心,3

——,sinZB==—,即sinZ.CDA=-；

3AB55

方法三（角平分線之對(duì)稱策略）：如圖，連接3。并延長，交AC的延長線于點(diǎn)尸，由題可設(shè)3￡>=尸￡）=1,

則AD=2,AB=AP=??；又sinZPBC=sinZB4D=y-,故PC=P8?sinNP3C=詈從而AC=

ay33

AP-CP=壬因Mssin/B=——=—，即sinZCDA=-

5AB55

方法四（倍半角模型）：如圖17—14一4,在AC上取點(diǎn)使則NCM￡=2NCAD=N8AC；

22

由題可設(shè)CE=l,AC=2f再設(shè)則CM=2-xf在中，由勾股定理可得1+(2-x)=x,

53CM3333

解得元二一，從而CM二一，itcosACME-----=—,即cosNB4C=—,所以sin/B=—,sinNCD4=—.

44ME5555

反思：本題的結(jié)構(gòu)為已知“半角NCAD“求“倍角N84C”，從而轉(zhuǎn)化為其余角NC7M。以上提供的前三種方

法都是借助相似或三角函數(shù)等進(jìn)行計(jì)算，屬常規(guī)思路，方法四基于導(dǎo)角分析，構(gòu)造“倍半角模型”，顯得尤

為簡單、直接，直指問題本質(zhì)。

策略五：絕配角模型

【釋義】當(dāng)加，n兩個(gè)角滿足加+2〃=180°時(shí)，稱其為一對(duì)絕配角，或者：半角的余角與它本身稱為絕配

角

【舉例】常見的劇配角組合如下：

絕配角組合1組合2組合3組合4組合5

m2a90+2。90—2a60+2a60—2a

n90—a45—a45+a60—a60—a

【解決】

思路（一）：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。，構(gòu)造等腰三角形。

思路（二）：根據(jù)平角是180。，機(jī)和2個(gè)w構(gòu)成一個(gè)平角（有兩條邊在同一直線上）

用一句話概括為：有等腰找等腰，沒等腰造等腰

其中“等腰”指的是以加為頂角、以w為底角的等腰三角形，了解絕配角模型，可以給我們提供一些輔助

線思路

（一）共頂共邊①翻折

當(dāng)兩個(gè)角滿足兩個(gè)角滿足機(jī)+2〃=180。時(shí)，且共頂點(diǎn)共一邊，這樣的兩個(gè)角是什么樣的呢？

C

發(fā)現(xiàn)。。為/AOB鄰補(bǔ)角的平分線，此時(shí)處理問題一般用翻折，把OB沿OD翻折.

AE

例題1：已知Rt^ABC中NC=90°,DE=3DC,2ZE=ZCAD,求——的值.

AD

A

絕配角

方法一：分析：/EAC與NDAC是共點(diǎn)A的絕配角，

絕配角重疊，要翻折兩次.

解：將aAEC關(guān)于AE作軸對(duì)稱圖形，將aADC關(guān)于AC作軸對(duì)稱圖形，如圖，4EFG為直角三角形

設(shè)DC=x,。石=3匕則防=4%,CG=x^EG=5x^>FG=3x

_GAC~^GEF^AC=-x,AD=-x,AE=生回了

333

口“丁FLAE4A/10

即可求出——=——

AD5

方法二：分析：由于NCAD=2t,構(gòu)造一個(gè)以NA為頂點(diǎn)的等腰△ADK,然后出現(xiàn)△ECA~ZsDCK

解：構(gòu)造以NA為頂點(diǎn)的等腰△ADK(AD=AK).

導(dǎo)角易得NCDK=ZAEC,AECA-ADCK

ACEC

-----=------=4,設(shè)CK=x,AC=4x,AD=5x,DC=3x,ED=9x

CKDC

AD5

(二)共三角形③等腰

(1)若根,〃=90°-'為同一個(gè)三角形的內(nèi)角，則此時(shí)三角形為等腰三角形.

2

⑵若加,〃=90°+生分別為同一個(gè)三角形的內(nèi)角和外角，則另一內(nèi)角為90°-此時(shí)三角形為等腰三角

22

形

(3)若加,九=90°-1分別為同一個(gè)三角形的內(nèi)角和外角，此時(shí)可以以加為頂角作等腰三角形，此時(shí)會(huì)構(gòu)成

另一個(gè)相似的等腰三角形.

(4)若私〃=90°+'為同一個(gè)三角形的內(nèi)角，與(3)的情況相同.

2

總結(jié)：“半角的余角，等腰形來找”

例題2:如圖在矩形ABC。中，點(diǎn)E,P分別為A。，C。的中點(diǎn)，連接BE,BF,^LZABE=2ZFBC,若

BE=5,則BP的長度為.

解法一：將△8EC沿CB翻折，交DC的延長線于點(diǎn)G,延長CD交BE的延長線于點(diǎn)H,ZG=ZBFC=90~a,

ZH^2a,△B8G為等腰，5元=10,x=2,AE=3,BC=&,BF=3也.

解法二：

連接并延長交8A的延長導(dǎo)角，得出△PHC為等腰三角形，平行不改變形狀，4G①/為等腰三角形。根據(jù)

腰等得出10—x=4無，可求8尸=3指

解法三：取中點(diǎn)G,連接CG,延長BE交C￡）的延長線于點(diǎn)”，得到導(dǎo)南得出△BGK

為等腰平行不改變形狀，也為等腰。根據(jù)腰等得出10—x=4無，可求

G

以上三種解法都是利用造全等，轉(zhuǎn)移角，構(gòu)等腰，得出邊的等量關(guān)系來求解。

此題還可以構(gòu)直接造等腰。用相似得出邊的數(shù)量關(guān)系求解。請(qǐng)看解法四

AKG45

解法四：可以直接利用NABE=2a,構(gòu)等腰AGBE,ABCF-AEAG?—=—.根據(jù)腰等得出一x=5,

BCCF2

可求BF

|重點(diǎn)題型?歸類精練,

題園。向外構(gòu)造等腰三角形（大角減半）

1.如圖，在△ABC中，ZABC=2ZCfBC=a,AC=b,AB=c,探究4,b,c滿足的關(guān)系.

解：延長C3到，使BD=AB=c,連接AD.

DBC

則N5AO=NO,AZABC=2ZD.

VZABC=2ZC,AZZ)=ZC,

：.AD=AC=bfABADsLACD,

AZ)CDb-+c

?*?BD=AD,「?c=b,

.\b2=c(a+c).

2.如圖，在△ABC中，ZABC=2,ZC,AB=3,AC=2季,求8C的長.

解：延長C8到D,使DB=AB=3,連接AD.

則NQ=ND4B,NABC=2ND.

VZABC=2ZC,AZC=ZD=ZDAB,

.?.AO=AC=2/，/\BDA^/\ADC,

ADCD2^6CD

??BDAD,3=>

:.CD=8,，BC=5.

2023?深圳南山區(qū)聯(lián)考二模

3.一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，。為A8中點(diǎn)，E、尸分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊

AC.BC的交點(diǎn)，已知AE=2,CE=5,連接。E,M為BC上一點(diǎn)，且滿足/CME=2NAOE,EM=—.

BB

圖1圖2

29

【答案】q

4

【分析】由CE=5,AE=2,得AC=7,利用勾股定理，得到AD的長度，過E作EN_LAD于N,求出EN

和DN的長度，由于/CME=2NADE,延長MB至P,是MP=ME,可以證明ADNE_PCE,MP=x，在&MCE

中，利用勾股定理列出方程，即可求解.

【詳解】解：如圖，過E作EN_LAD于N,

ZEND=ZENA=90°,

:.ZNEA=ZA=45°,

；.NE=NA,

AE=附2=五NA,

Apf-

：.NE=NA='=叵

垃

同理，AD=^=—,

V22

:.DN=AD-NA=—!—,

2

延長MB至P,使MP=ME,連接PE,

工可設(shè)/MPE=/MEP=x,

:./EMC=/MPE+/MEP=2x,

/EMC=2ZADE,

ZADE=ZMPE=x,

又ZDNE=ZPCE=90°,

:.,DNEPCE,

.CENEV2_2

一而一而—77?一M

2

25

設(shè)MP=ME=x,貝i]CM=-----x,

2

在RtMCE中，ME2=CM2+CE2,

25xY+25=x2,.-.x=y

2023?山西?統(tǒng)考中考真題

4.如圖，在四邊形ABCD中，ZfiCD=90°,對(duì)角線AC,6￡＞相交于點(diǎn)0.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2.ZCBD,則AD的長為.

【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AH,3c于點(diǎn)H,延長AD,BC交于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出

BH=HC=；BC=3,根據(jù)勾股定理求出A//=<AC。-CH。=4，t正明NCBD=NCED,得出DB=DE,根

據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CE=5C=6,證明CD〃AH,得出生=g，求出CD=§,根據(jù)勾股定理求出

AHHE3

DE=JCE2+CD?0+&￥=-,根據(jù)CD〃AH,得出匹=里,即當(dāng)76,求出結(jié)果即可.

V⑴3ADCH

【詳解】解：過點(diǎn)A作A〃_L3C于點(diǎn)，，延長AO,BC交于點(diǎn)E,如圖所示:

A

BHCE

則NAHC=NAHB=90。，

?.?AB=AC=5,BC=6f

.?.BH=HC=-BC=3

2f

-AH=YIAC2-CH2=4.

■:ZADB=ACBD+Z.CED,ZADB=2/CBD,

：./CBD=/CED,

:.DB=DE,

9：ZBCD=9Q0,

：.DC1BE,

CE=BC=6,

EH=CE+CH=9,

?：DC上BE,AH.LBC,

：.CD//AH,

：.ECD?EHA,

.CDCE

??南一麗‘

Q

解得：CD=-f

：.DE=VC￡2+CD2=

?：CD//AH,

.DE_CE

??茄一麗’

2歷

即二

AD~3

解得：AD=^-

3

5.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,A。平分/BAC,A。交BC于點(diǎn)。，EDLAD

交AB于點(diǎn)E,△&￡)￡的外接圓。。交AC于點(diǎn)兒連接EF.

(1)求證：是OO的切線；

(2)求。。的半徑，及N3的正切值.

簡析(1)如圖，連接。。由題易得N2=N1=NOD4,則。O〃AC,故NOZ)B=NC=90°,即。。_L3C,

所以BC是。。的切線；

(2)方法一(常規(guī)解法)：由OO〃AC,可得ABODs^BAC,則型=竺，即人=比上，解得「=”；

ACAB610

CD=-BC=3

方法二(倍半角模型)：如圖17—8—3,延長CA至點(diǎn)P,使AP=A8=10,易證N3=N2=N1=NP,故

8c1]

tanN3=tanNP=——=—;又由tanN2=—,可得CZ)=3,故BD=5,從而易得廠=

PC22

6.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)P在A2的延長線上，點(diǎn)C在。。上，且尸

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)已知PC=20,PB=10,點(diǎn)。是弧AB的中點(diǎn)，DELAC,垂足為E,OE交AB于點(diǎn)F,求EF的長.

c

D

PCPB

簡析（1）如圖，連接oc,由尸C2=P8.R1,可得——=——,又NP=NP,故APCBs4PAC,從而NPC3=

PAPC

NA=NACO,進(jìn)一步可證NOCP=NAC3=90°,即OC_LC尸，所以尸C是。。的切線；

（2）方法一（常規(guī)解法）：連接0。，易證OOJ_A5；由尸。2=尸89，可得B4=40,AB=30;又由△尸CBs4

iCBPB1?111515注

PAC,可付---=——=—,故tanZ￡)=tanZA=—,從而0F=—0D=——，AF=OA-OF=——,進(jìn)一

ACPC22222

步可得EF=AF-sinZA=地；

2

方法二（倍半角模型）：同上可得AB=30,則OC=15,OP=25,即OC：CP：OP=3：4：5；如圖17-9-

3,延長CO至點(diǎn)Q,ftOQ—OP,易得tanNO=tanNA=tanNQ=g,

下略.

反思：這是一個(gè)確定性問題，其結(jié)構(gòu)相當(dāng)于已知“倍角NP0C'求“半角NA”，方法一利用“母子型相思似”求

解，方法二構(gòu)造“倍半角模型”求解，相對(duì)而言，前者更簡單，后者更通用

題因之向內(nèi)構(gòu)造等腰（小角加倍或大角減半）

An1

如圖，在中，點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，ZACD^2ZB,礪=三，求的值.

7.ZACB=90°,A2DUJcos3

A

BC

解：過點(diǎn)。作于點(diǎn)E.

VZACB=90°,AZACE=90°-ZBCE=ZB.

VZACD=2ZB,：.ZACD=2ZACE,

：.ZACE=/DCE,：.NA=ZCDE,

：.AC=DC,：.AE=DE.

設(shè)AE=DE=a,則AD=2mBD=6a,BE=7a.

VZACE=ZB,ZAEC=ZCEB=90°f

A人AECE

：廠口=DG

ACEAs/\BEC,?CEBE

.,.瑪=等，：.CE=y[7a,：.BC=y)BE2+CE2=2y[lla,

.rBE7ayn

??cos"k可工=4'

8.如圖，在Rt^ABC中，N8AC=90。，點(diǎn)。為邊5C上一點(diǎn)，ZBAD=2ZCfBD=2,CD=3f求A。的

長.

解：過點(diǎn)A作AELBC于點(diǎn)E.

VZBAC=90°,AZBAE=90°-ZCAE=ZC.

ZBAD=2ZC,：.NBAD=2/BAE,

???NBAE=ZDAE,：.NB=ZADE,

1

：.AB=AD,：.BE=DE=~BD=1,：.CE=4.

VZBAE=ZC,ZAEB=ZCEA=90°f

AECE

1，方法

AABE^ACAE,DtL=AE

...華=.'.AE=2,.,.AD=y)DE2+AE2=/.

9.如圖，BM是以AB為直徑的。。的切線，B為切點(diǎn)，BC平分/A2M,弦C￡＞交A3于點(diǎn)E,DE=OE.

(1)求證：△ACB是等腰直角三角形；

(2)求證：OA2=O￡DC；

⑶求tan/ACZ)的值.

簡析(1)由題易得NA2C=45。，從而易證AACB是等腰直角三角形;

(2)如圖，連接OC、0D,易［正NDOE=ND=NOCD,故△DOES/YDCO,從而易得。I)?=DEDC,即OA2

=OE-DC;

(3)方法一(倍半角模型)：如圖，連接A。、BD,設(shè)NACO=x,則NA3O=x,ZAOD=2x,從而NCEO=4x,

ZCAE=3x=45°,所以x=15°;在8。上取點(diǎn)匕彳吏AF=BF,則NA尸。=30°;由此可設(shè)AZ)=Z,則

DF=Rk,AF=BF=2k,從而50=(2+百)%,故tanN45O=-----=2一6，即tanNAC￡)=2一6；

BD

方法二(解三角形)：同上可得NACO=15。，則NBCE=75°,NBEC=60°;如圖17—10—4,作EG上BC

于點(diǎn)G,可設(shè)OE=1,貝|OB=OC=逝，BC=#,BE=6+\,從而BG=EG=^=&^Z,CG

住5CG

=BC—BG=----------,故tanZACD=tanZCEG=——=2—也

2EG7

圖17-10-4

反思：（2）主要通過換邊，結(jié)合相似證乘積式；（3）通過導(dǎo)角得到15°,方法一借助“倍半角模型”，由特殊角

30。求“特殊半角”15。，方法二的本質(zhì)是解ABCE,顯然前者更為簡便

10.如圖，在四邊形ABC。中，ZABD=2ZBDC,AB=AC=BD=4,CD=1,求BC的長.

解：過點(diǎn)8作于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CfUBE于點(diǎn)凡

'：AB=BD,C.AE^DE,ZABE=2ZDBE,

：.NABD=2/DBE.

"?/ABD=2/BDC,：.ZBDC=ZDBE,

J.CD//BE,：.CD±AD,

四邊形C￡>E歹是矩形，AD=7AC?-CD2=#,

：.EF^CD^1,AE=DE=^~,

：.BE=^BD-DE2=-1,:.BF=BE-EF二三,

：.BC^y)BF2+CF2=A/10.

11.如圖，在△ABC中，NC=2NB,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，AE是8c邊上的高，若AE=4,CE=2,求DE

的長.

A

解：取A3的中點(diǎn)連接MD,ME.

丁點(diǎn)。是5C中點(diǎn)，JATO是△ABC的中位線,

1

：.MD//AC,MD=yAC,AZBDM=ZC.

*：ZC=2ZB,：.ZBDM=2ZB.

TAE1是3c邊上的高，AZAEB=90°,

1

：.ME=—AB=MBf:?/B=/MED,

：.ZBDM=2ZMED,：.ZDME=NMED,

:?DE=DM=--AC=~^\IAE2+CE2=y[5.

12.如圖，在△ABC中，ZABC=2ZC,AO_L5C于點(diǎn)O,AE1為5C邊上的中線，50=3,DE=2,求AE

的長.

BDEC

解：延長C5到R使連接AF.

FBDEC

則NF=NBARZABC=2ZF.

TAE是中線，：?BE=EC,；,BD+DE=EC.

VZABC=2ZC,：.ZF=ZC,：.AF=AC.

VAZ)±BC,：.DF=DC,:,BF+BD=DE+EC,

：.AB-^BD=DE-^BD+DEf：.AB=2DE=^9

：.AD2^AB2-BD2^7,；.AE=y]DE2+AD?=4.

13.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,點(diǎn)。為BC邊上一點(diǎn)，8O=2DC,點(diǎn)E在的延長線上，ZABC

=2ZDEC,AD-DE=18,求sin/BAC的值.

解：延長到尸，使BE=AB,連接AF,過點(diǎn)A作AGLBC于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作瓦/LAC于點(diǎn)H.

則/F=ZBAF,：.NABC=2ZF.

VZABC=2ZDEC,：.ZF=ZDEC.

../.nir—/Lnz7.4°CD

?NA。/一/CDE,??DF—DE9

：.CD-DF=AD-DE=18.

設(shè)CO=m則5。=2〃，=2〃+5,

9

.,.〃(2q+5)=18,解得〃=一萬(舍去)或4=2,

：.BC=3a=6,：.BG=CG=3,：.AG=y)52-32=4,

424BH24

/.BH=~BC=sinZBAC=TD=77-

55~A~b25

14.如圖，在D48CO中，ZD=2ZACB,AE平分NBAC交3C于點(diǎn)E,若BE=2,CE=3,求AE的長.

解：延長CB到R使8尸=AB,連接AR過點(diǎn)A作于點(diǎn)H,

過點(diǎn)E作EM_LAB于點(diǎn)M,EN_LAC于點(diǎn)N.

FBHEC

則/F=ZBAF,：.NABC=2NF.

丁四邊形ABC￡）是平行四邊形，AZABC=ZD.

VZD=2ZACB,：.ZABC=2ZACB,

AFCF

：.ZF=AABF^ACAF,=

ZACB9:.AF=AC9Drf\r

TAE平分N3AC,:.EM=EN,

1

0-AB-EM