條件改變之后的概率

PAGEPAGE4條件改變之后的概率對(duì)由于條件改變而引起的概率悖論的討論【摘要】:悖論在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在,但他們最經(jīng)常是在一個(gè)比較高級(jí)的水平上出現(xiàn).然而在概率方面.悖論卻在一個(gè)比較簡(jiǎn)單的水平上出現(xiàn).本文主要運(yùn)用全概率公式和貝葉斯公式,解決一些由于條件改變而引起的概率悖論.并且通過(guò)分析兩種常見(jiàn)的概率悖論,探討概率悖論形成的原因,以及解決的方法,以期引起讀者的重視和思索.【關(guān)鍵詞】:數(shù)學(xué);悖論;條件概率;特指前言悖論,從字面上講就是荒謬的理論.關(guān)于悖論的起源,可以追溯到古希臘和我國(guó)先秦哲學(xué)時(shí)代.但是在那時(shí)及其往后的一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期中,悖論往往泛指那些推理過(guò)程看上去是合理,但是推理的結(jié)果卻又違背客觀實(shí)際.如著名的芝諾悖論中的阿基里斯追龜說(shuō):阿基里斯(一個(gè)善跑的猛將)要追上在前面跑的烏龜,必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn),而那時(shí)烏龜又已經(jīng)跑過(guò)前面一段路了,如此這樣往復(fù),因此阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜.[1][1]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講(第三版)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2002.在歷史上,還有另一種與之相反的情形而稱之為悖論,那就是由于新概念的引人而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念,這就不是推理看上去好像是合理的問(wèn)題,而是傳統(tǒng)觀念貌似事實(shí)的事了.例如伽利略悖論:自古人們就認(rèn)為“整體大于部分”,現(xiàn)在有兩個(gè)數(shù)列和,“整體大于部分”的觀點(diǎn),第二個(gè)數(shù)列中元素的個(gè)數(shù)會(huì)少于第一個(gè)數(shù)列.但是從對(duì)應(yīng)的角度看,第一個(gè)數(shù)列中的任意項(xiàng)總可以和第二個(gè)數(shù)列中的對(duì)應(yīng),因此兩個(gè)數(shù)列中的元素是一樣多的.[2]凌曉牧.小議數(shù)學(xué)悖論.江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）,2010年第26卷第12期.2][2]凌曉牧.小議數(shù)學(xué)悖論.江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）,2010年第26卷第12期.知識(shí)準(zhǔn)備2.1樣本空間對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn),盡管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知試驗(yàn)的結(jié)果,但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合是已知的.我們將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間.2.2概率在一次試驗(yàn)中,一個(gè)事件(除必然事件與不可能事件外)可能發(fā)生也可能不發(fā)生,其發(fā)生的可能性的大小是客觀存在的.事件發(fā)生的頻率以及它的穩(wěn)定性,表明能用一個(gè)數(shù)來(lái)表征事件在一次試驗(yàn)中的可能性大小.我們從頻率的穩(wěn)定性及頻率的性質(zhì)得到啟發(fā)和抽象,給出了概率的定義.我們定義了一個(gè)集合(事件)的函數(shù),它滿足三條基本性質(zhì):非負(fù)性:對(duì)于每一個(gè)事件A,有;規(guī)范性:對(duì)于必然事件S,有;可列可加性:設(shè)是兩兩互不相容的事件,即對(duì)于?,,有這一函數(shù)的函數(shù)值就定義為事件A的概率.[3][3]王潘玲.應(yīng)用高等數(shù)學(xué)[M].杭州,浙江科學(xué)技術(shù)出版社,2004年.36-38.2.3古典概型中的概率概率的定義只給出概率必須滿足的三條基本性質(zhì),并未對(duì)事件A的概率給定一個(gè)具體的數(shù).只在古典概型的情況下,對(duì)于每個(gè)事件A給出了概率.一般,我們可以進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn),得到事件A的頻率,而以頻率作為的近似值.或者根據(jù)概率的性質(zhì)分析,得到的取值.2.4條件概率在古典概型中,我們證明了條件概率的公式在一般的情況,上述公式作為條件概率的定義.固定A,條件概率具有概率定義中的三條基本性質(zhì),因而條件概率是一種概率.[4][4]盛驟等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).北京.高等教育出版社.2008，6（4）：1-24.一些經(jīng)典的概率悖論3.1三門(mén)問(wèn)題這是條件概率中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題了.說(shuō)在一次綜藝節(jié)目上,設(shè)置了三個(gè)門(mén),其中一個(gè)門(mén)后面是汽車,而另外兩個(gè)門(mén)后面則是山羊.有一個(gè)嘉賓上去抽獎(jiǎng),當(dāng)然想抽到汽車了.第一步,他先選中一個(gè)門(mén),比如說(shuō)1號(hào)門(mén).選中了但不打開(kāi)門(mén).這時(shí)剩下的兩個(gè)門(mén)里,至少有一個(gè)門(mén)背后是羊,對(duì)吧.第二步,主持人過(guò)來(lái)了,當(dāng)然,他事先是知道汽車在哪個(gè)門(mén)后的.他在嘉賓剩下的那兩個(gè)門(mén)中,把一個(gè)有羊的門(mén)打開(kāi)了,比如說(shuō),打開(kāi)了3號(hào)門(mén),門(mén)后有羊.現(xiàn)在的問(wèn)題就是嘉賓是堅(jiān)持選他剛才選的1號(hào)門(mén)對(duì)他有利,還是改選剩下的2號(hào)門(mén)對(duì)他有利.[5][5]馬丁?加德納.從驚訝到思考――數(shù)學(xué)悖論奇景[M].四川:四川人民出版社,1985:1-108.第一種想法:每一個(gè)門(mén)后是汽車的概率都是,不管主持人怎么開(kāi)門(mén),每個(gè)門(mén)后的獎(jiǎng)品都沒(méi)被換過(guò),那概率怎么會(huì)改變呢?1號(hào)門(mén)和2號(hào)門(mén)中獎(jiǎng)的概率仍舊都是.第二種想法:當(dāng)主持人打開(kāi)了一個(gè)門(mén)后,剩下了兩個(gè)門(mén),其中一個(gè)有羊,另一個(gè)有汽車,1號(hào)門(mén)和2號(hào)門(mén)背后有汽車的概率都是.這兩種想法當(dāng)然都是錯(cuò)誤的.下面我們用概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下.我們以表示事件"在號(hào)門(mén)后面有汽車",以表示事件"主持人打開(kāi)的是在討論"星期二男孩問(wèn)題"之前,我們先討論另外一個(gè)問(wèn)題以作鋪墊.問(wèn)題ａ:老張有兩個(gè)孩子,已知其中一個(gè)是女兒,問(wèn)另一個(gè)也是女兒的概率是多少?問(wèn)題ｂ:老張有兩個(gè)孩子,給他家打電話,接電話的是他女兒,問(wèn)他有兩個(gè)女兒的概率是多少?[9][9]王秀芳,郝素娥.論數(shù)學(xué)悖論的思維特色[J].山西大學(xué)師范學(xué)院（綜合版）,1993,（2）.好多沒(méi)接觸過(guò)條件概率的人,一看到這種問(wèn)題就直接糊涂了:"這兩個(gè)問(wèn)題有什么不一樣嗎?兩個(gè)問(wèn)題不都是知道其中有一個(gè)是女兒,然后問(wèn)另一個(gè)也是女兒的概率嗎?概率不應(yīng)該都是嗎?"其實(shí)這只是涉及到條件概率的一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題.我們先列出一個(gè)表格,把老張家兩個(gè)孩子性別的所有可能都列出來(lái).表格SEQ表格\*ARABIC2老張家兩個(gè)孩子性別的所有可能編號(hào)第一個(gè)孩子第二個(gè)孩子1女女2女男3男女4男男令A(yù),B,C分別表示事件"老張有兩個(gè)兒子","老張有一兒一女","老張有兩個(gè)女兒".則由上表顯然有令E,F分別表示事件"其中一個(gè)是女兒","接電話的是女兒".顯然E發(fā)生的概率就是Ｂ和Ｃ發(fā)生的概率大小之和而F發(fā)生的概率可以用全概率公式求得為了更好地比較與,我們也用全概率公式計(jì)算一遍而問(wèn)題a與問(wèn)題b可以分別等價(jià)于求"在E發(fā)生的條件下C發(fā)生的概率"和"在F發(fā)生的條件下C發(fā)生的概率",即要求和.這兩個(gè)概率可以用貝葉斯公式計(jì)算得到那么是什么造成了這兩個(gè)概率的不同呢?我們可以這樣想,在問(wèn)題a中"其中一個(gè)是女兒"可以指兩個(gè)孩子中隨便一個(gè).也就是說(shuō),當(dāng)這個(gè)"女兒"沒(méi)有特指哪個(gè)孩子的時(shí)候,所以可能的情況比較多一些.而在這些情況中,"兩個(gè)都是女兒"的情況只占其中的一種,從而使"兩個(gè)都是女兒"的概率小一點(diǎn),是.而在題b中,"接電話的是女兒"中的"女兒"有特指,指的就是接電話的這個(gè)孩子.此時(shí),"兩個(gè)都是女兒"等價(jià)于"沒(méi)接電話的孩子也是女兒",所以的可能情況當(dāng)然要少一點(diǎn).而在這些情況中,"兩個(gè)都是女兒"的情況同樣只占一種,從而使"兩個(gè)都是女兒"的概率小一點(diǎn),是.[10]陶理.關(guān)于數(shù)學(xué)悖論的認(rèn)識(shí)問(wèn)題[J].東北師大學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版）,1993.[10]陶理.關(guān)于數(shù)學(xué)悖論的認(rèn)識(shí)問(wèn)題[J].東北師大學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版）,1993.在明白上面這個(gè)問(wèn)題后,我們?cè)賮?lái)討論”星期二男孩問(wèn)題”.這個(gè)問(wèn)題是這樣說(shuō)的:一個(gè)人有兩個(gè)小孩,其中有一個(gè)是生于星期二的男孩,問(wèn)另一個(gè)也是男孩的概率是多少?許多人一接觸到這題目以后,第一個(gè)反應(yīng)便是:答案肯定是嘛.兩個(gè)孩子的性別是獨(dú)立的,不論一個(gè)孩子的性別是什么都不會(huì)影響到另一個(gè)(不考慮極端或特殊情況),至于題目中的"星期二",大概是一個(gè)迷惑人用的無(wú)用信息吧.當(dāng)然,在經(jīng)過(guò)上一個(gè)問(wèn)題的分析討論之后,我們可能好這樣想:在這個(gè)”男孩”沒(méi)有特指的情況下,答案肯定不是,而是,至于出生日期什么的,應(yīng)該不會(huì)影響到孩子的性別吧.但是經(jīng)過(guò)計(jì)算之后,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn),情況好像跟我們所想的有些不一樣.我們先來(lái)做幾個(gè)相似的試驗(yàn),可能就會(huì)看得比較明白一點(diǎn).試驗(yàn)1:有兩個(gè)硬幣,正面標(biāo)有數(shù)字1,反面標(biāo)有數(shù)字2.拋擲這兩枚硬幣,假定是在理想狀態(tài)下,也就是說(shuō)每一枚硬幣正面朝上和反面朝上的概率是1/2.拋擲后,發(fā)現(xiàn)其中一枚硬幣朝上一面的數(shù)字是2,問(wèn)另一枚硬幣朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率是多少?試驗(yàn)2:有兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子,每個(gè)骰子有六個(gè)面,上面分別標(biāo)有1~6的數(shù)字,擲一個(gè)骰子時(shí),哪個(gè)數(shù)字朝上是完全隨機(jī)的,即每個(gè)數(shù)字朝上的概率都是.現(xiàn)在,投擲兩個(gè)骰子,發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)骰子朝上的一面是2,問(wèn)另一個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率是多少?試驗(yàn)3:有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被等分為14個(gè)部分,上面分別標(biāo)有1~14的數(shù)字,轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)并停止時(shí),停在每個(gè)數(shù)字上的概率都是相同的,即.現(xiàn)在轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),停止后,發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)的數(shù)字是4,問(wèn)另一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)上的數(shù)字為偶數(shù)的概率是多少?[11][11]王新愛(ài).淺論數(shù)學(xué)悖論的積極意義.考試周刊,2009年24期對(duì)比這三個(gè)試驗(yàn),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有很多相似的地放:都有一個(gè)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器(硬幣,骰子或轉(zhuǎn)盤(pán));都知道其中一個(gè)隨機(jī)數(shù)是2,卻沒(méi)有特指這個(gè)隨機(jī)數(shù)由哪個(gè)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器產(chǎn)生;都是問(wèn)另一個(gè)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是偶數(shù)的概率.而這種已經(jīng)給了信息,但并沒(méi)有特指情況,我們前面已經(jīng)做過(guò)討論,只需把它們的所有可能都列出來(lái)就很好計(jì)算了.我們現(xiàn)在分別列出這三個(gè)試驗(yàn)的所有可能(見(jiàn)下表)表格SEQ表格\*ARABIC3試驗(yàn)一的所有可能結(jié)果XY121(1,1)(2,1)2(1,2)(2,2)表格SEQ表格\*ARABIC4試驗(yàn)二的所有可能結(jié)果XY1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)表格SEQ表格\*ARABIC5試驗(yàn)三的所有可能結(jié)果XY123456789101112131411,12,13,14,15,16,17,18,19,110,111,112,113,114,121,22,23,24,25,26,27,28,29,210,211,212,213,214,231,32,33,34,35,36,37,38,39,310,311,312,313,314,341,42,43,44,45,46,47,48,49,410,411,412,413,414,451,52,53,54,55,56,57,58,59,510,511,512,513,514,561,62,63,64,65,66,67,68,69,610,611,612,613,614,671,72,73,74,75,76,77,78,79,710,711,712,713,714,781,82,83,84,85,86,87,88,89,810,811,812,813,814,891,92,93,94,95,96,97,98,99,910,911,912,913,914,9101,102,103,104,105,106,107,108,109,1010,1011,1012,1013,1014,10111,112,113,114,115,116,117,118,119,1110,1111,1112,1113,1114,11121,122,123,124,125,126,127,128,129,1210,1211,1212,1213,1214,12131,132,133,134,135,136,137,138,139,1310,1311,1312,1313,1314,13141,142,143,144,145,146,147,148,149,1410,1411,1412,1413,1414,14從上面三個(gè)表格可以看出,三個(gè)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果分別是種,種,種.而三個(gè)表格中添加陰影的部分,分別是包含數(shù)字2,2,4的所有可能結(jié)果,分別是3種,11種,27種.而在這些結(jié)果中另一個(gè)數(shù)字也是偶數(shù)的項(xiàng)用粗體字標(biāo)了出來(lái).可以看到,分別有1種,5種,13種.于是,三個(gè)試驗(yàn)中最后所問(wèn)的概率分別是討論到這里,有些人要問(wèn)了:這和”星期二”的問(wèn)題有什么關(guān)系嗎?當(dāng)然有關(guān)系.事實(shí)上,試驗(yàn)三中14個(gè)數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)問(wèn)題,就是”星期二男孩”的一個(gè)等價(jià)描述.要將”轉(zhuǎn)盤(pán)問(wèn)題”轉(zhuǎn)換為”星期二男孩問(wèn)題”,我們只需要做以下的映射即可:于是,在”星期二男孩問(wèn)題”中,已知”其中一個(gè)是生于星期二的男孩”(相當(dāng)于其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)的數(shù)字是4),另一個(gè)孩子也是男孩(相當(dāng)于另一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)上的數(shù)字為偶數(shù))的概率就是.經(jīng)過(guò)我們的計(jì)算,我們發(fā)現(xiàn),似乎一個(gè)孩子的出生日期能影響到另外一個(gè)孩子的性別.這幾乎是荒謬的,但我們的計(jì)算也是沒(méi)有出錯(cuò)的.這好像形成了一個(gè)悖論.[12][12]本奇BH.數(shù)學(xué)謬誤與悖論[M].陳國(guó)君,姚竭,譯.呼和浩特:內(nèi)蒙古人民出版社,1990:5.其實(shí)不然,導(dǎo)致這個(gè)荒謬結(jié)果的原因就是:所給信息的對(duì)象沒(méi)有特指是哪一個(gè).而當(dāng)沒(méi)有特指的時(shí)候,所給的信息越豐富,越詳細(xì),越具體,信息所指代的對(duì)象就越明確,就越接近”特指”的情況.從概率上來(lái)說(shuō),另一個(gè)孩子也是男孩的概率就越接近”特指”情況下的概率,也就是.而這種規(guī)律在上面三個(gè)試驗(yàn)中已經(jīng)有所體現(xiàn):比接近,而比更接近.因此,我們有理由認(rèn)為:當(dāng)給出的信息比”出生于星期二的男孩”更詳細(xì)的時(shí)候,另一個(gè)孩子也是男孩的概率比要接近.事實(shí)上,當(dāng)給出的信息是”出生于星期二的晚上的男孩”時(shí),另一個(gè)孩子也是男孩的概率是,而顯然要比更接近.而當(dāng)所給的信息足夠詳細(xì)時(shí),我們就可以認(rèn)為這是”特指”的情況了.比如,但所給的信息是”出生于6月6日6時(shí)6分6秒的男孩”時(shí),我們可以計(jì)算出另一個(gè)孩子也是男孩的概率是,其中,誤差,這已經(jīng)是一個(gè)相當(dāng)接近的數(shù)了.[13]涂利治等.悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1982,[13]涂利治等.悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1982,(4):122.總結(jié)從短期來(lái)看,概率悖論還會(huì)到處存在.概率事件可能似乎反復(fù)無(wú)常和不公平,概率的錯(cuò)覺(jué),事件發(fā)生的不協(xié)調(diào),反直覺(jué)和遺留的錯(cuò)誤觀念都需要一個(gè)理解,接受和發(fā)展的過(guò)程.長(zhǎng)期頻率的經(jīng)驗(yàn)?zāi)苡兄谛拚恍┗趯?duì)隨機(jī)和概率的誤解而產(chǎn)生的某些不相適應(yīng)的行為.[14]張建軍.邏輯悖論研究引論[M].南京:南京大學(xué)出版社,2002:337.[14]張建軍.邏輯悖論研究引論[M].南京:南京大學(xué)出版社,2002:337.[15]馮·賴特.知識(shí)之樹(shù)[M].陳波等譯.北京:三聯(lián)書(shū)店,2003:166.Theprobabilityafterchangingthecon