第14講公因數(shù)與最大公因數(shù)公倍數(shù)與最小公倍數(shù)(原卷版+解析)

第14講公因數(shù)與最大公因數(shù)公倍數(shù)與最小公倍數(shù)掌握公因數(shù)與最大公因數(shù)掌握公倍數(shù)與最小公倍數(shù)掌握拓展與提高部分知識點(diǎn)01公因數(shù)與最大公因數(shù)1、公因數(shù)與最大公因數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)．求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)．即：2、兩個(gè)數(shù)互素如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1，那么稱這兩個(gè)數(shù)互素．即：【典例分析】1．一個(gè)整數(shù)既能被6整除，又能被8整除，則它還一定能被（

）整除A．10 B．12 C．16 D．182．已知m＝7n，那么正整數(shù)m、n兩數(shù)的最大公因數(shù)是（）A．m B．n C．7 D．mn3．小明家客廳的地面是長6米，寬4.8米的長方形，準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應(yīng)該選的尺寸是（單位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×8036和54的公因數(shù)有_____________．5．12和32的最大公因數(shù)是____________．6.一塊矩形地面，長90米，寬15米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵樹之間的距離相等，則最少要種______棵樹．知識點(diǎn)02公倍數(shù)與最小公倍數(shù)1、公倍數(shù)與最小公倍數(shù) 公倍數(shù)：幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)； 最小公倍數(shù)：幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)中，最小的一個(gè)叫做它們的最小公倍數(shù)．2、求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù) 求兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)，只要取它們所有公有的素因數(shù)，再取它們各自剩余的素因數(shù)，將這些數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)； 如果兩個(gè)整數(shù)中某一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)； 如果兩個(gè)數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)．3、求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù) 求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，應(yīng)取三個(gè)數(shù)共有的素因數(shù)和每兩個(gè)數(shù)共有的素因數(shù)，以及再取各自剩余的素因數(shù)，所有這些素因數(shù)的積． 為了簡便，可用短除法計(jì)算，除到每兩個(gè)商都互素為止．4、最小公倍數(shù)的求法：5、【典例分析】7．甲數(shù)=2×2×3×5，乙數(shù)=2×3×3×7，它們的最小公倍數(shù)是（）A．6 B．36 C．210 D．12608.已知，，則A與B的最小公倍數(shù)是______．9．一個(gè)汽車站內(nèi)有兩條線路的公交車，甲路公交車每隔4分鐘發(fā)一趟車，乙路公交車每隔6分鐘發(fā)一趟車，這兩路公交車上午8：00同時(shí)發(fā)出一輛車，那么從上午8：00至上午10：30為止同時(shí)發(fā)車的次數(shù)一共是（

）A．11次 B．12次 C．13次 D．14次10．兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是60，其中一個(gè)數(shù)是12，另一個(gè)數(shù)是______．1．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）一個(gè)汽車站內(nèi)有兩路公共汽車，甲路汽車每隔m分鐘發(fā)一次車，乙路汽車每隔n分鐘發(fā)一次車（m、n均為正整數(shù)），這兩路汽車同時(shí)發(fā)車后，緊接的下次又同時(shí)發(fā)車的時(shí)間（分鐘）是m和n的(

)A．公因數(shù) B．最大公因數(shù) C．公倍數(shù) D．最小公倍數(shù)2．（2021秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期中）有三根繩子，分別長12米，18米，24米，將它們都截成同樣長度的小段且沒有剩余，那么每一小段最長是（

）A．2米； B．3米； C．4米； D．6米．3．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┑仁?，m和n的最大公因數(shù)是（

）A．m； B．n； C．1； D．不確定．4．（2022秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期中）有三根繩子，分別長36米，54米，63米，現(xiàn)在要將它們裁成長度相等的短繩且沒有剩余，每根短繩最長可以是幾米？這樣的短繩有幾根？5．（2022秋·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）把一張長為72厘米，寬為42厘米的長方形紙片裁成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余，那么裁出的正方形紙片最少有多少張？6．（2022秋·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）用短除法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．(1)72和108(2)24、40和727．（2020秋·上海徐匯·六年級上海市民辦華育中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論錯誤的有（

）①如果和的最小公倍數(shù)是，那么和是素?cái)?shù)；②一個(gè)正整數(shù)的倍數(shù)一定比這個(gè)數(shù)的任何因數(shù)都大；③一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)；④邊長是正整數(shù)的正方形的周長一定是合數(shù)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2022秋·上海徐匯·六年級?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)自然數(shù)的和是99，它們最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的和是231，那么這兩個(gè)數(shù)分別是多少？9．（2022秋·上海松江·六年級統(tǒng)考期中）某校預(yù)初年級開展了古詩文大賽，設(shè)有一、二、三等獎．其中獲得一等獎的人數(shù)占參賽人數(shù)的，獲得二等獎的人數(shù)占參賽人數(shù)的，獲得三等獎的人數(shù)占參賽人數(shù)的．已知該年級共有學(xué)生400人．(1)求這次評選參賽的同學(xué)有多少名？(2)求這次評選獲得一等獎的同學(xué)有多少名？10．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，甲、乙、丙三個(gè)互相咬合的齒輪，若使甲輪轉(zhuǎn)5圈時(shí)，乙輪轉(zhuǎn)7圈，丙輪轉(zhuǎn)2圈，這三個(gè)齒輪齒數(shù)最少應(yīng)分別是多少齒？1．一個(gè)汽車站內(nèi)有兩路公共汽車，甲路汽車每隔4分鐘發(fā)出一輛，乙路汽車每隔6分鐘發(fā)出一輛，至少每隔（）分鐘，兩路汽車會同時(shí)發(fā)車A．1 B．2 C．12 D．242．一筐蘋果三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，六個(gè)六個(gè)地?cái)?shù)，都剛好數(shù)完．求蘋果的個(gè)數(shù)，實(shí)際是求，和的（

）A．公因數(shù) B．最大公因數(shù) C．公倍數(shù) D．最小公倍數(shù)3．如果a和b都是非零自然數(shù)，，那么a和b的最小公倍數(shù)是（）A．a(chǎn) B．b C．21 D．無法確定4．下列各數(shù)中，能同時(shí)被2、3、5整除的數(shù)是（）A．20 B．25 C．30 D．355．甲數(shù)=2×2×3×5，乙數(shù)=2×3×3×7，它們的最小公倍數(shù)是（）A．6 B．36 C．210 D．12606．若甲數(shù)為，乙數(shù)為，則甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是________．7．，，如果、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，那么、兩數(shù)的最小公倍數(shù)為______．8．45和60公有的素因數(shù)是______．9．甲數(shù)，乙數(shù)，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是，那么______，______．10．已知甲乙丙三個(gè)數(shù)，甲和乙的最大公約數(shù)是12，甲和丙的最大公約數(shù)是15，而三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是120，則甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是___________________．11．楚漢爭霸時(shí)，數(shù)十員戰(zhàn)將齊聚韓信帳下聽從命令是一種常態(tài)，(1)某日清晨，值日官趕到帳前時(shí)發(fā)現(xiàn)已經(jīng)有多位將官在帳外等候指示了，而且無論他三個(gè)三個(gè)數(shù)，還是五個(gè)五個(gè)數(shù)，總是多出一個(gè)，問這時(shí)至少到了多少人？(2)值日官將諸將請入大帳，這時(shí)又有幾員大將趕到，而此時(shí)再數(shù)一數(shù)則：三個(gè)三個(gè)數(shù)余二，五個(gè)五個(gè)數(shù)余三、七個(gè)七個(gè)數(shù)余二，問這時(shí)至少到了多少人？(3)又過了一會，眾將陸續(xù)到來，這時(shí)值日官又一次環(huán)視，發(fā)現(xiàn)：三個(gè)三個(gè)數(shù)余兩人，五個(gè)五個(gè)數(shù)余三人，而七個(gè)七個(gè)數(shù)則余四人．問此刻至少到了多少人？12．下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．(1)72和108(2)65和39(3)、和36(4)、和3013．小杰家的客廳地面是長4.8米，寬3米的長方形，他家裝修新房時(shí)準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面，請問地磚邊長最大是多少厘米？需要多少塊這樣的地磚？14．已知m＝7n，那么正整數(shù)m、n兩數(shù)的最大公因數(shù)是（）A．m B．n C．7 D．mn15．下列語句錯誤的是（

）①能被5整除；②因?yàn)?÷2=2，所以4是倍數(shù)，2是因數(shù)；A=2×3×5×B，B>1，則B一定是A的因素；④兩個(gè)整數(shù)的公倍數(shù)一定能被這兩個(gè)數(shù)整除；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)16．長度分別為24、36、48分米的三段鋼管，要把它們截成長度相等的小段（沒有剩余），小段鋼管的最大長度是（

）A．8分米 B．12分米 C．18分米 D．24分米17．a(chǎn)是b的3倍（b不為0），a和b的最大公因數(shù)是（

）A．a(chǎn) B．b C．3 D．無法確定18．小明家客廳的地面是長6米，寬4.8米的長方形，準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應(yīng)該選的尺寸是（單位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×8019．已知，，、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，那么的值___________．20．已知，，那么和的最大公因數(shù)是______．21．24和32的公因數(shù)有______________________．22．已知甲數(shù)，乙數(shù)，那么甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是________．23．已知兩個(gè)互素?cái)?shù)的最小公倍數(shù)是65，則這兩個(gè)互素?cái)?shù)是______．24、(1)18和42(2)27和135(3)12、18和9025．在歡慶中華人民共和國成立七十周年之際，學(xué)校在一塊長80米，寬24米的長方形綠地四周插上彩旗，長方形的四個(gè)角各插一面彩旗，并且要求相鄰兩面彩旗間的距離相等．(1)在各個(gè)方案中，相鄰兩面彩旗之間最大距離是多少米？(2)在所有方案中，至少要在綠地四周插多少面彩旗？第14講公因數(shù)與最大公因數(shù)公倍數(shù)與最小公倍數(shù)掌握公因數(shù)與最大公因數(shù)掌握公倍數(shù)與最小公倍數(shù)掌握拓展與提高部分知識點(diǎn)01公因數(shù)與最大公因數(shù)1、公因數(shù)與最大公因數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)．求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)．即：2、兩個(gè)數(shù)互素如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1，那么稱這兩個(gè)數(shù)互素．即：【典例分析】1．一個(gè)整數(shù)既能被6整除，又能被8整除，則它還一定能被（

）整除A．10 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】由于6=2×3，8=2×2×2，則這個(gè)數(shù)能被12整除．【詳解】解：由6=2×3，8=2×2×2，∴一個(gè)數(shù)能被6整除，又能被8整除，∴這個(gè)數(shù)能被12整除；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法，解決此題關(guān)鍵是理解整除的含義．2．已知m＝7n，那么正整數(shù)m、n兩數(shù)的最大公因數(shù)是（）A．m B．n C．7 D．mn【答案】B【分析】m和n是倍數(shù)關(guān)系，從而得到最大公因數(shù)．【詳解】解：∵m＝7n，∴正整數(shù)m、n兩數(shù)的最大公因數(shù)是n，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公因數(shù)就是較小的數(shù)．3．小明家客廳的地面是長6米，寬4.8米的長方形，準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應(yīng)該選的尺寸是（單位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×80【答案】C【詳解】解：6米＝600cm，4.8米＝480cm，∴選項(xiàng)中只有60是600和480的公約數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的密鋪，找到600和480的公約數(shù)是解題的關(guān)鍵．36和54的公因數(shù)有_____________．【答案】1、2、3、9、18．【解析】36的因數(shù)有1、2、3、4、9、12、18、36；54的因數(shù)有1、2、3、6、9、18、27、54．則公因數(shù)有1、2、3、9、18．5．12和32的最大公因數(shù)是____________．【答案】4【詳解】解：∵12=3×4，32=4×8，∴12和32的最大公因數(shù)是4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題實(shí)際考查的是求最大公因數(shù)，幾個(gè)整數(shù)中公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．6.一塊矩形地面，長90米，寬15米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵樹之間的距離相等，則最少要種______棵樹．【答案】14．【解析】每兩棵樹之間的距離要整除90和15，則為90和15的公因數(shù)，題目中問最少種多少棵樹，則是求90和15的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)為15．則每兩棵樹之間距離15米種一棵樹，一排種7棵樹，兩排共種14棵樹．知識點(diǎn)02公倍數(shù)與最小公倍數(shù)1、公倍數(shù)與最小公倍數(shù) 公倍數(shù)：幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)； 最小公倍數(shù)：幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)中，最小的一個(gè)叫做它們的最小公倍數(shù)．2、求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù) 求兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)，只要取它們所有公有的素因數(shù)，再取它們各自剩余的素因數(shù)，將這些數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)； 如果兩個(gè)整數(shù)中某一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)； 如果兩個(gè)數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)．3、求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù) 求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，應(yīng)取三個(gè)數(shù)共有的素因數(shù)和每兩個(gè)數(shù)共有的素因數(shù)，以及再取各自剩余的素因數(shù)，所有這些素因數(shù)的積． 為了簡便，可用短除法計(jì)算，除到每兩個(gè)商都互素為止．4、最小公倍數(shù)的求法：5、【典例分析】7．甲數(shù)=2×2×3×5，乙數(shù)=2×3×3×7，它們的最小公倍數(shù)是（）A．6 B．36 C．210 D．1260【答案】D【分析】甲乙兩個(gè)數(shù)都是寫成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，找出公有質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)，求出它們的乘積，即為它們的最小公倍數(shù)．【詳解】，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)為1260，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是最小公倍數(shù)，熟悉掌握求最小公倍數(shù)的方法和技巧是關(guān)鍵．8.已知，，則A與B的最小公倍數(shù)是______．【答案】6300．【解析】公有因數(shù)為2、5、7，則最小公倍數(shù)為．【點(diǎn)睛】考查最小公倍數(shù)的求法：取它們所有公有的素因數(shù)，再取它們各自剩余的素因數(shù)，將這些數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)．9．一個(gè)汽車站內(nèi)有兩條線路的公交車，甲路公交車每隔4分鐘發(fā)一趟車，乙路公交車每隔6分鐘發(fā)一趟車，這兩路公交車上午8：00同時(shí)發(fā)出一輛車，那么從上午8：00至上午10：30為止同時(shí)發(fā)車的次數(shù)一共是（

）A．11次 B．12次 C．13次 D．14次【答案】C【分析】找出4和6的最小公倍數(shù)，找出從上午8：00至上午10：30中有12分鐘的倍數(shù)，將其+1即可求出結(jié)論．【詳解】解：4，6的最小公倍數(shù)為12．10：30-8：00=2：30，2小時(shí)30分鐘=150分鐘．150÷12=12（次），12+1=13（次）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因數(shù)和倍數(shù)，找出兩路公交車同時(shí)發(fā)車的間隔時(shí)間是解題的關(guān)鍵．10．兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是60，其中一個(gè)數(shù)是12，另一個(gè)數(shù)是______．【答案】30【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)=這兩個(gè)數(shù)的乘積，由此用除法解答即可．【詳解】解：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是60，其中一個(gè)數(shù)是12，另一個(gè)數(shù)是30．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法的靈活應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)=這兩個(gè)數(shù)的乘積．1．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）一個(gè)汽車站內(nèi)有兩路公共汽車，甲路汽車每隔m分鐘發(fā)一次車，乙路汽車每隔n分鐘發(fā)一次車（m、n均為正整數(shù)），這兩路汽車同時(shí)發(fā)車后，緊接的下次又同時(shí)發(fā)車的時(shí)間（分鐘）是m和n的(

)A．公因數(shù) B．最大公因數(shù) C．公倍數(shù) D．最小公倍數(shù)2．（2021秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期中）有三根繩子，分別長12米，18米，24米，將它們都截成同樣長度的小段且沒有剩余，那么每一小段最長是（

）A．2米； B．3米； C．4米； D．6米．3．（2022秋·上海靜安·六年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┑仁?，m和n的最大公因數(shù)是（

）A．m； B．n； C．1； D．不確定．4．（2022秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期中）有三根繩子，分別長36米，54米，63米，現(xiàn)在要將它們裁成長度相等的短繩且沒有剩余，每根短繩最長可以是幾米？這樣的短繩有幾根？5．（2022秋·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）把一張長為72厘米，寬為42厘米的長方形紙片裁成大小相等的正方形紙片，而且沒有剩余，那么裁出的正方形紙片最少有多少張？6．（2022秋·上海松江·六年級?？茧A段練習(xí)）用短除法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．(1)72和108(2)24、40和727．（2020秋·上海徐匯·六年級上海市民辦華育中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論錯誤的有（

）①如果和的最小公倍數(shù)是，那么和是素?cái)?shù)；②一個(gè)正整數(shù)的倍數(shù)一定比這個(gè)數(shù)的任何因數(shù)都大；③一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個(gè)；④邊長是正整數(shù)的正方形的周長一定是合數(shù)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2022秋·上海徐匯·六年級?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)自然數(shù)的和是99，它們最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的和是231，那么這兩個(gè)數(shù)分別是多少？9．（2022秋·上海松江·六年級統(tǒng)考期中）某校預(yù)初年級開展了古詩文大賽，設(shè)有一、二、三等獎．其中獲得一等獎的人數(shù)占參賽人數(shù)的，獲得二等獎的人數(shù)占參賽人數(shù)的，獲得三等獎的人數(shù)占參賽人數(shù)的．已知該年級共有學(xué)生400人．(1)求這次評選參賽的同學(xué)有多少名？(2)求這次評選獲得一等獎的同學(xué)有多少名？10．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，甲、乙、丙三個(gè)互相咬合的齒輪，若使甲輪轉(zhuǎn)5圈時(shí)，乙輪轉(zhuǎn)7圈，丙輪轉(zhuǎn)2圈，這三個(gè)齒輪齒數(shù)最少應(yīng)分別是多少齒？參考答案：1．D【分析】【詳解】由題意得，兩輛車同時(shí)發(fā)車的時(shí)間應(yīng)為間隔發(fā)車時(shí)間的公倍數(shù)，而緊接著下次同時(shí)發(fā)車的時(shí)間應(yīng)為間隔發(fā)車時(shí)間的最小公倍數(shù).故本題應(yīng)選D.2．D【分析】根據(jù)題意，可計(jì)算出12、18、24的最大公因數(shù)，即是每根小段的最長，即可得到答案．【詳解】解：，，，所以12、18與24最大公約數(shù)是：，即每小段最長是6米，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了最大公約數(shù)，解答此題的關(guān)鍵是利用求最大公因數(shù)的方法計(jì)算出每小段的最長，然后再計(jì)算每根鐵絲可以截成的段數(shù)，再相加即可．3．C【分析】根據(jù)最大公因數(shù)的定義求解即可．【詳解】∵，即，∴m和n的最大公因數(shù)是1．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了求最大公因數(shù)，幾個(gè)整數(shù)中公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．4．這樣的短繩有17根【分析】先求出三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，除去公因數(shù)，其余因數(shù)的和就是所求．【詳解】解：因?yàn)?，所以最大公因?shù)是9，所以每根短繩最長可以是9米．（根）

答：這樣的短繩有17根．【點(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)的計(jì)算，熟練掌握公因數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．84張【分析】根據(jù)72和42的最大公因數(shù)是6，據(jù)此求解裁出的正方形紙片最少有84張．【詳解】解：，，∴72和42的最大公因數(shù)為，（張），（張），（張），答：裁出的正方形紙片最少是84張．【點(diǎn)睛】本題考查的是最大公因數(shù)的應(yīng)用，理解公因數(shù)的意義，能夠在實(shí)際生活中深入分析、解決問題．6．(1)最大公因數(shù)是36，最小公倍數(shù)是216(2)最大公因數(shù)是8，最小公倍數(shù)是360【分析】利用短除法求解即可．【詳解】（1）∴72和108的最大公因數(shù)是．最小公倍數(shù)是；（2）∴24、40和72的最大公因數(shù)是．最小公倍數(shù)是．【點(diǎn)睛】此題考查了短除法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握短除法．7．C【分析】根據(jù)“是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的最小公倍數(shù)即這兩個(gè)數(shù)的乘積”，由此判斷①；根據(jù)“一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它本身，最大的因數(shù)也是它本身”，由此判斷②．根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系，可判斷③．根據(jù)合數(shù)的意義，一個(gè)非零自然數(shù)如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)；即使正方形的邊長是1，它的周長是4，4是最小的合數(shù)；由此判斷④．【詳解】①如果a和b的最小公倍數(shù)是ab，那么a和b是互素?cái)?shù)，①的說法是錯誤的；②一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它本身，最大的因數(shù)也是它本身，②的說法是錯誤的；③1的因數(shù)只有1個(gè)，③的說法是錯誤的；④根據(jù)合數(shù)的意義，邊長是正整數(shù)的正方形，它的周長一定是合數(shù)，④的說法是正確的．綜上，①②③錯誤，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法，因數(shù)和倍數(shù)的意義，合數(shù)的意義，理解因數(shù)和倍數(shù)的意義是解決問題的前提．8．44和55【分析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)為ax和bx，x為最大公因數(shù)，則最小公倍數(shù)為abx，因此ax+bx=99，x+abx=231.可知x既是99的因數(shù)，也是231的因數(shù).列出99和231的公因數(shù)，依次代入找到符合條件的a，b的值即可求出這兩個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)這兩個(gè)數(shù)為ax和bx，x為最大公因數(shù)，則最小公倍數(shù)為abx，由題意得，所以，因此x是99和231的公因數(shù).因?yàn)?9的因數(shù)有1、3、9、11、33、99，231的因數(shù)有1、3、7、11、21、33、77、231.

因此x可能為3或11或33.當(dāng)x=3時(shí)，找不到符合條件的自然數(shù)a，b.當(dāng)x=11時(shí)，則a=4，b=5，所以ax=44，bx=55.當(dāng)x=33時(shí)，找不到符合條件的自然數(shù)a，b.綜上，這兩個(gè)數(shù)為44和55.【點(diǎn)睛】本題主要考查了最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的倍數(shù)關(guān)系.根據(jù)題意列關(guān)系式找到符合條件的解是解題的關(guān)鍵.9．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意：獲得一等獎、二等獎和三等獎人數(shù)的比是，化簡得，實(shí)際就是求、和的最小公倍數(shù).（2）根據(jù)（1）中求得的人數(shù)是，可求得獲得一等獎的同學(xué)人數(shù)是.【詳解】（1）∵，∴、、的最小公倍數(shù)是，答：這次評選參賽的同學(xué)有名；（2）由（1）可知這次評選參賽的同學(xué)有名，∴評選獲得一等獎的同學(xué)有名，答：這次評選獲得一等獎的同學(xué)有名.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法.10．甲、乙，丙三個(gè)齒輪最少應(yīng)分別是14齒，10齒，35齒【分析】結(jié)合題意，根據(jù)最小公倍數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】分別設(shè)甲、乙，丙三個(gè)齒輪齒數(shù)為a、b、c根據(jù)題意，得：∵5、7、2的最小公倍數(shù)為70∴當(dāng)時(shí)，甲有齒乙有齒丙有齒∴甲、乙，丙三個(gè)齒輪最少應(yīng)分別是14齒，10齒，35齒．【點(diǎn)睛】本題考查了最小公倍數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握最小公倍數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．1．一個(gè)汽車站內(nèi)有兩路公共汽車，甲路汽車每隔4分鐘發(fā)出一輛，乙路汽車每隔6分鐘發(fā)出一輛，至少每隔（）分鐘，兩路汽車會同時(shí)發(fā)車A．1 B．2 C．12 D．242．一筐蘋果三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，六個(gè)六個(gè)地?cái)?shù)，都剛好數(shù)完．求蘋果的個(gè)數(shù)，實(shí)際是求，和的（

）A．公因數(shù) B．最大公因數(shù) C．公倍數(shù) D．最小公倍數(shù)3．如果a和b都是非零自然數(shù)，，那么a和b的最小公倍數(shù)是（）A．a(chǎn) B．b C．21 D．無法確定4．下列各數(shù)中，能同時(shí)被2、3、5整除的數(shù)是（）A．20 B．25 C．30 D．355．甲數(shù)=2×2×3×5，乙數(shù)=2×3×3×7，它們的最小公倍數(shù)是（）A．6 B．36 C．210 D．12606．若甲數(shù)為，乙數(shù)為，則甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是________．7．，，如果、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，那么、兩數(shù)的最小公倍數(shù)為______．8．45和60公有的素因數(shù)是______．9．甲數(shù)，乙數(shù)，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是，那么______，______．10．已知甲乙丙三個(gè)數(shù)，甲和乙的最大公約數(shù)是12，甲和丙的最大公約數(shù)是15，而三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是120，則甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是___________________．11．楚漢爭霸時(shí)，數(shù)十員戰(zhàn)將齊聚韓信帳下聽從命令是一種常態(tài)，(1)某日清晨，值日官趕到帳前時(shí)發(fā)現(xiàn)已經(jīng)有多位將官在帳外等候指示了，而且無論他三個(gè)三個(gè)數(shù)，還是五個(gè)五個(gè)數(shù)，總是多出一個(gè)，問這時(shí)至少到了多少人？(2)值日官將諸將請入大帳，這時(shí)又有幾員大將趕到，而此時(shí)再數(shù)一數(shù)則：三個(gè)三個(gè)數(shù)余二，五個(gè)五個(gè)數(shù)余三、七個(gè)七個(gè)數(shù)余二，問這時(shí)至少到了多少人？(3)又過了一會，眾將陸續(xù)到來，這時(shí)值日官又一次環(huán)視，發(fā)現(xiàn)：三個(gè)三個(gè)數(shù)余兩人，五個(gè)五個(gè)數(shù)余三人，而七個(gè)七個(gè)數(shù)則余四人．問此刻至少到了多少人？12．下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．(1)72和108(2)65和39(3)、和36(4)、和3013．小杰家的客廳地面是長4.8米，寬3米的長方形，他家裝修新房時(shí)準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面，請問地磚邊長最大是多少厘米？需要多少塊這樣的地磚？14．已知m＝7n，那么正整數(shù)m、n兩數(shù)的最大公因數(shù)是（）A．m B．n C．7 D．mn15．下列語句錯誤的是（

）①能被5整除；②因?yàn)?÷2=2，所以4是倍數(shù)，2是因數(shù)；A=2×3×5×B，B>1，則B一定是A的因素；④兩個(gè)整數(shù)的公倍數(shù)一定能被這兩個(gè)數(shù)整除；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)16．長度分別為24、36、48分米的三段鋼管，要把它們截成長度相等的小段（沒有剩余），小段鋼管的最大長度是（

）A．8分米 B．12分米 C．18分米 D．24分米17．a(chǎn)是b的3倍（b不為0），a和b的最大公因數(shù)是（

）A．a(chǎn) B．b C．3 D．無法確定18．小明家客廳的地面是長6米，寬4.8米的長方形，準(zhǔn)備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應(yīng)該選的尺寸是（單位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×8019．已知，，、兩數(shù)的最大公因數(shù)是，那么的值___________．20．已知，，那么和的最大公因數(shù)是______．21．24和32的公因數(shù)有______________________．22．已知甲數(shù)，乙數(shù)，那么甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是________．23．已知兩個(gè)互素?cái)?shù)的最小公倍數(shù)是65，則這兩個(gè)互素?cái)?shù)是______．24、(1)18和42(2)27和135(3)12、18和9025．在歡慶中華人民共和國成立七十周年之際，學(xué)校在一塊長80米，寬24米的長方形綠地四周插上彩旗，長方形的四個(gè)角各插一面彩旗，并且要求相鄰兩面彩旗間的距離相等．(1)在各個(gè)方案中，相鄰兩面彩旗之間最大距離是多少米？(2)在所有方案中，至少要在綠地四周插多少面彩旗？參考答案1．C【分析】甲路汽車每隔4分鐘發(fā)出一輛，乙路汽車每隔6分鐘發(fā)出一輛，4和6的最小公倍數(shù)為12，如果每天兩車首發(fā)為同一時(shí)間的話，則兩車至少每隔12分鐘會同時(shí)發(fā)車．【詳解】解：4和6的最小公倍數(shù)為12，如果每天兩車首發(fā)為同一時(shí)間的話，則兩車至少每隔12分鐘會同時(shí)發(fā)車．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，通過求間隔時(shí)間的最小公倍數(shù)，來求至少每隔多少分鐘兩路汽車會同時(shí)發(fā)車，是完成此類問題的主要方法．2．C【分析】因?yàn)樘O果三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，六個(gè)六個(gè)地?cái)?shù)，都剛好數(shù)完，那么蘋果的數(shù)量應(yīng)該是，和的公倍數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)樘O果三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，六個(gè)六個(gè)地?cái)?shù)，都剛好數(shù)完，所以蘋果的數(shù)量應(yīng)該是，和的公倍數(shù)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了公倍數(shù)的應(yīng)用，充分理解公倍數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)倍數(shù)與最小公倍數(shù)的概念即可得出答案．【詳解】解：，，和的最小公倍數(shù)是；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了最小公倍數(shù)的概念，熟練掌握倍數(shù)與最小公倍數(shù)的概念是解答此題的關(guān)鍵．4．C【分析】通過確定2，3，5的最小公倍數(shù)即可解題．【詳解】解：∵2、3、5的最小公倍數(shù)是30，故選項(xiàng)A、B、D都不符合，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查喲來說除法中整除的應(yīng)用，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．D【分析】甲乙兩個(gè)數(shù)都是寫成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，找出公有質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)，求出它們的乘積，即為它們的最小公倍數(shù)．【詳解】，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)為1260，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是最小公倍數(shù)，熟悉掌握求最小公倍數(shù)的方法和技巧是關(guān)鍵．6．【分析】根據(jù)最小公倍數(shù)的定義，公倍數(shù)是指在兩個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，這些倍數(shù)就是它們的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的，就稱為這些整數(shù)的最小公倍數(shù)．【詳解】解：甲數(shù)為，乙數(shù)為，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求最小公倍數(shù)，掌握最小公倍數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)、兩數(shù)的最大公因數(shù)求出的值，即可得出、兩數(shù)，再求出、兩數(shù)的最小公倍數(shù)即可．【詳解】解：和是、的公因數(shù)，

，，，，、兩數(shù)的最小公倍數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了公因數(shù)和公倍數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵．8．3，5【分析】根據(jù)題意可以將45與60進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，然后就可以確定45與60的公有的質(zhì)因數(shù)（素因數(shù)）．【詳解】解：，，所以45與60公有的素因數(shù)是：3，5．故答案為：3，5．【點(diǎn)睛】本題主要考查把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的方法及其求最大公因數(shù)的方法，注意掌握分解質(zhì)因數(shù)就是把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的連乘積形式，一般先從簡單的質(zhì)數(shù)試著分解．9．【分析】根據(jù)題意把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)都分解為多個(gè)有理數(shù)相乘，即可求得結(jié)果【詳解】∵甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是，∴，，∵甲數(shù)，乙數(shù)，∴，，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是把最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)都分解為多個(gè)有理數(shù)相乘10．60，24，15或120，12，15【分析】根據(jù)題意得甲是60或120，然后將120分解質(zhì)因數(shù)，分情況討論即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：甲的因數(shù)有12也有15，那么甲最小是12與15的最小公倍數(shù)，即甲最小是60，又因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)最小公倍數(shù)是120，所以甲一定是120的因數(shù)，∴甲是60或120，把他們的最小公倍數(shù)120分解質(zhì)因數(shù)，，當(dāng)甲是60時(shí)，所以丙為，乙為，當(dāng)甲為120時(shí)，乙為，丙為，∴甲乙丙分別為60，24，15或120，12，15．【點(diǎn)睛】題目主要考查最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)，熟練掌握基本的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．(1)16(2)23(3)53【分析】（1）根據(jù)題意求得3和5的最小公倍數(shù)為，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)最小公倍數(shù)為，3的余數(shù)乘以70，5的余數(shù)乘以21，7的余數(shù)乘以15，最后加在一起除以105看余數(shù)，即可求解；（3）根據(jù)最小公倍數(shù)為，3的余數(shù)乘以70，5的余數(shù)乘以21，7的余數(shù)乘以15，最后加在一起除以105看余數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：3和5的最小公倍數(shù)為，∵三個(gè)三個(gè)數(shù)，還是五個(gè)五個(gè)數(shù)，總是多出一個(gè)，∴（人）；∴至少到了16人（2）解：最小公倍數(shù)為，∵三個(gè)三個(gè)數(shù)余二，五個(gè)五個(gè)數(shù)余三、七個(gè)七個(gè)數(shù)余二，∴，，∴至少到了23人；（3）解：最小公倍數(shù)為，∵三個(gè)三個(gè)數(shù)余兩人，五個(gè)五個(gè)數(shù)余三人，而七個(gè)七個(gè)數(shù)則余四人，∴，．∴至少到了人．【點(diǎn)睛】本題考查了“韓信點(diǎn)兵”問題，熟記口訣“三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五使得知”是解題的關(guān)鍵．12．(1)最大公因數(shù)為，最小公倍數(shù)為；(2)最大公因數(shù)為，最小公倍數(shù)為；(3)最大公因數(shù)為，最小公倍數(shù)為；(4)最大公因數(shù)為，最小公倍數(shù)為【分析】利用短除法求解即可．【詳解】（1）解：，所以最大公因數(shù)為，最小公倍數(shù)為；（2）解：，所以最大公因數(shù)為，最小公倍數(shù)為；（3）解：，所以最大公因數(shù)為，最小公倍數(shù)為；（4）解：，所以最大公因數(shù)為，最小公倍數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)，熟練掌握短除法是解題的關(guān)鍵．13．地磚邊長最大是60厘米，需要40塊這樣的地磚．【分析】將4.8米，3米進(jìn)行單位換算，得到，，找出長和寬的最大公因數(shù)即為地磚邊長，再利用即可求出需要地磚的塊數(shù)．【詳解】解：∵用整塊正方形的地磚鋪滿客廳的地面，∴正方形地磚的邊長應(yīng)是客廳的地面長和寬的公因數(shù)，而且是最大的，∵，，∴符合要求的是選的正方形地磚；∴（塊），需要40塊地磚可以鋪滿客廳答：地磚邊長最大是60厘米，需要40塊這樣的地磚．【點(diǎn)睛】本題主要考查了公因數(shù)問題，關(guān)鍵是找到符合要求的公因數(shù)．14．B【分析】m和n是倍數(shù)關(guān)系，從而得到最大公因數(shù)．【詳解】解：∵m＝7n，∴正整數(shù)m、n兩數(shù)的最大公因數(shù)是n，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公因數(shù)就是較小的數(shù)．15．B【分析】根據(jù)題意，對各選項(xiàng)依次分析，得出結(jié)論．【詳解】解：不是整數(shù)，故①錯誤；因?yàn)?，所?是2的倍數(shù)，2是4的因數(shù)，故②錯誤；，則B一定是A的因數(shù)，但不一定是A的素因數(shù)，故③正確；兩個(gè)整數(shù)的公倍數(shù)一定能被這兩個(gè)數(shù)整除，故④正確；因此錯誤語句有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了乘法和除法，倍數(shù)和因數(shù)，掌握各個(gè)相應(yīng)的概念是解題的關(guān)鍵．16．B【分析】根據(jù)題意，需要求24、36、48這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．【詳解】根據(jù)短除法，，算出24、36、48這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)題意讀懂題目中需要我們求解最大公因數(shù)，然后用短除法計(jì)算最大公因數(shù)．17．B【分析】a和b是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)為二者較小的數(shù)．【詳解】∵a=3b∴a和b的最大公因數(shù)為二者較小的數(shù)，即為b故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)的問題，熟練掌握公因數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．18．C【詳解】解：6米＝600cm，4.8米＝480cm，∴選項(xiàng)中只有60是600和480的公約數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的密鋪，找到600和480的公約數(shù)是解