2023年新高考數(shù)學一輪復習：集合 知識點講解（解析版）

專題1」集合

【核心素養(yǎng)】

1.考查集合的概念、元素的性質，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

2.考查集合的基本關系，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.與不等式、數(shù)軸、Venn圖等相結合考查集合的運算，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

【知識點展示】

1.元素與集合

(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

(2)集合與元素的關系：若a屬于集合A,記作；若b不屬于集合A,記作.

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、區(qū)間法、圖示法.

(4)五個特定的集合及其關系圖：N*或N+表示正整數(shù)集,N表示自然數(shù)集,Z表示整數(shù)集,Q表示有理數(shù)

集,R表示實數(shù)集.

Z；QJ

2.集合間的基本關系

(1)子集：若對任意xGA,都有xGB,則AUB或BNA.

(2)真子集：若A￡B,且集合B中至少有一個元素不屬于集合A,則A/B或B/A.

(3)相等：若AUB,且BUA,貝ijA=B.

(4)空集的性質：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集./

3.集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集

若全集為U,則集合A

符號表示AUBAAB的補集為CUA

圖形表示[0

AUBAQB

{x|x￡A,或x￡{x|x￡A,且X

{x|x￡U,且x陣A}

集合表示B)￡B}

求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的條件.從全集U中取出集合A的全

部元素，剩下的元素構成的集合即為CUA.

4.集合的運算性質

⑴ACA=A,AC0=0,AnB=BCA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)An(CUA)=0,AU(CUA)=U,CU(CUA)=A.

特別提醒：

1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n—1個.

2.子集的傳遞性：A￡B,B￡C^ACC.

3.A=B=AnB=A=AUB=B=CuA?CuB.

4.CU(AnB)=(CUA)U(CUB),CU(AUB)=(CUA)A(CUB).【?？碱}型剖析】

題型一集合的基本概念

例1.(2018課標n理2)己知集合，則中元素的個數(shù)為)

A.9B.8C.5D.4

【答案】A

/方法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2+y2=3中有9個整點,

即為集合A的元素個數(shù)，故選A.

【規(guī)律方法】與集合中的元素有關的問題的三種求解策略

(1)研究一個用描述法表示的集合時，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.

(2)根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)時要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.

(3)集合中的元素與方程有關時注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.

例2.(2022?貴州.貴陽一中模擬預測(文))已知集合4={-2,-L0,l,2},3={xeZ|(x+2)(x—3)<0},則集合

{z\z=孫/eeB}的元素個數(shù)為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡集合，由條件確定的元素及其個數(shù).

【詳解】

由解得，所以.又

所以，共有7個元素，

故選:B.

【規(guī)律方法】

與集合元素有關問題的思路：

(1)確定集合的元素是什么，即確定這個集合是數(shù)集還是點集.

(2)看這些元素滿足什么限制條件.

（3）根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性

題型二：集合間的基本關系

例3.（2022.河南.開封市東信學校模擬預測）集合&={01,2}的非空真子集的個數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)真子集的定義即可求解.

【詳解】

由題意可知，集合A的非空真子集為，共6個.

故選:B.

【易錯警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解.

例4.（2012?湖北省高考真題（文））已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

求解一元二次方程，得

,易知.

因為，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,

原題即求集合的子集個數(shù)，即有個，故選D.

【方法技巧】

（1）判斷兩集合之間的關系的方法：當兩集合不含參數(shù)時，可直接利用數(shù)軸、圖示法進行判斷；當集合中含有

參數(shù)時，需要對滿足條件的參數(shù)進行分類討論或采用列舉法.

（2）要確定非空集合A的子集的個數(shù)，需先確定集合A中的元素的個數(shù)，再求解.不要忽略任何非空集合是它

自身的子集.

（3）根據(jù)集合間的關系求參數(shù)值（或取值范圍）的關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為

參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題.

題型三：集合的基本運算

例5.（2022?全國?高考真題（文））設集合，則（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的交集運算即可解出.

【詳解】

因為,，所以.

故選:A.

例6.（2022?全國?高考真題（理））設全集，集合，則（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求出集合民再由集合的運算即可得解.

【詳解】由題意,，所以，

所以d（Au3）={-2,0}.

故選:D.

例7.（2022?全國?高考真題（理））設全集，集合M滿足，則（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先寫出集合然后逐項驗證即可

【詳解】

由題知，對比選項知，正確，錯誤

故選:A

例8.（2020?全國高考真題（理））已知集合,，則中元素的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

采用列舉法列舉出A8中元素的即可.

【詳解】

由題意，中的元素滿足，且，

由，得，

所以滿足的有，

故8中元素的個數(shù)為4.

故選:C.

【規(guī)律方法】

如何解集合運算問題

(1)看元素構成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵.(2)對集合

化簡:有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決.

(3)應用數(shù)形結合:常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖.

(4)創(chuàng)新性問題:以集合為依托，對集合的定義、運算、性質進行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識和相

應數(shù)學知識來解決.

題型四：利用集合的運算求參數(shù)

例9.(2020?全國高考真題(理))設集合A={x|x2-4W0},B={x|2x+aW0},且ACB={x|-2WxWl},則a=

()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

由題意首先求得集合A,B,然后結合交集的結果得到關于a的方程，求解方程即可確定實數(shù)a的值.

【詳解】

求解二次不等式可得:，

求解一次不等式可得:.

由于，故：，解得：.

故選:B.

【方法規(guī)律】

利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

①與不等式有關的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到；

②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程(組)求解.

例10.（2022?山西運城?高二階段練習）設集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】a<-2

【解析】

【分析】

先求出，則,，由分析即可求出a的取值范圍.

【詳解】

,又因為,，所以.故答案為：.

【易錯提醒】（1）認清元素的屬性.解決集合問題時，認清集合中元素的屬性（是點集、數(shù)集或其他情形）

和化簡集合是正確求解的兩個先決條件.

（2）注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因

為不滿足“互異性”而導致錯誤.

（3）防范空集.在解決有關等集合問題時，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時是否成立，以防漏

解.

題型五：集合的新定義問題

例11.（2015?湖北高考真題（理））已知集合匚=｛魴，口）|

□

2

+

□

2

W1,□=｛（□,□）||D|<2,|D|<2,□,□￡□｝,定義集合□十口=｛（

□

1

+

□

2

□

1

+

□

2

)1(

□

1

□

1

)en,(

□

2

□

2

)￡口},則□十□中元素的個數(shù)為()

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

【解析】

因為集合={(,)1

2

+

2

<1,,￡),所以集合/中有9個元素(即9個點)，即圖中圓中的整點，集合={(,)|||《2,

IIW2,,e}中有25個元素(即25個點)：即圖中正方形/中的整點，集合十={(

1

+

2

)1(

)e

2

）e｝的元素可看作正方形/中的整點（除去四個頂點），即/個.

/例12.（2021?江西?豐城九中高二階段練習）已知非空集合滿足下列四個條件：①；②；

③中的元素個數(shù)不是中的元素；④中的元素個數(shù)不是中的元素.（1）若集合中只有1個元素，則

（2）若兩個集合和按順序組成的集合對叫作有序集合對，則有序集合對的個數(shù)是.

【答案】⑹32

【解析】

【分析】

根據(jù)給定信息，分析集合A,B不能取的元素即可得解；按集合A中元素個數(shù)分類計算作答.

【詳解】

（1）因,，則集合A,B的元素個數(shù)和為7,

而集合中只有1個元素，則集合中有