人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．經(jīng)歷銳角的正弦的探究過(guò)程，感知當(dāng)直角三角形的銳角角度一定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值這一事實(shí)，理解銳角的正弦的定義．2．能靈活應(yīng)用銳角的正弦進(jìn)行計(jì)算，感受數(shù)形結(jié)合的思想方法．教學(xué)重點(diǎn)探究銳角的正弦，理解銳角的正弦的定義，并能靈活應(yīng)用銳角的正弦進(jìn)行計(jì)算．教學(xué)難點(diǎn)研究?jī)?nèi)容提出過(guò)程（研究銳角的正弦定義前，先研究直角三角形中銳角的對(duì)邊與斜邊的比為定值）的必要性．教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧如圖，在Rt△ABC中，兩個(gè)銳角之間有什么關(guān)系？三邊之間有什么關(guān)系？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，得出答案：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°（兩銳角互余）；a2＋b2＝c2（勾股定理）．教師提問(wèn)：對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什么關(guān)系呢？學(xué)生交流思考，教師講解新課．【設(shè)計(jì)意圖】回顧學(xué)過(guò)的直角三角形的邊角關(guān)系，自然地引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問(wèn)題】為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測(cè)得斜坡的坡角（∠A）為30°，為使出水口的高度為35m，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？【師生活動(dòng)】教師提問(wèn)：你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述這個(gè)實(shí)際問(wèn)題嗎？學(xué)生組織語(yǔ)言進(jìn)行小組交流，教師巡視，并適時(shí)引導(dǎo)．把上述實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題為：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB．教師追問(wèn)：如何解決這個(gè)問(wèn)題？學(xué)生獨(dú)立思考，完成作答．【答案】根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”，即＝＝，可得AB＝2BC＝70（m）．也就是說(shuō)，需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管．【思考】在上面的問(wèn)題中，如果出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考、畫(huà)圖，完成作答．根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”，即＝＝，可得AB′＝2B′C′＝100（m）．也就是說(shuō)，如果出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備100m長(zhǎng)的水管．【思考】對(duì)于有一個(gè)銳角為30°的任意直角三角形，30°角的對(duì)邊與斜邊的比是多少？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上面求AB（所需水管的長(zhǎng)度）的過(guò)程，進(jìn)行歸納：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于．【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生用“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，引出研究直角三角形中邊角關(guān)系的具體內(nèi)容和方式——研究銳角和它的對(duì)邊與斜邊之比之間的關(guān)系，為獲得“角度固定，比值也固定”作鋪墊．【問(wèn)題】如圖，任意畫(huà)一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比．由此你能得出什么結(jié)論？【師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題，學(xué)生分組討論，得出答案．【答案】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵∠A＝45°，∴Rt△ABC是等腰直角三角形．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，∴AB＝BC．∴＝＝＝．結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45°時(shí)，無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于．【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“對(duì)邊與斜邊的比”的關(guān)注，為獲得“角度固定，比值也固定”作進(jìn)一步鋪墊．【問(wèn)題】由上述兩個(gè)結(jié)論可知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，是一個(gè)固定值；當(dāng)∠A＝45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值．由此你能猜想出什么一般的結(jié)論呢？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，并用準(zhǔn)確的語(yǔ)言歸納猜想．【猜想】在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體驗(yàn)合理的猜想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中研究問(wèn)題的方法之一，同時(shí)為學(xué)生提供自主探究的空間，增強(qiáng)語(yǔ)言表達(dá)能力．【探究】如圖，任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么與有什么關(guān)系？你能解釋一下嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生先獨(dú)立思考，得出與的關(guān)系，再小組討論，完成證明．【答案】＝．理由如下：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′．∴＝．即＝．【新知】這就是說(shuō)，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值．在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝＝．例如，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有sinA＝sin30°＝；當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有sinA＝sin45°＝．∠A的正弦sinA隨著∠A的變化而變化．正弦是一個(gè)比值，是兩條線段長(zhǎng)度的比，是沒(méi)有單位的數(shù)值，只與角的大小有關(guān)，與三角形的大小無(wú)關(guān)．【提醒】（1）正弦是在直角三角形中相對(duì)于銳角定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，不能在非直角三角形中套用；（2）sinA是一個(gè)整體符號(hào)，不能寫(xiě)成乘積的形式，即sin·A的寫(xiě)法是錯(cuò)誤的；（3）若角是用一個(gè)大寫(xiě)字母或一個(gè)小寫(xiě)希臘字母表示的，則正弦的寫(xiě)法中可省略“∠”，如sinα；若角是用三個(gè)大寫(xiě)字母或數(shù)字表示的，則不能省略“∠”，如sin∠ABC．【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的推理論證意識(shí)，讓學(xué)生在一系列的問(wèn)題解決中，經(jīng)歷從特殊到一般建立數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，感受定義的方式：先研究合理性，再下定義．二、典例精講【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．【師生活動(dòng)】教師提示：求sinA就是要確定∠A的對(duì)邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對(duì)邊與斜邊的比．學(xué)生根據(jù)提示作答，請(qǐng)兩名學(xué)生代表板演，教師規(guī)范步驟．【答案】解：如圖（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝5．∴sinA＝＝，sinB＝＝．如圖（2），在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝12．∴sinA＝＝，sinB＝＝．【歸納】在直角三角形中，求銳角的正弦值時(shí)，如果沒(méi)有給出銳角的對(duì)邊長(zhǎng)或斜邊長(zhǎng)，那么應(yīng)先根據(jù)勾股定理求出所需的邊長(zhǎng)，再根據(jù)銳角的正弦的定義求解．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例1，考察學(xué)生是否會(huì)根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng)求出銳角的正弦值．【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝．（1）若AB＝10，求AC和BC；（2）若AC＝8，求AB及AB邊上的高CD．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，教師指導(dǎo)、講解．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，AB＝10，∴BC＝6．∴由勾股定理得AC＝＝＝8．（2）∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，AC＝8，∴設(shè)BC＝3x(x＞0)，則AB＝5x．由勾股定理得AC＝＝＝4x＝8，解得x＝2，∴BC＝3x＝6，AB＝5x＝10．∵在Rt△ACD中，sinA＝＝，AC＝8，∴CD＝4.8．【歸納】用正弦值求直角三角形邊長(zhǎng)的兩種方法：（1）在直角三角形中，若已知銳角的正弦值及該角的對(duì)邊長(zhǎng)或斜邊長(zhǎng)，則先直接根據(jù)正弦定義求斜邊長(zhǎng)或?qū)呴L(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求第三邊長(zhǎng)；（2）在直角三角形中，若已知銳角的正弦值及該角的鄰邊長(zhǎng)，則可根據(jù)正弦的