人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相似《相似三角形（第2課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

相似三角形（第2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．掌握“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”和“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”，并能運(yùn)用這兩個(gè)判定定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．2．經(jīng)歷兩個(gè)三角形相似的探索過(guò)程，體驗(yàn)用類比、實(shí)驗(yàn)操作、分析歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，提高推理論證能力．教學(xué)重點(diǎn)理解“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”和“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”，并會(huì)用這兩個(gè)定理判定三角形相似．教學(xué)難點(diǎn)判定定理“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”和“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”的證明．教學(xué)準(zhǔn)備準(zhǔn)備量角器、圓規(guī)、帶刻度的直尺和一把剪刀．教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧1．全等三角形與相似三角形有怎樣的關(guān)系？【答案】全等三角形是相似比為1的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形．2．平行線分線段成比例的基本事實(shí)及推論分別是什么？【答案】基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．3．上節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些判定三角形相似的方法？【答案】定義法：三個(gè)角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形相似．利用平行線判定三角形相似：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)，鞏固基礎(chǔ)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問(wèn)題】判定三角形全等的方法有哪些？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，得出答案．SSS，SAS，AAS，ASA，HL．【問(wèn)題】類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過(guò)三邊來(lái)判定兩個(gè)三角形相似呢？任意畫一個(gè)三角形，再畫一個(gè)三角形，使它的各邊長(zhǎng)都是原來(lái)三角形各邊長(zhǎng)的k倍，度量這兩個(gè)三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生任意畫△ABC，取一個(gè)便于操作的k值（如，2，3等），得到△A'B'C'的三邊長(zhǎng)，作出△A'B'C'．教師指導(dǎo)學(xué)生用量角器測(cè)量或把畫好的三角形裁剪下來(lái)，比較這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角的度數(shù)，得出答案．通過(guò)度量可知，兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等；又由題意可知，兩個(gè)三角形的邊對(duì)應(yīng)成比例，所以這兩個(gè)三角形相似．讓學(xué)生歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，提出猜想．【猜想】三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)全等三角形與相似三角形之間特殊與一般的關(guān)系，運(yùn)用類比的思維方式，讓學(xué)生猜想得出由三邊判定三角形相似的方法．【追問(wèn)】你能證明這個(gè)猜想嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生先給出已知和求證．如圖，在△ABC和△A′B′C′中，＝＝．求證△ABC∽△A′B′C′．學(xué)生結(jié)合圖形交流討論，當(dāng)學(xué)生沒(méi)有思路時(shí)，教師用前面剪出的△ABC與△A′B′C′的紙片為模型，將較小的△ABC放置于較大△A′B′C′上（學(xué)生取的k值不同，可能會(huì)出現(xiàn)多種圖形，但證明的本質(zhì)是相同的），點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，點(diǎn)B在邊A′B′上，記為點(diǎn)D，點(diǎn)C在邊A′C′上，記為點(diǎn)E．學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)DE∥B′C′，進(jìn)而得到△A′DE∽△A′B′C′．教師提示學(xué)生：△A′DE是證明的中介，它把△ABC與△A′B′C′聯(lián)系起來(lái)．學(xué)生根據(jù)教師的提示，整理出證明過(guò)程，教師總結(jié)．【答案】證明：在線段A′B′（或它的延長(zhǎng)線）上截取A′D＝AB，過(guò)點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E．∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴＝＝．又＝＝，A′D＝AB，∴＝，＝．∴DE＝BC，A′E＝AC．∴△A′DE≌△ABC．∴△ABC∽△A′B′C′．【新知】由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．符號(hào)表示：∵在△ABC和△A′B′C′中，＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．【問(wèn)題】類似于判定三角形全等的SSS方法，我們證明了三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．那么類似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通過(guò)兩邊和夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似呢？任意畫一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，使∠A＝∠A′，＝＝k，量出BC及B′C′的長(zhǎng)，它們的比值等于k嗎？再量一量這兩個(gè)三角形另外兩組角，它們分別相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生畫出△ABC和△A'B'C'．學(xué)生獨(dú)立完成測(cè)量、計(jì)算，得出答案．通過(guò)度量、計(jì)算可知，＝＝＝k；通過(guò)度量可知，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以這兩個(gè)三角形相似．教師引導(dǎo)學(xué)生歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，提出猜想．【猜想】?jī)蛇叧杀壤見(jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．【追問(wèn)】你能證明這個(gè)猜想嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生先給出已知和求證．已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝．求證：△ABC∽△A′B′C′．學(xué)生模仿上一個(gè)定理的證明，討論證明思路，并完成證明過(guò)程．【答案】證明：在線段A′B′（或它的延長(zhǎng)線）上截取A′D＝AB，過(guò)點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E．∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴＝．又＝，A′D＝AB，∴A′E＝AC．又∠A′＝∠A，∴△A′DE≌△ABC．∴△ABC∽△A′B′C′．【新知】由此我們得到利用兩邊和夾角判定三角形相似的定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．符號(hào)表示：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝，∴△ABC∽△A′B′C′．【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用類比的思維方式，根據(jù)前面探究的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生猜想得出由兩邊和夾角判定三角形相似的方法，并仿照上一個(gè)猜想的證明思路，完成這個(gè)命題的證明．【思考】對(duì)于△ABC和△A′B′C′，如果＝，∠B＝∠B′，這兩個(gè)三角形一定相似嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生嘗試畫圖，小組討論，找出反例．如圖，△ABC與△A′B′C′相似；△ABC與△A′B′C′′不相似．【答案】對(duì)于△ABC和△A′B′C′，如果＝，∠B＝∠B′，這兩個(gè)三角形不一定相似．【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)考慮“兩邊和其中一邊的對(duì)角”的情形，加強(qiáng)對(duì)三角形相似條件的理解與記憶．二、典例精講【例1】根據(jù)下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說(shuō)明理由：AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，請(qǐng)一名學(xué)生代表板演，教師指導(dǎo)、講解．【答案】解：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝．∴△ABC∽△A′B′C′．【思考】這兩個(gè)三角形的相似比是什么？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，回答：這兩個(gè)三角形的相似比是．【歸納】利用三邊成比例判定三角形相似的步驟：第1步：排序，即將三角形的邊按大小順序排列；第2步：計(jì)算，即分別計(jì)算三邊的比值；第3步：判斷，即看比值是否相等來(lái)判斷兩個(gè)三角形是否相似．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例1，考察學(xué)生是否會(huì)利用三邊判斷三角形相似．【例2】根據(jù)下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說(shuō)明理由：∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，請(qǐng)一名學(xué)生代表板演，教師指導(dǎo)、講解．【答案】解：∵＝，＝＝，∴＝．又∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′．【思考】這兩個(gè)三角形的相似比是什么？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，回答：這兩個(gè)三角形的相似比是．【歸納】利用兩邊和夾角判定三角形相似的方法：（1）找到兩個(gè)三角形中相等的角；（2）分別找到兩個(gè)三角形中夾這個(gè)等角的兩條邊，并