2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型突破訓(xùn)練：等差數(shù)列（解析版）

第01講等差數(shù)列

目錄

題型一：等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式........................................1

題型二：等差中項(xiàng)....................................................3

題型三：等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì).........................................6

題型四：等差數(shù)列的函數(shù)特征........................................7

角度1：等差數(shù)列的單調(diào)性.........................................7

角度2：等差數(shù)列中的最大（小）項(xiàng).................................8

題型五：等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和.........................................13

題型六：等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì).....................................16

角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)......................................16

角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和比的問題.............................17

題型七：等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的函數(shù)特性...............................22

角度1：二次函數(shù)法求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值.......................22

角度2：求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值.................................23

角度3：根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和最值求參數(shù)...........................25

題型一：等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式

典型例題

例題1.（2023?湖南衡陽??？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列包｝的前〃項(xiàng)和為S“，的=8,%=36,則滿足S.>a“

的正整數(shù)〃的最大值為（）

A.16B.15C.12D.8

【答案】B

zx3d=8\a,=14

【詳解】設(shè)等差數(shù)列/公差為d,貝叱;9次解得/,，

［12。］+66d=36\d=-2

2

所以%=16-2〃,Sn=-n+15n.

由S”>a“，得—〃2+15〃>16-2〃，

即17〃+16<0，解得1<〃<16,

所以正整數(shù)〃的最大值為15.

故選：B.

例題2.（2023?北京豐臺(tái)?北京豐臺(tái)二中校考三模）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S..若q=2,邑=20,

貝!J?3=;s?=?

【答案】6n2+n

【詳解】設(shè)公差為d,由％=2,5=20,所以S4=4q+4（4；）"=20,即4x2+隼電=20,解得d=2,

所以?！?2〃,

則%=6,5（2+2〃）〃=/+〃

2

故答案為：6；n2+n

例題3.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛0“｝各項(xiàng)均為正數(shù)且滿足式-（〃-1）。"-2〃2+〃=0,數(shù)列

血｝滿足4=3,且％=34+3用.求｛?！埃保耐?xiàng)公式.

【答案】an=2n-l,b.=n-3"

【詳解】由黨一（1-1）%-2/+〃=0可得［%_（2?1）］（%+冷=0,

*/an>0/.an=2〃-1,

因?yàn)?z=3a+3"+L左右兩邊同除以3向，得9=3+1，

所以數(shù)列，畀是公差為1的等差數(shù)列，

—=1,———1+77-1=77,

313"

:.b?=n-r.

精練核心考點(diǎn)

1.（2023?福建廈門?廈門外國(guó)語學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為J,若邑<4,邑=\，

sg>s9,則符合題意的等差數(shù)列｛凡｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為?！?.

【答案】8-〃（答案不唯一）

【詳解】因?yàn)椤?<S7，S［=S$,Ss>Sg,

所以%>0,。8=。，%<0，

設(shè)數(shù)列｛&｝的公差為d,則d<0,

取d=—l,又q=0，可得4=7,

故數(shù)列｛%｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為4=8-"，

故答案為：8-/7（答案不唯一）.

2.（2023春?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列｛%｝滿足氏=2〃,S,為數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和，則

1111

-----1-------1-------F,??H-------------=

H$2$2023

2023

【答案】

2024

【詳解】由4=2〃可得a向-4=2,故｛%｝是公差為2的等差數(shù)列,

（2+2〃）〃.1111

所以=/乙=鼠〃+D，所以盛=花而=7-Q

11111111112023

-----1-------1-------F???H---------=-----------1----------F,??H-----------------------=---------

S]S2S34231223202320242024,

2023

故答案為:

2024

3.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）在數(shù)列｛4｝中%=4,（〃+1）%=2/+2〃，.求證：數(shù)列｛組｝是等差

n

數(shù)列；

【答案】證明見解析

【詳解】加用-（〃+1）?！?2〃2+2〃的兩邊同時(shí)除以水"+1）,得9*一%=2,

n+\n

???數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列?

n

題型二：等差中項(xiàng)

典型例題

例題1.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛勾｝是等比數(shù)列，其公比4>1,

且4>0。=1,2,3廣），若q=仇，%1=4],則（）

A.a6=b6B.a6>b6

C.a6Vb6D.42或《y

【答案】B

【詳解】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可得4+&=2&，b、b“=b3

由基本不等式可得2a6=%+%]=4+bu22出A?=2%，

又公比，>1,故白工如，上式取不到等號(hào)，

2a6>2b6,即4>外.

故選：B

例題2.（2023春?北京?高二北京八中?？计谥校┰诘炔顢?shù)列｛4｝中，為+生+%=300,則為+%的值

為（）

A.50B.100C.150D.200

【答案】D

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以的+0=2%，

又因?yàn)闉?。5+〃6=300,所以%+4=200,

故選：D.

例題3.（2023?廣西南寧?南寧二中校考模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列｛4｝中，若4+/+%+%+%=120,則

26~a9=.

【答案】24

【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列｛。"｝中，有%+%=。2+。4=，所以由%+/+%+&+/=120,

得5%=120,%=24,又名+%=2。6，所以2a6-%=%=24-

故答案為：24

精練核心考點(diǎn)

1.（2023?遼寧沈陽?高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，*是其前〃項(xiàng)和，若

%+5%=$8,則下列關(guān)系中下軍正確的是（）

A.Sg=HoB.S9<EoC.S^—SgD.*S*8<S9

【答案】A

【詳解】由題設(shè)％+5%=國(guó)=4（%+3=4（%+&）,故4+%=加2=他,，

所以4=2%,若｛%｝的公差為dwO,則〃2=2（出+44）,可得〃2=-8d,

所以％0=〃2+81=。，故Si。=Sg+旬）=89,A正確，B錯(cuò)誤；

而S8，Sg大小，與公差d的正負(fù)有關(guān)，大小不確定且SgWSg,C、D錯(cuò)誤.

故選：A

113

2.（2023?全國(guó)?JWI二專題練習(xí)）已知。>0,b>0,且一，—，不成等差數(shù)列，則3Q+6的最小值為（）

a2b

A.4B.6C.9D.12

【答案】D

【詳解】解：因?yàn)椤?gt;0,b>o,且上1，13:成等差數(shù)列，

a2b

所以」1+；3=2x1：=l,

ab2

所以3a+6=（3a+6）t+口=3+3+-+—>6+2J--=12,

\ab）ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=手，即0=2,6=6時(shí)取等號(hào)；

ab

故選：D

3.（2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈九中?？计谥校┰诘炔顢?shù)列｛%｝中，5"為｛應(yīng)｝的前〃項(xiàng)和，%>0,a6%<0,

則無法判斷正負(fù)的是（）

A.SnB.幾C.又D.Sl4

【答案】B

【詳解】設(shè)公差為d,因?yàn)閝>0,a6a7<0,可知：d<0,且&>。，%<0,所以。8<。，從而

.=11（%；卬）=］叱>0,幾J2.；如）=6（&+%）不確定正負(fù),用=”（。；%3）=13%<0,

S14---7（%+〃8）<。

故選：B

14

4.（2023?廣西?統(tǒng)考一模）已知。>0,b>0,若。，2,6依次成等差數(shù)列，則一+丁的最小值為______.

ab

Q

【答案】y

4

【詳解】解：因?yàn)椤?gt;0,6>0,且。，2,b依次成等差數(shù)列，

所以Q+6=2X2,°+,=1

所以工+:=

ab

當(dāng)且僅當(dāng)9h=4/7即。=4=，6=R2時(shí)取等號(hào),

ab33

故±1+；4的最小值為9苫，

ab4

9

故答案為：—

4

題型三：等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)

典型例題

例題1.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考二模）等差數(shù)歹！]｛%｝中，。2+%+%。+%2=40.貝!I前13項(xiàng)和S[3=（）

A.133B.130C.125D.120

【答案】B

【詳解】因?yàn)椤?+&+4o+%2=4。，又％+。10=〃2+。12=。1+43，

所以為+%=20,所以%="（%；43）=上|絲=130.

故選：B

例題2.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）在等差數(shù)列｛0“｝中，S"是其前”項(xiàng)和，若4+2%+%=60,則品

等于（）

A.195B.200C.205D.210

【答案】A

【詳解】在等差數(shù)列｛氏｝中，因?yàn)椤?+2%+41=60,所以2%+2a7=60,即％=15

所以幾=（%+；）、1上"?=%=Bx15=195.

故選：A.

例題3.（2023?四川成都?樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）等差數(shù)列｛%｝中，。5-。3=%-10,則｛%｝的前9項(xiàng)

和為（）

A.-180B.-90C.90D.180

【答案】C

【詳解】因?yàn)?-〃3=%-1。，所以%+1。=%+。3，

又%+%=2%，所以%=1。，

所以品=9”初=史產(chǎn)=鬼5=90.

故選：C.

精練核心考點(diǎn)

1.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)｛4｝{bn}都是等差數(shù)列，且4=25,4=75,4+62=100,貝!]%+&=

()

A.0B.37C.100D.-37

【答案】C

【詳解】設(shè)q,=a“+”,由于｛4｝,｛2｝都是等差數(shù)列，則｛c“｝也是等差數(shù)列，

且q=4=25+75=100,q=4+仇=1。。，

｛。〃｝的公差d=。2一。1-0.「?。37=100,即。37+方37=1。。.

故選：c

1

2.（2023春,高二課時(shí)練習(xí)）如果等差數(shù)列｛%｝中，（23++tz5=12,那么多+出"---F%=（）

A.14B.12C.28D.36

【答案】C

【詳解】：陽+&+〃5=12,3a4=12,則%=4,又4+%=%+Y="+,=2%，

%+出+…+%=7。4=28.

故選:C.

3.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，若%-。9+%=7,則。3+%5等于（）

A.7B.14C.21D.7（?-1）

【答案】B

【詳解】因?yàn)?-旬+。17=（a1+%7）-。9=2%-％=。9=7,所以。3+々5=2%=2X7=14.

故選：B

題型四：等差數(shù)列的函數(shù)特征

角度1:等差數(shù)列的單調(diào)性

典型例題

例題1.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增且滿足力+網(wǎng)=6,則/的取值范圍是（）

A.（-℃,3）B.（3,6）C.（3,+oo）D.（6,+QO）

【答案】C

【詳解】因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝單調(diào)遞增，所以d>0,

所以%+=%+&=為6-%=6，

則2a6-6=3d>0,解得：a6>3,

故選：C

例題2.（多選）（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足邑。>0,邑心0,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛氏｝為單增數(shù)列B.數(shù)列｛%｝為單減數(shù)列

C.對(duì)任意正整數(shù)〃,都有|?！伴ZD.對(duì)任意正整數(shù)〃，都有同才叫

【答案】BD

【詳解】在等差數(shù)列｛/｝中，因?yàn)橐亍?gt;0，

可得邑。=（q+"；》20>0,4=（1+；）x21<0,

BP4+。20>°且％+〃21<°，BP^10+。11>0且<0,

所以須>0,知<（）,且此時(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列，

可得對(duì)任意正整數(shù)小都有

故選：BD.

例題3.（2023春?山東德州?高二統(tǒng)考期中）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式:

①口…（機(jī)>"，/，〃eN"）；②｛%｝單調(diào)遞增.

【答案】W>0）（符合此種形式即可）

【詳解】假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,首項(xiàng)為％,由性質(zhì)①可得：

q=%+（m^>a1=d,

即4=%+（〃一l）d=dn,

再根據(jù)②可知，公差d>0,顯然%=而（左>0）滿足題意.

故答案為：kn（k>0）（符合此種形式即可）

角度2：等差數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)

典型例題

例題1.（多選）（2023秋?湖南岳陽?高二統(tǒng)考期末）已知無窮等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為%>0,

d<0,貝!J（）

A.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減B.數(shù)列｛&｝沒有最小項(xiàng)

C.數(shù)列阻｝單調(diào)遞減D.數(shù)列｛5｝有最大項(xiàng)

【答案】ABD

【詳解】解：數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5，%>0,由于d<0,故數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，

且數(shù)列｛%｝為無窮等差數(shù)列，故數(shù)列｛%｝沒有最小項(xiàng)，故A正確、B正確；

又S'=?+，1<0,二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為“一"「5、n，

212/2n—~~>u

y-d

故數(shù)列｛、｝有最大項(xiàng)，沒有最小項(xiàng)，故D正確，

d

因?yàn)椤耙?上生、n，無法判斷可與的大小，即〃的取值，故無法判斷數(shù)列｛S.｝的增減性，故C

—d2—d

錯(cuò)誤.

故選：ABD.

例題2.（多選）（2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列｛。力中，S“為

其前"項(xiàng)和，%=15,工=品，則以下正確的是（）

A.d=—1B.|。4H"131

c.s”的最大值為SgD.使得邑>0的最大整數(shù)〃=15

【答案】BCD

【詳解】解：；S5=Su，，/+%+…+%1=3（。6+%1）=3（%+%6）=°，

%+%6=0，

,/?1=15,a16=-15,

，數(shù)列｛%｝的公差1=§F?=一2,故A錯(cuò)誤；

16-1

1=

an=15-2（H-1）=17-2H,/.|a4|=|ai39,故B正確；

S"=15〃—2x"（；D=f2+16〃,當(dāng)〃=8時(shí)，S&取得最大值；

-/515>0,516<0,故D正確；

故選：BCD.

例題3.（2023春?河南南陽?高二校聯(lián)考期中）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛。"｝滿足條件出嗎6=驍，”主義=：.

%+為3

（1）求｛與｝的通項(xiàng)公式；

7；

⑵設(shè)7.=ala2L冊(cè)，求的最大值.

【答案】⑴％=2?"

（2）2、5

【詳解】（］）設(shè)｛4｝的公比為g,

由題思得&=。2%6=16,所以旬=%q=4,

&+%_（/+%）/3_1

----------=------------------=q=—，

a3+a4a3+a48

所以q=a\=1024.

所以=1024x=211-/7.

(21-〃)〃

(2)010+9+8+…v7ry2

-a1a2…a,=2=2

二次函數(shù)y=⑵一』x=_"+&x的圖象的對(duì)稱軸為x=斗,

2222

故當(dāng)〃=10或□時(shí)，（取得最大值，且最大值為255.

題型四精練核心考點(diǎn)

1.（2023?北京海淀??？既＃┮阎炔顢?shù)列｛叫的公差為d,數(shù)列低｝滿足?！币?1（〃eN*）,則"d>0"

是"也"｝為遞減數(shù)歹曠的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】因?yàn)椤?也=l（〃eN*）,所以尸0且6,尸0,則

an

若d>0,不妨令—7+2w,則4=—],b2=——,4=—1，4=1,"=]，L,

顯然｛2｝不單調(diào)，故充分性不成立，

若｛"｝為遞減數(shù)列，則｛%｝不是常數(shù)數(shù)列，所以｛%｝單調(diào)，

若｛/｝單調(diào)遞減，又>=:在（0,+。）上單調(diào)遞減，則也｝為遞增數(shù)列，矛盾；

所以｛%｝單調(diào)遞增，則d>0,且4>0,其中當(dāng)為<0,d>0時(shí)也不能滿足物,｝為遞減數(shù)列，故必要性成

立，

故"d>0"是"｛a｝為遞減數(shù)列"的必要不充分條件.

故選：B

2.（2023春?河南洛陽?高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知無窮等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，

公差為d,若%>0，d<0,則不正確的（）

A.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減B.數(shù)列｛%｝沒有最小值

C.數(shù)列｛￡,｝單調(diào)遞減D.數(shù)列｛$”｝有最大值

【答案】C

【詳解】由于公差d<0,所以｛g｝單調(diào)遞減，故A正確，由于｛七｝為無窮的遞減等差數(shù)列，所以B正確,

由,故S"為開口向下關(guān)于"的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為

dI

5-41%、「，由于對(duì)稱軸與1的關(guān)系不明確，所以無法確定單調(diào)性，但是由于開口向下，故有

dId

最大值，故C錯(cuò)誤，D正確，

故選：C

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為九貝/紹用<目+染2"是"數(shù)列阻｝

為單增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】若2s3<4+即2,故s“「s”<s”+2-即%<―，

故｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)公差為d（d>o）,

.cn（n-\\d2（d\

1、〔XT

止匕時(shí)Sn=H------------d=—n——In,

令>=gx2+1%-g]x,對(duì)稱軸為_%一]，當(dāng)/時(shí)，此時(shí)對(duì)稱軸X>1,

此時(shí)S“=y?2+^i-1-^?先增后減，

所以數(shù)列｛$,｝不是單調(diào)數(shù)列，

充分性不成立，

若數(shù)列｛5｝為單增數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,

若d=0,不妨設(shè)q=1，此時(shí)$"=〃，滿足數(shù)列｛Sj為單增數(shù)列，

此時(shí)岳=1,$2=2,品=3,2邑=H+$3=4,故必要性不成立,

故"25用<Sn+號(hào)+2"是"數(shù)列｛5?｝為單增數(shù)歹曠的既不充分也不必要條件.

故選：D

4.（多選）（2023秋?吉林?高二吉林一中?？计谀┮阎炔顢?shù)列｛%｝,前〃項(xiàng)和為S”,%>0,等<-1,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.。2022>°B.S”的最大值為邑023

c.|%|的最小值為。2022D.5,4044＜。

【答案】ACD

【詳解】對(duì)于AJ?數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，％>0,詠<-1,

“2022

，數(shù)列｛%｝為遞減的等差數(shù)列，

??^*2023<0，^^2022>

故A正確，

對(duì)于B,???數(shù)列｛0“｝為遞減的等差數(shù)列，a2023<0,a2022>0,

S,的最大值為邑022，

故B錯(cuò)，

對(duì)于C,?%023<°，。2022>。，

...由￡2021<T得4023<-a2022,

“2022

,,。2023+“2022<°，

,,I42023l>H2022I，

，㈤的最小值為“221，即。2022，

故C正確，

對(duì)于D,54044==2022（g?！??2023）<。，

故D正確.

故選：ACD

5.（多選）（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝中，臬<57，$7>國(guó)，則下列命題中為真命題的是（）

A.公差d<0B.S9<S6

C.四是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)D.S’是$“中最大的值

【答案】ABD

【詳解】由品<跖,跖>項(xiàng)得:a7>0,ag<0,

所以"=08-&7<。,且各項(xiàng)中最大的項(xiàng)為%，故A正確，C錯(cuò)誤；

$9-$6=%+。8+。7=%<0，所以$9<S6，故B正確；

因?yàn)榈?gt;。,%<0,等差數(shù)列｛%｝遞減，所以凡最大，故D正確；

故選：ABD

6.（多選）（2023春?江西上饒?高二?？茧A段練習(xí)）記等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”.若出=1。，$5=$2,

則（）

A.S3=S4B.a=10C.S”的最大值為30D.4的最大值為15

【答案】ACD

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

[a,+d=10

則由題可得「c,，解得4=15,d=-5,

[5q+10d=2q+d

w15+5w

=15+(M-1)X(-5)=20-5M,Sn=(^0-)=35〃;5川,

/.a4=0,S3=S4,故A正確；a6=-10,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)〃=3或4時(shí)，取得最大值為30,故C正確；

由于d<0,所以%的最大值為4=15,故D正確.

故選：ACD.

7.（多選）（2023春?江西南昌?高二?？茧A段練習(xí)）公差為d的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，若

邑023<§2021<邑（）22，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.d<0B.4<0時(shí)，〃的最小值為2022

c.S“有最大值D.S,>0時(shí)，"的最大值為4043

【答案】ACD

“2023+“2022<°，“2023(°，。2022)0,故等差數(shù)列｛%｝的公差

【詳解】對(duì)于A：由S2023<S2021<52022可得

d=“2023—。2022<0，故A止確;

對(duì)于B：由A得，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且。2。23〈0，生期）0,故％<0時(shí)〃的最小值為2023,故B錯(cuò)誤;

對(duì)C：由A得，d<0,故5“=（/+上=|_1是關(guān)于〃的開口向下的二次函數(shù)，其有最大值，沒有最小值,

故C正確;

對(duì)于D：因?yàn)閿?shù)列｛%｝的前2022項(xiàng)均為正數(shù)，且

邑。M=4044忙羋=2022(%+*)=2022(*+、)<°，6=4043老皿="43囁？>°，

S”>0時(shí)，"的最大值為4043,故D正確;

故選：ACD.

題型五：等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

典型例題

例題1.（2023春?四川廣安?高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定

理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如

下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問

題：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為凡，則

的最小值為()

C.紅

A.20B.25D.40

2

【答案】B

【詳解】被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列｛%｝,

n(n-l).31

貝也=2〃+-------x3=-n2+-n

222

,2s,,+48_3/+〃+4848

=3n+—+1>21=25

nnn

當(dāng)且僅當(dāng)3〃=4竺8，即〃=4時(shí)，等號(hào)成立,

n

故選:B.

例題2.(2023春?北京海淀?高二北理工附中?？计谥?已知S“是等差數(shù)列｛總的前“項(xiàng)和，若僅當(dāng)"=5

時(shí)S“取到最小值，且|?5|>|a61,則滿足S“>0的〃的最小值為.

【答案】11

【詳解】因?yàn)?“=〃%+今匚1/=1?2+

當(dāng)〃=5時(shí)用取到最小值,

所以d>0,所以。5<a6，

因?yàn)樗砸弧?<。6，即一(4+4d)>4+5d,所以々〈—gd.

((HV-1)J)(n-1)9

Sn=nax+d>0,則--->0,因?yàn)閝<——d,

I2722

所以-也二Dd,解之得：〃>10,因?yàn)椤╟N*,所以〃的最小值為11.

22

故答案為：11.

例題3.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考三模)已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S,,%=1,

2S“=a“a“+i("eN*).

(1)求｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)若與<2023恒成立，求正整數(shù)k的最大值.

【答案】(I)%=〃

⑵63

【詳解】(1)解：由題意，各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S,,滿足為=1且2s

當(dāng)〃=1時(shí)，2a｛=axa2,解得出=2,

當(dāng)〃>2時(shí),2Sn_｛=an_ian,兩式相減得2%=%（%討-%）,

因?yàn)閿?shù)列｛七｝中各項(xiàng)均不為零，即??+1=2.

所以數(shù)列｛%｝中奇數(shù)項(xiàng)是以外為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

偶數(shù)項(xiàng)是以g為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

當(dāng)“=2左時(shí)，=。2+（左-1）x2=2左，即%=〃；

當(dāng)”=2后_]時(shí)，&I=%+（4-1）x2=2左一1,即?！?〃，

綜上，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為對(duì)=〃.

（2）解:由（1）知數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可得S“=當(dāng)⑴,

因?yàn)?2023,所以左（左+1）44046,

當(dāng)左463時(shí),屏<2023,即不等式恒成立；

當(dāng)上=64時(shí)，Sk>2023.

故正整數(shù)左的最大值為63.

精練核心考點(diǎn)

1.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛與｝的首項(xiàng)為1,前〃項(xiàng)和為且對(duì)任

意、n于7,Sn<87,則（）

A.S13<0B.514>0C.S15<0D.S16>0

【答案】C

（、f“7=l+6d〉0,「11、

【詳解】設(shè)｛6｝的公差為d,由題設(shè)條件可知d<0,且|；=]+7]<0則

因止匕幾=13（61+1）>0,幾=15（7〃+1）<0,品=16（T〃+l]<0，

而見=14（￡d+lj符號(hào)不確定.

故選：C.

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）記S“為等差數(shù)列｛%,｝的前"項(xiàng)和，若瓶+%+3=10，%+3+%+2=18,則

^_^L=

n〃+1

【答案】-2

【詳解】由4“+%+3=10①，%+3+乙+2=18②，

(2)-(J)得3d—d=8,

得d=4,

乂$：（%+%,）〃

“一2

則盤=%+J

、n2

故顯-

_%+%%+%aa=d2

n〃+122=~2（"+1~n）~^=~?

故答案為：-2

3.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且鼠=-2￡x=0￡+2=3,則加=

【答案】4

【詳解】由題意得：am+l=Sm+l-Sm=2,am+2=Sm+2-Sm+l=3,

則等差數(shù)列的公差1=5+2-4+i=1

則??,1=%+md=a+m=2,S=%（m+1）+1）=（2-機(jī)）（機(jī)+1）+機(jī)（機(jī)+1）

+xm+X冽（：+=W+l12-g=0,

2

解得：加=4或加=-1（舍去），

故答案為：4.

題型六：等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)

角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)

典型例題

例題1.（2023春?河北?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知S,是等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若$20=15,56。=75,

貝!1'。=（）

A.40B.45C.50D.55

【答案】A

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：

凡。，S40-S20,SyS,。成等差數(shù)列，

所以2（3。-15）=15+（7574。），

解得$4。=40.

故選：A

例題2.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列｛%｝中，其前"項(xiàng)和為S.，若邑：品=6：1,則與母4=

（）

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

【答案】D

【詳解】由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可得，S7，、4-S7島-凡凡-S》成等差數(shù)列，設(shè)$7=5,則$21=65,

即S'-S,6s-幾成等差數(shù)列，故2（幾-s）=s+6s-幾，解得S]4=3S,a57,514-S7,521-S14,S28-S21即

s,2s,3s,4s,故%-6s=4s,528=105,故$28:凡=10:3

故選：D

例題3.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為S“，若1=2,%=8,貝!）5軟=.

【答案】32

【詳解】由等差數(shù)列｛/｝前n項(xiàng)和的性質(zhì)，

可得&，S“-Sk,S3t-S2t,S4*-Mk成等差數(shù)列，

2（%一邑”&+%F，解得$=18,

...2,6,10,5.-18成等差數(shù)列，

可得2xl0=6+%-18,

解得%=32.

故答案為：32.

角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和比的問題

典型例題

例題1.（2023春?遼寧沈陽?高二沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝,也,｝的前1項(xiàng)和分別

,一,7〃+2必

為S”和7；,已知清二F~,則廣二

/〃n+3%

、93

【答案】

16

13、13c

鼠=萬z（%+陽）7=芻

【詳解】由題意可知,

q：色+九）*2%以

。7_幾_7x13+2_93

所以七工―13+3~~16'

故答案為:二.

16

例題2.（2023春?遼寧沈陽?高二遼寧省康平縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛%｝,也,｝的前〃

項(xiàng)和分別為加小若尹日，則\（）

C22

B-技D.

-69

【答案】D

【詳解】因等差數(shù)列前”項(xiàng)和為關(guān)于〃的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，又十日，

北=布（3〃+12）,則六=今三!35k—24k_11左_11

則可設(shè)s“=加（"+2）,

420^35iI-69l-69

所以黨也.2x113

%6969.

故選：D

例題3.（2023春?江西南昌?高二南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝和｛4｝的

A7〃+45a

前〃項(xiàng)和分別為4和4,且才=:丁，則使得力為正偶數(shù)時(shí)，〃的值是

A.1B.2C.5D.3或11

【答案】D

【詳解】試題分析：在等差數(shù)列中，若加+〃=。+4,則a1n+an=ap+%.因?yàn)閮蓚€(gè)等差數(shù)列｛%｝和｛bn｝的前

"(一+*)

4,7〃+45所以％=徑=----2----7(2〃-1)+45

〃項(xiàng)和分別為4和與，且f=-^鼠

b,2b?岫+邑t)4(2n-1>3

2

=不-7+急,為黨為正偶數(shù),則須，+1為4或⑵所以―或U,選D.

題型六精練核心考點(diǎn)

1.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，跖=18出=3,則&=（）

2127

A.9B.—C.12D.—

22

【答案】A

【詳解】由已知邑，S6-S3,S9-S6,即3,$6-3,18-凡成等差數(shù)列，

所以2X（S6-3）=3+（18-S6）,所以、=9,

故選：A.

2.（2023春?河南南陽?高二校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列｛%｝,若%+&+%=12,a4+a5+a6=18,則

a6+a7+a8=（）

A.30B.36C.24D.48

【答案】A

【詳解】已知等差數(shù)列｛?！埃?/+。4+。5=12①，%+。5+4=18②，

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,

②一①得3d=6,

則。6+。7+“8=。3+。4+。5+9d=12+18=30.

故選：A.

3.（2023春?湖北咸寧?高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且

“0+2=2。"+1-。"島=20,邑0=1。，則邑（）=（）

A.0B.-10C.-20D.-30

【答案】D

【詳解1由an+2=2%+[-%可得an+2+an=2a?+1,

故數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

又$=20,$2。=10,故，,S2a-$月0-邑。也成等差數(shù)列，

BP2x（10-20）=20+S30-10,530=-30,

故選：D

4.（2023春?遼寧大連?高二校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列m｝,帆｝的前〃項(xiàng)和分別是S“，Tn,若￡=不篙

則,（）

【答案】B

【詳解】由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式滿足//+臺(tái)〃形式，設(shè)S〃二初?（2〃）=2加2,則

?一&$6—$52左X36—2左X2511

Tn=初,（3〃+7）=3而+7而，=———=——一―[久力—7=7?.

b5T5-T43左X25+7左X5-3左X16-7左X417

故選：B.

5.（多選）（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列｛g｝和色,｝的前〃項(xiàng)和分別為Sn和7；,且*=加子,

則使彳吟為整數(shù)的正整數(shù)〃的值為（）

A.2B.3C.4D.14

【答案】ACD

（2〃-1）（一

【詳解】由題音可得&11=---------------=（2-T）%=_S|J]||

【洋斛】由⑶昂"寸?。?1）（4+%）（2小）