人教A版2019高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊-數(shù)列求通項(重點題型)

第4講：數(shù)列求通項(重點題型方法與技巧)目錄類型一：法(已知與的關(guān)系)角度1：用，得到角度2：將題意中的用替換角度3：已知等式中左側(cè)含有：類型二：累加法類型三：累乘法類型四：構(gòu)造法類型五：倒數(shù)法類型一：法(已知與的關(guān)系)角度1：用，得到典型例題例題1．（2022·河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；【答案】(1)由，得，得，當(dāng)時，，即，∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴的通項公式為．例題2．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）正項數(shù)列的前項和滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)當(dāng)時，，即解得或，因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以，因為，所以，解得或，因為數(shù)列各項都是正數(shù)，所以，當(dāng)時，有，所以，解得，又當(dāng)時，，符合.所以數(shù)列的通項公式例題3．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））數(shù)列的前項和記為，己知，．(1)求的通項公式；【答案】(1)解：因為，，令可得，，解得或（舍去）．當(dāng)時可得，兩式相減得，即，因為，可得，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.例題4．（2022·福建省廈門集美中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且（）．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)；解：（），當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，由，得①∴，②①﹣②得：，∴，∵，∴，，∴數(shù)列是等差數(shù)列，∴；同類題型歸類練1．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)因為，所以，兩式相減，可得，整理得，即，因為在中當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.2．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）記各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和是，已知，n為正整數(shù)，(1)求的通項公式；【答案】(1)當(dāng)時，相減得，即，各項均為正數(shù)，所以，故是以首項為1，公差以1的等差數(shù)列，所以；3．（2022·全國·成都七中高三開學(xué)考試（理））記數(shù)列?前?項和為，.(1)證明：?為等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析（1）由題意，得?.則?.兩式相減，得?，即?，?是等差數(shù)列.角度2：將題意中的用替換典型例題例題1．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列【答案】BCD【詳解】∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，兩邊同除以Sn＋1·Sn，得.∴是以－1為首項，d＝－1的等差數(shù)列，即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，又a1＝－1不符合上式，∴故A錯誤，BCD正確.故選：BCD例題2．（2022·安徽宣城·二模（理））已知數(shù)列中，，，前項和為.若，則數(shù)列的前2022項和為_____________.【答案】【詳解】由可得，又，，，故是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，，，又也符合，，，故數(shù)列的前2022項和為.故答案為：.例題3．（2022·黑龍江·大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項數(shù)列滿足，前項和滿足(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)；(1)解：∵∴∴，∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)數(shù)列，∴，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，也成立，∴.例題4．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正項數(shù)列的首項，前項和滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)；（1）當(dāng)時，，∴，即，又，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故，又由（），當(dāng)時，也適合，所以.例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足()，.(1)求；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)(2)（1）由題意可得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,即,可得,即數(shù)列是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,,可得.經(jīng)檢驗，時，滿足上式，故.（2）由(1)可得，當(dāng)時，,當(dāng)時，,不符合，綜上所述,結(jié)論是:.同類題型歸類練1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，(1)求和【答案】(1)，（1）時，，時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列．所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足上式，所以，2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知首項為1的數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)(1)依題意，，故，因為，所以，又，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，．當(dāng)時，，又當(dāng)n＝1時，也滿足上式，所以．3．（2022·四川省通江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知正項數(shù)列的前項和為，且；(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)(1)由題意正項數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，，故，所以，即，所以是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，則，所以，即，但不適合上式，故；4．（2022·云南省玉溪第一中學(xué)高三開學(xué)考試）數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)證明見解析(2)（1）由，得，，且，故數(shù)列為以2位首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知數(shù)列的首項為，公差，則數(shù)列，即，則.角度3：已知等式中左側(cè)含有：典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則數(shù)列的前項和（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因，當(dāng)時，，則，而滿足上式，因此，，即，則，，即是首項為4、公差為4的等差數(shù)列，所以．故選：B例題2．（2021·上海市行知中學(xué)高三開學(xué)考試）數(shù)列滿足：，，則通項________．【答案】【詳解】由題意得：①，當(dāng)時，，當(dāng)時，②，①②得：，所以，，，，…，，累乘得，當(dāng)時，不滿足，則．故答案為：.例題3．（2022·廣東·測試·編輯教研五高二階段練習(xí)）數(shù)列滿足．(1)求；(2)求數(shù)列的前項和；【答案】(1)(2)(1)解：因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式相減得，所以，又符合上式，所以．(2)解：，所以，所以，即，所以．例題4．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高二開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)(1)解：因為①，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，②，①②得，所以，當(dāng)時也成立，所以(2)解：由（1）可知，所以所以，所以所以同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則__________．【答案】【詳解】因為，當(dāng)時，，則，即有，當(dāng)時，，得，滿足上式，，，因此數(shù)列是常數(shù)列，即，所以.故答案為：2．（2020·山東省青島第五十八中學(xué)高三期中）設(shè)數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)；（1）解：當(dāng)時，因為①，所以，所以②，①②得，即，當(dāng)時，適合上式，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.3．（2022·河南·三模（文））已知數(shù)列滿足：，.(1)求；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)(1)當(dāng)時，，故；當(dāng)時，兩式相減得：，故綜上：當(dāng)時，.(2)由（1）知所以.4．（2022·山東·濟南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知，，數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列，的通項公式；【答案】(1)，；∵①，∴當(dāng)時，，得．當(dāng)時，②，①－②得，，∴，∵時也滿足，∴，∴，當(dāng)n=1時也成立∵③，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，④，③－④得，，則，∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故；5．（2022·黑龍江雙鴨山·高二期末）設(shè)數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；【答案】(1)依題意①，當(dāng)時，.當(dāng)時，②，①-②得，，時，上式也符合.所以.類型二：累加法典型例題例題1．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））在數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，則，當(dāng)時，，顯然滿足上式，即有，所以．故選：A例題2．（2022·上海市大同中學(xué)高二階段練習(xí)）若，，，則_________．【答案】【詳解】，當(dāng)時，，，，以上各式相加得：而也適合上式，．故答案為：．例題3．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，是公差為2的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；【答案】(1)解：因為是公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以，則，所以，則，，，，累加得，所以；例題4．（2022·四川廣安·高一期末（理））已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)當(dāng)時，，即，則，當(dāng)時，，滿足，綜上所述，當(dāng)時，.同類題型歸類練1．（2022·四川省成都市郫都區(qū)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為所以累加得：，所以.故選：D2．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】63【詳解】由題設(shè)，，所以，又，所以.故答案為：.3．（2022·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項公式.【答案】(1)，∵，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；4．（2022·云南·彌勒市一中高二階段練習(xí)）等比數(shù)列中，公比，，是與的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)(2)(1)是與的等差中項，，，；由得：（舍）或，.(2)由（1）得：，，則，，…，，各式相加得：，又，.類型三：累乘法典型例題例題1．（2022·湖南省桃源縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，數(shù)列中，，，，所以，，，所以，所以，即，則.故選：C.例題2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項________________.【答案】【詳解】解：因為，，所以，當(dāng)時，，所以，，，當(dāng)時，，適合上式，所以數(shù)列的通項，故答案為：例題3．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知為數(shù)列的前項和，且，．(1)求，；(2)求的通項公式．【答案】(1)，.(2)（1）當(dāng)時，，即，又，所以，當(dāng)時，有，解得.故，.（2）因為，所以，兩式相減得：，即，化簡得：，所以，即，，化簡得：.故的通項公式.例題4．（2022·江蘇·南京市第十三中學(xué)高三階段練習(xí)）在條件：①；②且；③且中任選一個，補充在橫線上，并求解下面問題：已知數(shù)列的前項和為___________，(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)（1）若選①，由，①時，，②①②而也滿足上式，若選②，①時，，②①②.若選③，①時，，②①②時由①知也滿足上式，，當(dāng)時，，.同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，，，∴，，∴數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，∴．當(dāng)時，，∵n＝1時，，∴．，∴當(dāng)n＝3或n＝4時，取得最小值，最小值為.故選:D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項為1，前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式___________.【答案】n【詳解】解：∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，成立，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，∴.故答案為：n3．（2022·甘肅·寧縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項公式．【答案】(1)3；6(2)an＝.（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，∴a3＝（a1＋a2）＝6.（2）∵當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1滿足上式，∴an＝.4．（2022·河北深州市中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，若，且．(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)（1）在中，令，得，解得，因為，所以當(dāng)時，，兩式相減，得，所以，即（），當(dāng)時，符合該式，所以，又因為滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為．類型四：構(gòu)造法典型例題例題1．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列中，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】所以所以數(shù)列是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，所以.故選：C例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，若，則的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】解：由題意可知，，則，即，所以數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，，由，即，整理得，即，解得，因為，，所以的最小值為6，故選：C．例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為___________.【答案】．【詳解】∵，所以，即，∴是等差數(shù)列，而，所以，所以．故答案為：．例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)若數(shù)列滿足，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)(1)解：因為，所以，又，，所以，即，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；(2)解：由（1）可得，即，所以所以例題5．（2022·全國·高二期中）已知數(shù)列中，，，則通項公式___________；前項和___________.【答案】

【詳解】設(shè)實數(shù)滿足，則，所以，可得是公比為的等比數(shù)列，又，所以，得；.故答案為：；同類題型歸類練1．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足關(guān)系：，當(dāng)時，，則（

）A．31 B．15 C． D．【答案】C【詳解】解：因為當(dāng)時，，，所以，且，所以是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以.故選:C.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，則的通項為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：∵，∴，由，得，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即．故選：A3．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高一期末）已知數(shù)列中，，，則通項公式____________．【答案】【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：.4．（2022·福建省寧德第一中學(xué)高二階段練習(xí)）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項公式an＝________.【答案】【詳解】由，得.令，則，且.所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴，∴.故答案為：類型五：倒數(shù)法典型例題例題1．（多選）（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中錯誤的有（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前項和為【答案】AD【詳解】由題意得，則，而，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，，得，為遞減數(shù)列，故A正確，B，C錯誤，對于D，，的前項和為，故D正確，故選：AD例題2．（2