2024北京北師大實驗中學(xué)初三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷和答案

北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)班級姓名學(xué)號成績1.本試卷共10頁，共3道大題，28道小題；答題紙共3頁。滿分100分?？荚嚂r間120分鐘?？忌氈?.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級、姓名、學(xué)號。3.試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。一、單項選擇題（本題共8小題，每小題2分，共16分）1．年月日，國家統(tǒng)計局發(fā)布的《中華人民共和國20232282022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》中報道：2022年全年研究與試驗發(fā)展（&?）經(jīng)費支出30870億元，比上年增長10.4%，將數(shù)字30870用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）30.87×103B.3.087×105C.0.3087×1053.087×104【答案】D（東城一模第2題）用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為?×10??，其中1|a<10，為整數(shù)．30870=3.087×104．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形的是（）B.C.【答案】B（綜合石景山一模第4題、豐臺一模第3題）?+2?=3,3．方程組的解是（）?2???=57138?=?=?=?=?=?=?=2?=131B.51C.31????353【答案】B（改編題，西城二模第3題）北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第1頁，共20頁4．a(chǎn)，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）B.||||?<?C.>0?>?1?1<?+?<0【答案】C（改編題，綜合東城一模第4題，西城一模第5題）52個紅球和3均為黃球的概率是（）3149B.C.10102525456題）6．如圖，點P是圓形舞臺上的一點，舞臺的圓心為，在P點安裝的一臺某種型號的燈光裝置，其照亮的區(qū)域如圖中陰影所示，該裝置可以繞著P點轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程中，邊界的兩條光線分別與圓交于A，B兩點，并且夾角保持不變，該裝置轉(zhuǎn)動的過程中，以下結(jié)論正確的是（）．點P到弦所在直線的距離存在最大值??B．弦AB的大小改變C．弦與PB的長度之和不變??．圖中陰影部分的面積不變【答案】（23-24華女九上期中題）7．教練將某射擊運動員50次的射擊成績錄入電腦，計算得到這50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7.5，方差是1.64．后來教練核查時發(fā)現(xiàn)其中有2個數(shù)據(jù)錄入有誤，一個錯錄為9環(huán)，實際成績應(yīng)是6環(huán)；另一個錯錄為7環(huán)，實際成績應(yīng)是10環(huán)．教練將錯錄的2個數(shù)據(jù)進行了更正，更正后實際成績的平均數(shù)是?，方北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第2頁，共20頁差是?2，則（）．?>7.5,?2=1.64?=7.5,?2>1.64B．?=7.5,?2<1.64C．．2D?<7.5,?=1.64【答案】C（改編題，2022年北京西城區(qū)九年級二模）8．如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，點P，Q同時由A點出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點P的移動速度為每秒1個單位長度，設(shè)點P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）．B．C．．【答案】B（22~23門頭溝九上期中）二、填空題（共8小題，每題2分，共16分）北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第3頁，共20頁√5??9．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是______．??+3【答案】且（改編題，石景山朝陽東城西城豐臺海淀）?≠?3?≤510．分解因式：?8+16?+?2?=_________．【答案】?(??4)2（改編題，石景山朝陽東城豐臺西城海淀）3?+212．分式方程=的解為_______．1??【答案】?=?（改編題，海淀西城豐臺朝陽）5112．命題“若，則?>”是假命題，請寫出一個滿足條件的?>0?的值，?=．1,這個數(shù)在0-1213．若關(guān)于的一元二次方程(?+3)?2?2?+5=0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)k?的取值范圍是．【答案】?≠?3且?≤?2.8（改編石景山一模15題）14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，點B、C在上，邊⊙?AB、AC分別交⊙?于、E兩點﹐點B是?的中點，則∠ABE=??．【答案】13°（22年北師大附中模擬題）15．如圖，在矩形中，點是坐標(biāo)原點，點在反比例函數(shù)?=的圖象2????????5√上，點?在反比例函數(shù)?=的圖象上，∠??????=，則?=．?5北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第4頁，共20頁【答案】-8（22年北師大附中模擬題）16．如圖，在甲，乙兩個十字路口各方向均設(shè)有人行橫道和交通信號燈，小宇在甲路口西南角的?處，需要步行到位于乙路口東北角?處附近的餐館用餐，已知兩路口人行橫道交通信號燈的切換時間及小宇的步行時間如下表所示：人行橫道交通信小宇的步行時間號燈的切換時間沿人行橫道穿過甲路口每1min乙路口每2min任一條馬路在甲、乙兩路口5min之間（??段）假定人行橫道的交通信號燈只有紅、綠兩種，且在任意時刻，同一十字路口東西向和南北向的交通信號燈顏色不同，行人步行轉(zhuǎn)彎的時間可以忽略不計，若小宇在?處時，甲、乙兩路口人行橫道東西向的交通信號燈均恰好轉(zhuǎn)為紅燈，小宇從?處到達?處所用的最短時間為【答案】7（22年人大附中模擬題）min.6817-21522題623題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：°30．6???45?√8+?√2?5??(??2)北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第5頁，共20頁【答案】（改編東城二模，石景山一模）2√2+2?+12??1<①18．解不等式組2，并寫出它的所有整數(shù)解．??3?+1≤5②4【答案】?≤?<1，?1，0（改編西城二模）319.已知2?2???2=0，求代數(shù)式(2??1)2?2(1??)的值解：∵2?2???2=0∴2?2??=2∴(2??1)2?2(1??)=4?2?4?+1?2+2?=2=(2)4??2??122????1=4?1=320.下面是解答一道幾何題時兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．已知：如圖，??∥??．求證：∠???=?+∠?∠方法二方法一證明：如圖，延長AE，交CD于點F．證明：如圖，過點E作MN【答案】(西城一模原題)方法一證明：如圖，過點E作MN，北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第6頁，共20頁∴∠A=∠AEM．∵??∥??，∴MN∥CD，∴C=．∵AEC∠=∠AEM+∠CEM，∴=A+∠C．方法二證明：如圖，延長AE，交CD于點F，∵??∥??，∴∠A=∠AFC．∵=+C，∴=A+∠C．°，過點D作DE⊥BC交的延長線21.如圖，在?????中，∠???=90于點E，連接??交CD于點F．（1）求證：四邊形????是矩形；（2）連接BF，若∠???=60，??=，求BF的長．北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第7頁，共20頁2問改了數(shù)）【小問1詳解】?∠ACB90°，=證明：∴⊥，?⊥，∴AC?，?四邊形ABCD是平行四邊形，點E在的延長線上，∴AD?CE，∴四邊形?∠ACE=90°，ACEDACED是平行四邊形，∴四邊形【小問2詳解】?四邊形ACED是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，是矩形；\=CD=，AF=EF，??=??=??=3?∠ABC=60°，，∴△???是等邊三角形，∴BF⊥AE，??=??=??=2??=2×3=6，11∴∠???=90°，??=??=×6=3，22∴??=√??2???2=√62?32=3√3，∴BF的長是．3√3k22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線yx與雙曲線y=相交于點Pm和點=()x．(1)求m的值及點Q的坐標(biāo)；kx()y=x=(2)已知點Nn，過點N作平行于x軸的直線交直線與雙曲線y分()()>1別為點Ax,y和Bx,y．當(dāng)x2時，直接寫出n的取值范圍．1122北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第8頁，共20頁23-24學(xué)年九上房山期末）（1）解：將點?(2,?)代入直線?=?得：?=，故點?(2,2)，?將點?(2,2)代入雙曲線?=得：?=，?4故雙曲線為?=,?4聯(lián)立直線?=?與雙曲線?=得：?=?2或2，?故點?的坐標(biāo)為(?2,?2)，故答案為：?=，?(?2,?2)；（2）解：如圖，當(dāng)直線??在點P上方時，?>?，12此時，?>?=，即?>2；如圖，當(dāng)直線??在點Q上方x軸下方時，?>?，12此時，0>?>?=?2，即?2<?<0；綜上，?>2或?2<?<0；23.第二十四屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至2月20日在北京舉成功興辦掀起了全民“冬奧熱”“冬奧知識”九年級共有學(xué)生48030名學(xué)生的兩次競賽成績，北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第9頁，共20頁滿分50面給出了部分信息：a．小明在統(tǒng)計第二次競賽成績各分?jǐn)?shù)段人數(shù)時，不小心污染了統(tǒng)計表：成績4545.54646.54747.54848.54949.550（分）人數(shù)2102111414（人）注：成績只能為0.5的整數(shù)倍．b．將競賽成績按四舍五入取整后，得出的頻數(shù)分布折線圖如下（數(shù)據(jù)分組：?=45，45<?≤46，46<?≤47，47<?≤48，48<?≤49，49<?≤50）某校抽取30名學(xué)生的兩次“冬奧知識”競賽成績折線統(tǒng)計圖c．兩次競賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)第一次48.5046.75第二次m根據(jù)以上信息，回答下列問題：北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第10頁，共20頁(1)請補全折線統(tǒng)計圖，并標(biāo)明數(shù)據(jù)；(2)請完善c中的統(tǒng)計表，的值是?．(3)若成績?yōu)?6.5分及以上為優(yōu)秀，根據(jù)以上信息估計，第二次競賽九年級約名學(xué)生成績達到優(yōu)秀；有(4)通過觀察、分析，小明得出這樣的結(jié)論“在抽取30名學(xué)生的第一次競賽成績中，眾數(shù)一定出現(xiàn)在45<?≤46這一組”．請你判斷小明的說法“正確”或“錯誤”．【答案】(23年北京二中模擬題)（1）成績?yōu)?6分的學(xué)生人數(shù)為：30?18?2?1?3?2=4；補全折線統(tǒng)4（2）?=49.5；故答案為：．1+3+2+18（3）480×=38430故答案為：384．（445<?≤46的分?jǐn)?shù)可以是45.5或46然這一組人數(shù)最多，但也可能出現(xiàn)在?=45或49<?≤50這兩組中．24．如圖，??為⊙?的直徑，弦????于，連接、，過點?作⊙???⊥??的切線，∠的平分線相交于點?，??交??于點?，交??于點?，交⊙????于點?，連接??．北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第頁，共20頁(1)求證：??=??；(2)若，求AF長．??????=2√2??=4∠，【答案】(23-24平谷九上期末題)【分析】證明方法不唯一，僅供參考（1??=?????=∠???=90°△???≌△???即可；1（2???=???CH=DH=??=，2???∠???=???∠???=2√2??=4√2??=，根據(jù)??⊥??，??⊥??，得到??∥??，結(jié)合??是∠???的平分線，推出∠???=∠?????=??=??=??∥??證明△???∽△???，得到??=??，即可求解．????1???為⊙?的直徑，??⊥??，∴CH=DH°，∠???=∠???=90，在△???與△???中，??=?∠???=∠???=90°，??=??△???≌△???，∴∴??=??；（2?∠???=???，∴???∠???=???∠???=2√2，1CH=DH=CD=22，?∴??=??????∠???=4√2，∴??=√??2+??2=，???⊥??，??⊥??，北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第12頁，共20頁∴??∥??，∴∠???=∠???,∠???=∠???=∠???，???是∠???的平分線，∴∠???=∠???，∴∠=，∴??=??=??=，???∥??，∴△???∽△???，∴??????6??=，即=，??1846???∴AF=5．25.排球場的長度為18?，球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m，排球出手后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，排球運動過程中的豎直高度?(單位：?)與水平距離?(單位：?)近似滿足函數(shù)關(guān)系?=?(???)2+?(?<0)．(1)某運動員第一次發(fā)球時，測得水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：??水平距離?/?02461112豎直高度?/?2.382.622.72.621.721.42①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求拋物線解析式；②判斷該運動員第一次發(fā)球能否過網(wǎng)______(填“能”或不能”),并說明理由．(2)該運動員第二次發(fā)球時，排球運動過程中的豎直高度單位：與水平距?(?)離?(單位：?)近似滿足函數(shù)關(guān)系?=?0.02(??5)2+2.88，請問該運動員此北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第13頁，共20頁次發(fā)球是否出界，并說明理由．22-23學(xué)年八下期末題）（11）①由表中數(shù)據(jù)可得頂點(4,2.7)，設(shè)?=?(??4)2+2.7(?<0)，把(0,2.38)代入得16?+2.7=2.38，解得：?=?0.02，∴所求函數(shù)關(guān)系為?=?0.02(??4)2+2.7；②不能．當(dāng)?=9時，?=?0.02(9?4)2+2.7=2.2<2.24，∴該運動員第一次發(fā)球能過網(wǎng)，故答案為：不能；（2）判斷：沒有出界．第二次發(fā)球：?=?0.02(??5)2+2.88，令?=0，則?0.02(??4)2+2.88=0，，解得?=?7(舍)，x=17，21∵2=17<18，∴該運動員此次發(fā)球沒有出界．26.已知二次函數(shù)?=??2+??+的圖像經(jīng)過點(．?2,2(1)用含的代數(shù)式表示______；?(2)若直線值；?=3√2?=?與拋物線?=??2+??+2相交所得的線段長為，求的?2(3)若拋物線2與軸交于?(?,0??,0和()兩點（1<2，?=??+??+2?12且2?+?>0，直接寫出?的取值范圍．12【答案】(22人大附分校模擬題)（1）解：∵二次函數(shù)?=??2+??+的圖像經(jīng)過點?(2,2)，∴4?+2?+2=2，∴?=?2?，故答案為：?2?；（2）解：由（1）得二次函數(shù)解析式為?=??2?2+2，1?=?=?=??2?2+2?=2?=2?由題意得：?，解得：?1，?，?=??11即直線與拋物線的兩個交點坐標(biāo)為?,?，(2,2)；??2213√2由題意得：2??2?=??，?2北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第14頁，共20頁2解得：?=或?=2；7（3）解：∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴?=(?2?)2?4?×2>，解得：?<0或?>2；當(dāng)?>2時，對于?=??2?2+2，令?=0，有?=2，即拋物線與y軸交點為，(0,2)∴拋物線必過(2,2)與∴0<?<?，，12∴必有2?+?>0；12當(dāng)?<0時，對于??2?2+2=0，則由根與系數(shù)的關(guān)系有：?+?=2，12∴2?+?=?+(?+?)=?+2>0，121121即1>?；∵?<0，拋物線對稱軸為直線?=1，且?<?，12∴當(dāng)?=?2時，?=?×(?2)2?2?×(?2)+2<，1解得：?<?；41綜上，?<?或?>2．427．如圖1，在正方形ABCD中，BD是對角線，將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)?（0°<?<90）得到線段AE，點E關(guān)于直線BD的對稱點是點F，射線BF交線段AD于點，連接BE，GE.（1）當(dāng)=30時，①依題意補全圖1；②求∠的度數(shù)；α°???（2）直接寫出∠的大小，并證明。???北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第15頁，共20頁圖1備用圖解答：（1）①如圖②∵旋轉(zhuǎn)∴AE=AB∴∠ABE=∠AEB180°?180°?30°∴===75°22∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠ABC=90°，ABCABD=CBD==45°2∵E、F關(guān)于BD對稱∴∠FBD=∠EBD∴?=CBD?∴==?=90°?75°=15°(2)∠BEG=90°證明：作∠BAE的角平分線分別交BG、BE于點M、,BAEαBAM=∠EAM==則.22∵AB=AE,∴AH⊥BE,BH=BE,180°?BAEαABE=AEB==90°?,22北師大實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)初三年級數(shù)學(xué)第16頁，共20頁∴MB=ME.∵E、F關(guān)于BD對稱,∴∠FBD=∠EBD.∴?=CBD?.αα∴∠FBA=∠EBC=∠ABC?∠ABE=90°?90°?=.22∴∠MAB=∠MBA.∴MA=MB.∵=°?∠,=°?∠,∴MA=MG.∴MA=MB=ME=MG.∴A、B、E、G在以M為圓心，AM為半徑的圓上.∴=°?∠=°.28.是圓上的兩個點，點在⊙C的內(nèi)部．若∠為直角，則稱∠????,?????為??關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心?在∠邊（含頂點）上時，稱???∠???為??關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠???是??關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，∠是??關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系???中．???（1）如圖2，⊙O的半徑為5，?(0,?5),?(4,3)是⊙O上兩點．①已知()，，，3，，在∠∠∠??1?,??2?,??3?中，是?1,0???21???0?12??關(guān)于⊙O的內(nèi)直角的是______；②若在直線?=2?+?上存在一點?，使得∠求?的取值范圍．是??關(guān)于⊙O的內(nèi)直角，???（2）點?是以?(?,0)圓心，4為半徑的圓上一個動點，⊙T與?軸交于點?（點?在點??(1,0),?(0,?)，對于線段??上每一點H，都存在點?，使∠是??關(guān)于⊙T的最