【8年級(jí)下冊】知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

二次根式

二次極式知識(shí)點(diǎn)歸納

定義：一般的.式fa（a討0）叫做二次根式.K中“?”叫做次根,：?

二次根號(hào)卜的a叫做械開方數(shù).

憎質(zhì)：]、|G《?》?》是一個(gè)人食敷.WIGNO|

2、/=I.I呷1/。.等fj-?

'（，）*=■（a>0）?

4、&?瓜=yfiH,《、N0?b2O）|

反過來：=&,Vfr（a^O?b，O）"]

5、器'J"'O’b>O）

母中不含根式。

3.同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二

次根式。

4.二次根式的性質(zhì)：〃（々>0）

（1）（右）2=a（。，0）;（2）歷第=y。（。=0）；

5.二次根式的運(yùn)算：1-。（。（。）

（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可

以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因

式，口變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平

方后移到根號(hào)里面.

（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的

積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式.

_>[b

4ab—4a■\[b(a^O,b》O);(b'O,a>0).

(4)有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，□乘法對(duì)加法的分

配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算

4、比較數(shù)值(多種方法，靈活運(yùn)用)

勾股定理

1.勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那

*222

么a+b=co

2.勾股定理逆定理:如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b~c2。，那么這個(gè)三

角形是直角三角形。

3.經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。

我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫

做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)

4直角三角形的性質(zhì)

(1)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

(2)、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

NA=30j

可表示如下：pnBC=；AB

NC=90，

(3)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90°]

可表示如下：》=>CD=1AB=BD=AD

D為AB的中左2

5、攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜

邊上的攝影的比例中項(xiàng),每條直角邊是它們在斜

邊上的攝影和斜邊的比例中項(xiàng)

/ACB=900]r3=AD*BD

二AC2=

CD-LABBd=BD*AB

6、常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：AB.CD=AC.BC

7、直角三角形的判定

1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角

三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系，十/=c\

那么這個(gè)三角形是直角三角形。

8、命題、定理、證明

3命題的概念

判斷一件事情的語句，叫做命題。

理解：命題的定義包括兩層含義：

(1)命題必須是個(gè)完整的句子；

(2)這個(gè)句子必須對(duì)某件事情做出判斷。

2、命題的分類(按正確、錯(cuò)誤與否)

再命題(正確的命題)

命題'

依命題(錯(cuò)誤的命題)

所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。

所謂錯(cuò)誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。

3、公理

人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個(gè)命題的正確性的推理過程叫做證明。

6、證明的一般步驟

(1)根據(jù)題意，畫出圖形。

(2)根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。

(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

9、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。

(2)要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1:三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相

等。

10數(shù)學(xué)口訣.

平方差公式:平方差公式有兩項(xiàng)，符號(hào)相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫

與完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三項(xiàng)，首尾符號(hào)是同鄉(xiāng)，首平方、尾平方，首

尾二倍放中央；首土尾括號(hào)帶平方，尾項(xiàng)符號(hào)隨中央。

四邊形

1.四邊形的內(nèi)角和與外角和定學(xué)

(1)四邊形的內(nèi)角和等于360《

(2)四邊形的外角和等于360。,

2.多邊形的內(nèi)角和與外角和定理

(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)傳0°；°

(2)任意多邊形的外角和等于3600.

3.平行四邊形的性質(zhì)：

⑴兩組對(duì)邊分別平行;

(2)兩組對(duì)邊分別相等;

因?yàn)锳BCD是平行四邊形=⑶兩組對(duì)角分別相等;,

/*、-LZIX-I-J1-tvrr/IA

(4)對(duì)角線互相平分;

⑸鄰角互補(bǔ).

4.平行四邊形的判定：

⑴兩組對(duì)邊分別平行,

(2)兩組對(duì)邊分別相等

(3)兩組對(duì)角分別相等ABCD是平行四邊形

(4)一組對(duì)邊平行且相等

(5)對(duì)角線互相平分

3

5.矩形的性質(zhì)：x

⑴具有平行四邊形的所有可B

因?yàn)锳BC是矩形=<(2)四個(gè)角都是直角；

(3)對(duì)角線相等.

6.矩形的判定：AB

(1)平行四邊形+一個(gè)直角D

(2)三個(gè)角都是直角=四邊形ABCD是矩形

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形

AXB

7.菱形的性質(zhì)：D

具有平行四邊形的所有通性;/

因?yàn)锳BCD是菱形：2)四個(gè)邊都相等；A\)C

3)對(duì)角線垂直且平分對(duì)角.

B

D

8.菱形的判定：A

⑴平行四邊形+一組鄰邊等]A4P)C

⑵四個(gè)邊都相等=四邊形四邊形ABCD是菱形.\/

(3)對(duì)角線垂直的平行四邊形V

B

9.正方形的性質(zhì)：

因?yàn)锳BCD是正方形

(1)具有平行四邊形的所有通性；

=?(2)四個(gè)邊都相等，四個(gè)角都是直角；

(3)對(duì)角線相等垂直且平分對(duì)角.

口

AB(1)AB(2)(3)

10.正方形的判定：

1]

⑴平行四邊形+一組鄰邊等+一個(gè)直角

(2)菱形+一個(gè)直角=四邊形ABCD是耳

(3)矩形+一組鄰邊等

14.三角形中位線定理：DC

4

三角形的中位線平行第

AB

三邊，并且等于它的一半.

-基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間

的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對(duì)稱，中心對(duì)稱圖形，

梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.

二定理：中心對(duì)稱的有關(guān)定理

※匕關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.

派2.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱

中心平分.

派3.如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么

這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱.

三公式：

1.S菱形=^ab=ch.(a、b為菱形的對(duì)角線”為菱形的邊長，h為c邊

上的高)

2.S平行四邊形二ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高)

3.S梯形=1(a+b)h=Lh.(a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的

四常識(shí):

※匕若n是多邊形的邊數(shù)，則對(duì)角線條數(shù)公式是:丁丁

2.規(guī)則圖形折疊一般“出一對(duì)全等，一對(duì)相似”.

3.如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.

4.常見圖形中，僅是軸對(duì)稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正

奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對(duì)稱圖形的有：平行四邊形……;

是雙對(duì)稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓

注意：線段有兩條對(duì)稱軸.

一^函數(shù)

一.常量、變量：

在一個(gè)變化過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量叫做速量；數(shù)值始終不變的量叫

做常量。

二、函數(shù)的概念：

函數(shù)的定義：一般的，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量X與y,并且對(duì)

于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x

是自變量，y是x的函數(shù).

三、函數(shù)中自變量取值范圍的求法：

（1）用整式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

（2）用分式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實(shí)數(shù)。

（3）用寄次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

用偶次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負(fù)

數(shù)的一切實(shí)數(shù)。

（4）若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然

后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。

（5）對(duì)于與實(shí)際問題有關(guān)系的，自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問題有意義。

四、函數(shù)圖象的定義：一般的，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每

對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么在坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖

形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

五、用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象的一般步驟

1、列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。）

注意：列表時(shí)自變量由小到大，相差一樣，有時(shí)需對(duì)稱。

2、描點(diǎn)：（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱

坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)。

3、連線：（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描的各點(diǎn)用平滑的曲線連接起

來）。

六、函數(shù)有三種表示形式：

（1）列表法（2）圖像法（3）解析式法

七、正比例函數(shù)與一次函數(shù)的概念：

一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，且k/0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中k叫做

比例系數(shù)。

一般地，形如y=kx+b（k,b為常數(shù)，且k#0）的函數(shù)叫做一次函數(shù).

當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的特例.

八、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

（1）圖象:正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k#=0））的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一

條直線，我們稱它為直線尸kxo

（2）性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),直線尸kx經(jīng)過第三，一象限，從左向右上升，即隨

著x的增大v也增大；當(dāng)k<0時(shí),直線y=kx經(jīng)過二,四象限，從左向右下

降，即隨著x的增大y反而減小。

九、求函數(shù)解析式的方法：

待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù)，

從而具體寫出這個(gè)式子的方法。

1.一次函數(shù)與一元一次方程：從“數(shù)”的角度看“為何值時(shí)函數(shù)片殺地

的值為0.

2.求耳/左0（昂。是常數(shù)，a/0）的解，從“形”的角度看，求直線*數(shù)班

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

3.一次函數(shù)與一元一次不等式：

解不等式a肝氏>0（4。是常數(shù)，a豐0）,從“數(shù)”的角度看，x為何值時(shí)

函數(shù)y=ax+b的值大于0.

4.解不等式>0(a,。是常數(shù)，a*0).以“形”的角度看,求直線

y=ax+b在*軸上方的部分(射線)所對(duì)應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍.

十、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一次函數(shù)

如果尸kx+b(k、b是常數(shù)，k#=0),那么y叫x的一次函

概念

數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)丫=1?((kWO)也叫正比例函數(shù).

圖像一條直線

k>0時(shí)，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；

性質(zhì)

kVO時(shí)，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).

(1)k>0,b>0圖像經(jīng)過一、二、三象限；

直線y=kx+b

(2)k>0,bVO圖像經(jīng)過一、三、四象限；

(k*0)的

(3)k>0,b=0圖像經(jīng)過一、三象限；

位置與k、b

(4)k<0,b>0圖像經(jīng)過一、二、四象限；

符號(hào)之間的

(5)k<0,bVO圖像經(jīng)過二、三、四象限；

關(guān)系.

(6)k<0,b=0圖像經(jīng)過二、四象限。

求一次函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù)，k*0)時(shí)，需要由兩

一次函數(shù)表

個(gè)點(diǎn)來確定；求正比例函數(shù)y=kx(k=#0)時(shí)，只需一個(gè)

達(dá)式的確定

點(diǎn)即可.

5.一次函數(shù)與二元一次方程組:

解方程組從“數(shù)”的角度看，自變量(外為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等.并

求出這個(gè)函數(shù)值=c

aF-b2y=c?

解方程組從“形”的角度看，確定兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).

數(shù)據(jù)的分析

數(shù)據(jù)的代表：平均數(shù)、眾數(shù),中位數(shù)、極差、方差

1、解統(tǒng)計(jì)學(xué)的幾個(gè)基本概念

總體、個(gè)體、樣本、樣本容量是統(tǒng)計(jì)學(xué)中特有的規(guī)定，準(zhǔn)確把握教材,

明確所考查的對(duì)象是解決有關(guān)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量問題的關(guān)鍵。

2.平均數(shù)

當(dāng)給出的一組數(shù)據(jù)，都在某一常數(shù)a上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡化平均數(shù)

公式「F+*其中a是取接近于這組數(shù)據(jù)平均數(shù)中比較“整”的數(shù);□當(dāng)

所給一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)多次出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，常選用加權(quán)平均數(shù)公式。

3.眾數(shù)與中位數(shù)

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來描述數(shù)據(jù)集中趨勢的量。平均數(shù)的大

小與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的波動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的波動(dòng)，當(dāng)一

組數(shù)據(jù)中有個(gè)數(shù)據(jù)太高或太低，用平均數(shù)來描述整體趨勢則不合適，用中

位數(shù)或眾數(shù)則較合適。中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列有關(guān)，個(gè)別數(shù)據(jù)的波動(dòng)對(duì)中位數(shù)

沒影響；當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，可用眾數(shù)來描述。

4.極差

用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范

圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差=最大值一最小值。

5.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組

數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果叫方差，計(jì)算公式是

1

222

s=n[(x-X)+(X2-^)+—+(xn-x)2]；

方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)其值越大，波動(dòng)越大，也越

不穩(wěn)定或不整齊。

反比例函數(shù)

1.定義：形如y=&（k為常數(shù)，k于0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式

X

xy=ky=kx"y=k—

x

2.圖像：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖

形又是中心對(duì)稱圖形。有兩條對(duì)稱軸：直線尸x和y=-Xo對(duì)稱中心是：原

點(diǎn)

3.性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y

值隨x值的增大而減??；

當(dāng)kVO時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y

值隨x值的增大而增大。

4.|k|的幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與

兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。

5.反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個(gè)點(diǎn)，正