高二數(shù)學同步備課(人教A版2019選擇性必修第一冊)1.1.1空間向量及其線性運算(練案)原卷版+解析

班級：姓名：日期：《1.1.1空間向量及其線性運算》練案1.下列說法中正確的是（）A．若，則，的長度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有2.（多選題）已知平行六面體，則下列四式中其中正確的有（）A． B．C． D．3.（2022·遼寧葫蘆島市高二期末）在下列結(jié)論中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)x，y，z使得.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．34.（2022廣東湛江市高二期末）如圖，在平行六面體中，與的交點為，點在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．5.（2022江西宜春市高二期中）在四面體中，點在上，且，為中點，則等于（）A． B．C． D．6.在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.7.化簡eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝___________.8.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，用表示。9.（多選題）下列命題是真命題的是（）A．若，則的長度相等而方向相同或相反B．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面C．若兩個非零向量與滿足，則D．若空間向量，滿足，且與同向，則10.已知空間向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D11.(多選題)若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起點M和終點A，B，C互不重合且無三點共線，則下列四個式子能得出M，A，B，C四點共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))12.已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點．求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).13.試證：若坐標平面內(nèi)的三點，，共線，為坐標原點，則存在三個均不為零的實數(shù)，，，使得，且，反之也成立.14.如圖所示，M，N分別是空間四邊形ABCD的棱AB，CD的中點．試判斷向量eq\o(MN,\s\up6(→))與向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))是否共面．班級：姓名：日期：《1.1.1空間向量及其線性運算》練案1.下列說法中正確的是（）A．若，則，的長度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有【答案】B【解析】對于A,向量的模相等指的是向量的長度相等,方向具有不確定性,因而不一定方向相同或相反,所以A錯誤.對于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的兩個向量.因而相反向量滿足模長相等,所以B正確.對于C,減法結(jié)合律指的是,因而由運算可得空間向量減法不滿足結(jié)合律.所以C錯誤.對于D滿足的一定是平行四邊形,一般四邊形是不滿足的,因而D錯誤.綜上可知,正確的為B2.（多選題）已知平行六面體，則下列四式中其中正確的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】作出平行六面體的圖像如圖，可得，則A正確；，則B正確；C顯然正確；，則D不正確.綜上，正確的有ABC.3.（2022·遼寧葫蘆島市高二期末）在下列結(jié)論中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)x，y，z使得.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】平行向量就是共線向量，它們的方向相同或相反，未必在同一條直線上，故①錯．兩條異面直線的方向向量可通過平移使得它們在同一平面內(nèi)，故②錯，三個向量兩兩共面，這三個向量未必共面，如三棱錐中，兩兩共面，但它們不是共面向量，故③錯．根據(jù)空間向量基本定理，需不共面，故④錯．綜上，選A．4.（2022廣東湛江市高二期末）如圖，在平行六面體中，與的交點為，點在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以，在平行六面體中，，故選C.5.（2022江西宜春市高二期中）在四面體中，點在上，且，為中點，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】在四面體中，點在上，且，為中點，所以，即.故選B.6.在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.【答案】【解析】因為，分別是的中點,所以,所以.7.化簡eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝___________.【答案】eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c【解析】原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.8.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，用表示。【解析】連接,，，如圖：，，在，根據(jù)向量減法法則可得：底面是平行四邊形，且，又為線段中點，在中，9.（多選題）下列命題是真命題的是（）A．若，則的長度相等而方向相同或相反B．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面C．若兩個非零向量與滿足，則D．若空間向量，滿足，且與同向，則【答案】BC【解析】A.若，則的長度相等，它們的方向不一定相同或相反，所以該選項錯誤；B.根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，所以該選項正確；C.若兩個非零向量與滿足，則，所以，所以該選項正確；D.若空間向量，滿足，且與同向，與也不能比較大小，所以該選項錯誤.故選BC.10.已知空間向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【解析】∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴A，B，D三點共線.故選A.11.(多選題)若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起點M和終點A，B，C互不重合且無三點共線，則下列四個式子能得出M，A，B，C四點共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))【答案】ABD【解析】對于選項A，由結(jié)論eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點共面知，A符合；對于B，D選項，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，又有公共點M，所以M，A，B，C四點共面，所以B，D符合；選項C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面，即M，A，B，C四點不共面．12.已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點．求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).【解析】如圖所示，(1)∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y(tǒng)＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).從而有eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.13.試證：若坐標平面內(nèi)的三點，，共線，為坐標原點，則存在三個均不為零的實數(shù)，，，使得，且，反之也成立.