高二數(shù)學(xué)同步備課(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系(第2課時(shí))(練案)原卷版+解析

班級(jí)：姓名：日期：《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系》(第2課時(shí)）練案1.（多選）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，分別是平面，的法向量，則B．若，分別是平面，的法向量，則C．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直2.（多選）已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則能使的是（

）A． B．C． D．3.（2022·福建泉州模擬）在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面4.（2022·重慶市育才中學(xué)高二期中）在棱長為1的正方體中,為的中點(diǎn),,是正方體表面上相異兩點(diǎn),滿足,．(1)若,均在平面內(nèi),則與的位置關(guān)系是______；(2)的最小值為______．5.已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，的一個(gè)法向量為，則下列各點(diǎn)中，在平面內(nèi)的是________．（把正確的序號(hào)都填上）①；②；③；④.6.如圖，在正方體中，和相交于點(diǎn)O，求證：．7.如圖所示，已知和都是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，．求證：平面．8.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PCD；9.（2022·河南周口高二期末）已知梯形CEPD如下圖所示，其中PD=8，CE=6，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如圖所示的幾何體.已知當(dāng)點(diǎn)F滿足AF=λAB(0＜λ＜1)時(shí)，平面DEF⊥平面PCEA．12B．23C．310.（多選題）（2022·海南省海南中學(xué)高二月考）如圖所示，正方體中，，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A． B．點(diǎn)必在線段上C． D．平面11.如圖，四棱錐中，底面，，，，是的中點(diǎn)．求證：（1）；（2）平面．12.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN垂直？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．13.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點(diǎn),P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn).若點(diǎn)Q在線段B1P上,則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí),DQ⊥平面A1BDB.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時(shí),DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長線上,存在一點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BD14.如圖1，在直角三角形中，，，.，分別是，的中點(diǎn).現(xiàn)將三角形沿邊折起，記折起后的點(diǎn)位于點(diǎn)的位置，且平面平面（如圖2所示），點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，且.（1）若平面，求的值；（2）是否存在，使平面平面？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.班級(jí)：姓名：日期：《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系》(第2課時(shí)）練案1.（多選）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，分別是平面，的法向量，則B．若，分別是平面，的法向量，則C．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直【答案】ACD【解析】對(duì)A，若，分別是平面，的法向量，則，故A正確B錯(cuò)誤；對(duì)C，若是平面的法向量，則與平面的任意直線的方向向量均垂直，所以，故C正確；對(duì)D，若兩個(gè)平面垂直時(shí)，它們的法向量垂直是真命題，所以它的逆否命題“若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直”也是真命題，故D正確.故選ACD.2.（多選）已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則能使的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)橹本€l的方向向量為，平面的法向量為，要使，只需∥.對(duì)于A：.因?yàn)?，所以、不平?故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：.因?yàn)?，所以?故B正確；對(duì)于C：.因?yàn)?，所以?故C正確；對(duì)于D：.因?yàn)椋?、不平?故D錯(cuò)誤.故選BC.3.（2022·福建泉州模擬）在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】取、、的中點(diǎn)分別記為、、，連接、、、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得面即為平面，對(duì)于A：如圖，，平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：如圖，在平面中，，則平面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：如圖，平面，因?yàn)檫^平面外一點(diǎn)作（）僅能作一條垂線垂直該平面，故C、D錯(cuò)誤；其中平面可按如下證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面.故選A.4.（2022·重慶市育才中學(xué)高二期中）在棱長為1的正方體中,為的中點(diǎn),,是正方體表面上相異兩點(diǎn),滿足,．(1)若,均在平面內(nèi),則與的位置關(guān)系是______；(2)的最小值為______．【答案】平行；【解析】(1)以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),以所在的直線為軸,如下圖所示：,因?yàn)槿?均在平面內(nèi),所以設(shè),因?yàn)?,所以,解得,,,所以與的位置關(guān)系是平行；(2)由(1)可知：當(dāng)時(shí),有最小值,最小值為.5.已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，的一個(gè)法向量為，則下列各點(diǎn)中，在平面內(nèi)的是________．（把正確的序號(hào)都填上）①；②；③；④.【答案】②【解析】設(shè)①②③④中的點(diǎn)分別為、、、.對(duì)于①中的點(diǎn)，，，則；對(duì)于②中的點(diǎn)，，，則；對(duì)于③中的點(diǎn)，，，則；對(duì)于④中的點(diǎn)，，，則.因此，②中的點(diǎn)在平面內(nèi).6.如圖，在正方體中，和相交于點(diǎn)O，求證：．【證明】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，所以，，所以，所以，即7.如圖所示，已知和都是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，．求證：平面．【證明】不妨設(shè)，則，由空間向量數(shù)量積的定義可得，因?yàn)榍?，所以，，所以，，，又因?yàn)椋?，因此，平?8.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PCD；【證明】∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP兩兩互相垂直，如圖所示，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，0，0），N（1，1，1），∴（0，1，1），（﹣1，1，﹣1），（0，2，﹣2）.設(shè)（x，y，z）是平面MND的一個(gè)法向量，可得，取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1，∴（﹣2，﹣1，1）是平面MND的一個(gè)法向量，同理可得（0，1，1）是平面PCD的一個(gè)法向量.∵?2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴，即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD.9.（2022·河南周口高二期末）已知梯形CEPD如下圖所示，其中PD=8，CE=6，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如圖所示的幾何體.已知當(dāng)點(diǎn)F滿足AF=λAB(0＜λ＜1)時(shí)，平面DEF⊥平面PCEA．12B．23C．3【答案】C【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且平面PABE⊥平面ABCD，所以PA,AB,AC兩兩垂直，且PA//BE，所以建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），又因?yàn)镻D=8，CE=6，所以P0,0則F4λ,0,0,DE=4,?4,2,DF=4λ,?4,0,CE=0,?4,2,EP=?4,0,2，設(shè)平面因?yàn)槠矫鍰EF⊥平面PCE，所以m·n=1+λ+22λ?2=5λ?3=0，解得10.（多選題）（2022·海南省海南中學(xué)高二月考）如圖所示，正方體中，，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A． B．點(diǎn)必在線段上C． D．平面【答案】BD【解析】對(duì)于，在平面上，平面平面，到平面即為到平面的距離，即為正方體棱長，，錯(cuò)誤；對(duì)于，以為坐標(biāo)原點(diǎn),可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，，，，即，，，即三點(diǎn)共線，必在線段上，正確；對(duì)于，，，，與不垂直，錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，則，，，，即，平面，正確.故選.11.如圖，四棱錐中，底面，，，，是的中點(diǎn)．求證：（1）；（2）平面．【證明】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，所以，所以．（2）由（1），得，，．設(shè)向量是平面的法向量，則，即，取，則，所以，所以，所以平面．12.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN垂直？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．【解析】以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,0,0)，P(0,0，λ)．eq\o(BC1,\s\up15(→))＝(－2,0,2)，eq\o(FP,\s\up15(→))＝(－1,0，λ)，eq\o(FE,\s\up15(→))＝(1,1,0)．(1)證明：當(dāng)λ＝1時(shí)，eq\o(FP,\s\up15(→))＝(－1，0,1)，因?yàn)閑q\o(BC1,\s\up15(→))＝(－2,0,2)，所以eq\o(BC1,\s\up15(→))＝2eq\o(FP,\s\up15(→))，即BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.(2)存在．設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(FE,\s\up15(→))·n＝0，,\o(FP,\s\up15(→))·n＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,－x＋λz＝0.))于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一個(gè)法向量為m＝(λ－2,2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ與面PQMN垂直，則m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±eq\f(\r(2),2).故存在λ＝1±eq\f(\r(2),2)，使面EFPQ與面PQMN垂直.13.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點(diǎn),P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn).若點(diǎn)Q在線段B1P上,則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí),DQ⊥平面A1BDB.當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時(shí),DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長線上,存在一點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BD【答案】D【解析】以點(diǎn)A1為坐標(biāo)原點(diǎn),A1B1,A1C1,A1A所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D0,1,則A1B=(1,0,1),A1D=0設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·A1B=x+z=0,n·A1D=y+12z=0.取z=-2,則x=2,y=1,所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(2,1,-2).假設(shè)DQ⊥平面A1BD,且B1Q=λB則1-λ但此關(guān)于λ的方程組無解.故不存在點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BD.故選D.14.如圖1，在直角三角形中，，，.，分別是，的中點(diǎn).現(xiàn)將三角形沿邊折起，記折起后的點(diǎn)位于點(diǎn)的位置，且平面平面（如圖2所示）