高考數(shù)學一輪題型歸納(新高考地區(qū)專用)考點34空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系9種常見考法歸類(原卷版+解析)

考點34空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系9種常見考法歸類考點一平面的概念及基本性質(zhì)考點二證明“點共面”、“線共面”考點三證明“點共線”及“線共點”考點四平面基本性質(zhì)的應(yīng)用考點五判斷兩條直線的位置關(guān)系考點六等角定理考點七異面直線所成的角考點八空間直線與平面位置關(guān)系判斷考點九平面與平面位置關(guān)系的判斷1.平面的幾個特點平面是平的；平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的2.三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．提醒：根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．3.點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外AlA在α內(nèi)A∈αA在α外Aαl與m平行l(wèi)

//

ml，m相交于Al∩m＝Al與m異面l在α內(nèi)l?αl與α平行l(wèi)

//

αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα與β平行α

//

β4.平面的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)基本事實文字語言圖形語言符號語言作用基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α確定平面；判定點線共面基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α確定直線在平面內(nèi)；判定點在平面內(nèi)基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l判定兩平面相交；判定點在直線上(2)基本事實1與2的推論推論文字語言圖形語言符號語言作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面A?l?有且只有一個平面α，使A∈α，l?α（1）判定若干條直線共面的依據(jù)（2）判定若干平面重合的依據(jù)（3）判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面a∩b＝P?有且只有一個平面α，使a?α，b?α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面a∥b?有且只有一個平面α，使a?α，b?α5.證明點、線共面、點共線、線共點問題的常用方法證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”．要證明點共線問題(1)公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上(2)同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經(jīng)過該點．而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點．6.證明三點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．7.判斷四點共線的方法有：（1）四點中兩點連線所成的兩條直線平行、相交或重合；（2）由其中三點確定一個平面，再證明第四點在這個平面內(nèi)；（3）若其中三點共線，則此四點一定共面.8.證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點；(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．9.證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用基本事實或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內(nèi)即可；10.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形符號共面情況公共點個數(shù)共面直線相交直線在同一個平面內(nèi)1平行直線a∥b在同一個平面內(nèi)0異面直線不同在任何一個平面內(nèi)0(2)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行公共點個數(shù)無數(shù)個10圖形表示符號∥當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外.(3)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩個平面相交兩個平面平行公共點個數(shù)有一條公共直線0符號表示α∩β＝aα∥β圖形表示11.平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行．12.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．13.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.14.判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．15.判定或證明兩直線異面的常用方法：(1)定義法：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．（證明兩條直線既不平行又不相交．)(2)定理法：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．用符號語言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．(3)推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線．(4)分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.16.反證法：證明立體幾何問題的一種重要方法．證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步是由此假設(shè)推出與已知條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設(shè)，從而原命題成立．17.直線與平面位置關(guān)系的判斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點.18.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．19.常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；(2)長方體的六個面中，三組相對面平行.20.異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．(2)范圍：.21.求異面直線所成的角的方法(1)求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行．平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．(2)向量法(基底法、坐標法)求異面直線所成的角根據(jù)題意，確定兩異面直線各自的方向向量a，b，則兩異面直線所成角θ滿足cosθ＝.考點一平面的概念及基本性質(zhì)1．（2023·全國·高三專題練習）下列命題：①書桌面是平面；②有一個平面的長是50m，寬為20m；③平面是絕對平的、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學概念．其中正確命題的個數(shù)為______．2．（2023春·高三課時練習）下面說法中正確的是（

）A．任何一個平面圖形都是一個平面B．平靜的太平洋面是平面C．平面就是平行四邊形D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面3．（2023·全國·高三對口高考）一個平面把空間分為__________部分；兩個平面把空間分為__________部分；三個平面把空間分為__________部分．4．（2023·高三課時練習）已知A、B、C為空間中的三個點，則經(jīng)過這三個點的平面有______個．5．（2023·高三課時練習）一條直線和直線外三點最多可以確定_________個平面.考點二證明“點共面”、“線共面”6．（2023·全國·高三對口高考）給出下列命題：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線都與另一條直線相交，則這四條直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④每兩條都相交并且交點全部不同的四條直線共面．其中正確的命題為__________．7．（2023·全國·高三專題練習）已知空間四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．【多選】（2023·全國·高三專題練習）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）A．直線與直線共面 B．直線與直線異面C．直線與直線共面 D．直線與直線異面9．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學校?？寄M預(yù)測）在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．三點共線 B．四點異不共面C．四點共面 D．四點共面10．（2023·全國·高三對口高考）如圖，正方體中，E、F分別是、上的點，并且．求證：B、E、、F共面．

11．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在直四棱柱中，，，，P為棱上一點，且（為常數(shù)），直線與平面相交于點Q．則線段的長為________．12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，M是棱上靠近點D的三等分點，N是的中點，平面AMN交于點H，則，_______.13．（2023·廣東·高三專題練習）圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.(1)證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；(2)求圖2中的直線與平面所成角的正弦值.14．（2023·全國·高三專題練習）在棱長為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點，且，，為線段的中點，給出下列命題，其中正確的是（

）A．與共面；B．三棱錐的體積跟的取值無關(guān)；C．當時，；D．當時，過，，三點的平面截正方體所得截面的周長為．考點三證明“點共線”及“線共點”15．（2023·全國·高三對口高考）如圖，正方體中，O是中點，與截面交于P，那么、P、O三點共線，其理由是__________．

16．（2023·高三課時練習）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上17．（2023·北京朝陽·高三專題練習）在長方體中，與平面相交于點M，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．18．（2023·全國·高三對口高考）已知在平面外，三邊、、所在的直線分別與平面交于．求證：共線．19．（2023·全國·高三對口高考）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.20．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點．(1)求證：三線交于點P；(2)在（1）的結(jié)論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．21．（2023·全國·高三專題練習）已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：（1）D，B，E，F(xiàn)四點共面.（2）若A1C交平面BDEF于點R，則P，Q，R三點共線.22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正四棱柱中，O為的中點，且點E既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．

(1)證明：；(2)若，，E為AO的中點，E在底面ABCD內(nèi)的射影為H，指出H所在的位置（需要說明理由），并求線段的長．23．【多選】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（

）

A．，，三點共線 B．異面直線與所成的角為C．點到平面的距離為 D．過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為24．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖所示，長方體中，，O是的中點，直線交平面于點M，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．A，M，O三點共線B．的長度為1C．直線與平面所成角的正切值為D．的面積為25．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，分別為的中點，分別在上，且.給出下列四個命題：①平面；②平面；③平面；④直線交于一點.其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．426．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，G，H分別是CD和AD上的點，若EH與FG相交于點K.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點.27．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點．28．（2023·全國·高三專題練習）如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點，且，，，，現(xiàn)將沿折起，得到空間四邊形，在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．直線，有可能平行B．直線，一定異面C．直線，一定相交，且交點一定在直線上D．直線，一定相交，但交點不一定在直線上29．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，，，，分別為，，，的中點，且．(1)證明：直線，，交于一點；(2)設(shè)直線，，交于點，記關(guān)于平面的對稱點為，求二面角的正弦值．考點四平面基本性質(zhì)的應(yīng)用30．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面滿足，若直線AC到平面的距離與BC1到平面的距離相等，平面與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形31．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為正方體.任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則（

）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值32．（2023·河北唐山·唐山市第十中學校考模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為4，點P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點的棱錐的體積為___________.

33．（2023·高三課時練習）如圖，正方體的棱長為4cm，分別是和的中點．(1)畫出過點的平面與平面及平面的兩條交線；(2)設(shè)過的平面與交于點P，求PM+PN的值．34．（2023·全國·高三專題練習）在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．35．（2023·全國·高三專題練習）在棱長為3的正方體中，已知點P為棱上靠近點的三等分點，點Q為棱CD上一動點.若M為平面與平面ABCD的公共點，且點M在正方體的表面上，則所有滿足條件的點M構(gòu)成的區(qū)域面積為___________.考點五判斷兩條直線的位置關(guān)系36．（2023·全國·高三對口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關(guān)系是（

）A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線37．（2023·全國·高三專題練習）已知a，b，l是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．a(chǎn)，b一定是異面直線38．（2023·廣東·高三專題練習）已知，，是三個平面，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線b與直線c可能是異面直線 B．直線a與直線c可能平行C．直線a，b，c必然交于一點（即三線共點） D．直線c與平面可能平行39．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的所有棱長相等，M，N分別是棱PD，BC的中點，則（

）A． B．面C． D．面40．（2023·全國·高三對口高考）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，（1）與平行；（2）與是異面直線；（3）與成角；（4）與垂直.以上四個命題中，正確的命題的序號是：_________．41．（2023·廣東深圳·深圳中學校考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（

）A．存在點，使得B．存在點，使得C．直線始終與直線異面D．直線始終與直線異面42．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別為邊AD、BC上的點，且，，設(shè)P、Q分別為線段AF、CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關(guān)系不能恒成立的是（

）A．直線直線CD B．直線直線EDC．直線直線PQ D．直線平面43．【多選】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在菱形中，，分別是線段的中點，將沿直線折起得到三棱錐，則在該三棱錐中，下列說法正確的是（

）A．直線平面B．直線與是異面直線C．直線與可能垂直D．若，則二面角的大小為考點六等角定理44．【多選】（2023·全國·高三專題練習）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補45．（2023·全國·高三對口高考）下列說法中，正確的是__________．①空間中，兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補；②垂直于同一條直線的兩條直線平行；③分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線；④若、是異面直線，、是異面直線，則、也是異面直線；⑤一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是相交或異面．46．（2023·高三課時練習）若空間兩個角與的兩邊對應(yīng)平行，當時，則______．考點七異面直線所成的角47．（2023·全國·高三對口高考）如圖是正方體的平面展開圖，在原正方體中：①與所在直線平行；②與所在直線異面；③與所在直線互相垂直；④與所在直線成角是．以上四個命題中，正確命題的序號是（

）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④48．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在長方體中，，連接AC，，則（

）

A．直線與平面ABCD所成角為B．直線與平面所成角為C．直線與直線所成角為D．49．（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．50．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是________.51．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）正三棱柱的棱長均相等，E是的中點，則異面直線與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．52．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正四棱臺中，，其體積為為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．53．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．54．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在四面體ABCD中，，E為CD的中點，△ACE為等邊三角形，則異面直線AC與BE所成角為（

）A． B． C． D．55．（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，在三棱錐中，，M在內(nèi)，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．56．（2023春·陜西西安·高三?？茧A段練習）在長方體中，與和所成的角均為，則下面說法正確的是（

）A． B．C． D．57．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習）如圖所示，是長方體，其中，，點是棱上一點，若異面直線與互相垂直，則_________．

考點八空間直線與平面位置關(guān)系判斷58．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知直線，平面，滿足，則下列命題一定正確的是（

）．A．存在直線，使 B．存在直線，使C．存在直線，使l，m相交 D．存在直線，使l，m所成角為59．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預(yù)測）已知為異面直線，平面，平面，若直線滿足，且.則下列說法正確的是（

）A． B．C．與相交，且交線平行于 D．與相交，且交線垂直于60．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱倠中，分別是、的重心，以下與直線平行的是（

）A．直線 B．平面 C．平面 D．平面61．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，其中下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則62．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預(yù)測）已知、、為空間中三條不同的直線，、、為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，若，則C．若，、分別與、所成的角相等，則D．若m//α，m//β，，則考點九平面與平面位置關(guān)系的判斷63．（2023·四川成都·川大附中校考模擬預(yù)測）已知平面，，直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件64．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是空間兩個不同的平面，命題：“”，命題：“平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行”，則是的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件65．（2023·山東日照·三模）已知直線平面，則“直線平面”是“平面平面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件66．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個命題正確的是（

）A．若，且，則 B．若，，，則C．若，且，則 D．若，，，則67．（2023·四川南充·閬中中學?？级＃┤鐖D，在長方體中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱，，，上的動點，且，則必有（

）A． B．C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH68．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正方體中，點在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點，使得（

）

A． B．C．平面 D．平面平面考點34空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系9種常見考法歸類考點一平面的概念及基本性質(zhì)考點二證明“點共面”、“線共面”考點三證明“點共線”及“線共點”考點四平面基本性質(zhì)的應(yīng)用考點五判斷兩條直線的位置關(guān)系考點六等角定理考點七異面直線所成的角考點八空間直線與平面位置關(guān)系判斷考點九平面與平面位置關(guān)系的判斷1.平面的幾個特點平面是平的；平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的2.三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．提醒：根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．3.點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外AlA在α內(nèi)A∈αA在α外Aαl與m平行l(wèi)

//

ml，m相交于Al∩m＝Al與m異面l在α內(nèi)l?αl與α平行l(wèi)

//

αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα與β平行α

//

β4.平面的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)基本事實文字語言圖形語言符號語言作用基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α確定平面；判定點線共面基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α確定直線在平面內(nèi)；判定點在平面內(nèi)基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l判定兩平面相交；判定點在直線上(2)基本事實1與2的推論推論文字語言圖形語言符號語言作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面A?l?有且只有一個平面α，使A∈α，l?α（1）判定若干條直線共面的依據(jù)（2）判定若干平面重合的依據(jù)（3）判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面a∩b＝P?有且只有一個平面α，使a?α，b?α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面a∥b?有且只有一個平面α，使a?α，b?α5.證明點、線共面、點共線、線共點問題的常用方法證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”．要證明點共線問題(1)公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上(2)同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經(jīng)過該點．而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點．6.證明三點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．7.判斷四點共線的方法有：（1）四點中兩點連線所成的兩條直線平行、相交或重合；（2）由其中三點確定一個平面，再證明第四點在這個平面內(nèi)；（3）若其中三點共線，則此四點一定共面.8.證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點；(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．9.證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用基本事實或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內(nèi)即可；10.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形符號共面情況公共點個數(shù)共面直線相交直線在同一個平面內(nèi)1平行直線a∥b在同一個平面內(nèi)0異面直線不同在任何一個平面內(nèi)0(2)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行公共點個數(shù)無數(shù)個10圖形表示符號∥當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內(nèi)，也稱為直線在平面外.(3)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩個平面相交兩個平面平行公共點個數(shù)有一條公共直線0符號表示α∩β＝aα∥β圖形表示11.平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行．12.等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．13.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.14.判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．15.判定或證明兩直線異面的常用方法：(1)定義法：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．（證明兩條直線既不平行又不相交．)(2)定理法：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．用符號語言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．(3)推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線．(4)分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.16.反證法：證明立體幾何問題的一種重要方法．證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步是由此假設(shè)推出與已知條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設(shè)，從而原命題成立．17.直線與平面位置關(guān)系的判斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點.18.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．19.常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；(2)長方體的六個面中，三組相對面平行.20.異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．(2)范圍：.21.求異面直線所成的角的方法(1)求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行．平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．(2)向量法(基底法、坐標法)求異面直線所成的角根據(jù)題意，確定兩異面直線各自的方向向量a，b，則兩異面直線所成角θ滿足cosθ＝.考點一平面的概念及基本性質(zhì)1．（2023·全國·高三專題練習）下列命題：①書桌面是平面；②有一個平面的長是50m，寬為20m；③平面是絕對平的、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學概念．其中正確命題的個數(shù)為______．【答案】1【分析】根據(jù)平面的定義判斷．【詳解】平面是無限延展的，沒有長度、厚度，通常用平行四邊形表示平面，但平面不是平行四邊形．題中只有③正確．故答案為：1．2．（2023春·高三課時練習）下面說法中正確的是（

）A．任何一個平面圖形都是一個平面B．平靜的太平洋面是平面C．平面就是平行四邊形D．在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面【答案】D【分析】根據(jù)平面的概念，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，平面是無限延展的，所以一個平面圖形不是一個平面，所以A不正確；對于B中，平靜的太平洋面是個有邊界的圖形，不是平面，所以B不正確；對于C中，平面可以用平行四邊形表示，但平面不是是平行四邊形，所以C不正確；對于D中，在幾何體的直觀圖中，平面多邊形和圓、橢圓都可以表示一個平面，所以D正確.故選：D.3．（2023·全國·高三對口高考）一個平面把空間分為__________部分；兩個平面把空間分為__________部分；三個平面把空間分為__________部分．【答案】或或或或【分析】根據(jù)空間中平面與平面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】一個平面把空間分為部分；兩個平行平面將空間分成部分，兩個相交平面可以將空間分成部分，故兩個平面將空間分成或部分；當三個平面互相平行時，將空間分成部分，如圖1所示；當有兩個平面平行，第三個平面與這兩個面都相交，此時將空間分成部分，如圖2所示；當三個平面兩兩相交于一條直線時，可以把空間分成部分，如圖3所示；當三個平面兩兩相交，且三條直線互相平行時，將空間分成部分，如圖4所示；當兩個平面豎著相交，第三個平面與這兩個平面相交，即三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點時，此時可將空間分成部分，如圖5所示；綜上可得三個平面把空間分為或或或部分.

故答案為：；或；或或或4．（2023·高三課時練習）已知A、B、C為空間中的三個點，則經(jīng)過這三個點的平面有______個．【答案】1或無數(shù)【分析】根據(jù)三點的位置關(guān)系，結(jié)合確定平面的依據(jù)，即可判斷.【詳解】當三點A、B、C不共線時，則經(jīng)過三點的平面有1個，當三點A、B、C共線時，則經(jīng)過三點的平面有無數(shù)個.故答案為：1或無數(shù)5．（2023·高三課時練習）一條直線和直線外三點最多可以確定_________個平面.【答案】4【分析】分情況討論每種可能的結(jié)果，最后再取最多的那個即可.【詳解】(1)如果直線外三點共線，且所在直線與已知直線平行，可確定1個平面；如果直線外三點共線,且所在直線與已知直線相交,可確定1個平面；(2)如果直線外三點共線，且所在直線與已知直線異面，可確定3個平面；如果直線外三點不共線，連接任意兩點的3條直線中，兩條與已知直線均異面，第三條與已知直線平行，可確定3個平面；如果直線外三點不共線，連接任意兩點的3條直線中，兩條與已知直線均異面，第三條與已知直線相交，可確定3個平面；如果直線外三點不共線，連接任意兩點的3條直線中，兩條與已知直線均異面,第三條與已知直線相交，可確定3個平面；如果直線外三點不共線，連接任意兩點的3條直線中，一條與已知直線均異面，其它兩條與已知直線相交，可確定3個平面；(3)如果直線外三點不共線，且任意兩點所在直線與已知直線均異面，可確定4個平面；綜上所述，最多可確定4個平面.故答案為：4考點二證明“點共面”、“線共面”6．（2023·全國·高三對口高考）給出下列命題：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線都與另一條直線相交，則這四條直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④每兩條都相交并且交點全部不同的四條直線共面．其中正確的命題為__________．【答案】①②④【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)，逐項判斷選項即可得出結(jié)論.【詳解】對于①，由于梯形為平面圖形，故四個頂點在同一平面內(nèi)，所以①正確；對于②，不妨設(shè)，，，，則、唯一確定一個平面，所以，，所以，又，，所以，所以，又，，所以，故三條平行直線都與另一條直線相交，則這四條直線共面，所以②正確；對于③，當這三點共線時，兩個平面可以不重合，故③不正確；對于④，因為兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)，所以由直線在平面內(nèi)的判定性質(zhì)知滿足條件的第四條直線必在該平面內(nèi)，故④正確．綜上①②④正確．故答案為：①②④．7．（2023·全國·高三專題練習）已知空間四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】一條直線和直線外一點確定一個平面，由此可驗證充分性成立；“這四個點在同一平面內(nèi)”時，可能有“兩點分別在兩條相交或平行直線上”，從而必要性不成立．【詳解】“這四個點中有三點在同一直線上”，則第四點不在共線三點所在的直線上，因為一條直線和直線外一點確定一個平面，一定能推出“這四點在同一個平面內(nèi)”，從而充分性成立；“這四個點在同一平面內(nèi)”時，可能有“兩點分別在兩條相交或平行直線上”，不一定有三點在同一直線上，從而必要性不成立，所以“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面內(nèi)”的充分不必要條件.故選：A.8．【多選】（2023·全國·高三專題練習）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）A．直線與直線共面 B．直線與直線異面C．直線與直線共面 D．直線與直線異面【答案】ACD【分析】作出正方體的直觀圖，逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】如圖，點與點重合，則與相交，故A正確；在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，，則、共面，故B錯誤；因為，故、共面，故C正確；由圖可知，、不在同一個平面，且、既不平行也不相交，、為異面直線，故D正確.故選：ACD.9．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學校校考模擬預(yù)測）在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．三點共線 B．四點異不共面C．四點共面 D．四點共面【答案】C【分析】由長方體性質(zhì)易知四點共面且是異面直線,再根據(jù)與、面、面的位置關(guān)系知在面與面的交線上,同理判斷,即可判斷各選項的正誤.【詳解】因為,則四點共面.因為,則平面,又平面,則點在平面與平面的交線上,同理,也在平面與平面的交線上,所以三點共線;從而四點共面,都在平面內(nèi)，而點B不在平面內(nèi)，所以四點不共面，故選項B正確；三點均在平面內(nèi)，而點A不在平面內(nèi)，所以直線AO與平面相交且點O是交點，所以點M不在平面內(nèi)，即四點不共面，故選項C錯誤；，且，所以為平行四邊形，所以共面，所以四點共面，故選項D正確.故選:C.10．（2023·全國·高三對口高考）如圖，正方體中，E、F分別是、上的點，并且．求證：B、E、、F共面．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)以及已知，，.然后結(jié)合圖象，即可得出，進而得出，即可得出結(jié)論.【詳解】

如圖，連結(jié).根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，，.又因為，所以，.因為，顯然不共線，所以，所以，B、E、、F共面．11．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在直四棱柱中，，，，P為棱上一點，且（為常數(shù)），直線與平面相交于點Q．則線段的長為________．【答案】【分析】根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)平行關(guān)系可得，取，根據(jù)平行關(guān)系可得//，進而可知點即為直線與平面的交點，即可得結(jié)果.【詳解】∵，所以，分別過作，垂足分別為，分別過作，垂足分別為，可得均為平行四邊形，則，過點作//，交直線于點，則，可得，即，在上取點，使得，∵//，//，則//，可知：//，，即為平行四邊形，∴//，，又∵為平行四邊形，則//，，可得//，，故為平行四邊形，則//，又∵//，則//，即四點共面，故點即為直線與平面的交點，∴.故答案為：.【點睛】方法點睛：在處理截面問題時，常常轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系問題，根據(jù)線、面平行關(guān)系的判定定理以及性質(zhì)定理分析判斷.12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為平行四邊形，M是棱上靠近點D的三等分點，N是的中點，平面AMN交于點H，則，_______.【答案】/【分析】將四棱錐補為三棱柱，由求解.【詳解】解：如圖所示：補全四棱錐為三棱柱，作，且，因為ABCD為平行四邊形，所以，則，且，所以四邊形和四邊形都是平行四邊形，因為N為中點，則延長AN必過點E，所以A，N，E，H，M在同一平面內(nèi)，因為，所以，又因為M是棱上靠近點D的三等分點，所以，則，故答案為：13．（2023·廣東·高三專題練習）圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.(1)證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；(2)求圖2中的直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明即可證得，，，四點共面，根據(jù)，證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）連接，取的中點，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）在圖2中，由題意得，所以，所以圖2中的，，，四點共面，由已知得，又平面，所以平面，又因平面，所以平面平面；（2）連接，在菱形中，，則為等邊三角形，取的中點，連接，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.14．（2023·全國·高三專題練習）在棱長為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點，且，，為線段的中點，給出下列命題，其中正確的是（

）A．與共面；B．三棱錐的體積跟的取值無關(guān)；C．當時，；D．當時，過，，三點的平面截正方體所得截面的周長為．【答案】ABD【分析】對于選項A：可得，可判斷；對于選項B：點到平面的距離為定值，且的面積為定值可判斷；對于選項C：分別求出的長，驗證是否滿足勾股定理，從而判斷;對于選項D：先將過，，的截面分析做出，再求周長可判斷.【詳解】對選項A：在中，因為，為，的中點，所以，所以與共面，所以A正確；對選項B：由，因為到平面的距離為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無關(guān)，所以B正確；對選項C：當時，,可得，，取的中點分別為，連接,則在直角三角形中,則，所以不成立，所以C不正確．對選項D：當時，取,連接,則,又所以所以共面,即過，，三點的正方體的截面為，由,則是等腰梯形,且所以平面截正方體所得截面的周長為，所以D正確；故選：ABD．考點三證明“點共線”及“線共點”15．（2023·全國·高三對口高考）如圖，正方體中，O是中點，與截面交于P，那么、P、O三點共線，其理由是__________．

【答案】、P、O是平面和平面的公共點，所以它們共平面與平面的交線【分析】確定、、平面，、、平面，得到結(jié)論.【詳解】O是中點，則O是中點，故平面，與截面交于P，故，故平面，又平面，故、、平面，又、、平面，故、、在平面和平面的交線上.故答案為：、P、O是平面和平面的公共點，所以它們共平面與平面的交線.16．（2023·高三課時練習）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上【答案】B【分析】由題意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，則P∈AC，可得答案．【詳解】如圖，∵EF?平面ABC，GH?平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即點P一定在直線AC上．故選：B．17．（2023·北京朝陽·高三專題練習）在長方體中，與平面相交于點M，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面交線的性質(zhì)可知，又平行線分線段成比例即可得出正確答案，對于ABD可根據(jù)長方體說明不一定成立.【詳解】如圖，連接，交于，連接，，在長方體中，平面與平面的交線為,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C正確.對于A，因為長方體中與不一定垂直，故推不出，故A錯誤；對于B，因為長方體中與不一定相等，故推不出，故B錯誤；對于D，由B知，不能推出與垂直，而是中線，所以推不出，故D錯誤.故選：C18．（2023·全國·高三對口高考）已知在平面外，三邊、、所在的直線分別與平面交于．求證：共線．【答案】證明見解析【分析】推導出都在平面與平面的交線上，即可證明.【詳解】∵，∴，平面.又平面，∴平面.∴由基本事實3可知：點在平面與平面的交線上，同理可證也在平面ABC與平面α的交線上,∴共線.19．（2023·全國·高三對口高考）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，可得以及，所以，進而得出四點共面；（2）因為是平面和平面的交線，只需證明點是平面和平面的交點，即可證得，進而得到三點共線.【詳解】（1）因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以.在中，因為，所以，所以，所以.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面.（2）因為，所以.由已知可得，，，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC.同理，平面ADC，平面ADC.所以為平面ABC與平面ADC的一個公共點.又平面平面，所以，所以P，A，C三點共線.20．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點．(1)求證：三線交于點P；(2)在（1）的結(jié)論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）連接，，可得到且，則EC與相交，設(shè)交點為P，則能得到P平面ABCD，平面，結(jié)合平面平面，即可得證；（2）可證明P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，即可得證【詳解】（1）證明：連接，，正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點，∴且，∵且，∴且，∴EC與相交，設(shè)交點為P，∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；又∵，平面，∴平面，∴P為兩平面的公共點，∵平面平面，∴，∴三線交于點P；（2）在（1）的結(jié)論中，G是上一點，F(xiàn)G交平面ABCD于點H，則FH平面，∴平面，又平面ABCD，∴平面平面ABCD，同理，平面平面ABCD，平面平面ABCD，∴P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，∴P，E，H三點共線．21．（2023·全國·高三專題練習）已知，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：（1）D，B，E，F(xiàn)四點共面.（2）若A1C交平面BDEF于點R，則P，Q，R三點共線.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【分析】（1）求證EF∥BD，再由兩條平行線可以確定平面即可求證；（2）利用公理2說明三點在兩個平面的交線上即可.【詳解】（1）連接B1D1，如下圖所示：

因為E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，所以EF∥B1D1，又因為B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF與BD共面，所以E，F(xiàn)，B，D四點共面.即證.（2）因為AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF，因為A1C∩平面DBFE=R，所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，所以P，Q，R三點共線，即證.【點睛】本題考查空間中四點共面，三點共線的問題，只需熟練掌握和應(yīng)用公理即可.22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正四棱柱中，O為的中點，且點E既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)．

(1)證明：；(2)若，，E為AO的中點，E在底面ABCD內(nèi)的射影為H，指出H所在的位置（需要說明理由），并求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)取CD的中點F，連接AF，H為AF的中點，理由見解析，【分析】（1）由基本事實3可證；（2）先找到點在底面ABCD內(nèi)的射影F，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得，則可在中可求解.【詳解】（1）證明：連接．在正四棱柱中，，則A，，，D四點共面，所以平面．因為側(cè)面為矩形，且O為的中點，所以，所以O(shè)為平面與平面的一個公共點，所以平面平面，即平面平面，故．（2）取CD的中點F，連接OF，AF，則H為AF的中點．理由如下：因為F，O分別為CD，的中點，所以．在正四棱柱中，底面ABCD，所以底面ABCD，又，所以底面ABCD，即E在底面ABCD內(nèi)的射影為H．因為底面ABCD，所以．因為，所以．

23．【多選】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點，點為棱的中點，則（

）

A．，，三點共線 B．異面直線與所成的角為C．點到平面的距離為 D．過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】ACD【分析】通過證明，，三點都是平面與平面的公共點，可知A正確；利用線面垂直的判定與性質(zhì)可證異面直線與所成的角為，可知B不正確；通過證明平面，得的長度就是點到平面的距離，計算的長度可知C正確；取的中點，可得等腰梯形就是過點，，的平面截該正方體所得截面，計算等腰梯形的面積可知，D正確.【詳解】因為為底面的中心，所以為和的中點，則，，因為平面，平面，所以平面，平面，所以點是平面與平面的公共點；顯然是平面與平面的公共點；因為交平面于點，平面，所以也是平面與平面的公共點，所以，，三點都在平面與平面的交線上，即，，三點共線，故A正確；因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線與所成的角為，故B不正確；根據(jù)證明的方法，同理可得，因為，平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點到平面的距離為，故C正確；取的中點，連，，，，因為，所以等腰梯形就是過點，，的平面截該正方體所得截面，如圖：

因為，，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確.故選：ACD24．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖所示，長方體中，，O是的中點，直線交平面于點M，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．A，M，O三點共線B．的長度為1C．直線與平面所成角的正切值為D．的面積為【答案】C【分析】利用公理3證明三點共線即可判斷A，利用長方體的性質(zhì)以及中位線定理，可判斷B，利用線面角的定義，根據(jù)長方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)定義，可判斷C，利用三角形面積轉(zhuǎn)化求解，可判斷D.【詳解】對于A，連結(jié)，則，四點共面，平面，，平面，又平面，在平面與平面的交線上，同理也在平面與平面的交線上.三點共線，故A正確：對于B，設(shè)直線與平面的交點為，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，，為中點，為中點，同理可得為的中點，，故B正確；對于C，取中點，連接，，平面，則即為直線與平面所成角，又平面平面，故即為直線與平面所成角，又，，故C錯誤；對于D，，，，故D正確.故選：C25．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，分別為的中點，分別在上，且.給出下列四個命題：①平面；②平面；③平面；④直線交于一點.其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依題意可得且，且，即可得到平面，再判斷與為相交直線，即可判斷②③，由四邊形為梯形，所以與必相交，設(shè)交點為，即可得到，從而判斷④；【詳解】解：因為，所以且，又分別為的中點，所以且，則，又平面，平面，所以平面，因為為的中點，為的一個三等分點，所以與為相交直線，故與平面必不平行，也不平行平面，因為為梯形，所以與必相交，設(shè)交點為，又平面，平面，則是平面與平面的一個交點，所以，即直線交于一點，故選：B.26．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點，G，H分別是CD和AD上的點，若EH與FG相交于點K.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點.【答案】證明見解析【分析】先證明點在直線上，再利用直線在平面內(nèi)可得點在平面內(nèi)，再利用公理3可證得結(jié)論.【詳解】因為EH與FG相交于點K，所以K∈EH，因為EH?平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點.27．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：（1）E，C，D1，F(xiàn)四點共面；（2）CE，D1F，DA三線共點．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用三角形的中位線證明，從而得到四點共面；（2）根據(jù)平面的性質(zhì)，證明點P∈平面ABCD，點P∈平面ADD1A1平面，從而證明CE，D1F，DA三線共點.【詳解】（1）證明：如圖所示，連接EF，CD1，A1B.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EF∥BA1.又A1B∥D1C，EF∥CD1，E，C，D1，F(xiàn)四點共面．（2）證明：EF∥CD1，EF<CD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所示．則由P∈CE，CE?平面ABCD，P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，P∈直線DA，CE，D1F，DA三線共點．【點睛】本題主要考查點共面，線共點的證明，考查了學生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.28．（2023·全國·高三專題練習）如圖，，，分別是菱形的邊，，，上的點，且，，，，現(xiàn)將沿折起，得到空間四邊形，在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．直線，有可能平行B．直線，一定異面C．直線，一定相交，且交點一定在直線上D．直線，一定相交，但交點不一定在直線上【答案】C【分析】由已知可得四邊形為平面四邊形，且，，然后逐一分析四個選項得答案．【詳解】解：，，，則，且，又，，，則，且，，且，四邊形為平面四邊形，故直線，一定共面，故錯誤；若直線與平行，則四邊形為平行四邊形，可得，與矛盾，故錯誤；由，且，，，可得直線，一定相交，設(shè)交點為，則，又平面，可得平面，同理，平面，而平面平面，，即直線，一定相交，且交點一定在直線上，故正確，錯誤．故選：．29．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，，，，分別為，，，的中點，且．(1)證明：直線，，交于一點；(2)設(shè)直線，，交于點，記關(guān)于平面的對稱點為，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，得直線，相交，記，再證明即可；（2）根據(jù)≌得，進而得為棱中點，再，以為坐標原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】（1）解：如圖，連接，因為在長方體中，，，，分別為，，，的中點，所以，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，，所以，直線，相交，記，所以，因為平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面，所以，直線，，交于點.（2）解：由（1）知，所以≌，因為所以，所以關(guān)于平面的對稱點為棱中點，所以，如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，則，設(shè)平面的一個法向量為，由于，，所以，即，令得，設(shè)平面的一個法向量為，，由于，，所以，即，令得，所以，所以二面角的余弦值為，所以二面角的正弦值為，考點四平面基本性質(zhì)的應(yīng)用30．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面滿足，若直線AC到平面的距離與BC1到平面的距離相等，平面與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】設(shè)分別為的中點，證明6點共面，為六邊形，再證明此平面滿足條件即可得解.【詳解】如圖，設(shè)分別為的中點，連接，，，，同理可得，，，共面，平面，平面，平面，同理可得平面，為的中點，到平面的距離與到平面的距離相等，即平面為所求的平面，故與正方體交線為正六邊形.故選：D31．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為正方體.任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則（

）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值【答案】BC【分析】作出輔助線，得到平面，從而得到截面的周長為定值，舉出例子得到面積不是定值.【詳解】將正方體切去兩個正三棱錐與后，得到一個以平行平面與為上、下底面的幾何體V，在上取一點，作，，再作，，，則六邊形即為平面，

V的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱剪開，展平在一張平面上，得到一個平行四邊形，而多邊形W的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，故為定值.當位于中點時，多邊形W為正六邊形，而當移至處時，W為正三角形，易知周長為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值.

故選：BC32．（2023·河北唐山·唐山市第十中學?？寄M預(yù)測）如圖，正方體的棱長為4，點P，Q，R分別在棱，，上，且，則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點的棱錐的體積為___________.

【答案】【分析】利用已知作出截面，進而利用分割法即可求得以平面截正方體所得截面為底面，為頂點的棱錐的體積.【詳解】延長交的延長線于點，延長交的延長線于點，連接交于點，交于點，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面.因為，則，又因為，所以，即，解得，同理可得，則，，因為，所以，又，則，同理可得；所以，，，，，.故答案為：

33．（2023·高三課時練習）如圖，正方體的棱長為4cm，分別是和的中點．(1)畫出過點的平面與平面及平面的兩條交線；(2)設(shè)過的平面與交于點P，求PM+PN的值．【答案】(1)圖象見解析；(2)【分析】（1）由平面的性質(zhì)，作出過點的平面與正方體的截面，即可求出；（2）利用三角形相似分別求出，即可求得.【詳解】（1）如圖所示，連接并延長交的延長線于點，連接交于點，交延長線于點，連接交于點，連接，則即為所求作的截面．如圖示：平面與平面的交線為，平面與平面的交線為.（2）由N為的中點，易得，所以，因為，所以，得，所以，，，所以，．所以．34．（2023·全國·高三專題練習）在長方體中，點，分別是棱，的中點，點為對角線，的交點，若平面平面，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交的延長線于，利用平面的基本性質(zhì)可得直線即為直線，然后利用正方體的性質(zhì)可得，即得.【詳解】延長交的延長線于，連接交于，∵平面，平面，平面平面，∴，故直線即為直線，取的中點，連接，又點，分別是棱，的中點，∴，∴，，∴，即.故選：B.35．（2023·全國·高三專題練習）在棱長為3的正方體中，已知點P為棱上靠近點的三等分點，點Q為棱CD上一動點.若M為平面與平面ABCD的公共點，且點M在正方體的表面上，則所有滿足條件的點M構(gòu)成的區(qū)域面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件及基本事實1中的推理2和基本事實3得到點M的區(qū)域，利用三角形相似及梯形的面積公式即可求解.【詳解】延長DA，交于點N，連接NQ交AB于點E，則線段EQ為平面與平面ABCD的公共點M的集合，當Q運動到點D時，E與A重合；當Q運動到點C時，設(shè)此時E點運動到F點，則梯形FADC即為點M構(gòu)成的區(qū)域，因為∽，所以，所以，所以.故答案為：.考點五判斷兩條直線的位置關(guān)系36．（2023·全國·高三對口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關(guān)系是（

）A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線【答案】D【分析】設(shè)直線與直線分別與兩條直線與直線相交于點，討論點與點的位置關(guān)系即可求解.【詳解】已知直線與是異面直線，直線與直線分別與兩條直線與直線相交于點，

根據(jù)題意可得當點與點重合時，兩條直線相交，當點與點不重合時，兩條直線異面，所以直線的位置關(guān)系是異面或相交.故選:D．37．（2023·全國·高三專題練習）已知a，b，l是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．a(chǎn)，b一定是異面直線【答案】A【分析】對于選項A，利用線面平行的性質(zhì)即可判斷出結(jié)果的正誤；對于選項BCD，利用長方體中的點線面的位置關(guān)系，逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項A，因為，，，所以，所以選項A正確；選項B，如圖，在長方體中，取平面為平面，平面為平面，則，取直線為，直線為，顯然有，，但與不垂直，所以選項B錯誤；選項C，如圖，取平面為平面，平面為平面，則，取直線為，此時有，但，所以選項C錯誤；選項D，如圖，取平面為平面，平面為平面，則，取直線為，直線為，此時，所以選項D錯誤.故選：A.38．（2023·廣東·高三專題練習）已知，，是三個平面，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線b與直線c可能是異面直線 B．直線a與直線c可能平行C．直線a，b，c必然交于一點（即三線共點） D．直線c與平面可能平行【答案】C【分析】先由點，線，面的位置關(guān)系得到直線a，b，c必然交于一點，AB錯誤，C正確；再利用假設(shè)法推出D錯誤.【詳解】ABC選項，因為，，，所以，因為，所以，所以直線a，b，c必然交于一點（即三線共點），AB錯誤，C正確；D選項，假設(shè)直線c與平面平行，假設(shè)直線c與平面α平行，由，可知，這與矛盾，故假設(shè)不成立，D錯誤.故選：C39．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐的所有棱長相等，M，N分別是棱PD，BC的中點，則（

）A． B．面C． D．面【答案】BC【分析】根據(jù)異面直線的定義可判斷A；取為的中點，連接，可得四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理可判斷B；由，為的中點，可判斷C；取為的中點，連接，由線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可得平面，，與為等邊三角形矛盾可判斷D.【詳解】對于A，因為平面，平面，直線，平面，所以與是異面直線，故A錯誤；對于B，取為的中點，連接，所以，，又，，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以面，故B正確；對于C，因為，為的中點，所以，因為，所以，故C正確；對于D，若面，面，所以，因為四棱錐的所有棱長相等，所以底面是正方形，取為的中點，連接，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，又，所以，這與為等邊三角形矛盾，故不垂直于平面，故D錯誤.故選：BC.

40．（2023·全國·高三對口高考）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，（1）與平行；（2）與是異面直線；（3）與成角；（4）與垂直.以上四個命題中，正確的命題的序號是：_________．【答案】③④【分析】把平面展開圖還原成正方體，由異面直線的定義判斷①；證得為平行四邊形即可判斷②；（或其補角）為與所成角，求解可判斷③；由題意，，可得平面，即可判斷④．【詳解】把平面展開圖還原成正方體，如圖，由異面直線的定義可知，與是異面直線，故①錯誤；因為，，，所以且，則四邊形為平行四邊形，則，故②錯誤；因為，所以（或其補角）為與所成角，連接，可知為正三角形，則，故③正確；因為平面，平面，所以，又，,平面，故平面，又平面，所以，則④正確．故答案為：③④．41．（2023·廣東深圳·深圳中學?？寄M預(yù)測）如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（

）A．存在點，使得B．存在點，使得C．直線始終與直線異面D．直線始終與直線異面【答案】C【分析】當點和點重合時，可判斷A；通過線面平行的判定定理，當點為線段的中點時，即可判斷B；當點和點重合時，兩條線在同一平面內(nèi)，不是異面直線，可判斷C；直線PQ與另一條線所在的平面相交，從而證明這兩條線不相交，也不平行即可判斷D.【詳解】正方體中，易得平面，因為點在直線上，為線段的中點，當點和點重合時，平面，，故A正確；連接、，當點為線段的中點時，為三角形的中位線，即，故B正確；平面，當點和點重合時，平面，所以直線和在同一平面內(nèi)，故C錯誤；平面，平面，，所以直線始終與直線不相交，且不平行，所以直線與直線是異面直線，故D正確；故選：C42．（2023·上海·高三專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別為邊AD、BC上的點，且，，設(shè)P、Q分別為線段AF、CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關(guān)系不能恒成立的是（

）A．直線直線CD B．直線直線EDC．直線直線PQ D．直線平面【答案】B【分析】由，，可得四邊形和都為矩形，進而得到，，進而得證即可判斷A；根據(jù)異面直線的定義即可判斷