2025高考數(shù)學一輪復習 平面向量基本定理及坐標表示 專項訓練

2025高考數(shù)學一輪復習-5.2-平面向量基本定理及坐標表示-專項訓練

[A組在基礎中考查學科功底]

一、單項選擇題

1.在下列向量組中，可以把向量。=(3,2)表示出來的是()

A.ei=(0,0),改=(1,2)

B.=2),氏=(5,—2)

C.4=(3,5),及=(6,10)

D.d=(2,—3),氏=(12,3)

2.已知點幺(1,0),5(2,2),向量阮=(2,-1),則向量元=()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(3,1)D.(-3,-1)

3.已知平面向量。=(1,2),6=(-2,in),且a〃4則2a+3A等于()

A.(-2,-4)B.(-3,-6)

C.(-5,-10)D.(-4,-8)

4.已知向量方=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+l,m-l),若點Z,B,C

能構成三角形，則實數(shù)也不可能是()

1

A.-2B.-

2

C.1D.-1

5.如圖，點Z>,E分別是NC,5c的中點，設標=a,AC=b,尸是。￡的中點，

則標=()

6.已知在RtZXZBC中，/BAC=90°,AB=1,AC=2,。是△ZBC內一點，且

ZDAB=60°,設而=7荏+〃尼(九〃@R),則4等于()

,2V3

AB.省

--3

C.3D.2V3

7.△48C的三個內角4B,C所對的邊分別是a,b,c,設向量p=(a+c,b),

q=(b-a,c—a),若p〃q,則角C的大小為()

B.-

3

C-D.—

*23

8.在平面四邊形48co中，ABLBC,ACLCD,AB=BC=CD,若正=7萬+

//AD,則/l+〃=()

A.gB.V2

3

C.ID.2

二、多項選擇題

9.如圖所示，A,B,C是圓。上的三點，線段0C與線段43交于圓內一點P,

若2P=A4B,0C=〃02+3〃0B,

c

)

A.尸為線段。C的中點時，〃=；

B.尸為線段。C的中點時，〃=；

C.無論〃取何值，恒有丸=:

D.存在〃￡R,2=5

10.在平行四邊形45C。中，BE=2EC,DF=3FA,AE與BF交于點、O,設市

=a,DB=b,貝U()

A.AE=—B.AE=a~l-b

33

C.D0=—a+—bD.D0=—a+—b

ii11iiii

三、填空題

11.已知。為坐標原點，酹=—2配，若Pi（l,2）,p2（2,-1）,則與前共線

的單位向量為.

12.在矩形4BC。中，48=2,2。=1,點尸為矩形48co內（包括邊界）一點，

—一

則|PZ+PB\的取值范圍是.一一^

[B組在綜合中考查關鍵能力]

13.（2024?山東濟南期中）在△48C中，AB=2AC,NA4C的平分線交邊

BC于■點、D,記左=a,AD=b,則標=（）

A.3a—2bB.-2a+36

C.3a+2bD.2a+38

14.在△ABC中，點。在線段8c的延長線上，且前=3而，點。在線段CD

上（與點C,。不重合），若而=》荏+（1—x）元，則x的取值范圍是

A.（0,|）B.（0,i）

C.（一；,o）D.o）

15.（2024?北京模擬）已知向量方=（3,4）,將向量而繞原點。逆時針方向旋

轉45。到涼的位置，則點P（V,_/）的坐標為（）

A.（-4,3）B.（-3,4）

c.（罟,甯-T5

16.給定兩個長度為1的平面向量次和赤，它們的夾角為學如圖所示，點C在

以。為圓心的圓弧48上運動.若瓦麗，其中x,vGR,則x+y的最

大值為

參考答案

[A組在基礎中考查學科功底]

1.B[對于A,C,D,都有ei〃e2,所以只有B成立.]

2.C\AB=(1,2),AC=AB+~BC=(1,2)+(2,-1)=(3,1).故選C.]

3.D[因為a=(l,2),b=(-2,m),且所以加=-4,b=(—2,-4),

所以2a+35=(—4,-8),故選D.]

4.C[若Z,B,C三點不共線即可構成三角形.因為荏=赤—a=(2,-1)

一(1,—3)=(1,2),AC=OC-OA=(m-\-1,m—2)—(1,—3)=(m,m-\-1).假

設Z,B,C三點共線，則1X(〃?+1)—2加=0,即m=1.所以只票機Wl,A,B,

。三點就可構成三角形.]

5.C[因為點。，E分別是ZC,8c的中點，尸是的中點，所以標=詬+而

=-AC+-DE=-AC+-AB,即標=%+%.故選C.]

6.A[如圖，以/為原點，48所在直線為x軸，ZC所在直線為y軸，建立平

面直角坐標系，則5(1,0),C(0,2),因為NZ14B=60。，所以設。點的坐標為(加，

V3m)(m7^0).

AD=(m,V3m)=/IAF+//^4C=2(1,0)+//(0,2)=(2,2〃)，則7=加，且〃=學明

所以2=辿]

7.B[因為p〃夕，所以(a+c)(c—a)—b(Z?—〃)=0,

所以c2—a2—b2+ab=0,所以a2+b2~c2=ab,

1

所以2abcosC=ab,所以cosC=-,

因為0<CV兀，所以C=]

故選B.]

8.B[設如圖，以ZC所在直線為x軸，ZC的垂[9

直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則2(—1,0),8(0,

-1),C(l,0),￡>(1,V2),AC=(2,0),ZB=(1,-1),AD=(2,V2),因為旅

=7萬+〃而，所以(2,0)=A(l,-1)+〃(2,V2),所以『+2"二2,解得丸

入+何=0,

=2V2-2,〃=2一四，所以丸+〃=V1故選B.]

9.AC[赤=a+9=函+2前=函+4加一函)=(1—7)函+7折.因為加

與沆共線，所以*=3，解得2=三，故C正確，D錯誤；當尸為OC的中點時，

貝I萬5=工沆=與福+工*3〃麗，貝:2“‘解得〃=工，故A正確，B錯誤.故

2*2(入=93〃，2

選AC]

10.AC[在平行四邊形中，麗=2前，所以雇=一1方彳

則族=同+BE=(DB-DA)~^DA=-1^4+DB=-|a+/|,

A正確，B錯誤；設ZE與BD交于點M,則在平行四邊形ABCD中，4BEM與

相似，所以理=些=,，則￡>河=汐8,即麗=:麗=*,DF=^DA=1a,

因為尸，。，8三點共線，A,O,M三點共線，設麗=江？+(1—x)麗=(與耳Q+

也詢，則弓+且詈=1,即x=A，所以麗=爭方+(lf)麗=〃+9,

343114liii

C正確，D錯誤.故選AC]

H.(|-一§或(一/§[由第=一27瓦得第+2配=0,即項+配=0,

P^K=PlP,OP^-O~K=OP-OPl，OP=2OPl-OP[=2(2,-1)-(1,2)=(3,

-4),|OP|=732+(-4)2=5,與費同向的單位向量為篇=仔，一小，與而

Czi\3DZ

反向的單位向量為(―3).]

12.[0,2V2][法一(坐標法)：將矩形放在平面直角坐標系中，設尸(x,y),

則A(0,0),5(2,0),PA+PB=(~x,-y)+(2~x,~y)=(2~2x,-2y),\PA+PB\

=7(2-2x)2+(-2y)2=27(^-l)2+y2,

轉化為矩形內的點到定點(1,0)的距離的2倍，

由圖可知點。(0,1)和點C(2,1)到定點(1,0)的距離相等同時取最大值:

J(2—1)2+(1-0)2=71

故|刀+而|的取值范圍是[0,2V2].

法二(向量法)：取45的中點區(qū)易知麗+方=2而,

A\PA+PB\=2\PH\,結合題意可知0W|而

AHB

故|向十方|的取值范圍為[0,2V2].]

[B組在綜合中考查關鍵能力]

13.B[由題意，AB=2AC,AD為/BAC的平分線,則由角平分線定理，有黑

AQ

=—=2,即

故荏=3而，所以徑=前+荏=m+33

=AC+3(AD-AC)=-2AC+3AD=—2a+3A.故選B.]

14.D[法一：依題意，設前=7就，其中1<"提則有前=麗+前=麗

>--?-->-->-->-->-->-->-->-->-->

+ABC=AB+^AC-AB)=(l-^AB+XAC.5LAO=xAB+(l-x)AC,SLAB,AC

不共線，于是有x=l—0),即x的取值范圍是(―；，0),故選D.

法二：?.?方=》版+左一函，，刀=x(荏-元)，^CO=xCB=~3xCD,

:。在線段CD(不含C,。兩點)上，.\0<-3%<1,?..一：-1VxV0.故選D.]

15.C[如圖，設都與x軸正半軸的夾角為a,

由題可得|OP|=、32+42=5,sin?=1,cosa=|,

貝Usin(a+45°)=sinctcos45°+cosctsin45°=|x+|xcos(?+45°)=

cosctcos45°—sinasin45°=|Xy-—1xy-=—y|,貝|x'=\OP\,cos(a+45°)=

5X(—累=—今尸而卜sin(a+45°)=5X^=^,所以P的坐標為(一卜,

爺.故選C.]

16.2[法一：