2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：橢圓及其性質(zhì) 專項訓(xùn)練

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.5.1-橢圓及其性質(zhì)-專項訓(xùn)練

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、單項選擇題

1.已知橢圓C：伍>6>0）的焦距為2,離心率e=（,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)

方程為（）

r2r2

A.-+y2=lB.1+儼=1

22

2

2.設(shè)橢圓Ci：*+V=l（a>l）,C2：Y+J=1的離心率分別為ei,e2,若e2=V^ei,

則。=（）

A百

A.2§Bn.vw2

C.V3D.V6

2222

3.曲線,+卷=1與曲線E+4=1（左<9且左。0）的（）

2599—k25—kT

A.長軸長相等B.短軸長相等

C.焦距相等D.離心率相等

4.已知E,入是橢圓C：捻+*=1的兩個焦點，點跖N在C上，若|g|十

|NB|=6,則幽E||2VFi|的最大值為（）

A.9B.20

C.25D.30

22

5.已知橢圓C：?+左=1（46>0）的左頂點為4點跖N是橢圓C上關(guān)于y

軸對稱的兩點.若直線4W,NN的斜率之積為1則。的離心率為（）

A.包B.涯

22

C.1D.包

23

6.加斯帕爾?蒙日是法國著名的幾何學(xué)家.如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：

橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，

這個圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四邊均與橢圓/：]+胃=1相切，則

下列說法錯誤的是（）

A.橢圓M的離心率為三

B.橢圓/的蒙日圓方程為》2+產(chǎn)=]0

C.若G為正方形，則G的邊長為2胡

D.長方形G的面積的最大值為18

7.已知橢圓C：■+:=1伍*0)的離心率為gAi,血分別為C的左、右頂點，

8為C的上頂點.若西?砒=—1,則C的方程為()

2222

A.土+匕=1B.2+匕=1

181698

r2v2r2

C.v3+v2=lD-v2+/z=l

22

8.已知橢圓/+*=l(a>b>0)的左、右焦點分別為凡，半焦距為c.在橢圓

上存在點尸使得一^=—丁，則橢圓離心率的取值范圍是()

sinzPFi^sinzP^Fi

A.[V2-1,1)B.(V2-1,1)

C.(0,V2-1)D.(0,V2-1]

二、多項選擇題

22

9.已知方程。+匕=1表示橢圓，下列說法正確的是()

12—mm-4

A.機的取值范圍為(4,12)

B.若該橢圓的焦點在y軸上，則機?(8,12)

C.若機=6,則該橢圓的焦距為4

D.若機=10,則該橢圓經(jīng)過點(1,V2)

10.已知橢圓C：(+9=1，F(xiàn)l,尸2分別為它的左、右焦點，A,5分別為它的

左、右頂點，點尸是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有()

A.存在尸使得/尸1尸尸2=5

B.COS/尸1尸尸2的最小值為一套

C.PFJPF2,則△HP尸2的面積為9

D.直線E4與直線尸8斜率乘積為定值微

三、填空題

22

11.已知E,凡為橢圓C：±+-=1的兩個焦點，P,0為C上關(guān)于坐標(biāo)原點

164

對稱的兩點，且|P0|=|E凡則四邊形尸后。用的面積為.

12.已知點尸在圓/+產(chǎn)—6y+8=0上，點。在橢圓a+廿=1(°>1)上，且|PQ|

的最大值等于5,則橢圓的離心率的最大值為.

四,解答題

13.已知圓M：1)2=8,點N(0,-1),尸是圓〃上的一個動點，若線段

PN的垂直平分線與PM交于點Q.

(1)求點。的軌跡方程C；

(2)若點Z是曲線C上的動點，求方?前的最大值(其中。為坐標(biāo)原點).

14.如圖所示，已知橢圓，+:=1(心6>0),Fi,尸2分別為橢圓的左、右焦點，A

為橢圓的上頂點，直線Z凡交橢圓于另一點A

(1)若N￡48=90。，求橢圓的離心率；

(2)若橢圓的焦距為2,且科=2項，求橢圓的方程.

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

設(shè)。為坐標(biāo)原點，F(xiàn)i,尸為橢圓：的兩個焦點，點尸在上，

15.2C96C

3

cosZF1PF2=1，則IOR=()>-----------

,13?V30

A.—B.—

52

「14?V35

c-TD--

22

16.已知aB,C是橢圓a+a=l(a>6>0)上的三個點，。為坐標(biāo)原點，A,B

兩點關(guān)于原點對稱，ZC經(jīng)過右焦點若|CM|=Q目且|4F|=2|CF|,則該橢圓的

離心率是

參考答案

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

1.C[由于2c=2,所以c=l,

因為e=￡=:故。=2,加=屋—〃=3.

a2

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為—F—=1.

43

故選C.]

2.A[由已知得ei='、T,e2=與^=噂，因為e2=bei,所以?近三,

a222a

解得.故選A.]

3.C[曲線卷+?=1表示焦點在x軸上，長軸長為10,短軸長為6,離心率為

焦距為8的橢圓.

22

曲線B+急=1（左＜9且左W0）表示焦點在y軸上，長軸長為2,25—左,短軸長

為2對力,焦距為27（25-左）—（9—3）=8,離心率為正餐的橢圓.故選C.]

4.C[根據(jù)橢圓定義可得：

\MFi\+\MF2\=2a=8,|A7^I|+|A^F2|=8,

因為|〃F2|+|NF2|=6,所以8一|MFi|+8一|NFi|=6,

\MF]|+|A7^i|=102JlMFil?\NF±\,當(dāng)且僅當(dāng)|MFi|=|NFi|=5時等號成立，

所以PWF”?|2VFi|W25,貝力A?Fi||iVF」的最大值為25.

故選C.]

5.D[由題意，橢圓C的左頂點為小一見0）,

因為點N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的兩點，可設(shè)M（xo,/），則N（-xo,詞,

所以k4M=^~,kN=^-,可得

%o+aAa-xo

kAMkAN=-^~*-22-=^Ly=|.

%o+aa—XQa—%；3

又因噂+21,即升一，

代入可得標(biāo)=*所以離心率e'=11-^=J—|=啜.故選D.]

6.D[由橢圓方程知口=圾6=2,則c=76-4=也離心率為e=^=f,

A正確;

當(dāng)長方形G的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為2巡和4,其對角線長

為、24+16=2內(nèi),因此蒙日圓的半徑為WQ圓的方程為》2+產(chǎn)=10,B正確；

設(shè)長方形的邊長分別為機，n,因此機2+九2=40三27〃〃，即機〃W20,當(dāng)且僅當(dāng)機

=〃時取等號，所以長方形G的面積的最大值是20,此時該長方形G為正方形，

邊長為2代，C正確，D錯誤.故選D.]

7.B[由離心率e=￡=J1—解得"=，2,Zi,也分別為C的左、

右頂點，則出(一小0),幺2(凡0),5為上頂點，所以8(0,b).

所以B2；=(—a,—b),BA；=(a,~b),因為BA；?B蒞=—1,所以一屆十爐二

o2..2

-1,將爐=#代入,解得次=9,-=8,故橢圓v°的方程為久+苗=1.

故選B.]

8C.TB'4r[由L.----a---=----C---,

LsinzPFi^sin/PFzFl

得c_sin"&Fi—|P%|—伊乙|

,

寸asinzPFiF2\PF2\2a-|PF1|

又|尸尸i]￡(a—c,Q+C),則Q—CV^^VQ+C,

/.a2—c2<2ac<(^+c)2,即e2+2e—1>0,

又eG(0,1),(魚一1,1).故選B.]

22

9.BC[因為方程/^+2=1表示橢圓，

12—mm—4

fl2-m>0,

所以｛m—4>0,解得4V加V12,且加N8,A錯誤;

(12—m#=m-4,

22

因為橢圓已十七=1的焦點在y軸上，

所以機一4>12一機>0,解得8〈機V12,故B正確；

22

若加=6,則橢圓方程為—F—=1,

62

所以02=層一加=6—2=4,從而2c=4,C正確；

若加=10,則橢圓方程為—F—=1

269

點(1,魚)的坐標(biāo)不滿足方程，即該橢圓不經(jīng)過點(1,V2),D錯誤.故選BC.]

22

10.ABC[設(shè)橢圓C的上、下頂點分別為。，E,由題知橢圓C:言+卷=1中,

<2=5,b=3,c=4,

所以為(一4,0),%(4,0),A(~5,0),5(5,0),D(0,3),E(0,—3).

由于西=(一4,-3),麗=(4,-3),

西?西=-16+9=—7V0,所以/尸1尸尼的最大角為鈍角，故存在尸使得

ZFiPF2=pA正確；

i^\PF\\=m,\PF2\=n,則機+〃=10,

由余弦定理，得

222

/clm+n—64(m+n)—2mn—6436—2mn18181=一羨，當(dāng)且僅

COS/FIPF2=-^^=-~=^r=-雨

當(dāng)|尸"=|尸/囹時取“=”，B正確；

由于尸尸」尸尸2,故[rn+71—1°，+—(/+〃2)]=18,

Im2+n2=642

所以C正確；

22

設(shè)尸(x,y)(x#±5),因為z(—5,0),8(5,0),裴+卷=1,則弧=會，eB=三,

于是如?站=木?￡=段=胃=—/，D錯誤.故選ABC.]

11.8[根據(jù)橢圓的對稱性及|尸0|=斗/2],可以得到四邊形尸為0尼為對角線相

等的平行四邊形，所以四邊形尸為矩形.設(shè)尸機，則甲/2|=2a一|0人|

=8-m,則\PF\|2+\PF^=m2+(8-m)2=2m2+64-16m=\F\FT^=4c24(a2—b2)

=48,得機(8一%)=8,所以四邊形尸EQB的面積為|0￡|?|巴囹=機(8一相)=8.]

12.y[N+/—6y+8=0化簡為N+。一3尸1,圓心4(0,3).|PQ|的最大值

為5等價于|4Q|的最大值為4,設(shè)。(x,y),即N+g—3/W16,又宏+儼=1(a>1),

化簡得到(1—。2?2-6、+。2—7W0(—1WyWl).

當(dāng)了=—1時，驗證等號成立；

wa

對稱軸為了=三聲滿足-即aW2,故l<aW2.

故離心率的最大值為年,]

13.解：(1)圓M：X2+Q—I)2=8的圓心M(0,1),半徑為廠=2魚，由題意可知

|。如=|00又點尸是圓上的點，則|尸盟=2魚，^\PM\=\PQ\+\QM\,

則IQ如+|QM=2迎>2,

由橢圓的定義可知，點0的軌跡是以M,N為焦點的橢圓，其中(7=迎，c=1,

b=l,

則點Q的軌跡方程C：^-+x2=l.

(2)設(shè)N(x,y),則d2=(x,y),A/V=(-x,—1—j),

所以04.AN=—x2+y(-1-y)=~x2-y2-y,

又%+/=1,所以N=i—32,所以04?AN=—32—y—1=—i(y+I)2—i,

由橢圓的有界性可知一魚?卜?聲，

所以當(dāng)y=-1時，取最大值一

所以方?前的最大值為G

14.解：(1)因為///8=90。，則△ZOB為等腰直角三角形，所以有|。4|=|。尸2|,

即b=c.

所以口=魚0,e=-=^.

(2)由題意知Z(0,b),F2(l,0),設(shè)B(x,y),

由質(zhì);二2用，得?(久—1)=1，解得j=-1.

一(2y=—b,22

9@

代入會+%=1,得/+/=1.

即;？+:=1，解得層=3,所以/=°2—C2=2,所以橢圓的方程為W+==l.

4a'432

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

15.B[法一：依題意a=3,Z?=V6,c=7a？-匕2=店.如圖,不妨令尸《一舊,

2I2IQo

m=

0),F2(V3,0).設(shè)|尸￡尸機，I尸尸2尸〃，在△HPE中，cosZFiPF2=?

①

由橢圓的定義可得機+〃=2a=6,②

由①②，解得mn=—.

設(shè)。尸尸x.在△后。尸和△尸2。尸中，/FQP+/F20P=71,

*2222

由余弦定理得x+3—mx+3—n

2岳2岳'

222

得小=m+n—6_(m+n)—2mn—615

2~22

所以I。尸尸手.

法二：依題意0=3,Z?=V6,C=A/Q2—力2=8.如圖（圖同法一）,設(shè)點尸的坐標(biāo)

為(xo,yo),/FiPF?=a,則cosNFIPF2=COSa=q,

.aar4a

,