江蘇省南通市2023-2024學年高一年級下冊6月期末考試數(shù)學試題（含答案解析）

江蘇省南通市2023-2024學年高一下學期6月期末考試數(shù)學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若復數(shù)z=a+（/-l）i是純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.下列特征數(shù)中，刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)c.眾數(shù)D.方差

3.已知圓錐的底面半徑和高均為1,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.兀B.百兀C.InD.272兀

4.已知向量”(-2,4),S=(l,x),若￡〃兀則⑻=（）

A.—B.V5C.2出D.46

2

5.一個水果盤子里有2個蘋果和3個桃子，從盤中任選2個，則選中的水果品種相同的概

豕3)

A121

C--

,-5D.2

W\2

兀,

4--a---

6.^rAc3-3

.7

7117

;--C--

99D.9

7.某數(shù)學興趣小組測量學校旗桿的高度，在旗桿底部。的正東方向/處，測得旗桿頂端P

的仰角為60°,在/的南偏西30。方向上的8處，測得P的仰角為45。（。，A,8在同一水

平面內(nèi)），A,2兩點間的距離為20m,則旗桿的高度OP約為（行64，V3?1.7）（）

A.10mB.14mC.17mD.20m

0ciTiAqin「

8.在銳角三角形N5C中，任9=tan8+tanC,則半的取值范圍為（）

cosCcosA

D.(2,+oo)

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.記V/8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c.下列命題為真命題的是（）

A.若sin?/+sin?8=si/C,貝UV4BC為直角三角形

B.若asin/=6sin8,則VN8C為等腰三角形

C.^acosA=bcosB,貝UV4BC為等腰三角形

10.已知a,b,c為三條直線，a,。，/為三個平面.下列命題為真命題的是（）

A.若a_Lc,bVc,則。〃6B.若aPa,au。=b,則4〃方

C.若a_La,au￡,則a_L/?D.若a_L/,/3工y,ac/3=a,貝!|a_L/

11.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2）,2個白色

球（標號為3和4）,從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件/="兩個球顏色不同”，

8="兩個球標號的和為奇數(shù)"，C="兩個球標號都不小于2”，則（）

A.4與8互斥B.A與C相互獨立

C.P{AB）+P（AC）=P（A）D.P（4BC）=P（A）P⑻P?

三、填空題

12.樣本數(shù)據(jù)7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位數(shù)為.

13.已知向量■滿足忖=2,向量￡在■上的投影向量為;則￡/=.

14.以棱長為2的正方體的六個面為底面，分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個多面

體，已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為3.該多面體的體積為,其面數(shù)

為.

四、解答題

15.記VN8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,a2+c2=b2+^2ac.

⑴求2;

（2）若c=2y/2a，求tanC.

16.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面/3CD是菱形，尸/，平面/2C。，瓦尸分別是棱

8C,/尸的中點.

試卷第2頁，共4頁

p

/分……、-----加

(1)證明：PC1BD；

(2)證明：EP〃平面PCD.

17.某班學生日睡眠時間(單位：h)的頻率分布表如下:

分組[7,7.5)[7.5,8)[8,8.5)[8.5,9]

頻數(shù)4X20y

頻率ab0.40.12

(1)計算該班學生的平均日睡眠時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

⑵用比例分配的分層隨機抽樣方法，從該班日睡眠時間在［7,7.5)和［8.5,9］的學生中抽取5

人.再從抽取的5人中隨機抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠時間在［7,7.5)的概

率.

18.已知V48c的面積為9,點。在5c邊上，CD=2DB.

4

⑴若cos?C=《，AD=DC,

①證明：sinZ.ABD=2sinNBAD；

②求/C;

⑵若AB=BC,求/。的最小值.

19.如圖，等腰梯形N5CD為圓臺。。1的軸截面，E,尸分別為上下底面圓周上的點，且3,

⑴證明：BFHDE.

試卷第3頁，共4頁

(2)已知ND=2,BC=4,四棱錐C-BED9的體積為3.

①求三棱錐B-ADE的體積；

②當母線與下底面所成的角最小時，求二面角C-BA。的正弦值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程求解.

【詳解】根據(jù)題意，復數(shù)z=a+(/-l)i是純虛數(shù)，

所以。=0且/-IHO,解得a=0.

故選：A

2.D

【分析】利用數(shù)字特征的含義求解即可.

【詳解】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，

方差是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小的量，即刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度.

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)公式S側(cè)=互包可解.

【詳解】根據(jù)題意圓錐的母線長/=VFT12=VL代入5側(cè)=互力即可求得S側(cè)=nxlx

V2=V2TT.

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)向量共線定理，就可以求出x的值，然后用模長公式求模長.

【詳解】因為所以\應，BP(-2,4)=A(1,%)=>(-2,4)=(>1,x2)

2=4{4=—2_/

所以尸一2,所以6=(1，一為

所以日|=Jf+(_2)2=6,

故選：B.

5.C

【分析】運用古典概型可解.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)2個蘋果分別記為：1和2,3個桃子編號為A,B,C,

從盤中任選兩個，可得0,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C)

共10種情況.

答案第1頁，共12頁

選中的水果品種相同的選法有:（L2）,（A,B）,（A,C）,（B,C）,有4種.

所以選中的水果品種相同概率為：24=（2.

故選：C.

6.B

【分析】利用換元法，令x=；-a,y^2a-y,找到N與x的關(guān)系，然后利用誘導公式和

36

倍角公式進行求值即可.

7T

【詳解】令x

7T7T

令y=2a——,貝!])=--2x

62

所以sin[2a—=sin)=sin]]—2x)=cos2x=2cos2x-l=2xfyj-1

故選：B.

7.C

【分析】利用仰角、方位角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.

【詳解】

hhh

如圖，設(shè)。尸=〃米，貝!1。/=1工7=方米，OB=-玄="米.

tan60V3tan45

在△0/5中，由題意可得，2048=60°,

f^=Y+202-A2

由余弦定理可得cosNO/8=——^―-----------=cos60°=—>

24x202

V3

解得〃米.

故選：C.

答案第2頁，共12頁

8.A

TTQin

【分析】利用切化弦的思想以及兩角和的公式，等價變形已知條件，求得8=：,然后平

3cosA

消元，得至產(chǎn)j,再一次化簡為只有一個三角符號，再求出角/的范圍，即可求解.

cosA

0winA

【詳解】因為半g=tanB+tanC,所以

cosC

2sin/_sinB+sinC_sinBcosCyosBsinC_sin（B+C）sinA

cosCcos5cosCcos5cosCcoscosCcos5cosC

]7T

所以COS8=5,又三角形N2C為銳角三角形，所以8=三，

所以sinCsin（/+8）Sin^+f｝小必+?^”】.

-------=——---------=——---------=---------------------=—tan出——

cosAcosAcosAcosA22

八,兀

0<A<—0<A<-

2兀,兀

又因為三角形為銳角三角形，所以＜2n=>—<A<—

2K,7i62

0<C<-0N<-A<—

12[32

所以tan4￡

、3，+C°

所以----=-tan^+—e—,+°o,

cosA2213）

故選：A.

9.ABD

【分析】利用正弦定理逐項進行邊角互化即可判斷.

Jr

【詳解】對于A,若sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理得/+/=c?,所以C=萬，所以V/5C

為直角三角形，故A正確；

對于B,若asin/=bsinB,由正弦定理得/=〃，所以°=人所以V/2C為等腰三角形，

故B正確；

對于C,若acos/=6cosB,由正弦定理得$出/（：05/=51118（：058,BP—sin2^^—sin25,

22

TT

所以24=23或2/+28=兀，即/=5或N+8=—,貝iJVN3C是等腰或直角三角形，故C錯

2

誤；

r_i_十一#sin/cos3cosC上十升sin/cos5cosC

對于D,若----=^—=-----,由正弦定理得一二=—^=—所以

abcsinAsin8smC

答案第3頁，共12頁

jrjr

cos5=sin5,cosC=sinC,即B=-,C=-,所以VNBC為等腰直角三角形，故D正確；

44

故選：ABD.

10.BCD

【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可

得到結(jié)果.

【詳解】對于A選項，令aue,bua,若c_La,則一定有。_Lc,6_Lc,而在同:一平面

的a,b兩條直線可以平行，也可以相交，故A錯誤；

對于B選項，這是線面平行的性質(zhì)定理，故B正確；

對于C選項，這是面面垂直的判定定理，故C正確；

對于D項，設(shè)an1―/?（1/=/,過平面7內(nèi)一點4分別作機，AC11,如圖所

不，

因為a_Ly,aCl/=?/,4Buy,AB1m,所以

又因為aua,所以4B_La,同理：ACla,

又因為^8c/C=Z,AB>NCu/,

所以a_L7,故D項正確.

故選：BCD.

11.BC

【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析A,由相互獨立事件的定義分析B,由古典概型

的計算公式分析C、D,綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則

C=｛（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）｝,

/=｛（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）｝,8=｛（1,2）、（1,4）、（2,3）、（3,4）｝,

C=｛（2,3）、（2,4）、（3,4）｝,

答案第4頁，共12頁

/5=｛（1,4）、（2,3）｝,/C=｛（2,3）、（2,4）｝,8C=｛（2,3）、（3,4）｝,

45C=｛（2,3）｝,

47493￡

所以有尸（4）二不=1?⑻=%=§,P（C）=-

2

2尸（）￡（）

尸（48）g/c=|P/8C=g

63

對于A,/2=｛（1,4）、（2,3）｝,事件/、8可以同時發(fā)生，則/、8不互斥，A錯誤;

對于B,P（A）P（C）=P（AC）,/、C相互獨立，B正確;

對于C,P（AB）+P（AC）=P（A）,C正確；

對于D,尸（4B0WP（⑷尸（3）尸（C）,D錯誤.

故選：BC.

12.11

【分析】根據(jù)百分數(shù)的定義就可求得第40百分位數(shù).

【詳解】首先對數(shù)據(jù)從小到大進行排序：7,8,10,H,12,13,15,17,共有8個數(shù)據(jù)

8x40%=3.2,

所以這個樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四位，即11,

故答案為：11.

13.2

【分析】首先利用投影向量的定義求出向cos@,4=1,再利用數(shù)量積的定義求出即可.

【詳解】由已知向量Z在3上的投影向量為貝胴cos@?（=m，

又因為即W=2,所以Wcos@［）=l.

所以a/=|a||/）|cos^a,S^=（《cos卜,3））卡|=2

故答案為：2

14.1612

【分析】根據(jù)正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為￡，求出正四棱錐的高，從而求體積.

【詳解】根據(jù)題意，如圖，以棱長為2的正方體的一個面為底面的正四棱錐P-/8CD,

答案第5頁，共12頁

p

取底面中心。，CD中點E,

因為尸O_L平面N3CD,CDu平面/BCD,所以CD_LPO,

又CD工PE,75?？谑?=己尸。,尸￡1￡=平面「?！?

TT

所以CD_L平面尸0E,則/尸E0=—,

4

所以/z=PO=l,

從而該多面體的體積為憶=2x2x2+6x-x2x2x1=16,

3

考慮到四棱錐的側(cè)面夾角為n,其面數(shù)為4上x6黃=12.

故答案為：16；12.

兀

15.(1)^=-

⑵一2

【分析】(1)根據(jù)余弦定理得到cosB=包，得到2=?;

24

(2)設(shè)a=t,c=2而,代入&2+,2=/+缶c,求出b=百，再由余弦定理得到cosC,進

而得到正弦和正切.

【詳解】(1)a~+c2=b2+y/2ac=>a2+c2-b2=yflac<

故cos八02+c2"=?=正,

2ac2ac2

TT

因為Be(O,TT),所以B=a；

(2)設(shè).a=t,C=2y[^t,代入a2+c?=b2+eac中，

?+8/=/+1^.2"，故〃=5/,解得&=百，

由余弦定理得c°sC=胃產(chǎn)

2t■\[5t

答案第6頁，共12頁

則sinC=Jl-cos2c=-----,

5

2小

,,八sinC5一

故tanC=--=^^=-2.

cosCV5

16.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)連接/C,AD交于點。，由已知證明平面尸/C,又尸Cu平面尸/C,即

可證明助_LPC；

(2)連接OE,。/7,證明出平面ER9〃平面PCD,結(jié)合面面平行的性質(zhì)即可證明.

【詳解】(1)連接/C,2。交于點。，由四邊形是菱形得

因為尸/_1_平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以4_L8Z),

因為融_L3D,AC1BD,PAHAC=A,P/,/Cu平面PNC,

所以BD上平面尸/C,又PCu平面尸/C,

所以BD_LPC.

(2)連接OE,OP，

因為四邊形/BCD是菱形，所以點。為/C,2。中點，

又瓦尸分別是棱8C,/尸的中點，

即以FOIIPCQEIICD,

因為尸Cu平面PCD,尸。,平面PCD,

所以尸O〃平面尸CD,同理可得EO〃平面尸CD,

因為石。,尸。u平面EFO,且EOnFO=。，

所以平面EFOH平面PCD,又u平面EFO,

所以E尸〃平面尸CD.

答案第7頁，共12頁

17.(l)8.03h

嗚

【分析】(1)先求出"，尤/的值，再求平均數(shù)；

(2)由比例分配的分層隨機抽樣方法，分別從［7,7.5)和［8.5,9］兩組的學生中抽取2人，3

人，再由古典概率求解.

【詳解】(1)因為容量”=20+0.4=50,

所以>=50x0.12=6,尤=50-(4+20+6)=20,

所以該班學生的平均日睡眠時間為：X(7.25X4+7.75X20+8.25X20+8.75X6)

=(29+155+165+52.5)=8.03⑴)；

(2)由(1)知,該班日睡眠時間在［7,7.5)和［8.5,9］頻率比為2:3,

由比例分配的分層隨機抽樣方法，分別從［7,7.5)和［8.5,9］兩組的學生中抽取2人，3人，

記［7,7.5)中抽取的2人為。,方,［8.5,9］中抽取的3人為c,d,e,

設(shè)“2人中至少有1人的睡眠時間在［7,7.5)”為事件A,

則Q={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(6,C)QJ,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},

A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c)(b,d),(b,e},

7

所以A發(fā)生的概率尸(/)=而，

7

所以2人中至少有1人的日睡眠時間在［7,7.5)的概率為5.

18.(1)證明見解析，AC=4指

⑵4

ADBD

【分析】(1)①在中’由正弦定理可得從而得證;

sinABAD

2

②在△‘皿中‘利用三角函數(shù)恒等變換可得所以，⑺二邑〃=6,在"CO中，由

SACD=Lx4DxACxsina=叵AC2xM=6,可解問題；

"21617

答案第8頁，共12頁

(2)由亞=2方+」/，兩邊平方的赤2=3c2+Lb2+%ccos/A4C,再借助余弦定理

33999

412cosN5/C

和三角形面積公式,將上式表示為4。=,化簡利用基本

smABACcosABACsinZBAC

不等式求最值.

【詳解】(1)①因為CQ=2Q5,AD=DC,所以

ADBD

在中，由正弦定理可得

sinNABDsinABAD

ATJ

所以sin/ABD=----xsin/BAD=2sin/BAD；

BD

4

②設(shè)ABAC=9,貝!jcos6=1,

因為0<6〈兀，所以sin6=Jl^cos^二7

設(shè)/C=a,因為4。=。。，所以/C=/G4O=a,

在Z\ABD中，/B=TI—0—a,/BAD=0—cc,

由①知sinZABD=2sin/BAD,

所以sin(6+a)=2sin(6-a),

所以sinOcosa+cosOsina=2sin6cosa—2cosOsina,

整理得cosa=4sina,又因為sin?a+cos?a=l,0<cr<7i,

-P，.V174歷

所6F以sma=-----,cosa--------，

1717

一一2

因為CD=2DB,所以S&ACD=§S“Be=6,

在△48中，因為40=。。，AC=a,

所以ZC=24Dcosa,所以AD==姮4。，

2cosa8

則SAcn=LxZZ)x/Cxsina=x^^=6，

"D21617

所以ZC=4幾;

(2)記V4BC的內(nèi)角為4為C，所對邊為“c，

因為CD=2DB,

0________QQ____1

所以26=就+函="+|■怎(在一碼二萬+§就，

所以而2=為2+42++兒cos/8/C,

999

在V/3C中，因為/3=8C,

答案第9頁，共12頁

所以由余弦定理可得C?■2+b2-2bccosABAC,

整理得2ccosABAC=b,c=---------------

1cosABAC

1o

JcsinZBAC

因為S“BC9’所以小EE

2

36cosABAC2b?________9________

所以/=，C

sinZBAC4cos2/B/CcosABACsinABAC

所以

2

—4D2—_________4_________卜_12__c_o_s_A_B__A_C_—__4_+_1_2__c_o_s__A_B__A_C__

sinZBACcosZBACsinABACsinABACcosABAC

4sin2ABAC+16cos2ABAC.(smZBAC4cos

=-------------------------------------=4---------------1----------------->lo

sinABACcosABAC{cosABACsinNA4c)

當且僅當sin/比IC=歧,cos/B4C="時取等號，

55

所以40的最小值為4.

—、2—、1—、

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，由平面向量得NOM;/B+T/C,兩邊平方的

33

AD2=^c2+h2+^bccosZBAC,再借助余弦定理和三角形面積公式，將上式表示為

________4________12cosNA4C

AD=,利用三角函數(shù)恒等變換化簡，并利用基本不等式

sinNBACcosNBACsinZBAC

求最值.

19.（1）證明見解析

⑵①；；②顯.

23

【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理即可證明；

（2）①將圓臺。。1的母線延長交于一點尸，連接PE,延長尸E交底面于點。，連接8。，CQ,

可推得S.DF=ZSABOE,從而得七一/DE=W〃-BDF，求得結(jié)論；

②在等腰梯形/BCD中，過點。作邊BC的垂線。G,垂足為G,可證NDCG為母線與下底

面所成角，由tanNDCG=Z）G可知，要使NDCG最小，只要DG最小即可，進而求得。G的

最小值，即可求得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：在圓臺。。中，平面/。石〃平面8FC,

因為平面BEDF（~|平面ADE=DE,平面BEDFA平面BFC=BF,

所以BF//DE；

（2）①將圓臺OQ的母線延長交于一點尸，連接PE,延長PE交底面于點。，連接2。，CQ,

答案第10頁，共12頁

在圓臺中，平面/DE//平面瓦

因為平面PCQA平面=平面Peon平面5尸C=CQ,所以EO//C。,

又由（1）可知BF/IED,所以5尸〃C。，

又CF