高考數(shù)學一輪復習題型與專項訓練：橢圓（題型戰(zhàn)法）

第八章平面解析幾何

8.2.1橢圓（題型戰(zhàn)法）

知識梳理

一橢圓

1.定義及標準方程

定義：平面內與兩定點的距離的和等于常數(shù)（大于|片瑞|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定

點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距。符號表示：（|尸耳+|尸勾=2a（2a>陽閭））

,X2V2X2V2

方程：（1）焦點在x軸上：F"+R=1（tz>b>0）（2）焦點在y軸上：￥*^=1（a>b>0）

aDDci

2.簡單幾何性質

項目焦點在X軸上焦點在y軸上

y

T

圖形2^2)

目+M=1^￡

標準方程+=1

隹占

八'、八、、6(c,0),乙(―c,0)f；(0,c),F2(0-c)

A(。,0),(―。,0)A（。,a）,4（0,-。）

頂點

0(0一)12(0,一。03,0）,鳥（—瓦0）

軸長長軸長2a短軸長2b長軸長2a短軸長2b

離心率e=￡(O<e<l)e=￡(0<e<l)

aa

Q2=人2+02a2=Z72+c2

a,b,c關系

2b22b2

通徑

aa

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一橢圓的定義及辨析

典例1已知點4-4,0）,5（4,0）,動點尸滿足|即+附|=10,動點尸的軌跡是（）

A.橢圓B.圓C.直線D.線段

變式1-1.已知小巴是兩個定點，且閨閭=2。（。是正常數(shù)），動點尸滿足|所|+歸閭=/+1,則

動點尸的軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.橢圓或線段D.直線

22

變式12橢圓±+乙=1上點尸到上焦點的距離為4,則點尸到下焦點的距離為（）

1625

A.6B.3C.4D.2

變式1-3.點尸為橢圓4/+y2=16上一點，K，工為該橢圓的兩個焦點，若I尸耳1=3,則|9|=（）

A.13B.1C.7D.5

22

變式1-4.已知片，外是橢圓C:]+]=l的兩個焦點，點M在橢圓C上，|皿訃|M閭最大值為（）

A.2括B.6C.2D.4

題型戰(zhàn)法二橢圓中的焦點三角形

典例2.已知橢圓C：[+[=1的左右焦點分別為B、F2,過左焦點作直線交橢圓C于A、B

ZJIO

兩點，則三角形ABB的周長為（）

A.10B.15C.20D.25

22

變式2-1.已知橢圓L+匕=1的兩個焦點為耳，F(xiàn)2,過B的直線交橢圓于加，N兩點，若AF'MN

43

的周長為（）

A.2B.4C.6D.8

22

變式2-2.已知斗F?分別為橢圓j+《=l的左，右焦點，A為上頂點，貝IA片區(qū)的面積為（）

169

A.6B.15C.6A/7D.3幣

22

變式2-3.已知點片,歹2分別是橢圓2+（■=1的左、右焦點，點P在此橢圓上，々尸耳=60，則XPF目的

面積等于（）

A.B.3A/3C.6A/3D.9A/3

22

變式24已知橢圓］+'=1左、右焦點分別為不小點加在橢圓上，若1%1=4,則/用隼=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

題型戰(zhàn)法三橢圓上的點到焦點與定點距離的和、差最值

22

典例3.已知產(chǎn)是橢圓。：,+三=1的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點。坐標為（U）,則

1尸。1+1班1的最大值為（）

A.3B.5C.V41D.13

22

變式3-1.已知尸是橢圓C：L+匕=1的左焦點，尸為橢圓C上任意一點，點。坐標為（4,4）,則

1615

IPQI+IPRI的最大值為（）

A.回B.13C.3D.5

22

變式32已知橢圓C?河=1的右焦點為尸'尸為橢圓C上一動點,定點42,4）,則如TS

的最小值為（）

A.1B.-1C.717D.-歷

22

變式3-3.已知產(chǎn)是橢圓工+工=1的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內部一點M的坐標是（3,

6428

4）,則|PM+|尸網(wǎng)的最大值是（）

A.10B.11C.13D.21

變式3-4.已知橢圓1=4（3,0）,3（-2,1）,點M是橢圓上的一動點，則|八例+慳用的最小值

為（）

A.6-72B.10-72C.11一夜D.12-也

題型戰(zhàn)法四根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍

22

典例4.若方程\+/二=1表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)％的取值范圍為（）

25-kk-9

A.（9,25）B.（f,9）（25,+8）C.（17,25）D.（25,+8）

變式4-1.若方程皿2+y2=l表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,+<?）C.（0,+動D.（0,1）1（1,^））

22

變式4-2.如果方程>+'=1表示焦點在x軸上的橢圓，則加的取值范圍是（）

4-mm-3

777

A.3<m<—B.m>—C.—<m<4D.3<m<4

222

22

變式4-3.若j+l表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)根的取值范圍是（）.

m+26-m

A.（-2,6）B.（2,6）

C.S，6）D.（-2,2）

22

變式4-4.若方程1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)上的取值范圍為（）

6-kk-2

A.2<k<6B.2<k<4C.4<k<6D.2<左<4或4V左v6

題型戰(zhàn)法五橢圓的標準方程

典例5.中心在原點，焦點在坐標軸上,長軸和短軸之和為36,橢圓上的點到一個焦點的最短距

離為1,則橢圓的標準方程為（）

2222

A-―+方=1或赤+梟=1

C-IF+手之或手+1F=1

變式5-1.若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角

形,焦點到橢圓上點的最短距離為G，則這個橢圓的方程為（）

B.二+義=1或反+.=1

A.

129129912

”11

C.D-

912

變式5-2.已知橢圓的兩個焦點為￡（-6,0）,月（6,0）,時是橢圓上一點，若用片，"，|“耳卜|"閭=8,

則該橢圓的方程是（）

A.匚匚1R11

D.--------1-----=1C.--------1-------=--1D

722794-。自

22

變式5-3.以雙曲線工-3=1的焦點為橢圓C的長軸頂點,且過點的橢圓。的方程為（）

916

A,反+匚1”11

B.

2516259

CW"Il

D.

169925

22

變式5-4.設耳耳分別為橢圓c：=+與=l（a>6>0）左、右焦點，點〃（-3,岳）在橢圓C上，且

cib

W牲l=J片用，則橢圓c的標準方程為（）

A.工+匚1R"1

￡>.-----1-----=1

20152520

尤―-22

C1D.二+匕甘

36163620

題型戰(zhàn)法六橢圓的軌跡方程

典例6.在平面直角坐標系中，已知定點A（0,-女）、8（0,0）,直線與直線網(wǎng)的斜率之積為-2,

則動點P的軌跡方程為()

22

A.-+x2=1B.+%2=1(%。0)C.—x2=1D.5+爐=i("0)

2

,2,2

變式6-1.〃是橢圓與+：=1上的動點過點夕作橢圓長軸的垂線,垂足為點M,則9的中點的軌跡方

程為（)

4/,2B.工+工1

A.——+匕=1C"TD

9595920-

變式6-2.已知圓。：/+丁=4,從圓上任意一點“向x軸作垂線段MN,N為垂足，則線段的

中點尸的軌跡方程為（）

2Y2y2

A.—+/=1B./+匕=icD.土+工=1

44-aa416

變式6-3.已知ABC的周長是20,且頂點B的坐標為（0，T）,C的坐標為（。，4）,則頂點A的軌跡

方程是（）

22

A.--一匕=1(%。0)B.-+=l(x0)

20363620

2222

C.—+^=1(x^0)D.--^=1(x^0)

20363620

2

變式6-4.已知圓A/：（x+2）+y2=36,定點N（2,0）,A是圓M上的一動點，線段AN的垂直平分

線交肱1于點尸，則尸點的軌跡c的方程是（)

/十丁一1

A.——+—=1B.

4395

C.片+片=1d

D.

3459

題型戰(zhàn)法七橢圓的離心率

fv23

典例7.已知橢圓C:\+2=l（a>6>0）的左、右焦點分別為小尸2,P為橢圓C上一點，若

的周長為18,長半軸長為5,則橢圓C的離心率為（）.

A.-B.-C.1D.述

4535

22

變式7-1.已知點A,8分別是橢圓C:=+4=l（a>6>0）的右、上頂點，過橢圓C上一點P向x

軸作垂線，垂足恰好為左焦點月，且則橢圓C的離心率為（）

A.-B.1C.正D.正

4224

變式7-2.已知￡（-c,0）,工（c,0）是橢圓E的兩個焦點，尸是E上的一點，若圖.理=0,且％%=C?,

則E的離心率為（）

A./B.逅C.立D.好

5322

22

變式7-3.已知片，鳥是橢圓C*+a=l（a>6>。）的兩個焦點，尸為C上一點，且以尸居=60,

1M=3|P局，則C的離心率為（）

A.正B.叵C.也D.f

2643

22

變式7-4.已知橢圓C:=+3=l（a>b>0）的左頂點為A,上頂點為8,直線V=%與直線A8的交點

為P,若一O3P的面積是,一OAB面積的2倍（。為坐標原點），則該橢圓的離心率為（）

A.-B.1C.@D.逅

3333

題型戰(zhàn)法八橢圓的離心率的取值范圍

22

典例8.已知點A、8為橢圓E』+七=l(a>6>0)的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線陰，PB

ab

的斜率之積的范圍為則橢圓E的離心率的取值范圍是()

222

變式8-1.已知橢圓，+斗=l(a>b>0)的右焦點為尸9,0),上頂點為40,直線尤=幺上存在一

abc

點尸滿足("+K4>AP=0,則橢圓的離心率取值范圍為()

22

222

變式8-2.已知圓G：宏+方=l(a>b>0)與圓C2：x+y=b,若在橢圓G上存在點P,使得過點

P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓G的離心率的取值范圍是()

人唱B.H)C.例,［例

22

變式8-3.已知爪-。，0),鳥(G。)是橢圓C*+方=1(八8>0)的左、右焦點，若橢圓C上存在一點

P使得P%PB=c2,則橢圓C的離心率《的取值范圍是()

A.巴qB.性當A向一1當D.降11

(33_|［32)|_2J|_2

22

變式84已知橢圓會+方=l(a>b>0)的左右焦點分別為片(-。,0),F2(C,0),若橢圓上存在點尸，

使尸片=3P￡,則該橢圓離心率的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,JC.［；/)D.(1,1)

第八章平面解析幾何

8.2.1橢圓(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一橢圓

1.定義及標準方程

定義：平面內與兩定點耳心的距離的和等于常數(shù)(大于|片凡|)的點的軌跡叫做橢

圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距。符號表示：

(|P^|+|P^|=2fl(2a>|^|))

/V2x2y2

方程：(1)焦點在X軸上：—+=1(a>b>0)(2)焦點在y軸上：7+二=1

(a>b>0)

2.簡單幾何性質

項目焦點在X軸上焦點在y軸上

yy\

T

%

圖形

好+>2T

標準方程靛+記-1用+/-1

焦點《(c,0),￡(-c,0)6(0,c),工(0,—c)

A(。,0),A2(―。,0)

頂點

4(o"2(o「。B￡b,0),B2(—b,0)

軸長長軸長2a短軸長2b長軸長2a短軸長2b

離心率e=-(0<e<l)e=-(Q<e<V)

aa

222222

Q,瓦C關系a=b+ca=b+c

2b22b2

通徑aa

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一橢圓的定義及辨析

典例L已知點4-4,0),8(4,0),動點P滿足|網(wǎng)+|即=10,動點尸的軌跡是()

A.橢圓B.圓C.直線D.線段

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的定義即可得出答案.

【詳解】解：因為照+|冏=10>|明，所以動點P的軌跡是以為焦點的橢圓.

故選：A.

變式1-1.已知小也是兩個定點，且忸閶=2°（。是正常數(shù)），動點P滿足

歸國+歸局=/+i,則動點尸的軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.橢圓或線段D.直線

【答案】C

【分析】討論1+1與2a的大小關系，結合橢圓定義可知.

【詳解】解：因為/+L2。（當且僅當。=1時，等號成立），所以IPEI+IP&I..JEEI,

當"0且時，|尸￡|+|尸乙|>|招工I,此時動點尸的軌跡是橢圓；

當。=1時，\PFl\+\PF2\=\FtF2\,此時動點尸的軌跡是線段耳鳥.

故選：C.

22

變式1-2.橢圓3+2=1上點尸到上焦點的距離為4,則點P到下焦點的距離為（）

1625

A.6B.3C.4D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓方程求出。，再根據(jù)橢圓的定義計算可得；

22

【詳解】解：橢圓3+2=1，所以。2=25,即。=5,設上焦點為小下焦點為尸。,

1625

則|房|+歸閶=2"=10,因為閥|=4,所以|尸閭=6,即點尸到下焦點的距離為6；

故選：A

變式1-3.點P為橢圓4Y+>2=16上一點，憶乃為該橢圓的兩個焦點，若怛娟=3,

則|「耳|=（）

A.13B.1C.7D.5

【答案】D

【分析】寫出橢圓的標準方程，由橢圓的定義得到怛制+「閭=2〃=8,從而求出答

案.

22

【詳解】橢圓方程為：一+2=1，由橢圓定義可知：附|+|尸段=2a=8,

416

故陷1=5

故選：D

22

變式1-4.已知耳，B是橢圓C:'+q=l的兩個焦點，點M在橢圓C上，|M制

最大值為（）

A.273B.6C.2D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的定義可得|町|+|M局=4,結合基本不等式即可求得|犯段的

最大值.

【詳解】在橢圓C上

A|Aff；|+|Aff；|=2x2=4

???根據(jù)基本不等式可得|“聞+附馬=422鄧麗西，即|町卜|昨設4,當且僅當

|崢|=眼閭=2時取等號.

故選：D.

題型戰(zhàn)法二橢圓中的焦點三角形

典例2.已知橢圓C[+[=1的左右焦點分別為入、F2,過左焦點B,作直線交

2516

橢圓C于A、B兩點,則三角形ABF2的周長為（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可

【詳解】由題意橢圓的長軸為2。=2后=10,由橢圓定義知

AFl+FXB=2a,AF2+BF2=2a

lABF2=AB+AF2+BF2=AF1+FXB+AF2+BF2=4〃=20

故選：c

22

變式2-1.已知橢圓上+上=1的兩個焦點為月，F(xiàn),過心的直線交橢圓于“，N兩

432

點，若△￡座的周長為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】運用橢圓的定義進行求解即可.

22

【詳解】由±+±=lna=2.

43

因為N是橢圓的上的點，工、尸2是橢圓的焦點，

所以+炳=2a,NF\+NF[=2a,

因止匕△々MN^]^^z^jMFl+MN+NFl=MFl+MF2+NF2+NFl=2a+2a=4a=8,

故選：D

22

變式2-2.已知耳B分別為橢圓3+5=1的左，右焦點，A為上頂點，則A片瓦的

169

面積為（）

A.6B.15C.6幣D.3幣

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點坐標和點A的坐標，進而求出三角形的面積.

【詳解】由橢圓方程!=1得4（0,3）,川-"0）山（r,01.出用=2"

:=；閨用?M|=g2萬X3=3A/7.

故選：D.

22

變式2-3.已知點與工分別是橢圓.5=1的左、右焦點，點P在此橢圓上，

"PF]=60，則"弛的面積等于（）

A.石B.373C.673D.9m

【答案】B

【解析】根據(jù)橢圓標準方程，可得”,6,c,結合定義及余弦定理可求得|明|忖閭值,

由N片尸工=60及三角形面積公式即可求解.

22

【詳解】橢圓夫+《=1

259

則1=25,從=9,所以次=16,

則|尸局+|%|=2.=10,|%|=2°=8

由余弦定理可知cos4學=因;!

2附卜2

代入化簡可得|尸群|尸司=12,

則%g=；|尸耳卜|尸瑪-sin/GP&=；xl2x￥=3后，

故選：B.

【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質的簡單應用，正弦定理與余弦定理

的簡單應用，三角形面積公式的用法，屬于基礎題.

22

變式2-4.已知橢圓]+與=1左、右焦點分別為片,鳥，點“在橢圓上，若|町|=4,

貝1]/￡“居=()

A.30。B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓方程求得⑶閭=2近，由橢圓的定義，得+閭=2a=6,求

得|班|=4,所以閶=2,在△尸陷入中，再由余弦定理列出方程，求得

cosZFlMF2=-；,即可求解.

22_________

【詳解】解：由題意，橢圓方程三+4~=1,可得川=3,b=0,c=J，'=近,

所以焦點耳(-刀,0),6(萬,0),

又由橢圓的定義，可得|竭|+|咋|=2。=6,因為I叫1=4,所以|沙卜2,

在△片M鳥中，由余弦定理可得怪用,=附用2—2|M娟閭cos/甲鳴，

所以(2A/7)2=42+22-2x4x2cosNRMF?,解得cos/RM6=-1,

又由NEMge(0,180),所以/月M6=120.

故選:C.

題型戰(zhàn)法三橢圓上的點到焦點與定點距離的和、差最值

22

典例3.已知e是橢圓C：?+]=l的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點。坐標為

(1,1),則IPQI+IP臼的最大值為()

A.3B.5C.741D.13

【答案】B

【分析】由|尸汁+|尸尸|=|尸。|+2。-|「尸|＜依尸|+勿,結合圖形即得.

22

【詳解】因為橢圓C:J+J=1,

43

所以0=2,匕=6,°=1,F（-1,O）,

則橢圓的右焦點為〃（1，0）,

由橢圓的定義得：\PQ\+\PF\=\PQ\+2a-\PF'\<\QF'\+2a=5,

當點尸在點P'處，取等號，

所以|PQ|+|尸司的最大值為5,

故選：B.

22

變式3-1.已知F是橢圓C:J+[=l的左焦點，尸為橢圓C上任意一點，點。坐標

1615

為（4,4）,則IPQI+IPRI的最大值為（）

A.qB.13C.3D.5

【答案】B

【分析】利用橢圓的定義求解.

【詳解】如圖所示：

\PQ\+\PF|=|PQ|+2a-1PF'\<2a+\QF'\=8+^(4-l)4+42=13,

故選：B

22

變式3-2.已知橢圓C：L+工=1的右焦點為歹，尸為橢圓C上一動點，定點A(2,4),

43

則1PAlPF|的最小值為()

A.1B.-1C.V17D.-V17

【答案】A

【分析】設橢圓的左焦點為尸，得到I尸用=4-|PP［,得出|以|-|「用工「川+|依［-4,

結合圖象，得到當且僅當尸，A,F三點共線時，1尸川+歸b'I取得最小值，即可求解.

【詳解】設橢圓的左焦點為尸，則I尸川+|尸尸|=4,可得|尸尸=4-四［,

所以|B4Hp用49I+歸產(chǎn)'|-4,

如圖所示，當且僅當P,A,尸三點共線(點尸在線段AF上)時，

此時1PAi+歸產(chǎn)［取得最小值，

22___________

又由橢圓C:3+5=l,可得尸(TO)且42,4),所以.［="(2+1)2+16=5,所以

1PAi-IP尸I的最小值為1.

故選：A.

22

變式3-3.已知產(chǎn)是橢圓二+匕=1的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內部一點M

6428

的坐標是（3,4）,則|PM+|尸川的最大值是（）

A.10B.11C.13D.21

【答案】D

【分析】利用橢圓的定義轉化為P到M和到另一焦點的距離的差的最大值來解決.

【詳解】解：如圖，

22

由橢圓匕+匕=1,得/=64萬=28,

6428

c—y]a2—b2—J64-28=6,

得以-6,0）,則橢圓右焦點為尸（6,0）,

則|1+2a-|P尸[=16+（1PMi-|PF'\）

<16+”|=16+^/（3-6）2+（4-0）2=16+5=21.

當尸與射線加尸與橢圓的交點％重合時取到等號，

???|尸舷|+|尸尸|的最大值為21.

故選：D.

變式3-4.已知橢圓]+[=1,4（3,0）,3（-2,1）,點M是橢圓上的一動點，則+

的最小值為（）

A.6-忘B.10-72C.11-5/2D.12-夜

【答案】B

【分析】由題意知A為橢圓的右焦點，設左焦點為片，由橢圓的定義可得

H+|JWB|=10+|MB|-M，然后結合圖形可得答案.

【詳解】由題意知A為橢圓的右焦點，設左焦點為耳，由橢圓的定義知|河耳|+|他4|=10,

又耳仁忸耳I，

如圖，設直線2月交橢圓于M，兩點.當“為點跖時，司最小，最小值

為10-亞.

故選：B

【點睛】本題考查的是橢圓的定義的應用，屬于?？碱}型.

題型戰(zhàn)法四根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍

22

典例4.若方程—=+上=1表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)上的取值

25-kk-9

范圍為（）

A.（9,25）B.（F,9）U（25,+8）C.（17,25）D.（25,+8）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得k-9＞25-左＞0,解之即可得解.

22

【詳解】解：因為方程*7+'=1表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，

25-kk-9

所以左一9＞25-左＞0,解得17＜左＜25,

所以實數(shù)上的取值范圍為（17,25）.

故選：C.

變式4-1.若方程爾,+■/=1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（L+s）C.（0,+8）D.（0,l）L（l,+w）

【答案】B

【分析】化簡方程為橢圓的標準方程，列出不等式。＜!＜1,即可求解.

m

尤2

【詳解】將方程病+丁=1化為,

m

因為是焦點在y軸上的橢圓，可得解得

m

故選：B.

22

變式4-2.如果方程」+上=1表示焦點在無軸上的橢圓，則根的取值范圍是()

4-mm-3

777

A.3<m<—B.m>—C.—<m<4D.3<m<4

222

【答案】A

【分析】根據(jù)方程表示焦點在無軸上的橢圓建立不等式，并解出不等式即可

丫2v2

【詳解】由題意可知：方程>+-=1表示焦點在X軸上的橢圓

4-mm-3

4-m>0

則有：，m-3>0

m-3<4-m

7

解得：3<m<-

故選：A

變式4-3.若二+—=1表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)機的取值范圍是().

m+2o-m

A.(-2,6)B.(2,6)

C.(-℃,6)D.(-2,2)

【答案】D

【分析】以橢圓標準方程的性質去判斷即可解決.

m+2>0

【詳解】由題只需<6-機>。,解得-2<機<2,

m+2<6-m

故選：D

22

變式44若方程\+4=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)上的取值范圍為

6-kk-2

()

A.2<k<6B.2<Z<4C.4<k<6D.2〈左<4或4<后〈6

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由6-%>上-2>0求解.

22

【詳解】若方程+4=1表示焦點在尤軸上的橢圓，

6-kk-2

則6—左>左一2>。

解得：2<k<4,

故選：B.

題型戰(zhàn)法五橢圓的標準方程

典例5.中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸和短軸之和為36,橢圓上的點到一個

焦點的最短距離為1,則橢圓的標準方程為（）

A二+￡=1或二+二=1口爐y21-r%2y21

B'%+彳=1或赤+宗=i

■262102262

小爐y2,2

C正+亨=1或1+正=1百十運=1或透+F

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，列關于仇。的方程組求解，然后寫出焦點分別在軸上的標

準方程.

【詳解】設橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為2a,23,2c,

2a+2b=36〃=13

由題意，，a-c=\,得,b=5,

b2+c2=a2c=12

?橢圓焦點在x軸或y軸上，

2222

二橢圓的標準方程為表+點=1或1r+*=1.

故選：C

變式5-1.若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組

成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為6,則這個橢圓的方程為（）

A/VB.工+其=1或蘭+q=1

A.—+—=1

129129912

C尤—T

91239

【答案】B

【分析】首先根據(jù)已知條件得到。：6：c=2:括:1,a-c=g,即可得至h=2有"=3,

cS再分類討論即可得到答案.

【詳解】因為短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，

所以Q:b:c=2:百:1,設a=2k,b=,c=k,k>Q,

因為焦點到橢圓上點的最短距離為〃-c=百，

所以2左一左=百，即k=〃=2^/5,b=3,c—\/3.

當焦點在X軸時，橢圓的方程為弋+1=1,

129

當焦點在y軸時，橢圓的方程為《+W=i.

912

故選：B

變式5-2.已知橢圓的兩個焦點為4（-行,0）,工（行,0）,M是橢圓上一點，若叫，訝，

\MF\-\MF^,則該橢圓的方程是（）

r2V2r2V2r2V2尤22

A.'+匕=1B.—+^=1C.上+匕=1D.上+匕=1

72279449

【答案】C

【分析】首先設|岬|=帆，|崢卜〃，再利用焦點三角形是直角三角形，列式求m+〃，

即可求得。,6的值.

【詳解】設|苗居|=根，\MF^n,因為蛇口A/乙，|肛卜|加局=8,|百司=2君，所以

m2+n2-20,mn=8,所以(m+ri)2=m2+n2+=36,所以"7+,=2°=6,所以〃=3.因

__________22

為cS所以入七=2,所以橢圓的方程是小

故選：C

229

變式5-3.以雙曲線土-3=1的焦點為橢圓C的長軸頂點，且過點的橢圓

916

C的方程為（）

【答案】B

【分析】求出雙曲線的焦點坐標，得出橢圓的半長軸長，設橢圓標準方程為

22

下方=1,（a>“0）,代入已知點，求解即可得到橢圓的標準方程.

22

【詳解】解：雙曲線--3=1的焦點為（一5，°），（5,0），

916

22

設橢圓標準方程為'+方=l,（a>b>0）,則。=5,

「5近丫

99

又橢圓過點，解得〃=3,

22

所以橢圓的標準方程為工+匕=1.

259

故選：B.

22

變式54設居,尸?分別為橢圓C:2+a=l（a>b>0）左、右焦點，點炳在橢圓

C上，且阿瑪=：閨囿，則橢圓C的標準方程為（）

【答案】D

【分析】把〃點坐標代入四個選項，可排除三個錯誤選項，第四個選項可檢驗滿足

題中其他條件.

【詳解】把M-3,岳）代入各選項中方程，

2+”wl,—+—^1,2+竺/1,ABC均排除，

201525203616

-T+TT=1>D滿足，c=-\/36—20=4,7*^（—4,0）,

3620

|M底=4一3+4）2+（而。=4=；|耳目,滿足此條件.

故選：D.

題型戰(zhàn)法六橢圓的軌跡方程

典例6.在平面直角坐標系中，已知定點A（0,-