高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)重難點(diǎn)突破10利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問(wèn)題(四大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破10利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問(wèn)題目錄利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問(wèn)題常見技巧有：1、分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離2、直接限制法3、虛設(shè)零點(diǎn)4、必要性探路題型一：整數(shù)解問(wèn)題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離例1．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)恒成立，求整數(shù)a的最小值．例2．（2023·四川廣安·廣安二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.例3．（2023·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為整數(shù)，且恒成立，求的最大值.變式1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性，并比較與的大??；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)k的最大值．變式2．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若對(duì)任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請(qǐng)求出最大整數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由.（參考數(shù)據(jù)：）變式4．（2023·云南·校聯(lián)考三模）設(shè)函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是________.變式5．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有2個(gè)整數(shù)，則k的取值范圍是______．變式6．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，滿足f（x）＜0恒成立的最大整數(shù)m的值為___．變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若對(duì)，關(guān)于x的不等式恒成立，則整數(shù)m的最小值為___________.題型二：整數(shù)解問(wèn)題之直接限制法例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若為整數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.例6．（2023·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若m為整數(shù)，且關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：曲線在點(diǎn)處的切線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（Ⅲ）設(shè)整數(shù)使得對(duì)恒成立，求整數(shù)的最大值.題型三：整數(shù)解問(wèn)題之虛設(shè)零點(diǎn)例7．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，不等式在上恒成立，求整數(shù)的最大值.例8．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)若關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若為整數(shù)，且函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，求的最小值．變式10．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且存在整數(shù)使得恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若為整數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，，…）題型四：整數(shù)解問(wèn)題之必要性探路例10．（2023·重慶·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)于定義在上的函數(shù)，若存在，使得，則稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，已知為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且對(duì)任意滿足條件的成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)，．(1)若，求證：在上是增函數(shù)；(2)若存在，使得對(duì)于任意的成立，求最大的整數(shù)的值．例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整數(shù)a的最小值.變式12．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)），對(duì)，，求整數(shù)的最小值．

重難點(diǎn)突破10利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問(wèn)題目錄利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問(wèn)題常見技巧有：1、分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離2、直接限制法3、虛設(shè)零點(diǎn)4、必要性探路題型一：整數(shù)解問(wèn)題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離例1．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)恒成立，求整數(shù)a的最小值．【解析】（1）的定義域?yàn)?，（?。┊?dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，令，∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由，可得：，∵，∴原命題等價(jià)于對(duì)恒成立．令，∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞增．又，故存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上單調(diào)遞減．∴，∴時(shí)，恒成立．∴，又，∴a的最小整數(shù)值為2．例2．（2023·四川廣安·廣安二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則解得，故的取值范圍是（2），即，在時(shí)恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，不等式為，而時(shí)滿足題意，故整數(shù)的最小值為例3．（2023·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為整數(shù)，且恒成立，求的最大值.【解析】（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，解，即，得（舍去負(fù)值）；解，即，得，所以在上單調(diào)遞增；解，即，得，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由已知可得，恒成立，，即在上恒成立.令，則只需即可.，令，在上恒成立，所以單調(diào)遞增.且，，所以，，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.即，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.又，則.所以，令，，，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞減，則，又，，所以，所以.又為整數(shù)，，所以的最大值為0.變式1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性，并比較與的大?。?2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】（1）由題意知：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，（2）因?yàn)椋?，所以不等式可化為，因?yàn)?，所以，所以不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，令，則，令，則，因?yàn)椋詫?duì)任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，故，使得，因此?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，故，所以，故整數(shù)的最大值為.變式2．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若對(duì)任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.（2）函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（3），，令，求導(dǎo)得，由（2）知，在上單調(diào)遞增，，，因此存在唯一，使得，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，則，所以整數(shù)的最大值是3.變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請(qǐng)求出最大整數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由.（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）因?yàn)?，則由題意知方程在上有兩個(gè)不同的根.由得令，則，由解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，又，，所以，解得.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足題意，則不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.令則，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，且的圖象在上不間斷，所以存在使得即則，所以當(dāng)時(shí)，單凋遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則取到最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但由于故等號(hào)無(wú)法取到，則,所以即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以，所以存在實(shí)數(shù)k滿足題意，且最大整數(shù)k的值為1.變式4．（2023·云南·校聯(lián)考三模）設(shè)函數(shù)，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是________.【答案】【解析】由函數(shù)，設(shè)和因?yàn)榇嬖谖ㄒ徽麛?shù)，使得，所以存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，如圖所示，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也為最小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由直線恒經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斜率為（其中），所以且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：

變式5．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有2個(gè)整數(shù)，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】，不等式可化為，令，，由解得，由解得，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，令，則的圖象恒過(guò)，若解集恰有個(gè)整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖，則兩個(gè)整數(shù)為1和2，故2滿足不等式且3不滿足不等式，即且，解得，故答案為：

變式6．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，滿足f（x）＜0恒成立的最大整數(shù)m的值為___．【答案】3【解析】原不等式等價(jià)于，由與的圖象平移變換可知，若滿足題意，則只要小于與兩個(gè)函數(shù)相切時(shí)的值即可.設(shè)公切點(diǎn)為，則有，所以，所以，令，則，故單調(diào)遞增，而，故，使得，所以，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得，故最大整數(shù)m取3.故答案為：3.變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【答案】.【解析】設(shè)，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以，函數(shù)的最小值為.又，（1），直線恒過(guò)定點(diǎn)且斜率為，故且，解得.故答案為：.變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若對(duì)，關(guān)于x的不等式恒成立，則整數(shù)m的最小值為___________.【答案】【解析】設(shè)，，只需保證的圖象在的上方即可易知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且（否則當(dāng)無(wú)限趨近無(wú)窮大時(shí)，不能成立）則存在與在某個(gè)點(diǎn)處相切，設(shè)切點(diǎn)為可得：化簡(jiǎn)可得：設(shè)，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增可得：，可得：則，這是與在某個(gè)點(diǎn)處相切的范圍，當(dāng)比相切時(shí)大，則會(huì)在上方，即也滿足題意故的最小整數(shù)為故答案為：2題型二：整數(shù)解問(wèn)題之直接限制法例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】若，即，因?yàn)?，所以，即，記，故只需有且僅有兩個(gè)整數(shù)使得成立即可，所以，記，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，使得，即，在上，即，單調(diào)遞減，在上，即，單調(diào)遞增，所以有最小值，因?yàn)?，且，，而，若使有且僅有兩個(gè)整數(shù)，只需即可，解得.故答案為：例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若為整數(shù)，且關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）若時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.若，則二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，1離對(duì)稱軸近，2離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，所以.當(dāng)，即時(shí)，1離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，2離對(duì)稱軸近，.若，對(duì)稱軸在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上，.（2）因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，?所以,當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).又因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.當(dāng)時(shí)，,令得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)?又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,即關(guān)于的不等式恒成立，所以整數(shù)的最小值為2.例6．（2023·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若m為整數(shù)，且關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）由題意知，的定義域?yàn)?，?duì)求導(dǎo)，得當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)楹愠闪?，即，即恒成立，?所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上是遞增函數(shù).又因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式不能恒成立.當(dāng)時(shí)，.令得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因?yàn)椋?又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.所以整數(shù)的最小值為2.變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：曲線在點(diǎn)處的切線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（Ⅲ）設(shè)整數(shù)使得對(duì)恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，由，得，所以在上單調(diào)遞減.所以的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為.（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲線在點(diǎn)處的切線為，其中，假設(shè)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn).則有，即，整理得與矛盾，則曲線在點(diǎn)處的切線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（Ⅲ）對(duì)恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立.令，則.由，得，隨著變化，，的變化情況如下表所示：﹣0+極小值所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，令，則.當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí).由，得函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，故此時(shí)的最小值，不符合題意，所以整數(shù)的最大值是2.題型三：整數(shù)解問(wèn)題之虛設(shè)零點(diǎn)例7．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意的，不等式在上恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令得，，①?dāng)時(shí)，若，則；若，則，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，故在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)榍?，所以，于是原命題等價(jià)于不等式對(duì)任意的恒成立.從而對(duì)一切恒成立，令，則，∵，令，，則，∴在上單增，又，，∴使，即①，當(dāng)時(shí)，，即在遞減；當(dāng)時(shí)，，即在，遞增，∴，由①知，∴，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴即，∴，∴，因此整數(shù)的最大值是1.例8．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)若關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得：，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在處的切線方程為，則，解得，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以，.（2）由（1）知，，，令，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，于是存在，使得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，顯然函數(shù)在上的最小值為與中最小的，由得，因此，函數(shù)圖象對(duì)稱軸，顯然，以下比較到的距離大?。喝簦瑒t有，，，若，則，從而函數(shù)在上，當(dāng)時(shí)，有，即，顯然，綜上，函數(shù)在上的最小值在區(qū)間內(nèi)，對(duì)于任意恒成立，則有，所以整數(shù)的最大值為3.例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若為整數(shù)，且函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，，的關(guān)系如下表：0↗極大值↘時(shí)，的極大值為，無(wú)極小值．（2）由題意得，有4個(gè)零點(diǎn)，即方程在有4個(gè)不相等的實(shí)根．令，，令，可知要使有四個(gè)零點(diǎn)，則至少應(yīng)有三個(gè)零點(diǎn)，，至少有兩個(gè)零點(diǎn)，，其中，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)不合題意；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，；，，在上遞減，在上遞增，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，，解得此時(shí)，，，，，在存在一個(gè)零點(diǎn)，且下面證明當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，，令，；當(dāng)時(shí)，，在上遞增，在上遞增，，即，，，在存在一個(gè)零點(diǎn)，且，時(shí)，，，，在和單調(diào)遞減，和單調(diào)遞增，只需，在，，，各有一個(gè)零點(diǎn)其中，，令，；在上單調(diào)遞減，，，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，又∵是整數(shù)，∴的最小值是4．變式10．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且存在整數(shù)使得恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1），，若，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，若，則，所以函數(shù)在上遞增，若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在和上遞增，若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在和上遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在和上遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在和上遞增；（2）若，，，，令，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，即函數(shù)在上遞增，又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又，，，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，令，，則，，所以函數(shù)在上遞減，所以，又，，所以，又存在整數(shù)使得恒成立，所以整數(shù)的最大值為0.變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若為整數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，，…）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）.且函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，，，，令，其中，則，所以，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，單調(diào)遞增，，記，則，在區(qū)間上單調(diào)增遞，，，故當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，又，即時(shí)，，因?yàn)?，，記，由上可知在上單調(diào)遞增，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，，所以，，，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由，所以，令，，則，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，，故當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，，記，，，易知單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，不符合題意，的最小值為.題型四：整數(shù)解問(wèn)題之必要性探路例10．（2023·重慶·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)于定義在上的函數(shù)，若存在，使得，則稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，已知為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且對(duì)任意滿足條件的成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【解析】（1）依題意，方程在內(nèi)有根，且，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在，上都遞增，而，因此函數(shù)在、無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，，，則函數(shù)在，上都遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，