高考數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)專題1.4空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【八大題型】(原卷版+解析)

專題1.4空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)】 1【題型2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 2【題型3空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 3【題型4根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)】 3【題型5空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示】 4【題型6空間向量平行的坐標(biāo)表示】 6【題型7空間向量垂直的坐標(biāo)表示】 7【題型8空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示】 8【知識(shí)點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系】1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念①空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz.②相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．(2)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．【題型1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)】【例1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知A?1,1,3，則點(diǎn)A關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．1,1,?3 B．?1,?1,?3 C．1,1,3 D．?1,?1,3【變式1-1】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A(3,?1,0)，若向量AB=?1,6,?3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（A．(1,?6,3) B．(5,4,?3) C．(?1,6,?3) D．(2,5,?3)【變式1-2】（2023秋·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)A1,2,3，點(diǎn)B4,?1,0，且AC=2CB，則點(diǎn)A．3,0,1 B．2,1,2C．32,?3【變式1-3】（2023·高二單元測(cè)試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x,y,z)下列敘述中正確的是（

）①點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是P②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是P③點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是PA．①② B．①③ C．②④ D．②③【知識(shí)點(diǎn)2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】1．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【題型2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【例2】（2023春·全國(guó)·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量a=3,?4,2，b=2,?3,1，則A．7,?10,4 B．5,?7,3 C．1,?1,1 D．?1,2,0【變式2-1】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎蛄緼B=2,A．?2,?2,?2 B．（8，15，3）【變式2-2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量a=2,3,?4,b=A．0,3,?6 B．0,6,?20 C．0,6,?6 D．6,6,?6【變式2-3】（2022秋·河南信陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則EF的坐標(biāo)為（

）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【題型3空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【例3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若A(2,?4,?1)，B(?1,5,1)，C(3,?4,1)，則CA?CB=A．-11 B．3 C．4 D．15【變式3-1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若a=2,3,2,b=A．?1 B．0 C．1 D．2【變式3-2】（2023春·山東濟(jì)寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的上底面A．-1 B．0 C．1 D．2【變式3-3】（2022春·廣西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF?A1B1C1DA．(?12,C．(?12,1)【題型4根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)】【例4】（2022秋·廣東江門·高二?？计谥校゛=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，則實(shí)數(shù)A．2 B．3 C．4 D．5【變式4-1】（2022秋·廣西南寧·高二?？计谥校┮阎猘=?3,2,5，b=1,x,?1，且A．6 B．5 C．4 D．3【變式4-2】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二?？计谀┤粝蛄縜=(1,?1,λ),b=(1,?2,1),c=(1,1,1)，滿足條件(A．?1 B．?2 C．1 D．2【變式4-3】（2023秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A1,?1,2，B2,?1,1，C3,3,2，又點(diǎn)Px,7,?2在平面ABC內(nèi)，則A．11 B．9 C．1 D．?4【知識(shí)點(diǎn)3用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決相關(guān)的幾何問題】1．空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以求得．【題型5空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示】【例5】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=14CD，H為C1G【變式5-1】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求線段FG的長(zhǎng)度；(2)求CG?【變式5-2】（2023春·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距離；(2)求cosB【變式5-3】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，A0,2,3，B?(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，點(diǎn)P【題型6空間向量平行的坐標(biāo)表示】【例6】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB,b=【變式6-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四邊形，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式6-2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）已知a=1,4,?2，(1)若c=12(2)若ka+b【變式6-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD【題型7空間向量垂直的坐標(biāo)表示】【例7】（2023春·高二單元測(cè)試）已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2),B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB,b=AC.若m(a【變式7-1】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知a=3,2,?1，(1)求a?(2)當(dāng)a?b⊥【變式7-2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三點(diǎn)A2,0,?2，B1,?1,3，C3,0,1，設(shè)a(1)若c=3，且c∥BC(2)已知向量a+kb與b【變式7-3】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎猘=1,?4,5，b=?2,3,2，點(diǎn)(1)求2a(2)在線段AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得OE⊥b？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（【題型8空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示】【例8】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=14CD【變式8-1】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知向量a(1)求|a(2)求向量a與b夾角的余弦值.【變式8-2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間中的三點(diǎn)P(?2,0,2),M(?1,1,2),N(?3,0,4)，a=PM，(1)求△PMN的面積；(2)當(dāng)ka+b與k【變式8-3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）棱長(zhǎng)為2的正方體中，E、F分別是DD1、DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=13CD(1)求證：EF⊥B(2)求cos<(3)求FH的長(zhǎng)．

專題1.4空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)】 1【題型2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 3【題型3空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 4【題型4根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)】 6【題型5空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示】 8【題型6空間向量平行的坐標(biāo)表示】 11【題型7空間向量垂直的坐標(biāo)表示】 13【題型8空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示】 15【知識(shí)點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系】1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念①空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz.②相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．(2)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．【題型1求空間點(diǎn)的坐標(biāo)】【例1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知A?1,1,3，則點(diǎn)A關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

A．1,1,?3 B．?1,?1,?3 C．1,1,3 D．?1,?1,3【解題思路】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的特征可得答案.【解答過程】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得A?1,1,3關(guān)于yOz故選：C.【變式1-1】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A(3,?1,0)，若向量AB=?1,6,?3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（A．(1,?6,3) B．(5,4,?3) C．(?1,6,?3) D．(2,5,?3)【解題思路】設(shè)Bx,y,z，表達(dá)出AB=x?3,y+1,z，從而列出方程組，求出點(diǎn)B【解答過程】設(shè)Bx,y,z，則AB因?yàn)锳B=?1,6,?3，所以x?3=?1,y+1=6,z=?3，解得：故點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,5,?3.故選：D.【變式1-2】（2023秋·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)A1,2,3，點(diǎn)B4,?1,0，且AC=2CB，則點(diǎn)A．3,0,1 B．2,1,2C．32,?3【解題思路】設(shè)Cx,y,z，根據(jù)AC【解答過程】設(shè)Cx,y,z，則AC因?yàn)锳C=2CB，所以x?1=24?x故點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,0,1.故選:A.【變式1-3】（2023·高二單元測(cè)試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x,y,z)下列敘述中正確的是（

）①點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是P②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是P③點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是PA．①② B．①③ C．②④ D．②③【解題思路】根據(jù)空間坐標(biāo)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷即可．【解答過程】點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，?y，?z)，故①錯(cuò)誤；點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(?x，y，z)，則②正確；點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(?x，y，?z)，則③錯(cuò)誤；點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(?x，?y，?z)，故④正確，故正確的命題的序號(hào)是②④，故選：C.【知識(shí)點(diǎn)2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】1．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【題型2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【例2】（2023春·全國(guó)·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量a=3,?4,2，b=2,?3,1，則A．7,?10,4 B．5,?7,3 C．1,?1,1 D．?1,2,0【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出答案.【解答過程】a?2故選：D.【變式2-1】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎蛄緼B=2,A．?2,?2,?2 B．（8，15，3）【解題思路】利用向量減法的法則及坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【解答過程】因?yàn)锳B=所以BC=故選：D.【變式2-2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量a=2,3,?4,b=A．0,3,?6 B．0,6,?20 C．0,6,?6 D．6,6,?6【解題思路】推導(dǎo)出c=4【解答過程】∵向量a=∴c=4故選:B.【變式2-3】（2022秋·河南信陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則EF的坐標(biāo)為（

）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【解題思路】根據(jù)空間向量的加法減法運(yùn)算及三角形中線的性質(zhì)求解.【解答過程】如圖，取AC中點(diǎn)M，連接ME,MF,如圖，則ME=12而EF=故選：B.【題型3空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【例3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若A(2,?4,?1)，B(?1,5,1)，C(3,?4,1)，則CA?CB=A．-11 B．3 C．4 D．15【解題思路】先求出CA，【解答過程】由已知，CA=(2?3,?4?(?4),?1?1)=(?1,0,?2)CB=(?1?3,5?(?4),1?1)=(?4,9,0)∴CA?故選：C．【變式3-1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若a=2,3,2,b=A．?1 B．0 C．1 D．2【解題思路】直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得.【解答過程】因?yàn)閍=所以a?故選：C.【變式3-2】（2023春·山東濟(jì)寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的上底面A．-1 B．0 C．1 D．2【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出AO【解答過程】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A1,0,0AOA故選：D.【變式3-3】（2022春·廣西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF?A1B1C1DA．(?12,C．(?12,1)【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y,z)，由正六邊形的性質(zhì)可知?1【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且AB=BC=CD=DE=EF=AF=1，由正六邊形的性質(zhì)可得，A(0,0,0),B(1,0,0),F(?1設(shè)P(x,y,z)，其中?1所以AB=(1,0,0)，所以AB?AP=x，所以AB故選：A.【題型4根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)】【例4】（2022秋·廣東江門·高二?？计谥校゛=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，則實(shí)數(shù)A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算和向量坐標(biāo)的相等即可求解.【解答過程】因?yàn)閏=2所以c=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),所以λ=4，故選：C.【變式4-1】（2022秋·廣西南寧·高二校考期中）已知a=?3,2,5，b=1,x,?1，且A．6 B．5 C．4 D．3【解題思路】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【解答過程】解：因?yàn)閍=?3,2,5，b=所以a?解得x=5故選：B.【變式4-2】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二校考期末）若向量a=(1,?1,λ),b=(1,?2,1),c=(1,1,1)，滿足條件(A．?1 B．?2 C．1 D．2【解題思路】首先通過向量的減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得(c【解答過程】根據(jù)向量的運(yùn)算可得：(c所以(=?4+1?λ=?3?λ=?1，所以λ=?2，故選：B.【變式4-3】（2023秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A1,?1,2，B2,?1,1，C3,3,2，又點(diǎn)Px,7,?2在平面ABC內(nèi)，則A．11 B．9 C．1 D．?4【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求出向量AP、【解答過程】由題意，得A(1，?1，2)，B(2，?1，1)，C(3，3，2)，P(x，7，?2)，則AP=(x?1，8，?4)，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)，并設(shè)未知數(shù)a，b，則AP=a(x?1，8，?4)=a(1，0，?1)+b(2，4，0)，即x?1=a+2b8=0+4b?4=?a+0，解得故選：B.【知識(shí)點(diǎn)3用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決相關(guān)的幾何問題】1．空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以求得．【題型5空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示】【例5】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=14CD，H為C1G【解題思路】利用空間向量法求向量的模長(zhǎng)得到結(jié)果.【解答過程】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有D0,0,0E0,0,12，F(xiàn)12,12,0，C0,1,0∴FH【變式5-1】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求線段FG的長(zhǎng)度；(2)求CG?【解題思路】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出FG即可；（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【解答過程】（1）如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則F1,4,0,G0,2,4所以FG=即線段FG的長(zhǎng)度為21；（2）C2,0,2則CG=所以CG?【變式5-2】（2023春·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距離；(2)求cosB【解題思路】（1）以點(diǎn)C作為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CC1所在直線分別為（2）利用向量夾角運(yùn)算公式計(jì)算cosB【解答過程】（1）如圖，以C為原點(diǎn)，分別以CA,CB,CC1為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，依題意得B0,1,0，N1,0,1，M(0,12∴MN=所以M,N的距離為32（2）依題意得A11,0,2，B0,1,0，C∴BA1=BA1?CB∴cosB【變式5-3】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，A0,2,3，B?(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，點(diǎn)P【解題思路】（1）寫出AB,AC的坐標(biāo)，求出模長(zhǎng)和夾角，用平行四邊形的面積公式即可求解；（2）將DP分解到【解答過程】（1）∵∴AB=2cosAB,AC∴sin∴S（2）∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴AP∴DP∴DP2==∴DP【題型6空間向量平行的坐標(biāo)表示】【例6】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB,b=【解題思路】求出a,【解答過程】三點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，則a=ka+b則有k?14=k所以實(shí)數(shù)k的值是?1【變式6-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四邊形，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解題思路】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD→【解答過程】設(shè)D(x,y,z)，因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以AD→即(x?3,y?4,z)=(?2,?2,0)，解得x=1,y=2,z=0，故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2,0).【變式6-2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）已知a=1,4,?2，(1)若c=12(2)若ka+b【解題思路】(1)利用空間向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解；(2)根據(jù)兩向量的共線定理，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解.【解答過程】（1）由已知可得c=12∴cos<（2）ka+b∵ka+b∥a∴k?2=7m，4k+2=?2m，?2k+4=?14m，聯(lián)立解得k=?1【變式6-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，求出A,E,B,B1,D1的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a，1)和Q的坐標(biāo)為(b【解答過程】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1的方向分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(1，0，0)，E(0,0,12)B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a，1)，因?yàn)?B1P＝PD1，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(34,34,1).由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b所以PQ?AE＝0，所以(b?34,b?34所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(14,14,0)，因?yàn)樗驭?【題型7空間向量垂直的坐標(biāo)表示】【例7】（2023春·高二單元測(cè)試）已知空間三點(diǎn)A(?2,0,2),B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB,b=AC.若m(a【解題思路】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示可求出結(jié)果.【解答過程】a=AB=(1,1,0)a+b=(0,1,2)，am(a+b所以(2n,m+n,2m?2n)?(3,2,?2)=0，所以6n+2(m+n)?2(2m?2n)=0，即m=6n(m≠0).【變式7-1】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知a=3,2,?1，(1)求a?(2)當(dāng)a?b⊥【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算，先求出a?b，（2）根據(jù)空間向量的運(yùn)算，先求出a?b，a+k【解答過程】（1）因?yàn)閍=3,2,?1，所以a?b=(1,1,?3)所以a（2）因?yàn)閍=3,2,?1，所以a+kb=(3,2,?1)+k(2,1,2)=(3+2k,2+k,?1+2k)因?yàn)閍?b⊥所以3+2k+2+k?3(2k?1)=0，解得k=8【變式7-2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三點(diǎn)A2,0,?2，B1,?1,3，C3,0,1，設(shè)a(1)若c=3，且c∥BC(2)已知向量a+kb與b【解題思路】（1）由c∥BC可得存在非零實(shí)數(shù)m，使得c=（2）根據(jù)向量垂直的條件即可解答.【解答過程】（1）∵A2,0,?2，B1,?1,3，∴BC=又c=3，且c∴存在非零實(shí)數(shù)m，使得c=∴c=∴m=±1∴c=2,1,?2或（2）a=AB=∴a+∵向量a+kb∴a+kb故k=?【變式7-3】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎猘=1,?4,5，b=?2,3,2，點(diǎn)(1)求2a(2)在線段AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得O