2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第2課時(shí) 兩角和與差的正切公式（教師用書）教案 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.2第2課時(shí)兩角和與差的正切公式（教師用書）教案新人教A版必修4授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間課程基本信息1.課程名稱：兩角和與差的正切公式

2.教學(xué)年級和班級：高中數(shù)學(xué)新人教A版必修4第3章3.1.2節(jié)

3.授課時(shí)間：2024-2025學(xué)年第一學(xué)期第8周星期三第2課時(shí)

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

二、教學(xué)目標(biāo)

1.理解兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程。

2.掌握兩角和與差的正切公式的應(yīng)用方法。

3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力。

三、教學(xué)內(nèi)容

1.回顧上一節(jié)課所學(xué)的兩角和與差的正弦、余弦公式。

2.引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理得出兩角和與差的正切公式。

3.通過例題講解，讓學(xué)生掌握兩角和與差的正切公式的應(yīng)用方法。

4.課堂練習(xí)，鞏固所學(xué)知識。

四、教學(xué)過程

1.導(dǎo)入：通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

2.新課講解：講解兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生理解并掌握公式。

3.例題講解：通過典型例題，講解兩角和與差的正切公式的應(yīng)用方法。

4.課堂練習(xí)：布置相關(guān)練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識。

5.總結(jié)：對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)知識點(diǎn)。

六、教學(xué)評價(jià)

1.課堂參與度：觀察學(xué)生在課堂上的發(fā)言和提問情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2.課堂練習(xí)：評價(jià)學(xué)生在課堂練習(xí)中的表現(xiàn)，檢查學(xué)生對知識的掌握程度。

3.課后作業(yè)：布置課后作業(yè)，檢查學(xué)生對課堂所學(xué)知識的鞏固情況。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：通過推導(dǎo)兩角和與差的正切公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使其能夠運(yùn)用類比推理方法，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律。

2.數(shù)學(xué)建模：通過解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的能力，提高其解決實(shí)際問題的能力。

3.直觀想象：通過圖形和實(shí)例，幫助學(xué)生建立直觀想象，使其能夠形象地理解和應(yīng)用兩角和與差的正切公式。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過課堂練習(xí)和課后作業(yè)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使其能夠熟練運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行計(jì)算。

5.數(shù)據(jù)分析：通過分析例題和練習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的能力，使其能夠從數(shù)據(jù)中提取有效信息，解決實(shí)際問題。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)知識：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了以下知識：

-初中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識；

-高中數(shù)學(xué)必修3中的三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；

-高中數(shù)學(xué)必修4第3章3.1.1節(jié)中的兩角和與差的正弦、余弦公式。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

-學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣：對于數(shù)學(xué)學(xué)科有一定興趣，尤其是對三角函數(shù)相關(guān)知識感興趣的學(xué)生；

-學(xué)生的學(xué)習(xí)能力：學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；

-學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生習(xí)慣通過公式推導(dǎo)和實(shí)例分析來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

-理解兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程，可能會(huì)對學(xué)生造成一定的困難；

-運(yùn)用兩角和與差的正切公式解決實(shí)際問題，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力和分析能力；

-學(xué)生可能對一些特殊的三角函數(shù)值計(jì)算不熟練，需要加強(qiáng)練習(xí)。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、計(jì)算機(jī)、白板、黑板、粉筆、教案及教學(xué)課件。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)、數(shù)學(xué)學(xué)科論壇或?qū)W習(xí)交流群。

3.信息化資源：教學(xué)課件、動(dòng)畫演示、數(shù)學(xué)題庫、在線解答平臺(tái)。

4.教學(xué)手段：講解、示范、互動(dòng)提問、小組討論、練習(xí)、反饋與評價(jià)。教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：提供本節(jié)課的教學(xué)課件和預(yù)習(xí)問題，要求學(xué)生預(yù)習(xí)兩角和與差的正切公式相關(guān)內(nèi)容。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題：提出問題如“兩角和與差的正切公式是如何推導(dǎo)的？”、“如何運(yùn)用正切公式解決實(shí)際問題？”等。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過在線平臺(tái)收集學(xué)生的預(yù)習(xí)筆記和問題，了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)任務(wù)要求，閱讀教學(xué)課件，理解兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生針對提出的問題，進(jìn)行獨(dú)立思考，嘗試解答。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記和問題提交至在線平臺(tái)，與教師和其他同學(xué)分享。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生通過自主閱讀和思考，培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

-作用與目的：幫助學(xué)生提前了解本節(jié)課內(nèi)容，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過一個(gè)實(shí)際問題，引出兩角和與差的正切公式的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識點(diǎn)：詳細(xì)講解兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程，并結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生分組探討如何運(yùn)用正切公式解決實(shí)際問題。

-解答疑問：針對學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動(dòng)：學(xué)生分組討論，嘗試運(yùn)用正切公式解決實(shí)際問題。

-提問與討論：學(xué)生針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程。

-實(shí)踐活動(dòng)法：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握正切公式的應(yīng)用。

-合作學(xué)習(xí)法：通過小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識和溝通能力。

-作用與目的：幫助學(xué)生深入理解兩角和與差的正切公式，掌握其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置相關(guān)的課后作業(yè)，鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：推薦一些與兩角和與差的正切公式相關(guān)的拓展閱讀材料，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改學(xué)生的作業(yè)，給予反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生通過自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)能力。

-反思總結(jié)法：學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，促進(jìn)自我提升。

-作用與目的：鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的兩角和與差的正切公式知識點(diǎn)，通過拓展學(xué)習(xí)拓寬知識視野，通過反思總結(jié)幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)不足并提出改進(jìn)建議。學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識掌握：學(xué)生能夠熟練掌握兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程，并能夠運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。

2.邏輯推理能力：學(xué)生在推導(dǎo)兩角和與差的正切公式過程中，培養(yǎng)了邏輯推理能力，能夠運(yùn)用類比推理方法，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律。

3.數(shù)學(xué)建模能力：學(xué)生能夠運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，解決實(shí)際問題，提高解決實(shí)際問題的能力。

4.直觀想象能力：學(xué)生通過圖形和實(shí)例，建立了直觀想象，能夠形象地理解和應(yīng)用兩角和與差的正切公式。

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力：學(xué)生通過課堂練習(xí)和課后作業(yè)，提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能夠熟練運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行計(jì)算。

6.數(shù)據(jù)分析能力：學(xué)生能夠運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取有效信息，解決實(shí)際問題。

7.自主學(xué)習(xí)能力：學(xué)生通過課前自主探索和課后拓展應(yīng)用，培養(yǎng)了自己的自主學(xué)習(xí)能力，能夠獨(dú)立閱讀和思考數(shù)學(xué)問題。

8.團(tuán)隊(duì)合作能力：學(xué)生在小組討論和合作學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)合作能力，能夠與同學(xué)共同解決問題。

9.溝通表達(dá)能力：學(xué)生在提問與討論過程中，鍛煉了溝通表達(dá)能力，能夠清晰地表達(dá)自己的思路和觀點(diǎn)。

10.反思總結(jié)能力：學(xué)生通過反思總結(jié)自己的學(xué)習(xí)過程和成果，發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)了自己的學(xué)習(xí)提升。教學(xué)反思與總結(jié)在這節(jié)課中，我主要教授了兩角和與差的正切公式，通過類比推理引導(dǎo)學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)過程，并通過實(shí)例講解和小組討論，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用這些公式解決實(shí)際問題。從學(xué)生的反饋和作業(yè)情況來看，他們似乎對公式的理解和應(yīng)用有了一定的掌握，但在教學(xué)過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題，需要進(jìn)行反思和改進(jìn)。

首先，我意識到在講解公式推導(dǎo)過程時(shí)，可能沒有給予學(xué)生足夠的時(shí)間去消化和理解，導(dǎo)致他們在后續(xù)的練習(xí)中出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤。因此，在今后的教學(xué)中，我需要更加注重學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋，及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，確保他們能夠充分理解每一個(gè)知識點(diǎn)。

其次，我在組織小組討論時(shí)，可能沒有很好地引導(dǎo)他們進(jìn)行深入的思考和交流。在未來的課堂活動(dòng)中，我需要更加明確討論的目標(biāo)和問題，鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)表自己的觀點(diǎn)，并學(xué)會(huì)傾聽和尊重他人的意見。

此外，我也發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過程中遇到了困難，他們對于如何運(yùn)用已有知識去推導(dǎo)新的公式感到困惑。針對這一點(diǎn)，我計(jì)劃在今后的教學(xué)中加強(qiáng)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，教給他們?nèi)绾瓮ㄟ^自主學(xué)習(xí)和合作交流來解決問題。課后作業(yè)1.求解兩角和的正切公式：

已知兩角α和β，求解tan(α+β)的值。

解答：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

2.求解兩角差的正切公式：

已知兩角α和β，求解tan(α-β)的值。

解答：

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

3.應(yīng)用正切公式求解實(shí)際問題：

一艘船從A地出發(fā)，順流而行，速度為4km/h，水流速度為3km/h，求解船的實(shí)際速度。

解答：

實(shí)際速度=船速+水流速度=4km/h+3km/h=7km/h

4.應(yīng)用正切公式求解實(shí)際問題：

一個(gè)直角三角形，其中一個(gè)銳角為30°，對邊為10cm，求解鄰邊和對邊的長度。

解答：

鄰邊=對邊*tan30°=10cm*(1/√3)=10cm/√3≈3.33cm

對邊=鄰邊/tan30°=10cm/(1/√3)=10cm*√3≈17.32cm

5.應(yīng)用正切公式求解實(shí)際問題：

一個(gè)直角三角形，其中一個(gè)銳角為60°，鄰邊為10cm，求解對邊的長度。

解答：

對邊=鄰邊*tan60°=10cm*(√3)=10cm*3≈30cm課堂-提問：通過提問學(xué)生，了解他們對兩角和與差的正切公式的理解和掌握情況。例如，可以問學(xué)生：“你能解釋兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程嗎？”、“你能運(yùn)用正切公式解決實(shí)際問題嗎？”等。

-觀察：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度，了解他們對課堂內(nèi)容的興趣和理解程度。例如，可以觀察學(xué)生在小組討論中的參與情況和提問情況。

-測試：通過課堂小測試，了解學(xué)生對兩角和與差的正切公式的掌握程度。例如，可以設(shè)計(jì)一些選擇題和計(jì)算題，讓學(xué)生在課堂上完成。

2.作業(yè)評價(jià)：

-批改：認(rèn)真批改學(xué)生的課后作業(yè)，檢查他們對兩角和與差的正切公式的理解和應(yīng)用情況。例如，可以檢查學(xué)生是否正確應(yīng)用公式解決實(shí)際問題，以及計(jì)算是否準(zhǔn)確。

-點(diǎn)評：對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評，及時(shí)反饋他們的學(xué)習(xí)效果。例如，可以指出學(xué)生作業(yè)中的優(yōu)點(diǎn)和不足，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

-鼓勵(lì)：鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)努力，提高他們對兩角和與差的正切公式的掌握程度。例如，可以告訴學(xué)生：“你的作業(yè)做得很好，繼續(xù)努力，你一定會(huì)做得更好！”板書設(shè)計(jì)-兩角和：tan(