蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊6.1.1空間向量的線性運算【教學(xué)課件】

6.1.1空間向量的線性運算第6章§6.1

空間向量及其運算1.了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示.2.掌握空間向量的線性運算(加法、減法和數(shù)乘)及其運算律.3.掌握共線向量定理，會用共線向量定理解決相關(guān)問題.學(xué)習(xí)目標國慶期間，某游客從上海世博園(O)游覽結(jié)束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠(B)游玩，如圖1，游客的實際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來表示這個過程？導(dǎo)語如果游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，如圖2，那它實際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢？隨堂演練課時對點練一、空間向量的概念二、空間向量及其線性運算三、共線向量(或平行向量)內(nèi)容索引一、空間向量的概念1.定義：在空間，把既有

又有

的量，叫作空間向量.2.幾何表示法：空間向量用

表示.3.幾類特殊的空間向量知識梳理大小方向有向線段名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為0的向量稱為

，記作0單位向量

的向量，叫作單位向量相反向量與向量a長度

，方向

的向量，叫作a的相反向量，記作－a零向量長度等于1個單位長度相等相反注意點：(1)平面向量是一種特殊的空間向量.(2)兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同.(3)向量不能比較大小.相同的向量所有

相等且

的向量都看作相同的向量，向量a與b是相同的向量，也稱a與b

.長度方向相同相等例1

(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是A.單位向量都相等B.若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反D.相同的向量其方向必相同√解析

A中，單位向量長度相等，方向不確定；B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；C中，向量不能比較大小.(2)(多選)下列命題為真命題的是A.若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝bC.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝pD.任一向量與它的相反向量不相等√√解析

A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命題，零向量的相反向量仍是零向量.反思感悟

空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，二、空間向量及其線性運算問題1

聯(lián)想平面向量的線性運算，思考空間向量的線性運算包括哪些？其相應(yīng)的運算法則在空間向量中是否依然適用？提示

易知空間向量的線性運算包括向量的加法、減法、數(shù)乘運算；線性運算法則也是一樣，如：加法滿足三角形法則和平行四邊形法則；減法是加法的逆運算；數(shù)乘運算，分λ>0，λ<0和λ＝0三種情況.問題2

你能借助向量加法的幾何意義證明等式：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)嗎？提示

如圖，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).知識梳理a＋ca－b－cλa2.空間向量的加法和數(shù)乘運算滿足如下運算律：(1)a＋b＝

；(2)(a＋b)＋c＝

；(3)λ(a＋b)＝

(λ∈R).b＋aa＋(b＋c)λa＋λb例2

如圖，已知長方體ABCD－A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量.解結(jié)合加法運算，得反思感悟(1)向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加法、減法運算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的運算時，務(wù)必要注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點.三、共線向量(或平行向量)問題3

平面向量共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？提示

對任意兩個平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使b＝λa，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量.知識梳理1.定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相

或

，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行，記作

，規(guī)定

與任意向量共線.2.共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使

.平行重合a∥b零向量b＝λa例3

如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：CE∥MN.證明方法一∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，又∵直線CE與MN不重合，∴CE∥MN.方法二∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，又∵直線CE與MN不重合，∴CE∥MN.反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用(1)判斷或證明兩向量a，b(a≠0)共線，就是尋找實數(shù)λ，使b＝λa成立，為此常結(jié)合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.跟蹤訓(xùn)練3

(1)若空間非零向量e1，e2不共線，則使2ke1－e2與e1＋2(k＋1)e2共線的k的值為________.∴C1，O，M三點共線.1.知識清單：(1)空間向量的概念.(2)空間向量的線性運算.(3)共線向量(或平行向量).2.方法歸納：類比、三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點共線.課堂小結(jié)隨堂演練A.1個

B.2個C.3個

D.4個1234√1234√1234A.平行四邊形

B.空間四邊形C.等腰梯形

D.矩形√∴四邊形ABCD為平行四邊形.1234－31234＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，因為A，B，D三點共線，即9a＋mb＝λ(－3a＋b).解得m＝λ＝－3.課時對點練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.(多選)下列命題中，真命題是A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B.兩個相同的向量，若起點相同，則終點也相同C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等解析容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相同的向量或相反向量.16√√√2.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是A.a＝b

B.a＋b為實數(shù)0C.a與b方向相同

D.|a|＝312345678910111213141516解析向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反，故選D.√12345678910111213141516A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件√12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析選項A中，選項B中，選項C中，12345678910111213141516選項D中，123456789101112131415A.1 B.2C.3 D.416√12345678910111213141516＝6e1＋6e2.所以e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2).因為e1，e2是不共線向量，12345678910111213141516A.P∈ABB.P?ABC.點P可能在直線AB上D.以上都不對√12345678910111213141516解析因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.12345678910111213141516解析延長DE交邊BC于點F，012345678910111213141516123456789101112131415169.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中點.化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量.12345678910111213141516解因為M是BB1的中點，1234567891011121314151612345678910111213141516求證：E，F(xiàn)，B三點共線.1234567891011121314151612345678910111213141516所以E，F(xiàn)，B三點共線.123456789101112131415綜合運用1611.(多選)若A，B，C，D為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是√√1234567891011121314151612345678910111213141516√√1234567891011121314151613.(多選)有下列命題，其中真命題有12345678910111213141516D.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件√√12345678910111213141516則AB∥CD或A，B，C，D四點共線，故A錯誤；所以B正確；所以a∥b，故C正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故D錯誤.12