蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊6.3.4空間距離的計(jì)算【教學(xué)課件】

6.3.4空間距離的計(jì)算第6章空間向量與立體幾何1.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相

互平行的平面間的距離問題.2.通過空間中距離問題的求解，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中

的作用.學(xué)習(xí)目標(biāo)如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路，某人要在點(diǎn)A處，修建一個(gè)蔬菜存儲(chǔ)庫.如何在公路上選擇一個(gè)點(diǎn)，修一條公路到達(dá)A點(diǎn)，要想使這個(gè)路線長度理論上最短，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)？導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練一、點(diǎn)到平面的距離二、點(diǎn)到直線的距離三、直線(平面)到平面的距離內(nèi)容索引一、點(diǎn)到平面的距離問題1

如圖，P是平面α外一點(diǎn)，PO⊥α，垂足為O，A為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)n為平面α的法向量，θ＝〈

，n〉，如何利用這些條件求點(diǎn)P到平面α的距離？知識梳理若P是平面α外一點(diǎn)，PO⊥α，垂足為O，A為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)n為平面α的法向量，則點(diǎn)P到平面α的距離d＝_______.例1

已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面EFG的距離.解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，G(2,1,0)，設(shè)n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，點(diǎn)A到平面EFG的距離為d，令z＝1，此時(shí)n＝(1,1,1)，反思感悟

求點(diǎn)到平面的距離的主要方法(1)作點(diǎn)到平面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱.若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為

，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高.解設(shè)正四棱柱的高為h(h>0)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)，設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，取z＝1，得n＝(h，h,1)，所以點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高為2.二、點(diǎn)到直線的距離問題2

如圖，借助于向量，如何求點(diǎn)P到直線l的距離PO?若P為直線l外一點(diǎn)，A是l上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個(gè)與直線l垂直的向量n，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝

.設(shè)e是直線l的方向向量，則點(diǎn)P到直線l的距離為d＝

.知識梳理例2

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離.解以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，延伸探究例2中的條件不變，若M，N分別是A1B1，AC的中點(diǎn)，試求點(diǎn)C1到直線MN的距離.解

如例2解中建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).所以點(diǎn)C1到MN的距離反思感悟用向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點(diǎn)B到直線A′C的距離.解因?yàn)锳B＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，所以點(diǎn)B到直線A′C的距離三、直線(平面)到平面的距離問題3

類比點(diǎn)到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？提示

在其中一條直線上取定一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩條平行直線之間的距離.(1)如果一條直線l與一個(gè)平面α平行，可在直線l上任取一點(diǎn)P，將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面α的距離求解.(2)如果兩個(gè)平面α，β互相平行，在其中一個(gè)平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P，可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解.知識梳理例3

在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點(diǎn).(1)求證：B1C∥平面A1BD；證明連接AB1交A1B于點(diǎn)E，連接DE.(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.解因?yàn)锽1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距離就等于點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，DB所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，所以n＝(3,0,1).反思感悟用向量方法研究空間距離問題的一般步驟第一步，確定法向量；第二步，選擇參考向量；第三步，利用公式求解.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD間的距離.解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.則A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(xiàn)(2,4,4)，N(4,2,4)，又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，∴平面AMN∥平面EFBD.設(shè)n＝(x，y，z)是平面AMN的一個(gè)法向量，取z＝1，得n＝(2，－2,1)為平面AMN的一個(gè)法向量.設(shè)平面AMN與平面EFBD間的距離記為d，1.知識清單：(1)點(diǎn)到直線的距離.(2)點(diǎn)到平面的距離.(3)直線(平面)到平面的距離.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：對距離公式理解不到位，在使用時(shí)生硬套用.對公式推導(dǎo)過程的理解是應(yīng)用的基礎(chǔ).課堂小結(jié)隨堂演練1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點(diǎn)A到直線BC的距離為1234解析

∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，√∴點(diǎn)A到直線BC的距離為12342.若三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是解析分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，√則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).可以求得平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(1,1,1)，12343.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為√1234解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，m＝(x，y,1)，故m＝(1,1,1)，顯然平面AB1C∥平面A1C1D，12344.棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中點(diǎn)，則直線MN到平面ACD1的距離為_____.1234解析如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.1234設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，令x＝1，則y＝z＝1，∴n＝(1,1,1).1234課時(shí)對點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.已知平面α的一個(gè)法向量n＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(－1,3,0)在平面α內(nèi)，則平面α外的點(diǎn)P(－2,1,4)到平面α的距離為A.10 B.316設(shè)點(diǎn)P到平面α的距離為h，√2.兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是12345678910111213141516解析

∵兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，1,1)，√123456789101112131415163.已知直二面角α－l－β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離等于√12345678910111213141516解析因?yàn)槠矫姒痢推矫姒?，且AC⊥l，BD⊥l，故AC⊥平面β，BD⊥平面α，依題意建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，12345678910111213141516123456789101112131415164.如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是√則C(0,12,0)，D1(0,0,5).設(shè)B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0).設(shè)平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415165.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為√解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(a，b，c)，1234567891011121314151612345678910111213141516∴點(diǎn)E到平面ACD1的距離為123456789101112131415166.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為√12345678910111213141516則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，123456789101112131415167.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直線與l垂直，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為_____.123456789101112131415168.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑(bienao)，如圖.已知在鱉臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面MAB的距離為____.12345678910111213141516解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)，C(0,2,0)，由M為PC的中點(diǎn)可得M(1,1,1).設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABM的一個(gè)法向量，12345678910111213141516123456789101112131415169.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M到直線AC1的距離；12345678910111213141516解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，故點(diǎn)M到直線AC1的距離12345678910111213141516(2)求點(diǎn)N到平面MA1C1的距離.解

設(shè)平面MA1C1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，1234567891011121314151610.已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；12345678910111213141516設(shè)平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，12345678910111213141516令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)，所以點(diǎn)D到平面PEF的距離(2)求直線AC到平面PEF的距離.解因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.又因?yàn)锳C?平面PEF，EF?平面PEF，所以AC∥平面PEF.所以點(diǎn)A到平面PEF的距離12345678910111213141516綜合運(yùn)用12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516所以點(diǎn)P到AB的距離1234567891011121314151612.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，M為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1M＝λ(0<λ<2)，設(shè)點(diǎn)N為ME的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到平面D1EF的距離為√12345678910111213141516解析以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則M(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(xiàn)(2,2,1)，設(shè)平面D1EF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，取x＝1，得n＝(1,0,2)，所以點(diǎn)M到平面D1EF的距離為123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.又∵EF?平面EFGH，D1A1?平面EFGH，∴D1A1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距離，12345678910111213141516即為點(diǎn)D1到平面EFGH的距離.設(shè)平面EFGH的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，令z＝6，則y＝－1，∴n＝(0，－1,6)，12345678910111213141516∴點(diǎn)D1到平面EFGH的距離1234567891011121314151614.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為______.12345678910111213141516解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，12345678910111