2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試題參考答案（修正版）

第4頁（共7頁）2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1.A2.D3.B4.D5.B6.C7.B8.A9.C10.A提示：9.解：把p＝5，c＝4代入，得：5＝EQ\F(a＋b＋4,2)，∴a＋b＝6，∴b＝6－a.∵S＝EQ\r(,5(5－a)(5－b)(5－4))，∴S2＝5(5－a)[5－(6－a)]＝(25－5a)(a－1)＝－5a2＋30a－25＝－5(a－3)2＋20，∴當(dāng)a＝3時，S2最大＝20,S最大＝2EQ\r(,5).10.解：設(shè)A(a，a2)，B(b，b2).設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx＋h，則：，解得，∴直線AB的表達(dá)式為y＝(a＋b)x－ab.設(shè)直線AB與y軸交于點D，則D(0，－ab).作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，CE⊥y軸于E.∴∠AMO＝∠ONB＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM＋∠BON＝90°，又∵∠AOM＋∠OAM＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∴EQ\F(AM,ON)＝EQ\F(OM,BN)，∴EQ\F(a2,b)＝EQ\F(－a,b2)，∴a2b2＝－ab，∴－ab＝1，∴D(0，1).設(shè)DE＝x，則OE＝1－x.∵CE⊥y軸于E，∴∠CED＝∠OEC＝90°，∴∠CDE＋∠DCE＝90°，∵OC⊥AB，∴∠OCE＋∠DCE＝90°，∴∠OCE＝∠CDE，∴△OCE∽△CDE，∴EQ\F(OE,CE)＝EQ\F(CE,DE)，∴CE2＝DE?OE，∴CE2＝x(1－x)＝－x2＋x＝－(x－EQ\F(1,2))2＋EQ\F(1,4)，∴當(dāng)x＝EQ\F(1,2)時，CE2最大＝EQ\F(1,4)，CE最大＝EQ\F(1,2)，即C到y(tǒng)軸距離的最大值為EQ\F(1,2).二、填空題11.12.y＝2x2＋4x13.4－14.x2－4＝0（不唯一）15.－EQ\F(65,36)16.EQ\F(9EQ\r(,10),50)17.EQ\r(,5)－EQ\r(,2)提示：16.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝5.在Rt△AED中，sinA＝EQ\F(DE,AD)＝EQ\F(4,5)，∴DE＝EQ\F(4,5)AD＝EQ\F(4,5)×5＝4，∴AE＝EQ\r(,AD2－DE2)＝EQ\r(,52－42)＝3，∴BE＝AB－AE＝12－3＝9.∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED＝90°，∴CE＝EQ\r(,DE2＋CD2)＝EQ\r(,42＋122)＝4EQ\r(,10).如圖，作CF⊥AB于F，BM⊥CE于M，則CF＝DE＝4.∵S△BCE＝EQ\F(1,2)BE?CF＝EQ\F(1,2)?CE?BM，∴BM＝EQ\F(BE?CF,CE)＝EQ\F(9×4,4EQ\r(,10))＝EQ\F(9EQ\r(,10),10)，∴sin∠BCE＝EQ\F(BM,BC)＝EQ\F(EQ\F(9EQ\r(,10),10),5)＝EQ\F(9EQ\r(,10),50).17.解：把AB看成某圓的一條弦，把D看成某圓上的一點，∠ADB為弦AB所對的圓周角.∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，O為圓心，OA為半徑.如圖，連接OC，與⊙O交于點D，此時CD最小.CD＝OC－OD.∵OA＝OB＝OD＝r，∴r2＋r2＝22，∴r＝EQ\r(,2).作OH⊥BC于H.∵∠OBH＝∠ABC－∠ABO＝90°－45°＝45°，∴△OHB是等腰直角三角形，∴OH＝BH＝OB?sin45°＝EQ\r(,2)×EQ\F(EQ\r(,2),2)＝1，∵BC＝3，∴CH＝BC－BH＝3－1＝2，∴OC＝EQ\r(,OH2＋CH2)＝EQ\r(,12＋22)＝EQ\r(,5)，∴CD最小＝EQ\r(,5)－EQ\r(,2).三、解答題（一）18.解：由①得：2x－4＞3x－6－x＞－2x＜2.②×2，得：8x＞x－77x＞－7x＞－1.∴原不等式組的解集為－1＜x＜2.19.解：（1）眾數(shù)：90分；中位數(shù)：EQ\F(1,2)×(90＋90)＝90分；平均數(shù)：EQ\F(1,20)×(80×2＋85×3＋90×8＋95×5＋100×2)＝90.5分（2）20名學(xué)生中有8+5+2=15人為優(yōu)秀，∴優(yōu)秀等級占比：EQ\F(15,20)=EQ\F(3,4)，∴該年級優(yōu)秀等級學(xué)生人數(shù)為：600×EQ\F(3,4)=450（人）答：該年級優(yōu)秀等級學(xué)生人數(shù)為450人.20.解：（1）如圖，連接BD，設(shè)BC垂直平分線交BC于點F.∵DF為BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∴△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC，∵AB＝CE，∴△ABD的周長＝AC＋CE＝AE＝1.（2）設(shè)AD＝x.∵AD＝EQ\F(1,3)BD，∴BD＝3AD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝4x.在Rt△ABD中，AB＝EQ\r(,BD2－AD2)＝EQ\r(,(3x)2－x2)＝2EQ\r(,2)x，∴tan∠ABC＝EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(4x,2EQ\r(,2)x)＝EQ\r(,2).四、解答題（二）21.解：（1）把P(1，m)代入y＝EQ\F(4,x)，得：m＝EQ\F(4,1)＝4.（2）在y＝kx＋b(k＞0)中，令y＝0，則kx＋b＝0，解得x＝－EQ\F(b,k)，∴A(－EQ\F(b,k)，0).令x＝0，則y＝b，∴B(0，b).①當(dāng)點B在y軸正半軸時，b＞0.過點P作PH⊥x軸于點H.∵B1O⊥A1H，∴∠A1OB1＝∠A1HP＝90°，又∵∠B1A1O＝∠PA1H，∴△A1OB1∽△A1HP，∴EQ\F(A1B1,A1P)＝EQ\F(A1O,A1H)＝EQ\F(B1O,PH)，∵PA1＝2A1B1，∴EQ\F(A1B1,A1P)＝EQ\F(1,2)，∴EQ\F(A1O,A1H)＝EQ\F(B1O,PH)＝EQ\F(1,2)，∴B1O＝EQ\F(1,2)PH＝EQ\F(1,2)×4＝2，∴b＝2，∴A1O＝OH＝1，∴|－EQ\F(b,k)|＝1，∴k＝2.②當(dāng)點B在y軸負(fù)半軸時，b＜0.過P作PQ⊥y軸于點Q.∵A2O⊥B2Q，∴∠A2OB2＝∠PQB2＝90°，又∵∠A2B2O＝∠PB2Q，∴△A2OB2∽△PQB2，∴EQ\F(A2B2,PB2)＝EQ\F(A2O,PQ)＝EQ\F(B2O,B2Q)，∵PA2＝2A2B2，∴EQ\F(A2B2,PB2)＝EQ\F(1,3)，∴EQ\F(A2O,PQ)＝EQ\F(B2O,B2Q)＝EQ\F(1,3)，∴A2O＝|－EQ\F(b,k)|＝EQ\F(1,3)PQ＝EQ\F(1,3)，B2O＝EQ\F(1,3)B2Q，∴B2O＝EQ\F(1,2)OQ＝|b|＝EQ\F(1,2)×4＝2，∴b＝－2，∴k＝6.綜上，k＝2或k＝6.22.解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(a－10)元，依題意，得：EQ\F(8000,a)＝EQ\F(6000,a－10)，解得：a＝40.經(jīng)檢驗，a＝40是原方程的解.a－10＝40－10＝30.答：豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元.（2）依題意，得：y＝(x－40)[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8000，∵y＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，∴在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，又∵50≤x≤65，∴當(dāng)x＝65時，y取得最大值，最大值為：y最大＝－2×(65－70)2＋1800＝1750.∴最大利潤為1750元.23.解：延長BF交CD于點H，連接EH.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠BAD＝∠D＝90°，∴AC＝EQ\r(,AB2＋BC2)＝EQ\r(,12＋12)＝EQ\r(,2)，∵△FBE是由△ABE沿BE折疊得到的，∴EA＝EF，∠EFB＝∠EAB＝90°，∠FEB＝∠AEB，∴∠EFH＝90°＝∠D，∵點E為AD的中點，∴EA＝ED＝EQ\F(1,2)AD＝EQ\F(1,2)，∴ED＝EF，又∵EH＝EH，∴Rt△EDH≌Rt△EFH，∴∠DEH＝∠FEH，又∵∠FEB＝∠AEB，∴∠HEB＝90°，∴∠DEH＋∠AEB＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠DEH＝∠ABE，又∵∠D＝∠BAE＝90°，∴△DHE∽△AEB，∴EQ\F(DH,DE)＝EQ\F(AE,AB)＝EQ\F(1,2)，∴DH＝EQ\F(1,2)DE＝EQ\F(1,2)×EQ\F(1,2)＝EQ\F(1,4)，∴CH＝AD－DH＝1－EQ\F(1,4)＝EQ\F(3,4).∵CH∥AB，∴△CGH∽△AGB，∴EQ\F(CG,AG)＝EQ\F(CH,AB)＝EQ\F(3,4)，∴EQ\F(CG,AC)＝EQ\F(3,7)，∴CG＝EQ\F(3,7)AC＝EQ\F(3,7)EQ\r(,2).24.（1）證明：∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC.設(shè)∠DCF＝∠DFC＝，則∠FDC＝180°－2.∵AB∥CD，∴∠BAF＋∠FDC＝180°，∴∠BAF＝180°－∠FDC＝180°－(180°－2)＝2.∵AB＝AF,∴∠ABF＝∠AFB＝EQ\F(1,2)(180°－∠BAF)＝EQ\F(1,2)(180°－2)＝90°－，∴∠BFC＝180°－∠DFC－∠AFB＝180°－－(90°－)＝90°，∴CF⊥FB.（2）證明：如圖，取AD的中點O，過點O作OM⊥BC于點M.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠DCB＝90°.又∵OM⊥BC，∴∠OMC＝90°＝∠ABC，∴OM∥AB，∴M為BC的中點，∴OM＝EQ\F(1,2)(AB＋CD)，∵AD＝AF＋DF，AF＝AB，DF＝CD，∴AD＝AB＋CD＝2OM，又∵OM⊥BC，∴以AD為直徑的圓與BC相切.（3）解：∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠FDC＋∠DFE＝180°，∠BAF＝∠DFE，∵∠DFE＝120°，∴∠FDC＝60°，∠BAF＝120°，∵CD＝DF，∴△DCF是等邊三角形，∴∠DFC＝60°.由（1）知，∠BFC＝90°，∴∠AFB＝180°－∠DFC－∠BFC＝180°－60°－90°＝30°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝30°，∵AB∥EF，∴∠BFE＝∠ABF＝30°，∠BEF＋∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠AEF＝90°,∴∠CEF＝90°.在Rt△BEF中，BE＝EF?tan30°＝2×EQ\F(EQ\r(,3),3)＝EQ\F(2,3)EQ\r(,3).在Rt△CEF中，∠CFE＝∠BFC－∠BFE＝90°－30°＝60°，∴CE＝EF?tan60°＝2×EQ\r(,3)＝2EQ\r(,3).如圖，過點D作DM⊥EF于點M，過點A作AN⊥EF于點N.∵CD∥EM，AB∥EF，∴CE＝DM＝2EQ\r(,3)，BE＝AN＝EQ\F(2,3)EQ\r(,3)，∴S△ADE＝S△EFD＋S△EFA＝EQ\F(1,2)?EF?DM＋EQ\F(1,2)?EF?AN＝EQ\F(1,2)?EF?(DM＋AN)＝EQ\F(1,2)×2×(2EQ\r(,3)＋EQ\F(2,3)EQ\r(,3))＝EQ\F(8,3)EQ\r(,3).25.解：（1）令4x－12＝2x2－8x＋6，解得：x1＝x2＝3.當(dāng)x＝3時，4x－12＝0，2x2－8x＋6＝0，∴y＝ax2＋bx＋c必過點(3，0).又∵y＝ax2＋bx＋c過點(－1，0)，∴，解得，∴y＝ax2－2ax－3a.又∵4x－12≤ax2