高一數(shù)學(xué)同步備課系列(人教A版2019必修第一冊(cè))1.4.2充要條件(分層作業(yè))(3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練)(原卷版+解析)

1.4.2充要條件（3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：充要條件的判斷1.“”是”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.（多選）下列選項(xiàng)中，是的充要條件的是（

）A．：，：，B．：，：C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在兩角相等D．：四邊形是正方形，：四邊形的對(duì)角線互相垂直平分3.k>4，b<5是一次函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負(fù)半軸，交x軸于正半軸的________條件．4.設(shè)集合，，則的充要條件是______．題型二：利用充分、必要條件求參數(shù)一、單選題1．（2022秋·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根的充要條件是（

）．A． B． C． D．2．（2023秋·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，則實(shí)數(shù)的值為.3．（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若“”是“”的充要條件，則實(shí)數(shù)m的取值是．4．（2022秋·四川眉山·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，是否存在實(shí)數(shù)，使得是成立的______？(1)當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時(shí)，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？(2)請(qǐng)?jiān)冖俪浞植槐匾獥l件②必要不充分條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2022秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期中）已知集合，，請(qǐng)?jiān)冖俪浞謼l件，②必要條件，③充要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實(shí)數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的________條件，判斷實(shí)數(shù)是否存在？6．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高一宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)是否存在實(shí)數(shù)，使是的必要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，命題，命題(1)若是的充要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.題型三：充要條件的證明1．求證：一元二次方程x2＋px＋q＝0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根的充要條件是q＜0.2.設(shè)a，b，，求證：關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1的充要條件為.3.求證：方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根的充要條件是.【能力提升】一、單選題1．在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④二、多選題2．已知x∈R，y∈R，下列各結(jié)論中正確的是（

）A．“xy>0”是“”的充要條件 B．“x>y”是“”的充要條件C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分條件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要條件三、填空題3．在下列所示電路圖中，下列說(shuō)法正確的是____(填序號(hào))．（1）如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件．四、解答題4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5.已知a、b、c為的三邊長(zhǎng)，集合，．(1)若，求；(2)求的充要條件．6．設(shè)a，b，．求證：，，的充要條件是，，．7.證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均為實(shí)數(shù).證明：對(duì)于任意的，均有y≥1成立的充要條件是b≥2.9.設(shè)x、y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.10.已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，證明ac<0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件.11.求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.12.證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.13.求有關(guān)的方程（1）有一個(gè)根大于1，有一個(gè)根小于1的充要條件.（2）“有兩個(gè)小于3的根”的充要條件。14.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件

1.4.2充要條件（3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：充要條件的判斷1.“”是”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】由，由此可知“”是”的充要條件.故選：C.2.（多選）下列選項(xiàng)中，是的充要條件的是（

）A．：，：，B．：，：C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在兩角相等D．：四邊形是正方形，：四邊形的對(duì)角線互相垂直平分【答案】BC【詳解】解：對(duì)于A：由，得，或，，故不是的充要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，則，若則，故是的充要條件，故B正確；對(duì)于C：三角形是等腰三角形三角形存在兩角相等，故是的充要條件，故C正確；對(duì)于D：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分四邊形為菱形，故不是的充要條件，故D錯(cuò)誤；故選：BC3.k>4，b<5是一次函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負(fù)半軸，交x軸于正半軸的________條件．【答案】充要【詳解】∵k>4時(shí)，k－4>0，b<5時(shí)，b－5<0，∴直線y＝(k－4)x＋b－5交y軸于負(fù)半軸，交x軸于正半軸；y＝(k－4)x＋(b－5)與y軸交于(0，b－5)與x軸交于，由交y軸于負(fù)半軸，交x軸于正半軸可知，故k>4，b<5是一次函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負(fù)半軸，交x軸于正半軸的充要條件，故答案為：充要.4.設(shè)集合，，則的充要條件是______．【答案】，【詳解】由，可知，，于是解得此時(shí)，，符合．故的充要條件是，故答案為：，題型二：利用充分、必要條件求參數(shù)一、單選題1．（2022秋·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根的充要條件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】方程有實(shí)根，故，解得或.方程有實(shí)根，故，解得.綜上所述，，只有D選項(xiàng)符合.若方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，設(shè)公共實(shí)根為，則，兩式相減得，由于，所以，所以.當(dāng)時(shí)，兩個(gè)方程分別為、，方程的兩個(gè)根為；方程的兩個(gè)根為；即方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根.綜上所述，方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根的充要條件是.故選：D2．（2023秋·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【詳解】解不等式得，因?yàn)椤安坏仁匠闪ⅰ钡某湟獥l件為“”，所以，解得，所以，.故答案為：.3．（2022秋·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若“”是“”的充要條件，則實(shí)數(shù)m的取值是．【答案】3【詳解】由得，故，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某湟獥l件，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值是3.故答案為：3.4．（2022秋·四川眉山·高一校考階段練習(xí)）已知集合，，是否存在實(shí)數(shù)，使得是成立的______？(1)當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時(shí)，若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？(2)請(qǐng)?jiān)冖俪浞植槐匾獥l件②必要不充分條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中橫線部分．若問題中的存在，求出的取值范圍，若問題中的不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解】（1）當(dāng)橫線部分內(nèi)容為“充要條件”時(shí)，則，則且，方程組無(wú)解.∴不存在滿足條件的.（2）若選①，則是的真子集，則且（兩等號(hào)不同時(shí)?。?，且，解得，∴問題中的存在，且的取值集合.選②，則是的真子集，當(dāng)時(shí)，，即，滿足是的真子集；當(dāng)時(shí)，，即，由是的真子集，得且（兩等號(hào)不同時(shí)?。獾?；綜上所述：.所以問題中的存在，且的取值集合.5．（2022秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期中）已知集合，，請(qǐng)?jiān)冖俪浞謼l件，②必要條件，③充要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題（2）中，若問題（2）中的實(shí)數(shù)存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的________條件，判斷實(shí)數(shù)是否存在？【詳解】（1）若，則，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）若選擇條件，即是的充分條件，則，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選擇條件，即是的必要條件，則，所以，解得．又，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；若選擇條件，即是的充要條件，則，所以，方程組無(wú)解，所以不存在滿足條件的實(shí)數(shù)．6．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高一宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)是否存在實(shí)數(shù)，使是的必要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【詳解】（1）要使是的充要條件，則即，此方程組無(wú)解.所以不存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件.（2）要使是的必要條件，則，當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得要使，則有，解得，所以綜上可得，當(dāng)時(shí)，是的必要條件.7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，命題，命題(1)若是的充要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由條件，是的充要條件，得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由是的充分不必要條件，得真包含于，所以，或，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型三：充要條件的證明1．求證：一元二次方程x2＋px＋q＝0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根的充要條件是q＜0.【詳解】證明①充分性：因?yàn)閝＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，故方程x2＋px＋q＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．設(shè)方程的兩根為x1，x2.因?yàn)閤1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根．②必要性：因?yàn)榉匠蘹2＋px＋q＝0有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根，設(shè)兩根為x1，x2，所以x1·x2＜0.因?yàn)閤1·x2＝q，所以q＜0.由①②，命題得證．2.設(shè)a，b，，求證：關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1的充要條件為.【詳解】充分性：，，代入方程得，即．關(guān)于的方程有一個(gè)根為；必要性：方程有一個(gè)根為，滿足方程，，即．故關(guān)于的方程有一個(gè)根是的充要條件為．3.求證：方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根的充要條件是.【詳解】必要性：若方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，設(shè)為，則兩式相減得：或若，兩個(gè)方程均為無(wú)解，故，代入可得.充分性：當(dāng)時(shí)，，解得；，解得；兩個(gè)方程有公共根為1.綜上所述，方程與有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根的充要條件是.【能力提升】一、單選題1．在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】D【詳解】因?yàn)?，故，故①錯(cuò)誤；而，故，故②正確；由“類”的定義可得，任意，設(shè)除以4的余數(shù)為，則，故，所以，故，故③正確若整數(shù)a，b屬于同一“類”，設(shè)此類為，則，故即，若，故為的倍數(shù)，故a，b除以4的余數(shù)相同，故a，b屬于同一“類”，故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件為，故④正確；二、多選題2．已知x∈R，y∈R，下列各結(jié)論中正確的是（

）A．“xy>0”是“”的充要條件 B．“x>y”是“”的充要條件C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分條件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要條件【答案】AC【詳解】因?yàn)榕c等價(jià)，故“xy>0”是“”的充要條件，A正確；因?yàn)椋?，推不出，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)，時(shí)推不出xy≠0，當(dāng)時(shí)，能推出，所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分條件，C正確；由可得，當(dāng)滿足時(shí)，才可得，即推不出，反之，當(dāng)時(shí)，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分條件，故D不正確.故選：AC三、填空題3．在下列所示電路圖中，下列說(shuō)法正確的是____(填序號(hào))．（1）如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件．【答案】（1）（2）（3）【分析】充分不必要條件是該條件成立時(shí)，可推出結(jié)果，但結(jié)果不一定需要該條件成立；必要條件是有結(jié)【詳解】（1）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項(xiàng)（1）正確.（2）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項(xiàng)（2）正確.（3）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件，選項(xiàng)（3）正確.（4）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項(xiàng)（4）錯(cuò)誤.故答案為（1）（2）（3）.四、解答題4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】－2≤a≤2【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∵p是q的充分不必要條件，∴，即AB，可知或方程x2＋ax＋1＝0的兩根要在區(qū)間[1,2]內(nèi)∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.5.已知a、b、c為的三邊長(zhǎng)，集合，．(1)若，求；(2)求的充要條件．【答案】(1)(2)的充要條件是【分析】（1）解方程，由集合的并集運(yùn)算計(jì)算即可；（2）由集合的交集運(yùn)算，結(jié)合判別式得出，再由，得出.(1)由，得，，從而(2)當(dāng)時(shí)，，，且存在，使得，．于是，又a、b、c為的三邊長(zhǎng)，得．從而的充要條件是6．設(shè)a，b，．求證：，，的充要條件是，，．【詳解】證明：（必要性）由，，，顯然有，，．（充分性）用反證法：假設(shè)，，不成立，則a，b，c中至少有一個(gè)不大于0．由a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)由得，從而由，得，即故，于是．這與矛盾，于是假設(shè)不成立．因此，，，．7.證明：“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.【詳解】充分性：若，則關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，證明如下：當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)兩根分別為，，則，所以方程有一正一負(fù)根，故充分性成立，必要性：若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，證明如下：設(shè)方程一正一負(fù)根分別為，，則，所以，所以若“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”，則，故必要性成立，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件.8.已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均為實(shí)數(shù).證明：對(duì)于任意的，均有y≥1成立的充要條件是b≥2.【詳解】證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=a2x2-2ax+b的圖像的對(duì)稱軸方程為x=，所以a≥1，且0<≤1，故當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.先證必要性：對(duì)于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.再證充分性：因?yàn)閎≥2，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，所以對(duì)于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要條件是b≥2.9.設(shè)x、y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，|x+y|=x+y=|x|+|y|.當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.總之，當(dāng)xy≥0時(shí)，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.綜上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.10.已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，證明ac<0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件.【答案】（1）充分性:若ac<0，則Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異實(shí)根，設(shè)為x1,x2,∵ac<0,∴x1·x2=<0，即x1,x2的符號(hào)相反，即方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根.（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，設(shè)為x1,x2,且x1>0,x2<0，則x1·x2=<0，∴ac<0綜上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件.11.求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.【答案】（1）a=0時(shí)適合.（2）當(dāng)a≠0時(shí)，顯然方程沒有零根，若方程有