高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(高頻精講)(原卷版+解析)

第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(精講） 1第一部分：知識點(diǎn)必背 21、平面向量的基本定理 21.2基底： 22、平面向量的正交分解 23、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 23.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 24、平面向量共線的坐標(biāo)表示 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用 3高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示 8高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示 12角度1：由坐標(biāo)判斷是否共線 12角度2：由向量平行求參數(shù) 14角度3：由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題 17第四部分：數(shù)學(xué)文化題 20溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點(diǎn)必背1、平面向量的基本定理1.1定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使.1.2基底：不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；（2）基底一旦確定，分解方式唯一；（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).2、平面向量的正交分解不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.1平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個(gè)不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對使,則有序數(shù)對，叫做的坐標(biāo)，記作.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量加減：若，則；（2）數(shù)乘向量：若，則；（3）向量數(shù)量積：若，則；（4）任一向量：設(shè)，則.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示若，則的充要條件為第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則__________．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·福建泉州·高一福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．2例題2．（2023春·江蘇南通·高一南通一中?？茧A段練習(xí)）我國古代人民早在幾千年前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.如圖，大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若記，且為中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．例題3．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中?？计谀┤鐖D所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線與，兩邊分別交于，兩點(diǎn)，且，，，都為實(shí)數(shù)．(1)試用基底和來表示，其中表示式中，系數(shù)中字母只含有，；(2)求的最小值．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·山東濟(jì)寧·高一嘉祥縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，D為中點(diǎn)，連接，若，則的值為（

）A． B． C． D．12．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中，點(diǎn)M為邊AC上的點(diǎn)，且，若，則的值是（

）A． B．1 C． D．3．（2023春·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）“勾股弦”是勾股定理的一個(gè)特例根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾股弦”的問題如圖，在矩形中，滿足“勾股弦”，且，，為上一點(diǎn)，若，則__________．高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，若，則（

）A． B． C． D．2例題3．（2023春·新疆喀什·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，，相交于點(diǎn)，為中點(diǎn).設(shè)向量，(1)用，表示(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo).例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，.（1）若點(diǎn)，＝，則為何值時(shí)，點(diǎn)在軸上？點(diǎn)在軸上？點(diǎn)在第二象限？（2）若，，則四邊形能為平行四邊形嗎？若能，求值；若不能，說明理由.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，點(diǎn)C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（

）A． B．3 C． D．2．（多選）（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A(2，3)，B(-3，4)，如圖所示，x軸、y軸同方向上的兩個(gè)單位向量分別為和，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，且三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)已知，，，若四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo).高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示角度1：由坐標(biāo)判斷是否共線典型例題例題1．（2023春·甘肅蘭州·高三?？奸_學(xué)考試）已知向量，，，則“”是“∥”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，與共線，則向量的坐標(biāo)可能為（

）A． B．C． D．例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C．和 D．和和和練透核心考點(diǎn)1．（2023春·浙江溫州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023春·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）下列各組的兩個(gè)向量，平行的是（

）A．， B．，C．， D．，角度2：由向量平行求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·湖北省直轄縣級單位·高一湖北省仙桃中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，且，則的值為（

）A．4 B．-4 C．1 D．-1例題2．（2023春·貴州黔東南·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，若，則_______.例題3．（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則______．例題4．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知.(1)當(dāng)為何值時(shí)，與共線；(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．C． D．2．（2023春·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，，若非零向量與共線，其中、，則等于___________.3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量．(1)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值．4．（2023春·河南洛陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知.(1)當(dāng)k為何值時(shí)，與共線?(2)若且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值.角度3：由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)向量，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若，，三點(diǎn)共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則_________．例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若向量，則點(diǎn)，，能否構(gòu)成三角形？若能，求出實(shí)數(shù)滿足的條件；若不能，請說明理由．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則的值為（

）A．或 B．或 C．或-11 D．或2．（多選）（2023春·山東日照·高一日照一中校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一動點(diǎn)，若，則的取值可以是（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，若三點(diǎn)共線，則正數(shù)______．第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)、、、為平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的點(diǎn)，若，，且，則稱點(diǎn)、和諧分割點(diǎn)、.已知平面上兩兩不同的點(diǎn)A、B、C、D，若C、D和諧分割點(diǎn)A、B.則下面說法正確的是（

）A．點(diǎn)C可能是線段AB的中點(diǎn)B．點(diǎn)可能是靠近點(diǎn)A的線段AB的三等分點(diǎn)C．點(diǎn)C、D可能同時(shí)在線段AB上D．點(diǎn)C、D可能同時(shí)在線段AB的延長線上2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，若，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）我校八角形?；沼蓛蓚€(gè)正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南開人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開?；铡钡亩噙呅沃校阎溆梢粋€(gè)正方形與以該正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的正方形組合而成，已知向量，，則向量（

）A． B．C． D．4．（2023·四川涼山·二模）已知正實(shí)數(shù)，稱為的算術(shù)平均數(shù)，為的幾何平均數(shù)，為的希羅平均數(shù)．為的邊上異于的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足且，則正數(shù)的希羅平均數(shù)的最大值是______________．第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(精講） 1第一部分：知識點(diǎn)必背 21、平面向量的基本定理 21.2基底： 22、平面向量的正交分解 23、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 23.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 24、平面向量共線的坐標(biāo)表示 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用 3高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示 8高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示 12角度1：由坐標(biāo)判斷是否共線 12角度2：由向量平行求參數(shù) 14角度3：由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題 17第四部分：數(shù)學(xué)文化題 20溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點(diǎn)必背1、平面向量的基本定理1.1定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這個(gè)平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使.1.2基底：不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.（1）不共線的兩個(gè)向量可作為一組基底，即不能作為基底；（2）基底一旦確定，分解方式唯一；（3）用基底兩種表示，即，則，進(jìn)而求參數(shù).2、平面向量的正交分解不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.1平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸，軸方向相同的兩個(gè)不共線的單位向量作為基底，存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對使,則有序數(shù)對，叫做的坐標(biāo)，記作.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量加減：若，則；（2）數(shù)乘向量：若，則；（3）向量數(shù)量積：若，則；（4）任一向量：設(shè)，則.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示若，則的充要條件為第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（2021·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則__________．【答案】【詳解】因?yàn)椋杂煽傻?，，解得．故答案為：．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：平面向量基本定理的應(yīng)用典型例題例題1．（2023春·福建泉州·高一福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，解得，所?故選：C.例題2．（2023春·江蘇南通·高一南通一中?？茧A段練習(xí)）我國古代人民早在幾千年前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.如圖，大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若記，且為中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)O，則，由勾股定理得：，則，故，又，所以設(shè)，即，解得：，故選：C例題3．（2023秋·浙江杭州·高二杭十四中?？计谀┤鐖D所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線與，兩邊分別交于，兩點(diǎn)，且，，，都為實(shí)數(shù)．(1)試用基底和來表示，其中表示式中，系數(shù)中字母只含有，；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?因?yàn)椋?，所以?）又因?yàn)槿c(diǎn)共線，由（1）可得，因?yàn)樵诰€段上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)取得等號.所以的最小值為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·山東濟(jì)寧·高一嘉祥縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，D為中點(diǎn)，連接，若，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以，又，因此有，則.故選：C2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）中，點(diǎn)M為邊AC上的點(diǎn)，且，若，則的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，則，所以，且，則，所以.故選:D3．（2023春·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）“勾股弦”是勾股定理的一個(gè)特例根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾股弦”的問題如圖，在矩形中，滿足“勾股弦”，且，，為上一點(diǎn)，若，則__________．【答案】##0.28【詳解】由題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，，.設(shè)，則，，因?yàn)椋?，解得，，，，由，得，所以，解得，所以，故答案為?高頻考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，，因，從而有，解得，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A例題2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【詳解】設(shè)，如圖，以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)?，所以，所?解得，所以.故選：B例題3．（2023春·新疆喀什·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，，相交于點(diǎn)，為中點(diǎn).設(shè)向量，(1)用，表示(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，BD，AC相交于點(diǎn)O所以，因?yàn)镸為BO中點(diǎn)，（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，由，，，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以，，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，.（1）若點(diǎn)，＝，則為何值時(shí)，點(diǎn)在軸上？點(diǎn)在軸上？點(diǎn)在第二象限？（2）若，，則四邊形能為平行四邊形嗎？若能，求值；若不能，說明理由.【答案】（1）答案見解析；（2）不能，理由見解析.【詳解】解：（1），若點(diǎn)P在x軸上，則，∴.若點(diǎn)P在y軸上，則，∴.若點(diǎn)P在第二象限，則，∴.（2）因?yàn)椋?若四邊形為平行四邊形，則，∴該方程組無解.故四邊形不能成為平行四邊形.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，點(diǎn)C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所?又因?yàn)辄c(diǎn)C在內(nèi)，且，建立如圖所示的坐標(biāo)系：則,,又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.2．（多選）（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A(2，3)，B(-3，4)，如圖所示，x軸、y軸同方向上的兩個(gè)單位向量分別為和，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】解：由圖知，，，故A正確，B不正確；，，故C正確，D不正確．故選：AC3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，且三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)已知，，，若四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)；【詳解】（1）三點(diǎn)共線，，即，，解得：.（2）；四邊形為平行四邊形，，設(shè)，則，，，即.高頻考點(diǎn)三：平面向量共線的坐標(biāo)表示角度1：由坐標(biāo)判斷是否共線典型例題例題1．（2023春·甘肅蘭州·高三校考開學(xué)考試）已知向量，，，則“”是“∥”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由題意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.當(dāng)m＝－6時(shí)，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，則“m＝－6”是“”的充要條件.故選：A.例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，與共線，則向量的坐標(biāo)可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】若，則，，故A正確；若，則，，故B錯(cuò)誤；若，則，，故C錯(cuò)誤；若，則，，故D錯(cuò)誤.故選：A.例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C．和 D．和和和【答案】C【詳解】由題,,由題意可判斷,D選項(xiàng)中和不與平行,A、B選項(xiàng)向量不全,故選：C練透核心考點(diǎn)1．（2023春·浙江溫州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，充分性成立；，則當(dāng)時(shí)，，解得：，必要性成立；綜上所述：“”是“”的充要條件.故選：A.2．（2023春·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）下列各組的兩個(gè)向量，平行的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】對A，，，因?yàn)?，故錯(cuò)誤；對B，因?yàn)?，故錯(cuò)誤；對C，因?yàn)椋叔e(cuò)誤；對D，因?yàn)?，故正確.故選：D.角度2：由向量平行求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·湖北省直轄縣級單位·高一湖北省仙桃中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，且，則的值為（

）A．4 B．-4 C．1 D．-1【答案】B【詳解】，故，則，解得.故選：B例題2．（2023春·貴州黔東南·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，若，則_______.【答案】【詳解】已知，，若，則，所以.故答案為：.例題3．（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則______．【答案】【詳解】由三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，即三點(diǎn)共線，且，，所以且，則，可得.故答案為：例題4．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知.(1)當(dāng)為何值時(shí)，與共線；(2)若，且，，三點(diǎn)共線，求的值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，則，由解得，所以當(dāng)時(shí)，與共線.（2）因?yàn)椋瑒t，又A，B，C三點(diǎn)共線，即有，因此，解得，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，又，所以，可得.故選：C2．（2023春·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若非零向量與共線，其中、，則等于___________.【答案】##【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，則，，因?yàn)榉橇阆蛄颗c共線，則，若時(shí)，則，不合乎題意，所以，且，由可得.故答案為：.3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量．(1)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又與垂直，所以，即，解得，所以.（2）因?yàn)?，，因?yàn)椋峙c向量平行，所以，即，解得，所以.4．（2023春·河南洛陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知.(1)當(dāng)k為何值時(shí)，與共線?(2)若且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)榕c共線，所以解得.故當(dāng)時(shí)，與共線.（2）因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，與不共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得即，整理得所以，解得.故的值為.角度3：由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)向量，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若，，三點(diǎn)共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線，即，得，又因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為9.故選：D.例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則_________．【答案】6【詳解】因，，則，又，且A，B，D三點(diǎn)共線，即，因此，解得，所以.故答案為：6例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若向量，則點(diǎn)，，能否構(gòu)成三角形？若能，求出實(shí)數(shù)滿足的條件；若不能，請說明理由．【答案】點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形；．【詳解】向量，則，點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形當(dāng)且僅當(dāng)與不共線，即有，解得，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則的值為（

）A．或 B．或 C．或-11 D．或【答案】A【詳解】由，，，得，，又，，三點(diǎn)共線，則，即，解得或，故選：A.2．（多選）（2023春·山東日照·高一日照一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一動點(diǎn)，若，則的取值可以是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【詳解】，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)，所以.故選：AB3．