高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專(zhuān)用)第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(高頻精講)(原卷版+解析)

第02講等差數(shù)列及其前項(xiàng)和目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 1第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 4高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明 4角度1：定義法證明或判斷 4角度2：等差中項(xiàng)法證明或判斷 5高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì) 7高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的單調(diào)性 8高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的前項(xiàng)和 9角度1：等差數(shù)列的項(xiàng)和的基本量計(jì)算 9角度2：含絕對(duì)值的等差數(shù)列的項(xiàng)和 10角度3：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）的和 10高頻考點(diǎn)六：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì) 12角度1：等差數(shù)列的片段和性質(zhì) 12角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和的比的問(wèn)題 12高頻考點(diǎn)七：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的函數(shù)特征 13角度1：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題 13角度2：根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值求參數(shù) 14第四部分：數(shù)學(xué)文化題 16第五部分：高考新題型 18角度1：開(kāi)放性試題 18角度2：探究性試題 18溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表示為()(或者），為常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)：若，，成等差數(shù)列，則叫做和的等差中項(xiàng)，且.注：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：()(或者）②等差中項(xiàng)法：2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則其通項(xiàng)公式為，可推廣為(*)．(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(其中)．3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，()．特別地，若，則()．(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即，，，…仍是等差數(shù)列，公差為()．(3)也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差為.(4)，，…也成等差數(shù)列，公差為.（5）若數(shù)列,均為等差數(shù)列且其前項(xiàng)和分別為,,則4.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系可化為的形式．當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列．(2)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可變形為.當(dāng)時(shí)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．第二部分：高考真題回歸1．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．122．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則公差_______．3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．(1)若，求；(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．4．（2021·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．5．（2021·全國(guó)（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算典型例題例題1．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為68，，則（

）A．300 B．298 C．295 D．296例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}中，，，試判斷153是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，，則的值為（

）A．96 B．98 C．100 D．1022．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明角度1：定義法證明或判斷典型例題例題1．（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，且，則這個(gè)數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（

）A．495 B．765 C．450 D．120例題2．（2023春·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，的通項(xiàng)公式為_(kāi)________例題3．（2023秋·山東青島·高二?？计谀┮阎獢?shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．角度2：等差中項(xiàng)法證明或判斷典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；例題2．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，..求數(shù)列的通項(xiàng)公式；角度3：通項(xiàng)公式形如的形式典型例題例題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)；(2).角度4：前項(xiàng)和形如的形式典型例題例題1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值及對(duì)應(yīng)的的值．練透核心考點(diǎn)二1．（多選）（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是遞減數(shù)列2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則______．3．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考階段練習(xí)）已如數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為．4．（2023秋·陜西西安·高二西安市遠(yuǎn)東一中校考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì)典型例題例題1．（2023春·山東淄博·高二山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．則（

）A．29 B．32 C．35 D．38例題2．（多選）（2023春·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谥校┮阎醉?xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，是方程的根，則＝________.例題4．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為_(kāi)__________.練透核心考點(diǎn)三1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谥校┰陧?xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列中，其前項(xiàng)的和為，最后項(xiàng)的和為，所有項(xiàng)的和為，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．103．（2023春·廣東廣州·高二廣東華僑中學(xué)?？计谥校┤羟绊?xiàng)和為的等差數(shù)列滿足，則（

）A．46 B．48 C．50 D．524．（多選）（2023春·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，若，，則成立的是（

）A． B．C．的最大值是 D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的單調(diào)性典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是例題2．（多選）（2023秋·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校考期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 C． D．例題3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則___________，若，則使得不等式成立的最小整數(shù)___________.練透核心考點(diǎn)1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且公差為，滿足，前項(xiàng)和為，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大值時(shí)的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的前項(xiàng)和角度1：等差數(shù)列的項(xiàng)和的基本量計(jì)算典型例題例題1．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．72例題2．（2023春·北京·高二北京市第一六六中學(xué)校考期中）等差數(shù)列中，公差，，則當(dāng)前項(xiàng)和最大時(shí)，________例題3．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)________．角度2：含絕對(duì)值的等差數(shù)列的項(xiàng)和典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．例題2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.角度3：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）的和典型例題例題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于________．例題3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且前項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為7:6，則中間項(xiàng)為_(kāi)_______．練透核心考點(diǎn)五1．（2023秋·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高級(jí)中學(xué)校考期中）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則_______．3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于（

）A．9 B．10C．11 D．124．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（

）A． B． C． D．5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為15，則這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)是______．6．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．高頻考點(diǎn)六：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)角度1：等差數(shù)列的片段和性質(zhì)典型例題例題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列前項(xiàng)的和為，前項(xiàng)的和為，則它的前項(xiàng)的和為（

）A．130 B．170 C．210 D．260例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)校考期末）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則______．角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和的比的問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谥校┑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10例題2．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則__________．練透核心考點(diǎn)六1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A．9 B．11 C．13 D．252．（2023春·廣東梅州·高二豐順縣豐順中學(xué)校聯(lián)考期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，且，，則=（

）A．70 B．90 C．100 D．1203．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列{}和}的前n項(xiàng)和分別為和，且，則的值為（）A． B． C． D．25．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________6．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則________．高頻考點(diǎn)七：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的函數(shù)特征角度1：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·山西呂梁·高二山西省交城中學(xué)校統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若的最大值僅為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．例題2．（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若時(shí)，最小，則=___________.例題3．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最小值.角度2：根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值求參數(shù)典型例題例題1．（多選）（2023秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則使最大的的取值可以是（

）A．9 B．10 C．11 D．12例題2．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的公差為，首項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和取得最大值，則的取值范圍是______．例題3．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)若，求的公差；(2)若，且是數(shù)列中最大的項(xiàng)，求所有可能的值.練透核心考點(diǎn)七1．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：對(duì)恒成立，且，其前n項(xiàng)和有最大值，則使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．172．（2023春·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，若它的前項(xiàng)和有最大值，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．11 B．12 C．13 D．143．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，，是與的等比中項(xiàng)，則的最大值為_(kāi)_______.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為_(kāi)____．5．（2023春·北京·高二北京市第一六一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，，.(1)判斷是否是數(shù)列中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由；(2)求的最值.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，令為數(shù)列的前項(xiàng)和．問(wèn)是否有最值?若有，請(qǐng)求出最值．第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究，他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來(lái)表示數(shù)，稱為形數(shù)，形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶；下圖為五角形數(shù)的前4個(gè)，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①第9個(gè)五角形數(shù)比第8個(gè)五角形數(shù)多25；②前8個(gè)五角形數(shù)之和為288；③記所有的五角形數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列，則的前20項(xiàng)和為610；則正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛球的總個(gè)數(shù)為（

）（參考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．15803．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“垛積術(shù)”在我國(guó)古代早期主要用于天文歷法，后來(lái)用于求高階等差級(jí)數(shù)的和.元代數(shù)學(xué)家朱世杰在沈括（北宋時(shí)期數(shù)學(xué)家）、楊輝（南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家）研究成果的基礎(chǔ)上，在《四元玉鑒》中利用了“三角垛”求一系列重要的高階等差級(jí)數(shù)的和.例如，欲求數(shù)列，，，…，，的和，可設(shè)計(jì)一個(gè)正立的行三角數(shù)陣，即正三角形的區(qū)域中所有數(shù)的分布規(guī)律為：第1行為1個(gè)，第2行為2個(gè)，第3行為3個(gè)，…，第行為個(gè)1；再選一個(gè)數(shù)列（其前項(xiàng)和已知），可設(shè)計(jì)一個(gè)倒立的行三角數(shù)陣，即正三角形的區(qū)域中所有數(shù)的分布規(guī)律為：第1行為個(gè)，第2行為個(gè)，第3行為個(gè)，…，第行為1個(gè)1.這兩個(gè)三角數(shù)陣就組成一個(gè)行列的菱形數(shù)陣.若已知，則運(yùn)用垛積術(shù)，求得數(shù)列，，，…，，的和為_(kāi)___________.

4．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期中）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大成就．現(xiàn)在從“楊輝三角”中去除所有為1的項(xiàng)，依此構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的前54項(xiàng)和為_(kāi)_____．

5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究了“多邊形數(shù)”，人們把多邊形數(shù)推廣到空間，研究了“四面體數(shù)”，下圖是第一至第四個(gè)四面體數(shù)，（已知）觀察上圖，由此得出第5個(gè)四面體數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）；第個(gè)四面體數(shù)為_(kāi)_____.第五部分：高考新題型角度1：開(kāi)放性試題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足：①；②對(duì)，．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式______．2．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期中）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列的通項(xiàng)公式：___________．①；②單調(diào)遞增．3．（2023春·湖北咸寧·高二鄂南高中校考階段練習(xí)）寫(xiě)出同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的數(shù)列{}的一個(gè)通項(xiàng)公式=________.①{}是遞減數(shù)列；②對(duì)任意m，，都有.角度2：探究性試題1．（多選）（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積．已知數(shù)列是公積不為0的等積數(shù)列，且，前5項(xiàng)的和為12，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C．公積為3 D．2．（2021秋·安徽銅陵·高三銅陵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，探究：是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 1第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 7高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 7高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明 8角度1：定義法證明或判斷 8角度2：等差中項(xiàng)法證明或判斷 9高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì) 12高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的單調(diào)性 15高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的前項(xiàng)和 17角度1：等差數(shù)列的項(xiàng)和的基本量計(jì)算 17角度2：含絕對(duì)值的等差數(shù)列的項(xiàng)和 18角度3：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）的和 19高頻考點(diǎn)六：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì) 23角度1：等差數(shù)列的片段和性質(zhì) 23角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和的比的問(wèn)題 24高頻考點(diǎn)七：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的函數(shù)特征 27角度1：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題 27角度2：根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值求參數(shù) 29第四部分：數(shù)學(xué)文化題 32第五部分：高考新題型 37角度1：開(kāi)放性試題 37角度2：探究性試題 38溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表示為()(或者），為常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)：若，，成等差數(shù)列，則叫做和的等差中項(xiàng)，且.注：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：()(或者）②等差中項(xiàng)法：2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則其通項(xiàng)公式為，可推廣為(*)．(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(其中)．3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，()．特別地，若，則()．(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即，，，…仍是等差數(shù)列，公差為()．(3)也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差為.(4)，，…也成等差數(shù)列，公差為.（5）若數(shù)列,均為等差數(shù)列且其前項(xiàng)和分別為,,則4.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系可化為的形式．當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列．(2)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可變形為.當(dāng)時(shí)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．第二部分：高考真題回歸1．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，所以.對(duì)于，，取數(shù)列各項(xiàng)為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則公差_______．【答案】2【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得.故答案為：2.3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．(1)若，求；(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，?）因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，，，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對(duì)于任意的恒成立，所以對(duì)于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得當(dāng)時(shí)，，又所以4．（2021·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.5．（2021·全國(guó)（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)?，所以，所以．在中，?dāng)時(shí)，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)顯然成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即．那么當(dāng)時(shí)，．綜上，猜想對(duì)任意的都成立．即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n≥2時(shí),,顯然對(duì)于n=1不成立,∴.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算典型例題例題1．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為68，，則（

）A．300 B．298 C．295 D．296【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列的前8項(xiàng)和為，可得，即，即，又由，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：C.例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}中，，，試判斷153是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？【答案】45【詳解】由題意得，解得，令，得,所以153是這個(gè)數(shù)列的第45項(xiàng).練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，，則的值為（

）A．96 B．98 C．100 D．102【答案】D【詳解】因?yàn)?，可得?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故選：D.2．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，，，所以.故選：C高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明角度1：定義法證明或判斷典型例題例題1．（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，且，則這個(gè)數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（

）A．495 B．765 C．450 D．120【答案】C【詳解】因?yàn)樵跀?shù)列中，，且，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：C.例題2．（2023春·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，的通項(xiàng)公式為_(kāi)________【答案】【詳解】由可得，即，從而數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，故，即的通項(xiàng)公式為故答案為：例題3．（2023秋·山東青島·高二校考期末）已知數(shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，即，所以，即?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以.角度2：等差中項(xiàng)法證明或判斷典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例題2．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，..(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，又，，；角度3：通項(xiàng)公式形如的形式典型例題例題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)；(2).【答案】(1)是等差數(shù)列(2)不是等差數(shù)列【詳解】（1）因?yàn)椋浅?shù)，所以數(shù)列{a}是以為公差的等差數(shù)列．（2）因?yàn)?，不是常?shù)，所以數(shù)列{a}不是等差數(shù)列．角度4：前項(xiàng)和形如的形式典型例題例題1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，【詳解】（1）因?yàn)棰伲詴r(shí)，②，由①②相減，可得，，

當(dāng)時(shí)，，滿足，

故的通項(xiàng)公式為，．例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值及對(duì)應(yīng)的的值．【答案】(1)，(2)，n＝8或n＝9【詳解】（1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知，所以k＝0，即，所以，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)n＝1時(shí)也符合上式，故．（2）由（1）可得，所以是關(guān)于n的二次函數(shù)，又，所以當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，取得最小值，故．練透核心考點(diǎn)二1．（多選）（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是遞減數(shù)列【答案】AD【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以是由為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因?yàn)楣钚∮?，所以是遞減數(shù)列；故選：AD2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則______．【答案】100【詳解】由可知是一個(gè)等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為19，所以，故答案為：1003．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考階段練習(xí)）已如數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以，即．（2）解：由（1）知，所以，①所以，②①②得，所以．4．（2023秋·陜西西安·高二西安市遠(yuǎn)東一中?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)橐矟M足，所以通項(xiàng)公式為．高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì)典型例題例題1．（2023春·山東淄博·高二山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．則（

）A．29 B．32 C．35 D．38【答案】B【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，所以.故選：B.例題2．（多選）（2023春·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谥校┮阎醉?xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋裕瑒t，解得，故A正確；對(duì)于B：，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以?shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)?，，即?shù)列的前8項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第9項(xiàng)開(kāi)始，都為正數(shù)，則，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤；故選：AC例題3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，是方程的根，則＝________.【答案】3【詳解】由是方程的根得＝3.又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，∴＝＝3.故答案為：3例題4．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為_(kāi)__________.【答案】6【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?，所以，則，故答案為：6.練透核心考點(diǎn)三1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谥校┰陧?xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列中，其前項(xiàng)的和為，最后項(xiàng)的和為，所有項(xiàng)的和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，，所以，，解得.故選：B.2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．10【答案】B【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以∴.故選：B3．（2023春·廣東廣州·高二廣東華僑中學(xué)?？计谥校┤羟绊?xiàng)和為的等差數(shù)列滿足，則（

）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】C【詳解】由，有，根據(jù)等差數(shù)量性質(zhì)可知，所以，故，所以，所以.故選：C.4．（多選）（2023春·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，若，，則成立的是（

）A． B．C．的最大值是 D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【答案】BC【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以，故A錯(cuò)；因?yàn)?，所以?shù)列為遞減數(shù)列，又，所以，，的最大值為，故BC正確；，故D錯(cuò).故選：BC.高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的單調(diào)性典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】C【詳解】由得，∴數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，∴有最大值，最大值為.故選：C.例題2．（多選）（2023秋·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？计谀┮阎堑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 C． D．【答案】BC【詳解】由題設(shè)，，而，∴，則，則為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤，B正確；，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.例題3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則___________，若，則使得不等式成立的最小整數(shù)___________.【答案】613【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，所以為遞減數(shù)列，又，，所以.故答案為：6；13．練透核心考點(diǎn)1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且公差為，滿足，前項(xiàng)和為，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞增數(shù)列，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，即，可得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，當(dāng)或時(shí)，最小，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，因?yàn)?，解得，故時(shí)的最小值為，D對(duì).故選：C.2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】若，則，即，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大值時(shí)的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】，所以，又，故，故公差，所以是遞減數(shù)列，前9項(xiàng)為正，其余項(xiàng)為負(fù)，即時(shí)，取最大值.故選：C.高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的前項(xiàng)和角度1：等差數(shù)列的項(xiàng)和的基本量計(jì)算典型例題例題1．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【詳解】設(shè)的公差為d，則，即，則，故選：A.例題2．（2023春·北京·高二北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┑炔顢?shù)列中，公差，，則當(dāng)前項(xiàng)和最大時(shí)，________【答案】或【詳解】等差數(shù)列中，公差，，所以，解得，所以，當(dāng)前項(xiàng)和最大時(shí)，或，故答案為：或.例題3．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)________．【答案】【詳解】由題意數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)數(shù)列公差為d，則，解得，故，故答案為：角度2：含絕對(duì)值的等差數(shù)列的項(xiàng)和典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，則，由，則，所以，即，故，則.（2）由（1）知：，可得，即，故時(shí)，所以.例題2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，把代入上式，滿足題意.數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）數(shù)列的首項(xiàng)為正，是一個(gè)遞減數(shù)列，先正后負(fù)，令，則數(shù)列前34為正，后面的項(xiàng)全為負(fù)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和為角度3：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）的和典型例題例題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知，，所以，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，于是可得.故選：A.例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于________．【答案】【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列共有項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，所以，，解得.故答案為：.例題3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且前項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為7:6，則中間項(xiàng)為_(kāi)_______．【答案】29【詳解】因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以，解得．所以，所以．故所求的中間項(xiàng)為29．故答案為：29練透核心考點(diǎn)五1．（2023秋·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.故選：C.2．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┯洖榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和．若，則_______．【答案】666【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得，解得，又，所以，由可得，所以.故答案為：666.3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于（

）A．9 B．10C．11 D．12【答案】B【詳解】分別設(shè)該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和分別為∴，∴，∴n＝10，故選:B.4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，則，，中間項(xiàng)為，故，，故選：B.5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為15，則這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)是______．【答案】3【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則由奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為15，得，，解得，，所以，故這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)是3，故答案為：3．6．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，.（2）解：.因此，.7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，．所以．由得，即數(shù)列的前5項(xiàng)為正，其余各項(xiàng)為負(fù)．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即．高頻考點(diǎn)六：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)角度1：等差數(shù)列的片段和性質(zhì)典型例題例題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列前項(xiàng)的和為，前項(xiàng)的和為，則它的前項(xiàng)的和為（

）A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【詳解】利用等差數(shù)列的性質(zhì)：成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選：C.例題2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故選：A.例題3．（2023秋·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)?？计谀┯洖榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和．若，，則______．【答案】【詳解】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、成等差數(shù)列，所以，，即，解得.故答案為：.角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和的比的問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谥校┑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【詳解】∵，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式可得，.故選：B.例題2．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】即，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和形式滿足，故.則，故.故選：A例題3．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則__________．【答案】【詳解】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，故設(shè)，則，,所以，故答案為：練透核心考點(diǎn)六1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A．9 B．11 C．13 D．25【答案】B【詳解】設(shè)公差為，，因?yàn)椋?，故選:B.2．（2023春·廣東梅州·高二豐順縣豐順中學(xué)校聯(lián)考期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，且，，則=（

）A．70 B．90 C．100 D．120【答案】D【詳解】在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列，所以，則，即.故選：D.3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列,故故選:C4．（2023春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列{}和}的前n項(xiàng)和分別為和，且，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】因等差數(shù)列前n項(xiàng)和為關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，又，則可設(shè)，，則.故選：A5．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________【答案】【詳解】由題設(shè)成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：6．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：高頻考點(diǎn)七：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的函數(shù)特征角度1：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·山西呂梁·高二山西省交城中學(xué)校統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若的最大值僅為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由得，則，有，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，，令，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，，對(duì)稱軸，由的最大值僅為可得解得．故選：B．例題2．（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若時(shí)，最小，則=___________.【答案】【詳解】解法一：因?yàn)椋援?dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，，所以，最小，即.解法二：因?yàn)椋裕?，又，所以時(shí)，最小，最小為.故答案為：.例題3．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②得，，即，即,所以，且，所以是以1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值，.角度2：根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值求參數(shù)典型例題例題1．（多選）（2023秋·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則使最大的的取值可以是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】BC【詳解】令，則，且，故時(shí)恒成立，所以使最大的的取值為10或11.故選：BC例題2．（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和取得最大值，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】等差數(shù)列的首項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，其前n項(xiàng)和取得最大值，則，即，解得．故答案為：例題3．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)若，求的公差；(2)若，且是數(shù)列中最大的項(xiàng)，求所有可能的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.（2）由（1）得，由于是數(shù)列中最大的項(xiàng)，①，所以，即即解得，由于是整數(shù)，所以的可能取值是.練透核心考點(diǎn)七1．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：對(duì)恒成立，且，其前n項(xiàng)和有最大值，則使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．17【答案】C【詳解】由數(shù)列滿足對(duì)恒成立可知，數(shù)列為等差數(shù)列；設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，若前n項(xiàng)和有最大值，則可知，因此，又，所以，可得，所以，即；所以，使得的最大的n的值是.故選：C2．（2023春·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，若它的前項(xiàng)和有最大值，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)橛凶畲笾担剩?，又，即一正一?fù)，而，所以，，又由得，故所以，，則，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：A.3．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，，是與的等比中項(xiàng)，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【詳解】由是與的等比中項(xiàng)，得，即，即，又，所以，所以，所以，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故答案為：.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為_(kāi)____．【答案】【詳解】∵Sn＝7n，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，∴，即，解得：，綜上：d的取值范圍為．故答案為：5．（2023春·北京·高二北京市第一六一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，，.(1)判斷是否是數(shù)列中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由；(2)求的最值.【答案】(1)不是，理由見(jiàn)解析(2)的最小值為，無(wú)最大值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，.令，解得，因此，不是數(shù)列中的項(xiàng).（2）由題意可得，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，無(wú)最大值.6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，令為數(shù)列的前項(xiàng)和．問(wèn)是否有最值?若有，請(qǐng)求出最值．【答案】有最大值，沒(méi)有最小值【詳解】由，得，所以數(shù)列是以為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，有最大值，有最大值，但沒(méi)有最小值．第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究，他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來(lái)表示數(shù)，稱為形數(shù)，形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶；下圖為五角形數(shù)的前4個(gè)，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①第9個(gè)五角形數(shù)比第8個(gè)五角形數(shù)多25；②前8個(gè)五角形數(shù)之和為288；③記所有的五角形數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列，則的前20項(xiàng)和為610；則正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】根據(jù)圖形知：，，則，①正確；，②正確；，數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為的等差數(shù)列，前20項(xiàng)和為，③錯(cuò)誤.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛球的總個(gè)數(shù)為（

）（參考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．1580【答案】C【詳