高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)第03講等比數(shù)列及其前n項和(九大題型)(講義)(原卷版+解析)

第03講等比數(shù)列及其前n項和目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解等比數(shù)列的概念．（2）掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．2023年甲卷（理）第5題，5分2023年II卷第8題，5分2023年乙卷（理）第15題，5分高考對等比數(shù)列的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是（1）選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實際問題或其他知識考查．知識點一．等比數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．（2）等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?．知識點二．等比數(shù)列的有關(guān)公式（1）等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式：（2）等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為注①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．③，為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．知識點三．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比中項的推廣．若時，則，特別地，當(dāng)時，．（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定）．當(dāng)或時，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．（4）其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時，不為偶數(shù)）．【解題方法總結(jié)】（1）若，則．（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為．（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．（6）當(dāng)，時，是成等比數(shù)列的充要條件，此時．（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平方．（8）若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1．（2023·北京·高三匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．9 B．72 C．9或70 D．9或例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知遞增的等比數(shù)列中，前3項的和為7，前3項的積為8，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8例3．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，且，則（

）A． B． C． D．變式1．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，若，，則公比q應(yīng)為（

）A． B． C． D．－2變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40變式3．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則該數(shù)列的以及依次為（

）A．682， B．， C．682，或 D．，或變式4．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列{}的前n項和為，若，則=（

）A．64 B．81 C．128 D．192變式5．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前4項和為，，則（

）A． B． C．1 D．2【解題方法總結(jié)】等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略（1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量，，，，，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．（2）等比數(shù)列的前項和公式涉及對公比的分類討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，．題型二：等比數(shù)列的判定與證明例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．(1)試用，表示，．(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項和．證明：(1)是等比數(shù)列．(2)．例6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲、乙、丙三個小學(xué)生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設(shè)第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項；(2)求證：當(dāng)n為偶數(shù)時，.變式6．（2023·廣東東莞·?？既＃┮阎獢?shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的首項，且，記.(1)求；(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(3)求.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列、滿足，，，，且，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前和滿足，(1)求的值及與的關(guān)系；(2)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式.變式10．（2023·云南·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列有遞推關(guān)系，，記，若數(shù)列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數(shù)項.(1)求實數(shù)的值；(2)證明：為等比數(shù)列，并求其首項和公比.變式11．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項和．變式12．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項和．【解題方法總結(jié)】等比數(shù)列的判定方法定義法若（為非零常數(shù)，或（為非零常數(shù)且，），則是等比數(shù)列中項公式法若數(shù)列中，且，則是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列的通項公式可寫成（均為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列前項和公式法若數(shù)列的前項和（為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用例7．（2023·全國·高三對口高考）已知等比數(shù)列的前n項和為，則__________.例8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）若m，n是函數(shù)的兩個不同零點，且m，n，這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則__________.例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，且、是函數(shù)的兩個零點，則___________.變式13．（2023·高三課時練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項的乘積為1，則______．變式14．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程的兩個根，則_________.變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為_____________.變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于_____________.變式17．（2023·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則__________.變式19．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的首項為，且，則__________.變式20．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則______________．【解題方法總結(jié)】（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，則．”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．題型四：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)例10．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項和.若，，則的值為__________.例11．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.例12．（2023·高三課時練習(xí)）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和，且，，則______.變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為______.變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比__________.變式24．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，，，則___________.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則，的等差中項為__________.變式26．（2023·江西南昌·南昌十中?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為_______【解題方法總結(jié)】（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質(zhì)，設(shè)公比為．①若共有項，則；②若共有項，．（2）等比數(shù)列中，表示它的前項和．當(dāng)時，有也成等比數(shù)列，公比為．題型五：求數(shù)列的通項例13．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）記數(shù)列的前n項和為，已知向量，，若，且，則通項為________．例14．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列和滿足，，，.則數(shù)列的通項______.例15．（2023·上海浦東新·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)冪函數(shù)，數(shù)列滿足：，且（），則數(shù)列的通項__．變式27．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）寫出一個滿足前5項的和為31，且遞減的等比數(shù)列的通項___________．變式28．（2023·山西太原·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項_______．變式29．（2023·上海·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項___________．變式30．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{}的通項與前n項和之間滿足關(guān)系則=__________變式31．（2023·上海·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項的通項，由與中公共項，并按原順序組成一個新的數(shù)列，求的前項和.【解題方法總結(jié)】（1）等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式：（2）等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為題型六：奇偶項求和問題的討論例16．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．例17．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項和．例18．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和．變式32．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）設(shè)為等比數(shù)列，為公差不為零的等差數(shù)列，且，，.(1)求和的通項公式；(2)記的前項和為，的前項和為，證明：；(3)記，求.變式33．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列{}的前n項和，已知，數(shù)列{}滿足.(1)求數(shù)列{}與數(shù)列{}的通項公式；(2)數(shù)列{}滿足，n為偶數(shù)，求{}前2n項和.變式34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前2n項和.變式35．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列滿足：，且對任意的，(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.變式36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的通項公式．【解題方法總結(jié)】求解等比數(shù)列的前項和，要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數(shù)的值；對于奇偶項通項不統(tǒng)一問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項和為，數(shù)列滿足，求證：(1)數(shù)列為等差數(shù)列；(2)數(shù)列中任意三項均不能構(gòu)成等比數(shù)列.例20．（2023·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考期末）在等差數(shù)列中，．(1)求等差數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項和，且，___________.在①，，成等比數(shù)列，②，③數(shù)列為等差數(shù)列，這三個條件中任選一個填入橫線，使得條件完整，并解答：(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.變式37．（2023·四川資陽·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，（其中）成等差數(shù)列．問：，，是否成等差數(shù)列？并說明理由．變式38．（2023·江蘇·高考真題）已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前n項和.(1)若（m，k是大于2正整數(shù)），求證：；(2)若（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項；(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.變式39．（2023·河南開封·高三校考階段練習(xí)）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為等差數(shù)列的前項和，求使成立的的最大值.變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是遞增的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.若存在，求出這樣的項；若不存在，請說明理由．變式41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，，.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前n項和.【解題方法總結(jié)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題例22．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項為 B．?dāng)?shù)列的最小項為C．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④例24．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11變式42．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和（

）．A．無最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，無最小值 D．無最大值，無最小值變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定變式44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是遞增的等比數(shù)列，且，則其公比滿足（

）A． B．C． D．變式45．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)無窮等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列有最大項 D．?dāng)?shù)列有最小項變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是數(shù)列中的最大值C． D．?dāng)?shù)列無最大值變式49．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值變式50．（2023·黑龍江哈爾濱·高三尚志市尚志中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；②；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④變式52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，，，.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，若，都有成立，求實數(shù)的范圍.變式53．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列是首項與公比都為的等比數(shù)列，其中，且，且是遞增數(shù)列，求的范圍.變式54．（2023·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對恒成立，則的范圍為______.變式55．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為q，前n項和，若對于任意正整數(shù)n有，則q的范圍為____________.變式56．（2023·北京東城·北京市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）若三角形三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍是_____.題型九：等比數(shù)列的實際應(yīng)用例25．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為數(shù)列，且滿足遞推公式：為數(shù)列的前項和，則__________（答案精確到1）.例26．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┲袊糯鷶?shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.例27．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┠掣咧袌D書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務(wù)，其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生的屆別+班級+學(xué)號+特別碼構(gòu)成.這個特別碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個相鄰數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學(xué)生屆別數(shù)對應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個數(shù)的個位數(shù)字，如：1997屆3班21號學(xué)生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個數(shù)的個位數(shù)字）.若已知某畢業(yè)生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業(yè)生是______屆2班13號學(xué)生.變式57．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內(nèi)切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設(shè)圓，圓…的面積依次為，…，那么__________．變式58．（2023·陜西寶雞·高三寶雞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著數(shù)列的相關(guān)知識，已知長度為4的線段，取的中點C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則________．變式59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）是無理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形，則第個黃金三角形的腰長為________（寫出關(guān)于表達(dá)式即可）.變式60．（2023·全國·校聯(lián)考三模）88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數(shù)列．若中音A（左起第49個鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個鍵的音的頻率為___________．1．（2023?甲卷（理））已知等比數(shù)列中，，為前項和，，則A．7 B．9 C．15 D．302．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項和，若，，則A．120 B．85 C． D．3．（2023?天津）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為A．3 B．18 C．54 D．152

第03講等比數(shù)列及其前n項和目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解等比數(shù)列的概念．（2）掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．2023年甲卷（理）第5題，5分2023年II卷第8題，5分2023年乙卷（理）第15題，5分高考對等比數(shù)列的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是（1）選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實際問題或其他知識考查．知識點一．等比數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．（2）等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?．知識點二．等比數(shù)列的有關(guān)公式（1）等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式：（2）等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為注①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．③，為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．知識點三．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比中項的推廣．若時，則，特別地，當(dāng)時，．（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定）．當(dāng)或時，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．（4）其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時，不為偶數(shù)）．【解題方法總結(jié)】（1）若，則．（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為．（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．（6）當(dāng)，時，是成等比數(shù)列的充要條件，此時．（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平方．（8）若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1．（2023·北京·高三匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．9 B．72 C．9或70 D．9或【答案】D【解析】由題意，，在等比數(shù)列中，，，設(shè)公比為，，即，解得或，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，.故選：D.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知遞增的等比數(shù)列中，前3項的和為7，前3項的積為8，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由前3項的和為7，得前3項的積為8，得，即，則，代入，得，即，解得或，因為為遞增的等比數(shù)列，所以，則，所以，故選：D．例3．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以，解得，A錯誤，C錯誤，D正確，所以，B錯誤；故選：D.變式1．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）在等比數(shù)列中，若，，則公比q應(yīng)為（

）A． B． C． D．－2【答案】D【解析】因為，解得q＝－2.故選：D變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【解析】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.變式3．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則該數(shù)列的以及依次為（

）A．682， B．， C．682，或 D．，或【答案】C【解析】根據(jù)題意，得，解方程得，或，，或.故選：C變式4．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列{}的前n項和為，若，則=（

）A．64 B．81 C．128 D．192【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故選：B.變式5．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前4項和為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾；所以，則，解得，所以．故選：A．【解題方法總結(jié)】等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略（1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量，，，，，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．（2）等比數(shù)列的前項和公式涉及對公比的分類討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，．題型二：等比數(shù)列的判定與證明例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．(1)試用，表示，．(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．【解析】（1）由題意，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為，所以，．（2）由（1）知，，，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，因為％，所以①，又因為

②．聯(lián)立①②得，．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項和．證明：(1)是等比數(shù)列．(2)．【解析】（1）∵，∴，兩式相減得：，即．∴．當(dāng)時，，即又∵，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得，所以令，則．不等式左邊的前2n項和．又，∴原不等式得證．例6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲、乙、丙三個小學(xué)生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設(shè)第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項；(2)求證：當(dāng)n為偶數(shù)時，.【解析】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，故，且故，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，由，得，，，，……………，以上各式相加，可得；（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，則，∵當(dāng)n為偶數(shù)時，，∴.變式6．（2023·廣東東莞·校考三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設(shè)，則，兩式相減得，從而∴.變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的首項，且，記.(1)求；(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(3)求.【解析】（1）由題意可知：（2）由，而，若，則，顯然不能是等比數(shù)列，若，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（3）由（2）可知，若，則為常數(shù)列，各項均為0，故；若，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的求和公式得：=.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列、滿足，，，，且，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題可知：，，故可得，又，∴，∴，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列.（2）方法一：∵是遞增數(shù)列，∴對任意恒成立，∵，∴則對任意恒成立，即對任意恒成立，由（1）知，∴對任意恒成立，因為當(dāng)時取得最大值，且最大值為1，所以，即實數(shù)的取值范圍為.方法二：得即，又，故數(shù)列為首項，公差的等差數(shù)列，所以，又由（1）知，所以，因為是遞增數(shù)列，所以對任意恒成立.所以，所以，所以，因為當(dāng)時取得最大值，且最大值為1，所以，即實數(shù)的取值范圍為.變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前和滿足，(1)求的值及與的關(guān)系；(2)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式.【解析】（1）因為，所以，又，所以，故當(dāng)時，，得；（2）由（1）知，則有，由于，故，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.變式10．（2023·云南·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列有遞推關(guān)系，，記，若數(shù)列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數(shù)項.(1)求實數(shù)的值；(2)證明：為等比數(shù)列，并求其首項和公比.【解析】（1）因為，所以，，由已知得，所以，解得或，因為，所以.（2）由（1）知，，，，，，因為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為.變式11．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項和．【解析】（1）由題意得．又因為，所以．所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得．所以．所以.變式12．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項和．【解析】（1）因為，，所以，，又由，得，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．【解題方法總結(jié)】等比數(shù)列的判定方法定義法若（為非零常數(shù)，或（為非零常數(shù)且，），則是等比數(shù)列中項公式法若數(shù)列中，且，則是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列的通項公式可寫成（均為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列前項和公式法若數(shù)列的前項和（為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用例7．（2023·全國·高三對口高考）已知等比數(shù)列的前n項和為，則__________.【答案】【解析】由題意可得，，，故有.故答案為：例8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）若m，n是函數(shù)的兩個不同零點，且m，n，這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則__________.【答案】【解析】由題可得，則成等比數(shù)列，得.又不妨設(shè)，則成等差數(shù)列，得.結(jié)合，可得，解得或（舍去），即.故答案為：例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，且、是函數(shù)的兩個零點，則___________.【答案】【解析】因為在數(shù)列中，，，則，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，因為、是函數(shù)的兩個零點，由韋達(dá)定理可得，因為，可得，所以，，由等比中項的性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.變式13．（2023·高三課時練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項的乘積為1，則______．【答案】16【解析】由題意得：，故，故，所以.故答案為：16變式14．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程的兩個根，則_________.【答案】5【解析】因為與是方程的兩個根，所以，因為為正項等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：5.變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為_____________.【答案】或【解析】∵，，∴是方程的兩根，∴或，∵，∴或，∴或故答案為：或變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于_____________.【答案】27【解析】依題意，，所以，所以或（舍去），所以.故答案為：變式17．（2023·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．【答案】4【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，則，解得，所以．故答案為：4．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則__________.【答案】【解析】由題意可知，，所以；由等比數(shù)列性質(zhì)可得；又因為函數(shù)，所以，即，所以；令，則；所以，即.故答案為：變式19．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的首項為，且，則__________.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式的計算得到：，所以.由等比數(shù)列的性質(zhì)得到：.故答案為128.變式20．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則______________．【答案】240【解析】因為，所以，所以；.故填240.【解題方法總結(jié)】（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，則．”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．題型四：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)例10．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項和.若，，則的值為__________.【答案】40【解析】因為，，所以，，則等比數(shù)列的公比，所以，，也是等比數(shù)列，所以，，也是等比數(shù)列，所以，即，解得或，又，所以.故答案為：40.例11．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.【答案】510【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，，，…，，…構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，且是該等比數(shù)列的前8項和，所以.故答案為：510.例12．（2023·高三課時練習(xí)）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)公比為.當(dāng)時，，則，此時有；當(dāng)時，因為，，，所以，，所以，，所以，當(dāng)時，有最小值為.綜上所述，的最小值為.故答案為：.變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和，且，，則______.【答案】600【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為因為等比數(shù)列的前n項和為，所以，，，成等比數(shù)列，因為，，所以，解得或，因為，所以，則，由，，成等比數(shù)列，可得即，解得，故答案為：600變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為______.【答案】91【解析】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴.方法二：設(shè)公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比__________.【答案】/【解析】由，得.又正項等比數(shù)列的前項和為，故，∴，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴故，解得：因為等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，所以，故故答案為：變式24．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，，，則___________.【答案】/【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，得，故，所以.故答案為：.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則，的等差中項為__________.【答案】/【解析】設(shè)，因為為等比數(shù)列，所以，，成等比數(shù)列.因為，，所以，解得或（舍去）.所以，的等差中項為.故答案為：.變式26．（2023·江西南昌·南昌十中?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為_______【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.若，當(dāng)為偶數(shù)時，，不合乎題意，所以，，由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、、成等比數(shù)列，且公比為，所以，，，因此，.故答案為：.【解題方法總結(jié)】（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質(zhì)，設(shè)公比為．①若共有項，則；②若共有項，．（2）等比數(shù)列中，表示它的前項和．當(dāng)時，有也成等比數(shù)列，公比為．題型五：求數(shù)列的通項例13．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）記數(shù)列的前n項和為，已知向量，，若，且，則通項為________．【答案】【解析】∵，∴，當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，，兩式作差得：，即，所以是以為公比，1為首項的等比數(shù)列，則，又不符合上式，所以.故答案為：.例14．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列和滿足，，，.則數(shù)列的通項______.【答案】【解析】，，又，所以數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列故答案為：例15．（2023·上海浦東新·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)冪函數(shù)，數(shù)列滿足：，且（），則數(shù)列的通項__．【答案】【解析】∵，∴，∵，∴數(shù)列各項均為正數(shù)，且各項均不為，∴，∴數(shù)列各項均不為，∴，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴.故答案為：.變式27．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）寫出一個滿足前5項的和為31，且遞減的等比數(shù)列的通項___________．【答案】（答案不唯一）【解析】不妨設(shè)，依題意數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，所以，又，所以取公比，所以，滿足題意，所以.故答案為：（答案不唯一）.變式28．（2023·山西太原·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項_______．【答案】【解析】先求得時；再由可得時,兩式作差可得,進(jìn)而求解.當(dāng)時,,解得；由,可知當(dāng)時,,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:變式29．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項___________．【答案】【解析】當(dāng)時，，兩式相減得，所以當(dāng)時，是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，不滿足上式，所以.考點：數(shù)列已知求.【思路點晴】已知求是一種非常常見的題型，這些題都是由與前項和的關(guān)系來求數(shù)列的通項公式，可由數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系是，注意：當(dāng)時，若適合，則的情況可并入時的通項；當(dāng)時，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．變式30．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{}的通項與前n項和之間滿足關(guān)系則=__________【答案】【解析】當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，整理得，即是以為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)n=1時也符合，故答案為：變式31．（2023·上海·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項的通項，由與中公共項，并按原順序組成一個新的數(shù)列，求的前項和.【解析】設(shè)，即.，即為奇數(shù)，，∴．【解題方法總結(jié)】（1）等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式：（2）等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為題型六：奇偶項求和問題的討論例16．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．【解析】（1）因為所以，，，所以．又因為，所以，所以．因為，所以，又因為，所以，所以，所以，即，所以，又因為，所以，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因為，所以，即，所以，所以，因為，，所以是一個增數(shù)列，因為，，所以滿足題意的n的最小值是20．例17．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）由題意可得：，且，則，所以數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知：，即，可得：，所以，即，則，可得，則，兩式相減得：，所以.例18．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）由，得所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當(dāng)為奇數(shù)時，．當(dāng)為偶數(shù)時．所以變式32．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）設(shè)為等比數(shù)列，為公差不為零的等差數(shù)列，且，，.(1)求和的通項公式；(2)記的前項和為，的前項和為，證明：；(3)記，求.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意，，即，解得.所以.因為，，所以，從而.（2）由（1）知，，所以.因為，所以.（3）因為，所以．變式33．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列{}的前n項和，已知，數(shù)列{}滿足.(1)求數(shù)列{}與數(shù)列{}的通項公式；(2)數(shù)列{}滿足，n為偶數(shù)，求{}前2n項和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，即，，.，①，②所以①-②得，，.當(dāng)時，，符合..（2），依題有：.記，則.記，則.所以.變式34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前2n項和.【解析】（1）設(shè)首項為，公比為q.因，則.又各項為正數(shù)，則，故；（2）由（1）及題意可得，；當(dāng)為奇數(shù)時，；則當(dāng)為偶數(shù)時，..變式35．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)校考三模）已知數(shù)列滿足：，且對任意的，(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【解析】（1），.由題意得，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列.（2）由（1）知.運(yùn)用分組求和，可得.變式36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的通項公式．【解析】因為數(shù)列滿足，，則，因為，所以，，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，因為，所以，.所以，當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則，所以，；當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則，此時，.綜上所述，.【解題方法總結(jié)】求解等比數(shù)列的前項和，要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數(shù)的值；對于奇偶項通項不統(tǒng)一問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項和為，數(shù)列滿足，求證：(1)數(shù)列為等差數(shù)列；(2)數(shù)列中任意三項均不能構(gòu)成等比數(shù)列.【解析】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以數(shù)列的公差為，，則，又，，故數(shù)列為等差數(shù)列.（2）證明：假設(shè)數(shù)列中存在不同三項構(gòu)成等比數(shù)列，不妨設(shè)、、（、、均不相等）成等比數(shù)列，即，由數(shù)列的通項公式可得，將此式展開可得，所以有，即，所以，，所以，，化簡整理得，，與假設(shè)矛盾，故數(shù)列中任意三項均不能構(gòu)成等比數(shù)列.例20．（2023·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，．(1)求等差數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題知，則，解得．（2）設(shè)數(shù)列的通項公式為，則，，則．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項和，且，___________.在①，，成等比數(shù)列，②，③數(shù)列為等差數(shù)列，這三個條件中任選一個填入橫線，使得條件完整，并解答：(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為選擇①：由題意得，故，解得，所以.選擇②：由題意得，即解得，所以.選擇③：由題意得，故，解得，所以.（2）由當(dāng)為奇數(shù)時，，得數(shù)列的前項中奇數(shù)項的和為，由當(dāng)為偶數(shù)時，，得數(shù)列的前項中偶數(shù)項的和為，故.變式37．（2023·四川資陽·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，（其中）成等差數(shù)列．問：，，是否成等差數(shù)列？并說明理由．【解析】，，成等差數(shù)列.理由如下：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由于，，（其中）成等差數(shù)列，所以，若，則有，，顯然不成立，故公比．于是有，即有，即，故有．則，即，成立，所以，，成等差數(shù)列.變式38．（2023·江蘇·高考真題）已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前n項和.(1)若（m，k是大于2正整數(shù)），求證：；(2)若（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項；(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，可得，；因為，故，，故.（2），由可得，解得或，但，故，因為為正整數(shù)，故是整數(shù)；設(shè)數(shù)列中任意一項為，只要證明數(shù)列中存在某一項，使得即可，即方程關(guān)于有正整數(shù)解即可.則，，也即，若，則，那么，；若，則（舍）；若，則（舍）；若，則為正整數(shù)，又因為，故只要考慮時的情況，此時是正整數(shù).數(shù)列中任意一項與數(shù)列中的第項相等，故結(jié)論成立.（3）設(shè)數(shù)列中有三項成等差數(shù)列，則有，設(shè)，則，令，則，，因為，故（舍去負(fù)根），故存在使得中有三項成等差數(shù)列.變式39．（2023·河南開封·高三校考階段練習(xí)）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為等差數(shù)列的前項和，求使成立的的最大值.【解析】（1）因為，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，解得，所以.（2）由可得，由

得又，所以的最大值為13.變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是遞增的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.若存在，求出這樣的項；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，是遞增的等比數(shù)列且，；則，解得：（舍）或；.（2）由題意知：，即；假設(shè)存在項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即；成等差數(shù)列，，代入上式得：，，化簡得：，，不合題意；綜上所述：不存在項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.變式41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，，.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前n項和.【解析】（1）證明：因為時，，則，即，，·因為，·則①，所以②，則①②得，即，·所以為等差數(shù)列.（2）由（1）可得的首項為，公差為，所以，所以，所以，則，記的前n項和為，則①，所以②，則①②得，·所以，·所以.·【解題方法總結(jié)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題例22．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項為 B．?dāng)?shù)列的最小項為C．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列【答案】D【解析】對于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當(dāng)為偶數(shù)時，，，最小；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.故選：D.例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】對于①：，，，，．又，，且，，故①正確；對于②：，故②錯誤；對于③：，故③正確；對于④：，，故④正確．故選：D．例24．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得.有，由數(shù)列單調(diào)遞減，所以取得最大值時的值為9，故選：B.變式42．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和（

）．A．無最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，無最小值 D．無最大值，無最小值【答案】C【解析】若公比為，則，又，故，所以為單調(diào)遞增數(shù)列且，則在時取最大值，但無最小值.故選：C變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定【答案】A【解析】因為滿足，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，又因為，所以單調(diào)遞增，故選：A變式44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是遞增的等比數(shù)列，且，則其公比滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】是等比數(shù)列，故，當(dāng)時，各項正負(fù)項間隔,為擺動數(shù)列,故,顯然，由得，又是遞增的等比數(shù)列，故為遞減數(shù)列,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知.故選:D變式45．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】設(shè)公比為，則，由，得，因為，所以為遞增數(shù)列，所以，所以，，，，，，，，所以n的最小為8.故選：D．變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)無窮等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列有最大項 D．?dāng)?shù)列有最小項【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，則，由可得且，對于AB選項，若，，當(dāng)為奇數(shù)時，，此時，則，當(dāng)為偶數(shù)時，，此時，則，此時數(shù)列不單調(diào)，AB都錯；對于CD選項，，當(dāng)時，此時數(shù)列單調(diào)遞增，則有最小項，無最大項；當(dāng)時，若為正奇數(shù)時，，則，此時單調(diào)遞減，則；當(dāng)為正偶數(shù)時，，則，此時單調(diào)遞增，則.故當(dāng)時，的最大值為，最小值為.綜上所述，有最小項.故選：D.變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為【答案】B【解析】若，，，則與矛盾，若，，，則與矛盾，，故B正確；，則，，故A錯誤；，單調(diào)遞增，故D錯誤；，，故C錯誤．故選：B．變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是數(shù)列中的最大值C． D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】C【解析】等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，又由，即，又，則有或，又當(dāng)時，可得，由，則與矛盾所以，則有，由此分析選項：對于A，，故，故A錯誤；對于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因為，所以前項積為中，是數(shù)列中的最大項，故B錯誤；對于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；對于D，由B的結(jié)論知是數(shù)列中的最大項，故D錯誤.故選：C.變式49．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】B【解析】當(dāng)時，則，不合乎題意；當(dāng)時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯誤故選：B.變式50．（2023·黑龍江哈爾濱·高三尚志市尚志中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】D【解析】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項均為正值，若，當(dāng)時，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因為，所以，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項，故正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故錯誤．故選：．變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；②；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【解析】，，，，．，故①正確；，，故②不正確；，是數(shù)列中的最大項，故③正確；，，使成立的最大自然數(shù)等于4038，故④不正確．正確結(jié)論的序號是①③．故選：B．變式52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，，，.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，若，都有成立，求實數(shù)的范圍.【解析】（1），.，，.又，，，數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別是以2，4為首項，4為公差的等差數(shù)列.當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，，（2）方法一：，.，.方法二：，，，，∴時，為遞增數(shù)列，時，為遞減數(shù)列，若，都有成立，只需使，則且，則.變式53．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列是首項與公比都為的等比數(shù)列，其中，且，且是遞增數(shù)列，求的范圍.【解析】因為數(shù)列是首項與公比都為的等比數(shù)列，所以.因為是遞增數(shù)列，所以，即.當(dāng)時，，，符合題意；當(dāng)，，若，則恒成立，因為，所以.綜上，或.變式54．（2023·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對恒成立，則的范圍為______.【答案】【解析】因為，所以，所以因為，所以，即對恒成立，對恒成立，因為，所以，又因為是正數(shù)數(shù)列，所以，所以的取值范圍為.故答案為：變式55．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測