高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專項訓(xùn)練：隨機變量及其分布列（題型戰(zhàn)法）

第十章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布列

10.4.1隨機變量及其分布列（題型戰(zhàn)法）

知識梳理

一離散型隨機變量的分布列

一般地，當(dāng)離散型隨機變量X的取值范圍是｛尤1,及，…，龍〃｝時，如果對任意左G｛1,2,n],概率尸8=詞=外

都是已知的，則稱X的概率分布是已知的.

離散型隨機變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個表格稱為X的概率分布或分布列.

XXIX2XkXn

PPiP2PkPn

二二項分布與超幾何分布

1.獨立重復(fù)試驗

在相同條件下重復(fù)做〃次伯努利試驗時，人們總是約定這〃次試驗是互相獨立的，此時這〃次伯努

利試驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.

2.二項分布

一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為小記q=l-p,且〃次獨立重復(fù)試驗中出現(xiàn)“成

功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是｛0,1,2,…，k,n｝,而且P（X"）=C：pkq"T,60,1,

2,n,X的分布列為：

X01kn

C；pkq"fn

pC：Pq°

X服從參數(shù)為“p的二項分布，記作X?B（〃，p）

3.超幾何分布

一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件（“<N）,從所有物品中隨機取出〃

件（〃就），則這〃件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量，X能取不小于/且不大于s的所有

自然數(shù)，其中S是M與〃中的較小者，/在〃不大于乙類物品件數(shù)(即時取0,否則「取〃減

^N-M

乙類物品件數(shù)之差(即而且P(X=?=k=t,t+\,...,s,這里的X稱為服從

5

參數(shù)N,“，M的超幾何分布，記作X~H(N,”，M).

如果X~"(N,n,M?且〃+MWW0,則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時X的分布列如下表:

X01ks

1

p

CMC'MCM

三隨機變量的數(shù)字特征

1、均值

(1)定義：一般地，由離散型隨機變量X的分布列E(&=X1°+X202+...+X"P"=￡XM為離散型隨機

Z=1

變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望).

(2)常見的均值

①若離散型隨機變量X服從參數(shù)為〃和p的二項分布，即乂~3(“，p),則E(X)=〃p.

②若離散型隨機變量X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布，即X~”(N,n,M),則E(X)=—

N

(3)性質(zhì)：已知X是一個隨機變量，設(shè)a,A都是實數(shù)且awO,則Y=aX+〃也是一個隨機變量，

那么，￡(7)=aF(X)+b.

2.方差

(1)定義：由離散型隨機變量X的分布列O(X)=[xr-E(X)]2Pl+[x2-E(X)]2P2+…+[xn-

E(X)]2pn=￡?-E(X)]2p叫做這個離散型隨機變量x的方差；4D(X)稱為離散型隨機變量X的標準

Z=1

差.離散型隨機變量X的方差和標準差反映了離散型隨機變量取值相對于均值的離散程度(或波動大小).

(2)常見的方差

①若離散型隨機變量X服從參數(shù)為"和p的二項分布，即乂~8(小p),則。(田=秋(1-p).

(3)性質(zhì)：已知X是一個隨機變量，設(shè)a,〃都是實數(shù)且awO,則Y=aX+〃也是一個隨機變量，

那么，￡>(r)=a2D(X).

四正態(tài)分布

1.正態(tài)曲線

（X-|1）2

1

（1）定義:一般地，函數(shù)0（x）=后對應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線（也稱“鐘形曲線”，姒X）也常記為

叫。（X）.其中"=￡（田，即X的均值*=JD（X）,即X的標準差.

（2）正態(tài)曲線的性質(zhì)

①正態(tài)曲線關(guān)于％=〃對稱（即"決定正態(tài)曲線對稱軸的位置），具有中間高、兩邊低的特點；

②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；

③。決定正態(tài)曲線的“胖瘦”。越大，說明標準差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”"越

小，說明標準差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”.

2.正態(tài)分布

如果隨機變量X落在區(qū)間［a,方內(nèi)的概率，總等于對應(yīng)的正態(tài)曲線%”（x）與x軸在區(qū)間出，切內(nèi)圍

成的面積，則稱X服從參數(shù)為〃和。的正態(tài)分布，記作X~NQ,〃）.

"是X的平均值，。是X的標準差，標是X的方差.

由正態(tài)曲線的性質(zhì)及前面例題可知，如果X~N〃，/）,那么

P(X<tz)=P(X>JLI)=0.5,

P(|X-/z|<<7)=P(/z-tT<X<u+<7)-68.3%,

P(\X-]U\<2C7)=P(JU-2O<X<H+2(J)=95.4%,

P(|Xf區(qū)3a)=尸儂-3(j<X<^+3(7)-99.1%.

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一離散型隨機變量及其分布列

典例L設(shè)離散形隨機變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.30.3

若隨機變量y=|x-i|,則尸(y=i)等于()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

變式1-L設(shè)隨機變量X的分布列如下表所示，且磯X）=1.6,則等于（）

X0123

P0.1ab0.1

A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4

變式1-2.已知隨機變量X的分布列如下表:

X-2012

j_J_

pnm

63

若E(X)=0,則。(3X-1)=()

A.6B.7C.20D.21

變式1-3.隨機變量X的分布列如下：若y=3X+l,則E（y）的值是（）

X-101

￡1

Pa

63

A.-B.1C.2D.3

3

變式1-4.小林從A地出發(fā)去往8地，1小時內(nèi)到達的概率為0.4,1小時10分到達的概率為0.3,

1小時20分到達的概率為03現(xiàn)規(guī)定1小時內(nèi)到達的獎勵為200元，若超過1小時到達，則每超

過1分鐘獎勵少2元.設(shè)小林最后獲得的獎勵為X元，則E（X）=（）

A.176B.182C.184D.186

典例2.甲，乙兩位同學(xué)組隊去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對

一題后，乙同學(xué)才有機會答題，同樣也是兩次機會.每答對一道題得10粒小豆.已知甲每題答對的

概率均為。，乙第一題答對的概率為［第二題答對的概率為；.若乙有機會答題的概率為

JN10

⑴求P;

⑵求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量X的分布列及期望.

變式2-1.第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，而北京

也成為全球唯一主辦過夏季奧運會和冬季奧運會的雙奧之城.某學(xué)校為了慶祝北京冬奧會的召開，

特舉行奧運知識競賽.參加的學(xué)生從夏奧知識題中抽取2題，冬奧知識題中抽取1題回答，已知學(xué)

生（含甲）答對每道夏奧知識題的概率為:，答對每道冬奧知識題的概率為（每題答對與否不影

響后續(xù)答題.

⑴學(xué)生甲恰好答對兩題的概率是多少？

⑵求學(xué)生甲答對的題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

變式2-2.甲、乙兩名同學(xué)與同一臺智能機器人進行象棋比賽，計分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如

果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲

得0分.設(shè)甲贏機器人的概率為0.6,乙贏機器人的概率為0.5.求：

⑴在一輪比賽中，甲的得分X的分布列；

⑵在兩輪比賽中，甲的得分￥的分布列及期望.

變式2-3.如圖，小明家住”小區(qū)，他每天早上騎自行車去學(xué)校C上學(xué)，從家到學(xué)校有乙，4兩條

路線，右路線上有A,4,4三個路口，每個路口遇到紅燈的概率均為《；4路線上有耳，生兩

個路口，且用，層路口遇到紅燈的概率分別為3:，I3.

45

⑴若走。路線，求遇到3次紅燈的概率;

⑵若走右路線，變量X表示遇到紅燈次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

變式2-4.為了豐富學(xué)生的課外活動，某校舉辦“最強中學(xué)生”知識競賽活動.經(jīng)過前期的預(yù)賽和半決

賽，最終甲、乙兩個班級進人決賽.決賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有

平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的班級獲得冠軍.已知甲班級在三個項目中獲勝的概率分別為

0.4,0.5,0.6,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

⑴求甲班級獲得冠軍的概率；

⑵用X表示乙班級的總得分，求X的分布列與期望.

題型戰(zhàn)法二二項分布

典例3.已知隨機變量x~3(2,p),y服從兩點分布，P(x>i)=0.64,P(y=i)=。，貝UP(y=o)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

變式3-1.設(shè)隨機變量CB(2,p),〃~B(4，P),若P(金則尸5訓(xùn)=()

A.也B.竺C.IID.翌

81818181

變式3-2.假設(shè)某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響.若在兩次射擊中至多命

中一次的概率是則該射手每次射擊的命中率為()

9233

A.五B.?C.-D.-

變式3-3.將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣?小球在

下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或8袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時，

向左、右兩邊下落的概率都是則小球落入A袋中的概率為()

變式34.若乂~3(10,0.5),則P(x=左)取得最大值時，k=()

A.4或5B.5或6C.10D.5

典例4.為保護學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部于2021年1

月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強中小學(xué)生手機管理工作的通知》，幾對中小學(xué)生的手機使用和管理作

出了相關(guān)的規(guī)定.某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用手機的時間”.從該校學(xué)生中隨

機選取了100名學(xué)生，調(diào)查得到如下表所示的統(tǒng)計數(shù)據(jù).

時間〃min[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

人數(shù)630351064

⑴從該校任選1名學(xué)生，估計該學(xué)生每日使用手機的時間小于36min的概率;

⑵估計該校所有學(xué)生每日使用手機的時間7的中位數(shù)；

⑶以頻率估計概率，若在該校學(xué)生中隨機挑選3人，記這3人每日使用手機的時間在［48,72］的人

數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

變式4-1.在一個計算機網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)中，每一個設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度.

⑴若該系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備)的配置，這三臺設(shè)備中，只

要有一臺能正常工作，該網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉.設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為0.9,它們之間相互不影響.求

能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布和數(shù)學(xué)期望；

⑵若該網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7,根據(jù)以往經(jīng)驗可知，計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉可能帶來約50萬的

經(jīng)濟損失.為減少經(jīng)濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可

靠度維持在09更新設(shè)備硬件總費用為8萬元；方案2：對系統(tǒng)的設(shè)備進行維護，使得設(shè)備可靠

度維持在0.8,設(shè)備維護總費用為5萬元.請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？

變式4-2.青花釉里紅，俗稱“青花加紫”，是我國珍貴的瓷器品種之一.釉里紅的燒制工藝難度較

大，因此燒制成功率較低假設(shè)釉里紅瓷器開窯后經(jīng)檢驗分為成品和廢品兩類，從某工匠燒制的一

批釉里紅瓷器中，有放回地抽取兩次，每次隨機抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品

99

的概率為需.記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為p.

⑴求0的值.

⑵假設(shè)該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p,且每件瓷器的燒制相互獨立，這種

瓷器成品每件利潤為10萬元，廢品的利潤為0元.現(xiàn)他燒制3件這種資器，設(shè)這3件瓷器的總利

潤為X萬元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

變式4-3.某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項有關(guān)每天睡眠時間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天

睡眠時間少于7小時的學(xué)生占到40%,而每天睡眠時間不少于8小時的學(xué)生只有30%.現(xiàn)從所有問

卷中隨機抽取4份問卷進行回訪(視頻率為概率).

(1)求抽取到的問卷中至少有兩份調(diào)查結(jié)果為睡眠時間不少于7小時的概率；

⑵記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為少于7小時的份數(shù)為X,求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X).

變式4-4.《關(guān)于加快推進生態(tài)文明建設(shè)的意見》，正式把“堅持綠水青山就是金山銀山”的理念寫進

中央文件，成為指導(dǎo)中國加快推進生態(tài)文明建設(shè)的重要指導(dǎo)思想.為響應(yīng)國家號召，某市2020年

植樹節(jié)期間種植了一批樹苗，2022年市園林部門從這批樹苗中隨機抽取100棵進行跟蹤檢測，得

到樹高的頻率分布直方圖如圖所示：

A頻率

0.025---------------------I一~

0.020---------------------

0.015----------------

0.010------------------------------1_

0005LU-TTrrm.

OV185195205215225235245255265單位Gn

⑴求樹高在225-235cm之間樹苗的棵數(shù)，并求這100棵樹苗樹高的平均值；

⑵若將樹高以等級呈現(xiàn)，規(guī)定：樹高在185-205cm為合格，在205-235為良好，在235-265cm為

優(yōu)秀.視該樣本的頻率分布為總體的頻率分布，若從這批樹苗中機抽取3棵，求樹高等級為優(yōu)秀

的棵數(shù)4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

題型戰(zhàn)法三超幾何分布

典例5.設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的

不合格的件數(shù)，則尸(X=l)=()

A.—B.—C.—D.g

1510142

變式5-1.已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的

正品數(shù)為X,則E(X)=()

42

A.2B.1C.-D.4

33

變式5-2.工廠為趕上618的電商大促，甲車間連夜生產(chǎn)了10個產(chǎn)品，其中有6個正品和4個次

品，若從中任意抽取4個，則抽到的正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為()

.198

CD.

A-石-12?

變式5-3.甲同學(xué)參加青年志愿者的選拔,選拔以現(xiàn)場答題的方式進行，已知在備選的8道試題中，

甲能答對其中的4道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出4道題進行測試，設(shè)甲答對的試題

數(shù)為X,則X=3的概率為（）

變式5-4.含有海藻碘濃縮液的海藻碘鹽，是新一代的碘鹽產(chǎn)品.海藻中的碘80%為無機碘，10%~20%

為有機碘，海藻碘鹽兼?zhèn)錈o機碘和有機碘的優(yōu)點.某超市銷售的袋裝海藻碘食用鹽的質(zhì)量X（單位：

克）服從正態(tài)分布N（400,4）,某顧客購買了4袋海藻碘食用鹽，則至少有2袋的質(zhì)量超過400克的

概率為（）

A.—B.-C.-D.—

164816

典例6.為發(fā)展業(yè)務(wù),某調(diào)研組對A,B兩個公司的掃碼支付情況進行調(diào)查,準備從國內(nèi)n（neN,n>0）

個人口超過1000萬的超大城市和8個人口低于100萬的小城市中隨機抽取若干個進行統(tǒng)計.若一次

抽取2個城市，全是小城市的概率為1.

⑴求”的值；

⑵若一次抽取4個城市，

①假設(shè)抽取出的小城市的個數(shù)為X,求X的可能值及相應(yīng)的概率；

②若抽取的4個城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.

變式6-1.某校高一、高二的學(xué)生組隊參加辯論賽，高一推薦了3名男生、2名女生，高二推薦了

3名男生、4名女生.推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，最終從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中

隨機抽取3人組成代表隊.

⑴求高一至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；

⑵某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分

布列.

變式6-2.某工廠流水線檢測員每天隨機從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進行檢測，某日抽取

的100件產(chǎn)品的級別情況如柱狀圖所示：

⑴根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若從出廠的所有產(chǎn)品中

隨機取出3件，求至少有一件產(chǎn)品是一級品的概率；

⑵現(xiàn)從樣本產(chǎn)品中利用分層抽樣的方法隨機抽取10件產(chǎn)品，再從這10件產(chǎn)品中任意抽取3件，

設(shè)取到二級品的件數(shù)為鼻求隨機變量占的分布列.

變式6-3.中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)

設(shè)施，我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對國防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準化應(yīng)用也越來越

廣泛.2020年6月23日，中國第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射標志著擁有全部知識產(chǎn)權(quán)的北斗衛(wèi)星

導(dǎo)航系統(tǒng)全面建成.據(jù)統(tǒng)計，2019年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達到3450億元，較2018年約

增長14.4%.從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中選取了40個城市進行調(diào)研，上圖是這40個城市北斗衛(wèi)

星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖.

.頻率

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于600萬元的調(diào)研城市個數(shù)；

⑵在上述抽取的40個城市中任取2個，設(shè)Y為產(chǎn)值不超過600萬元的城市個數(shù)，求y的分布列及期

望和方差.

⑶把頻率視為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取5個城市，求恰有3個城市的產(chǎn)值超過在萬

元的概率.

變式6-4.某單位為豐富員工的業(yè)余生活，利用周末開展趣味野外拉練，此次拉練共分A,B,C三

大類，其中A類有3個項目，每項需花費1小時，8類有2個項目，每項需花費2小時，C類有1

個項目，每項需花費3小時.要求每位員工從中選擇3個項目，每個項目的選擇機會均等.

⑴求小張在三類中各選1個項目的概率；

⑵設(shè)小張所選3個項目花費的總時間為X小時，求X的分布列及期望.

題型戰(zhàn)法四正態(tài)分布

典例7.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布N（4,貧），N（修,g）,其相應(yīng)的

分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）

]（%-4）2

（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為了（xh-^^^e-h,xeR）

A.甲類水果的平均質(zhì)量4=0.4kgB.乙類水果質(zhì)量比甲類水果質(zhì)量更集中于均值左右

C.甲類水果平均質(zhì)量比乙類水果平均質(zhì)量大D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)4=199

變式7-1.李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的

時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，

22

X~N（A,6）,y~N（A2,2）.X和Y的分布密度曲線如圖所示.則下列結(jié)果正確的是（）

A.D(X)=6B.自>〃2

C.P(X<38)<P(y<38)D.P(X<34)<P(y<34)

變式7-2.已知隨機變量X~N(4,22),則尸(8<X<10)的值約為()

附：若y~N(〃，O-2),貝ljP(M—b<y<〃+cr)a0.6827,P(〃-2b<Y<〃+2b)70.9545,

P(〃一3cr<y<〃+3CT)。0.9974

A.0.0215B.0.1359C.0.8186D.0.9760

變式7-3.小明通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)游戲《王者榮耀》每一局時長X（單位：分鐘）近似滿足

X?N（20,25）.根據(jù)相關(guān)規(guī)定，所有網(wǎng)絡(luò)游戲企業(yè)僅可在周五、周六、周日和法定節(jié)假日每日20

時至21時向未成年人提供1小時網(wǎng)絡(luò)游戲服務(wù).小明還未成年，他在周五晚上20：45想打一局

游戲，那么根據(jù)他的調(diào)查結(jié)果，他能正常打完一局比賽的概率為()

(參考數(shù)據(jù)：P(〃一CT<X<〃+CT)=0.6827,尸(〃一2cr<X<〃+2b)=0.9545，

P(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9973)

A.0.8414B.0.1587C.0.9773D.0.0228

變式7-4.若隨機變量占從正態(tài)分布N(〃,")，則P(〃-bWjW〃+b)g0.6827,

P(〃-2bVjW〃+2b)a0.9545.現(xiàn)有40000人參加語文考試，成績大致服從正態(tài)分布N^OO?),

則可估計本次語文成績在116分以上的學(xué)生人數(shù)為()

A.3640B.1820C.910D.455

典例8.為了響應(yīng)2022年全國文明城市建設(shè)的號召，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識

的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會.該市文明辦隨機抽取了100人的得分(滿分：100分),

統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

組另”[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)1020252520

⑴若此次調(diào)查問卷的得分Z服從正態(tài)分布N(〃,25),〃近似等于樣本的平均成績(同一組數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值代替)，求P(12.5<Z<82.5)；

⑵該市文明辦為鼓勵市民積極參與調(diào)查問卷，規(guī)定：調(diào)查問卷得分不低于〃的可以用本人手機隨

機抽取3次手機話費獎勵，3次抽取互不影響，有三種話費獎勵金額，每種金額每次被抽到的概率

如下表：

話費金額/元3510

22J

P

5

如果某市民參加調(diào)查問卷的得分不低于〃，記“該市民獲得手機話費獎勵總金額為X”.

(i)求X=16時的概率;

(ii)證明：P(X<18)=4P(X>20).

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(〃,02),則尸(〃一bWZW〃+b)“0.6827,

尸(〃一2crWZW〃+2cr)憶0.9545,尸(“一3bWZW〃+3。)。0.9973.

變式8-1.某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況.隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作

為樣本并稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],(510,515],

由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率

0.07...........................

0.05……-------------------

0.04-..................

0.03--1—

0.01--------------------------------

________________

o490495500505510515質(zhì)量/克

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值最；

⑵由樣本估計總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值4服從正態(tài)分布

N(〃,1.252),其中〃近似為(1)中的樣本平均值"計算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標值f>499.25的概率;

⑶從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)￥為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求￥的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附；若4-N(XQ2),則P(〃—a<fW觀+CT)Z0.6827,P(〃-2。<f4〃+2Gz0.9545,

P(/i—3cr<fM+3<T)?0.9973

變式82為了切實維護居民合法權(quán)益，提高居民識騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開

展“全民反詐在行動——反詐騙知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該活動的居民中隨機抽取了100名，統(tǒng)計

出他們競賽成績分布如下:

成績(分)[40.50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)(90,100]

人數(shù)242240284

⑴求抽取的100名居民競賽成績的平均分元和方差S父同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

⑵以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民競賽成績X近似地服從正態(tài)分布N(〃,4),其中〃近似為

樣本成績平均分工4近似為樣本成績方差s',若〃-b<X4〃+2b,參賽居民可獲得“參賽紀念

證書”；若X>〃+2b,參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，

①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競賽活動，試估計獲得“參賽紀念證書”的居民人數(shù)(結(jié)果保留

整數(shù));

②試判斷競賽成績?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”.

附：若X,則尸(〃一XW〃+cr)=0.6827,P(/z—2a<X<+2cr)?0.9545,

尸(〃-3b<X<4+3。)q0.9973.

變式8-3.天和核心艙是我國目前研制的最大航天器，同時也是我國空間站的重要組成部分.2021

年6月17日，神舟十二號載人飛船搭載著聶海勝、劉伯明和楊洪波三名宇航員升空并順利“入住”

天和核心艙.這是中國人首次進入自己的空間站，這也標志著中國載人航天事業(yè)邁入了一個新的

臺階.為了能順利的完成航天任務(wù)，挑選航天員的要求非常嚴格.經(jīng)過統(tǒng)計，在挑選航天員的過

程中有一項必檢的身體指標J服從正態(tài)分布N(90,100),航天員在此項指標中的要求為J2110.某

學(xué)校共有1000名學(xué)生，為了宣傳這一航天盛事，特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動.學(xué)生

首先要進行上述指標的篩查，對于符合要求的學(xué)生再進行4個環(huán)節(jié)選拔，且僅在通過一個環(huán)節(jié)后，

才能進行到下一個環(huán)節(jié)的選拔.假設(shè)學(xué)生通過每個環(huán)節(jié)的概率均為;，且相互獨立.

⑴設(shè)學(xué)生甲通過篩查后在后續(xù)的4個環(huán)節(jié)中參與的環(huán)節(jié)數(shù)量為X,請計算X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)請估計符合該項指標的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).以該人數(shù)為參加航天員選拔活動的名額，請計

算最終通過學(xué)校選拔的人數(shù)丫的期望值.

參考數(shù)值:P(〃-cr<X<〃+cr)=0.6827,P(〃-2b<X<〃+2cr)=0.9545,P(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

變式8-4.某工廠為檢驗車間一生產(chǎn)線工作是否正常，現(xiàn)從生產(chǎn)線中隨機抽取一批零件樣本，測量

它們的尺寸(單位：mm)并繪成頻率分布直方圖，如圖所示.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條

生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸Z服從正態(tài)分布其中〃近似為零件樣本平均數(shù)，/

近似為零件樣本方差S'.

⑵假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，求尸(54WZ485.5)；

⑶若從生產(chǎn)線中任取一零件，測量其尺寸為30mm，根據(jù)3b原則判斷該生產(chǎn)線工作是否正常.

附：A/TTO?10.5;若Z~N(〃,CF2),則尸(〃一crWZW〃+。卜0.6827,尸(〃一2crWZW〃+2CT)Q0.9545,

P(JU-3CT<Z<〃+3<7卜0.9973.

第十章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布列

10.4.1隨機變量及其分布列（題型戰(zhàn)法）

知識梳理

一離散型隨機變量的分布列

一般地，當(dāng)離散型隨機變量X的取值范圍是{xi,尤2,…，X"}時，如果對任意％G{1,2,....

n},概率尸（X=x*）=p*都是已知的，則稱X的概率分布是已知的.

離散型隨機變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個表格稱為X的概率分布或

分布列.

XXIX2XkXn

PPiP2PkPn

二二項分布與超幾何分布

1.獨立重復(fù)試驗

在相同條件下重復(fù)做〃次伯努利試驗時，人們總是約定這〃次試驗是互相獨立的，

此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.

2.二項分布

一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=l-p,且〃次獨立重

復(fù)試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,2,…，k,n},而

且P（X=k）=C：pkq"T,k=0,1,2,n,X的分布列為：

X01kn

pC：P°q"CMC：p"q°

X服從參數(shù)為%0的二項分布，記作X?8（小p）

3.超幾何分布

一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件從所有物品

中隨機取出〃件（〃勺V），則這〃件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量，X能

取不小于/且不大于s的所有自然數(shù)，其中s是M與〃中的較小者，「在”不大于乙

類物品件數(shù)（即歸N-M）時取0,否則f取”減乙類物品件數(shù)之差（即而且

「k「n-k

p(X=k)=MN-M,k=t,t+1,s,這里的X稱為服從參數(shù)N,n,加的超幾何分

CN

布，記作X~X(N,n,M).

如果X~”(N,〃，M)且“+M-NWO,則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時X的分布

列如下表:

X01ks

「00n「k「n-k「s「n-s

LMLN-M—、％-MLMCN-M

P

CMCM

三隨機變量的數(shù)字特征

1、均值

(1)定義：一般地，由離散型隨機變量X的分布列E(X)=Xipi+X2°2+...+X"P"=NxWi

i=l

為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望).

(2)常見的均值

①若離散型隨機變量X服從參數(shù)為〃和。的二項分布，即乂~8(〃，必，則E(X)=7我.

②若離散型隨機變量X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布，即X~”(N,n,M),則

nM

E(X)=—

N

(3)性質(zhì)：已知X是一個隨機變量，設(shè)a,b都是實數(shù)且awO,則/=aX+〃也是

一個隨機變量，那么，￡,(/)=aE(X)+b.

2.方差

(1)定義：由離散型隨機變量X的分布列O(X)=-E(X)Kpi+[尤2—E(X)]2P2+

…+1一E(X)]2pn=￡[%-E(X)fpj叫做這個離散型隨機變量x的方差；j￡)(X)稱

日

為離散型隨機變量X的標準差.離散型隨機變量X的方差和標準差反映了離散型隨機變量取

值相對于均值的離散程度(或波動大小).

(2)常見的方差

①若離散型隨機變量X服從參數(shù)為〃和。的二項分布，即乂~5(“，p),則

(1-p).

(3)性質(zhì)：已知X是一個隨機變量，設(shè)a,Z?都是實數(shù)且awO,則Y=aX+6也是

一個隨機變量，那么，D(Y)=a2Z)(X).

四正態(tài)分布

1.正態(tài)曲線

(1)定義:一般地，函數(shù)0(x)=e對應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線(也稱“鐘形曲線”,

°(x)也常記為如”(%).其中產(chǎn)E(X),即X的均值》=JD(X),即X的標準差.

(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)

①正態(tài)曲線關(guān)于對稱(即〃決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低

的特點；

②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；

③。決定正態(tài)曲線的“胖瘦”:。越大，說明標準差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲

線越"胖”"越小，說明標準差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”.

2.正態(tài)分布

如果隨機變量X落在區(qū)間團，加內(nèi)的概率，總等于對應(yīng)的正態(tài)曲線如“(x)與x軸在

區(qū)間［。，切內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為〃和。的正態(tài)分布，記作X~N8,/).

4是X的平均值，。是X的標準差，砂是X的方差.

由正態(tài)曲線的性質(zhì)及前面例題可知，如果X~N。，,次)，那么

P(x%)=P(X>n)=0.5,

P(|X-〃區(qū)(r)=P^I-(J<X<H+(7)-68.3%,

P(|Xj區(qū)2(r)=PQ-2EX%+2(7)*95.4%,

P(|X—〃區(qū)3Q=PQi-3o<X<i/+3(7)-99.7%.

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一離散型隨機變量及其分布列

典例1.設(shè)離散形隨機變量X的分布列為

X01234

p0.20.10.10.30.3

若隨機變量y=|x-i|,則P(y=i)等于()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【答案】A

【分析】直接利用尸(y=i)=尸(x=0)+尸(x=2),即可求解.

【詳解】因為y=|x-i],所以p(y=i)=尸(x=o)+尸(x=2)=o.2+o.i=o.3.

故選:A.

變式1-L設(shè)隨機變量X的分布列如下表所示，且E(x)=1.6,則方等于()

X0123

P0.1ab0.1

A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4

【答案】A

【分析】根數(shù)學(xué)期望的公式，結(jié)合概率的性質(zhì)求解即可

【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,0.1+a+b+0.1=l,即a+b=0.8①,

E(X)=L6,

.'.0x0.1+lxa+2xZ?+3x0.1=1.6,BPa+2b=1.3@,

聯(lián)立①②解得a=0.3,6=0.5,

故6-a=0.5—0.3=0.2.

故選：A.

變式1-2.已知隨機變量X的分布列如下表：

X-2012

]_1

pnm

63

若E(X)=0,則。(3X-1)=()

A.6B.7C.20D.21

【答案】D

【分析】先由概率和為1以及E(X)=O求出機=：,"=:，再計算O(X),由方差的性

63

質(zhì)計算。(3X-1)即可.

［詳解］由題可知m+〃+:+!=LE(X)=_2〃+:+2〃Z=0,解得相=

36363

222

則D(X)=lx(-2)+ixl+1X2=-,所以。(3X-1)=9D(X)=21.

3363

故選：D.

變式1-3.隨機變量x的分布列如下：若F=3X+1,則E(y)的值是()

X-101

j_]_

Pa

63

A.-B.1C.2D.3

3

【答案】C

【分析】利用分布列的性質(zhì)，求得。=:，結(jié)合公式求得隨機變量X的期望，進而求

得隨機變量y的期望.

【詳解】由題可得：+<+。=1,

o3

...”_51，

?1-E(X)=(T)x；+Ox；+lx；=；,

O525

，E(y)=3E(X)+l=2,

故選：C.

變式1-4.小林從A地出發(fā)去往8地，1小時內(nèi)到達的概率為0.4,1小時10分到達

的概率為0.3,1小時20分到達的概率為03現(xiàn)規(guī)定1小時內(nèi)到達的獎勵為200元,

若超過1小時到達，則每超過1分鐘獎勵少2元.設(shè)小林最后獲得的獎勵為X元，則

E(X)=()

A.176B.182C.184D.186

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件求出隨機變量X的分布列，利用分布列即可求出隨機變量的

X的均值.

【詳解】依題意可得X的可能值為200,180,160.

尸(X=200)=0.4,P(X=180)=0.3,P(X=160)=0.3,

X的分布列為

X200180160

p0.40.30.3

所以E(X)=200x0.4+(180+160)x0.3=182.

故選：B.

典例2.甲，乙兩位同學(xué)組隊去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2

道題，至少答對一題后，乙同學(xué)才有機會答題，同樣也是兩次機會.每答對一道題得

10粒小豆.已知甲每題答對的概率均為乙乙第一題答對的概率為1,第二題答對的

概率為J.若乙有機會答題的概率為

/io

⑴求P;

(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量X的分布列及期望.

【答案】(l)p=;

415

⑵分布列見解析，E(X)=—

【分析】(1)用對立事件求概率公式進行求解；

(2)求出X的可能取值，及對應(yīng)的概率，從而求出分布列，計算出數(shù)學(xué)期望.

(1)

由已知得，當(dāng)甲至少答對1題后，乙才有機會答題.

所以乙有機會答題的概率為尸=1-(1-PA=獸，

lo

解得。=}

4

(2)

X的可能取值為0,10,20,30,40；

尸—。心)

=10)=4?-x-x-x-=—

'72443216

9

P(X=20)=

32

13

p(X=30)=

32

P(X=40)=

所以X的分布列為:

X010203040

119133

P

1616323216

119133415

E(X)=0x—+10x—+20x——+30x——+40x—二——

161632321616

變式2-1.第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至20日在北京和張家口

舉行，而北京也成為全球唯一主辦過夏季奧運會和冬季奧運會的雙奧之城.某學(xué)校為

了慶祝北京冬奧會的召開，特舉行奧運知識競賽.參加的學(xué)生從夏奧知識題中抽取2

題,冬奧知識題中抽取1題回答，已知學(xué)生（含甲）答對每道夏奧知識題的概率為:，

答對每道冬奧知識題的概率為1,每題答對與否不影響后續(xù)答題.

⑴學(xué)生甲恰好答對兩題的概率是多少？

⑵求學(xué)生甲答對的題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

7

【答案】⑴記

13

⑵分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：1O

【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式即可分兩類求解,

（2）根據(jù)隨機變量X的取值以及對應(yīng)事件的概率，即可按步驟求解分布列