專題一圓錐曲線的方程講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

人教A版數(shù)學(xué)圓錐曲線的方程專題一知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的定值問題典例1、已知橢圓()的離心率為，其右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，且．（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)P且斜率為()的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作y軸的垂線，垂足為M、N，直線AN與直線交于點(diǎn)E，證明：B、M、E三點(diǎn)共線．隨堂練習(xí)：已知橢圓C：過點(diǎn)，離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B．過點(diǎn)的直線與橢圓C交于M、N（不與A、B重合）兩點(diǎn)，直線AM與直線交于點(diǎn)Q，證明：B、N、Q三點(diǎn)共線．

典例2、如圖，已知橢圓分別是長軸的左、右兩個(gè)端點(diǎn)，是右焦點(diǎn)．橢圓C過點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線上有兩個(gè)點(diǎn)，且，連接交橢圓C于另一點(diǎn)P（不同于點(diǎn)），證明：三點(diǎn)共線．

隨堂練習(xí)：已知橢圓：（）過點(diǎn)，且焦距與長軸之比為.設(shè)，為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線，分別與直線：相交于，兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線與的斜率之積為定值；（3）判斷三點(diǎn)，，是否共線，并證明你的結(jié)論.典例3、已知A?B為橢圓=1(a>b>0)和雙曲線=1的公共頂點(diǎn)，P，Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)直線AP?BP?AQ?BQ的斜率分別為k1?k2?k3?k4.（1）求證：點(diǎn)P?Q?O三點(diǎn)共線；（2）當(dāng)a=2，b=時(shí)，若點(diǎn)P?Q都在第一象限，且直線PQ的斜率為，求△BPQ的面積S；（3）若F1?F2分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上，，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，.（1）求橢圓的方程；（2）若，，三點(diǎn)共線，求的值.知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的定值問題典例4、橢圓的方程為，過橢圓左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，已知，橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，，求證：為定值．

隨堂練習(xí)：已知橢圓的焦距為2，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P為橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)、y軸對(duì)稱．連接MN與x軸交于點(diǎn)E，并延長PE交橢圓C于點(diǎn)Q．試問：是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．典例5、已知橢圓：，，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，證明，斜率之積為定值．

隨堂練習(xí)：已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為和，求證：為定值典例6、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，軸，且過兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且焦距長為2，過且斜率為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在軸上的射影恰好為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作一條與軸不重合的直線，該直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別交軸于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.人教A版數(shù)學(xué)圓錐曲線的方程專題一答案典例1、答案：（1）；（2）證明見解析﹒解：（1）設(shè)()，由題意知，∴．∵點(diǎn)，且，解得，∴，，因此C的方程為．（2）由題意可知，直線l的方程為．由得，設(shè)，，則，．∵軸，∴，∴直線，令，得．∵軸，∴．∴，∴B，M，E三點(diǎn)共線．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見解析.解：（1）由題意知，，，所以，則，所以橢圓C的方程為．（2）由題知：l斜率不為零，設(shè)l為，，，由得，，則，，所以，∴，直線AM的方程為，則，∴，，∴，即，∴N、B、Q三點(diǎn)共線．典例2、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意可知：，，橢圓C的方程為；（2）證明：設(shè)，由于，因此，，直線的斜率為，直線的方程為，代入橢圓方程得：，整理得：，設(shè)，代入直線的方程得，直線的斜率為，直線的斜率為，，所以三點(diǎn)共線．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）定值為，證明見解析；（3），，三點(diǎn)共線，證明見解析.解:（1）由題知：，所以橢圓：.（2）由題知：，存在，且不為零，設(shè)，，，則，即..所以直線與的斜率之積為定值.（3），，三點(diǎn)共線，證明如下：設(shè)直線：，則直線：，將代入直線，得：，，，設(shè)直線：，，設(shè)，則，解得，所以，即，所以，，所以，為公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.典例3、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）8.解：（1）證明：因?yàn)锳，B為橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，P，Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A，B動(dòng)點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，即所以點(diǎn)P，Q，O三點(diǎn)共線.（2）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為聯(lián)立，解得x=±，y=±，所以P(，)，同理，解得x=±，y=±，解得Q(，)，則|PQ|=3﹣，又因?yàn)閍=2，b=，聯(lián)立，解得B(±2，0)，所以點(diǎn)B到直線PQ的距離d=，則.（3）因?yàn)?，設(shè)，，所以，因?yàn)?，所以又?，因?yàn)镼F1PF2，所以|OF1|=λ|OF2|，所以λ2=，所以=?=，所以：同理(k3+k4)2=4，而k1k2=，又x12=a2+y12，所以k1k2=，同理k3k4=﹣，所以k12+k22+k32+k42=8.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）依題意知橢圓不可能同時(shí)過，，所以一定經(jīng)過，，即，顯然滿足，所以橢圓的方程為.，，三點(diǎn)共線，設(shè)的方程為，聯(lián)立，，，，，.典例4、答案：（1）（2）證明見解析解（1）依題可知：，，所以，即，解得又∵橢圓過點(diǎn)，則聯(lián)立可得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)、，，由題意可知，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理可得，，，，，得，，，，．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）是定值，且定值為．解：（1）由已知，，所以，解得，橢圓方程為；（2）設(shè)，，則，，所以，,直線方程為，代入橢圓方程得，顯然是此方程的一個(gè)解，另一解為，而，即為點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，,所以．所以為定值．典例5、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意得，故橢圓為，又點(diǎn)在上，所以，得，，故橢圓的方程即為；（2）由已知直線過，設(shè)的方程為，聯(lián)立兩個(gè)方程得，消去得：，得，設(shè)，，則，（*），因?yàn)?，故，將?）代入上式，可得：，∴直線與斜率之積為定值．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，可得，解得，故橢圓C的方程為（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為，由，可得，由于直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，則，解得，設(shè),則，，故，即為定值.典例6、答案：（1）（2）證明見解析，定值為解：（1）由已知設(shè)橢圓方程為：，代入，得，故橢圓方程為.（2）設(shè)直線，由得：，，又，故，由，得，故或，①當(dāng)時(shí)，直線，過定點(diǎn)，與已知不符，舍去；②當(dāng)時(shí)，直線，過定點(diǎn)，即直線過左焦點(diǎn)