2023-2024學(xué)年上海市東新區(qū)南匯中學(xué)高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市東新區(qū)南匯中學(xué)高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、填空題（每小題3分，共36分）1．（3分）函數(shù)恒過定點的坐標(biāo)為．2．（3分）已知，則化簡的結(jié)果是．3．（3分）函數(shù)的定義域為．4．（3分）若函數(shù)，，，則函數(shù)值域為．5．（3分）已知，實數(shù)的取值范圍為．6．（3分）下列冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖像關(guān)于原點成中心對稱的是．①；②；③；④；⑤（請?zhí)钊肴空_的序號）7．（3分）記，那么．8．（3分）已知定義在上的奇函數(shù)在，上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是．9．（3分）已知函數(shù)滿足：對任意非零實數(shù)，均有，則（3）．10．（3分）已知的定義域為，，則的定義域是．11．（3分）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，令，若實數(shù)滿足，則（a）（c）．12．（3分）已知函數(shù)的值域為，，則實數(shù)的取值范圍是．二、選擇題（每小題3分，共12分）13．（3分）已知，，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件14．（3分）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像可能是A． B． C． D．15．（3分）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，對于任意的，有，，則的解集為A．，， B．，， C．， D．，，16．（3分）記，已知、均是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，設(shè)，，有下列兩個命題：①若函數(shù)、都是偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；②若函數(shù)、都是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)．則關(guān)于兩個命題判斷正確的是A．①②都正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①②都錯誤三、解答題（17題8分，18、19題每題10分，20題12分，21題12分，共52分）17．（8分）設(shè)集合為函數(shù)的定義域，集合為函數(shù)的定義域，若，求實數(shù)的取值范圍．18．（10分）已知函數(shù)，其中實數(shù)為常數(shù)．（1）若，解關(guān)于的方程；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值．19．（10分）用打點滴的方式治療“新冠”病患時，血藥濃度（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度）隨時間變化的函數(shù)符合，其函數(shù)圖象如圖所示，其中為中心室體積（一般成年人的中心室體積近似為，為藥物進入人體時的速率，是藥物的分解或排泄速率與當(dāng)前濃度的比值．此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在4到15之間，當(dāng)達到上限濃度時，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數(shù)符合，其中為停藥時的人體血藥濃度．（Ⅰ）求出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）一病患開始注射后，最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時間開始進行第二次注射？（保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)，20．（12分）已知函數(shù)的表達式為．（1）若，，，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)，時，求函數(shù)的最小值（a）；（3）對于（2）中的函數(shù)（a），是否存在實數(shù)，，同時滿足下列兩個條件：；當(dāng)（a）的定義域為，，其值域為，；若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．21．（12分）設(shè)函數(shù)的定義域，若對任意，均有成立，則稱為“無奇”函數(shù)．（1）判斷函數(shù)①和②是否為“無奇”函數(shù)，說明理由；（2）若函數(shù)是定義在，上的“無奇”函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)是“無奇”函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、填空題（每小題3分，共36分）1．（3分）函數(shù)恒過定點的坐標(biāo)為．解：函數(shù)且，令，得（1），可得它的圖象恒過定點故答案為：．2．（3分）已知，則化簡的結(jié)果是．解：．故答案為：．3．（3分）函數(shù)的定義域為，．解：令，得，所以函數(shù)的定義域為，．故答案為：，．4．（3分）若函數(shù)，，，則函數(shù)值域為．解：函數(shù)，，，因為函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值為，又（1），（2），所以的最大值為4，則的值域為．故答案為：．5．（3分）已知，實數(shù)的取值范圍為．解：，，，故答案為：．6．（3分）下列冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖像關(guān)于原點成中心對稱的是②⑤．①；②；③；④；⑤（請?zhí)钊肴空_的序號）解：由于函數(shù)的定義域為，，故它的圖像不可能關(guān)于原點成中心對稱，故排除①；由于函數(shù)是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，故它的圖像關(guān)于原點成中心對稱，故②滿足條件；由于函數(shù)的定義域為，，故它的圖像不可能關(guān)于原點成中心對稱，故排除③；由于函數(shù)是上的減函數(shù)，故排除④；由于函數(shù)是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，故它的圖像關(guān)于原點成中心對稱，故⑤滿足條件，故答案為：③⑤．7．（3分）記，那么1．解：，則．故答案為：1．8．（3分）已知定義在上的奇函數(shù)在，上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是，．解：是奇函數(shù)，在，上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，，即，，解得．故答案為：，．9．（3分）已知函數(shù)滿足：對任意非零實數(shù)，均有，則（3）7．解：，取，則，即（3）．故答案為：7．10．（3分）已知的定義域為，，則的定義域是，．解：函數(shù)的定義域為，，，．在函數(shù)中，，．故答案為：，．11．（3分）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，令，若實數(shù)滿足，則（a）（c）2022．解：根據(jù)題意，若實數(shù)滿足，則有，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以（a）（c）．故答案為：2022．12．（3分）已知函數(shù)的值域為，，則實數(shù)的取值范圍是，．解：令，解得，令，解得，因為函數(shù)的值域為，，又當(dāng)時，，，則函數(shù)的最大值只能在時取，所以，且函數(shù)的最大值必須大于等于0，則，綜上，實數(shù)的范圍為，，故答案為：，．二、選擇題（每小題3分，共12分）13．（3分）已知，，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解：但，若不是正數(shù)，則，沒有意義，若，則根據(jù)對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增可知，是的必要不充分條件，故選：．14．（3分）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像可能是A． B． C． D．解：根據(jù)題意，，令，有，與軸交點為，令，可得，解可得，即其圖象與軸交點也為，由于且，則函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點都在正半軸上，排除、，當(dāng)時，為減函數(shù)，的圖象可以由的圖象向右平移一個單位，向上平移一個單位得到，而在和上都是減函數(shù)，排除．故選：．15．（3分）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，對于任意的，有，，則的解集為A．，， B．，， C．， D．，，解：任意的，有，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，故（1），又，畫出函數(shù)簡圖，如圖所示：當(dāng)時，，即，；當(dāng)時，，即，；當(dāng)時，不成立．綜上所述：，，．故選：．16．（3分）記，已知、均是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，設(shè)，，有下列兩個命題：①若函數(shù)、都是偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；②若函數(shù)、都是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)．則關(guān)于兩個命題判斷正確的是A．①②都正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①②都錯誤解：由題意得，①若函數(shù)、都是偶函數(shù)，則，也是偶函數(shù)，；②函數(shù)、都是奇函數(shù)，則顯然不是上的奇函數(shù)．故選：．三、解答題（17題8分，18、19題每題10分，20題12分，21題12分，共52分）17．（8分）設(shè)集合為函數(shù)的定義域，集合為函數(shù)的定義域，若，求實數(shù)的取值范圍．解：，，因為，所以，即，解得，故實數(shù)的取值范圍為，．18．（10分）已知函數(shù)，其中實數(shù)為常數(shù)．（1）若，解關(guān)于的方程；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值．解：（1）因為，則，解得，則，即，整理得，則，或，解得或．故方程的根為1或．（2）函數(shù)是奇函數(shù)，又的定義域為，則，解得；當(dāng)時，，則，滿足為奇函數(shù)，故．19．（10分）用打點滴的方式治療“新冠”病患時，血藥濃度（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度）隨時間變化的函數(shù)符合，其函數(shù)圖象如圖所示，其中為中心室體積（一般成年人的中心室體積近似為，為藥物進入人體時的速率，是藥物的分解或排泄速率與當(dāng)前濃度的比值．此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在4到15之間，當(dāng)達到上限濃度時，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數(shù)符合，其中為停藥時的人體血藥濃度．（Ⅰ）求出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）一病患開始注射后，最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時間開始進行第二次注射？（保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)，解：（Ⅰ）令，則，由圖象可知，圖象經(jīng)過，兩點，則有，解得，所以；（Ⅱ）由題意可知，有治療效果的濃度在4到15之間，所以濃度在15時為最遲停止注射時間，故，解得，濃度在從15時降到4時為最長間隔時間，故，即，兩邊同時取以2為底的對數(shù)，則有，即，所以，所以最遲隔16小時停止注射，為保證治療效果，最多再隔7.7小時開始進行第二次注射．20．（12分）已知函數(shù)的表達式為．（1）若，，，求函數(shù)的值域；（2）當(dāng)，時，求函數(shù)的最小值（a）；（3）對于（2）中的函數(shù)（a），是否存在實數(shù)，，同時滿足下列兩個條件：；當(dāng)（a）的定義域為，，其值域為，；若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．解：（1）當(dāng)時，，，，，，則，，函數(shù)的值域為，；（2）令，，，即，則，①當(dāng)時，則在，上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)時，則在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，則（a）（a）；③當(dāng)時，則在，上單調(diào)遞減，則（a）（3），綜上所述，（a）；（3）假設(shè)滿足題意的，存在，由（2）得（a），，（a），（a）在上是嚴(yán)格減函數(shù)，（a）在，上的值域為，，又（a）在，上的值域為，，則，，，又，則，又，則，與矛盾，故不存在滿足條件的實數(shù)，．21．（12分）設(shè)函數(shù)的定義域，若對任