江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷7（共220題）

江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷7（共9套）（共220題）江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第1套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設曲線y=x2(0≤z≤1)，問t為何值時，圖中的陰影部分面積S1與S2之和S1+S2最小。標準答案：當t=時S1+S2最小知識點解析：(1)選擇y為積分變量(2)S=S1+S2=—t+(3)求極值S′(t)=—1=—1令S′(t)=0，駐點t=S″(t)=，＞0t=為極小值點，由單峰原理，也是最小值點當t=時S1+S2最小2、已知|a|=，|b|=1，=，求p=a+b，a=a一b的夾角。標準答案：知識點解析：(1)cos(p，q)=(2)|p|2=|a+b|2=(a+b)?(a+b)=|a|2+|b|2+2(a?b)=3+1+?1?=7又|q|2=|a—b|2=(a—b)?(a—b)=|a|2+|b|2—2(a?b)=3+1—=4—3=1故二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、設f(x)在[0，1]連續(xù)，且f(x)<1，又F(x)=(2x—1)一，證明F(x)在(0，1)內有且僅有一個零點。標準答案：∵f(x)在[0，1]上連續(xù)，∴F(x)在[0，1]連續(xù)．又F(0)=一1<0，F(xiàn)(1)=1一一f(ε)，ε∈(0，1)f(x)<1，∴f(ε)<1，從而F(1)>0，由零點定理知F(x)在(0，1)內至少有一個零點。又F′(x)=2一f(x)>0，∴F(x)在[0，1]上嚴格單調增加，所以F(x)在(0，1)內最多只有一個零點，從而F(x)在(0，1)內有且僅有一個零點。知識點解析：暫無解析三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、若，則=()。A、B、2C、3D、標準答案：C知識點解析：用變量代換求極限，令=，x=，x0時，t0，====3，故選C項。5、設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則dx=()。A、F()+CB、2F()+CC、F()+CD、一2F()+C標準答案：B知識點解析：==+C，故答案為B項。6、=f′(x0)，則k的值為()。A、1B、C、D、—2標準答案：B知識點解析：根據(jù)結論：=(k—1)f′(x0)k—1==7、下列無窮積分收斂的是()。A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：=，當x+∞時，，廣義積分發(fā)散。=，當x+∞時，，廣義積分收斂。=lnlnx，當x+∞時，lnlnx∞，廣義積分發(fā)散。=2，當x+∞時,2∞，廣義積分發(fā)散。8、設y=f(x)為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則曲線f=f(x)，x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積為()。A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：對于在[a，b]上函數(shù)f(x)有時取正值，有時取負值，所以求面積時f(x)要帶上絕對值。9、y=的間斷點有()。A、一個B、兩個C、三個D、0個標準答案：B知識點解析：其定義域為x≥3，間斷點為x=4，x=5。四、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)10、=2，則a=_______，b=________。標準答案：一4，3知識點解析：=2x=1時，=2并且x2+ax+b=0，所以a=一4，b=3。11、u=f(xy，x2+2y2)，其中f為可微函數(shù)，則=________。標準答案：yf′1+2xf′2知識點解析：令w=xy，v=x2+y2，則u=f(w，v)，=f′w(w，v)?y+f′v(w，v)?2x。12、已知函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x在x=1與x=2處有極值，則a=________。，b=________。標準答案：，知識點解析：由題意可知：f′(x)=+2bx+1，f′(1)=0，f′(2)=0a=，b=。13、a，b為兩個非零向量，λ為非零常數(shù)，若向量a+λb垂直于向量b，則λ等于________。標準答案：知識點解析：a+λb垂直于向量b(a+λb).b=0。14、已知f(cosx)=sin2x，則=________。標準答案：+x2+C知識點解析：f(cosx)=sin2x=1一cos2xf(x)=1一x2∫f(x一1)dx=∫[1一(x一1)2]dx=+x2+C。15、已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1—x，且φ(x)≥0，則φ(x)的定義域為________。標準答案：x≤0知識點解析：f[φ(x)]==1一x=eln(1—x)，所以φ(x)=，于是1一x≥1，即x≤0。五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)16、求。標準答案：因為====0，所以原式==因為====0所以原式=e0=1。知識點解析：暫無解析17、求∫(2x一1)ln2xdx。標準答案：∫(2x一1)ln2xdx=∫ln2d(x2一x)=(x2一x)ln2x一2∫(x2一x)lnxdx=(x2—x)ln2x一2∫(x—1)lnxdx=(x2—x)ln2x—2∫lnxd(—x)=(x2—x)ln2x—2(—x)lnx+2∫(—x)dx=(x2—x)ln2x一(x2—2x)lnx+x2—2x+C知識點解析：暫無解析18、計算定積分。標準答案：利用定積分換元法，被積函數(shù)中有，令x=sint，則dx=dt=cot2tdt=(cot2t—1)dt=—=1—知識點解析：暫無解析19、已知，求及。標準答案：=======知識點解析：暫無解析20、解常微分方程：x+y=xy2。標準答案：令=z，則y=，得+z=x=—1，p=，q=—1∫p(x)dx=∫—dx=—lnx，=∫—1.dx=—lnx，z=(lnx+C)elnx=(—lnx+C)x，所以y=知識點解析：暫無解析21、將函數(shù)f(x)=展開為x的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間。標準答案：f(x)===—=—=(2n+1—1)xn.(＜x＜)知識點解析：暫無解析22、求過點(1，2，3)且垂直于直線的平面方程。標準答案：由題意所求平面的法向量為：n=(1，1，1)×(2，一1，1)==(2，1，一3)．根據(jù)點法式，所求平面方程為2(x一1)+(y—2)—3(z—3)=0，即2x+y—3z+5=0知識點解析：暫無解析23、如圖所示，D為x2+y2≤a2與x≥0所圍的區(qū)域，計算∫∫x2y2dxdy。標準答案：x2y2dxdy=dθ∫a0r2cos2θ.r2sin2θ.rdr=cos2θsin2θdθ=(cos2θ—cos4θ)θ=(I2—I4)==知識點解析：暫無解析江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第2套一、綜合題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內大于0，并滿足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲線y=f(x)與x=1，y=0所圍成的圖形S的面積為2，求y=f(x)．標準答案：由xf’(x)=f(x)+3x2，可得f’(x)-f(x)=3x，所以p=q=3x．那么，∫p(x)dx=-lnx，∫q(x)e∫p(x)dx=∫3x．dx=3x．所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx．由題意可得：S=∫01．(3x2+Cx)dx=(x3+)|01=1+=2，所以C=2．所以f(x)=3x2+2x．知識點解析：暫無解析設g(t)=其中Dt是由x=t、y=t以及坐標軸圍成的正方形區(qū)域，函數(shù)f(x)連續(xù)．2、求a的值使得g(t)連續(xù)；標準答案：如圖，畫出積分區(qū)域，則f(x)dxdy=∫0tdx∫0tf(x)dy=∫0tf(x)dx．即g(t)={∫0tf(x)dx，t≠a，t=0，根據(jù)函數(shù)連續(xù)定義，滿足∫0tf(x)dx=f(0)=g(0)=a，所以a=0．知識點解析：暫無解析3、求g’(t)．標準答案：當t≠0時，g’(t)=(∫0tf(x)dx)’=f(t)．t=0時，g’(0)=f(h)=f(0)．所以，g’(t)=f(t)．知識點解析：暫無解析4、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資金，銷售收入z(萬元)與電臺廣告費用x(萬元)及報紙廣告費用y(萬元)之間的關系有如下公式：z=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2．問：在廣告費用不限的情況下，怎樣才能達到最優(yōu)的廣告策略?標準答案：廣告策略最優(yōu)，即要求公司通過做廣告，獲得的利潤最大因利潤函數(shù)：L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2又L"xx(x，y)=-4，L"xy(x，y)=-8，L"yy(x，y)=-20，故B2-AC=64-(-4)×(-20)=-16＜0．又A=-4＜0，于是點(0．75，1．25)為極大值點，也是最大值點即廣告費用為0．75萬元，報紙廣告費用為1．25萬元時，才能達到最優(yōu)廣告策略．知識點解析：暫無解析二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)5、設f(x)在[a，b]上連續(xù)(a＜b)，且f(x)＞0．證明方程∫ax(t)dt+∫bxdt=0．標準答案：①令F(x)=∫axf(t)dt+∫bxdt，根據(jù)積分上限函數(shù)的性質知，F(xiàn)(x)在[a，b]上連續(xù)且可導．又F(a)=∫aaf(t)dt+∫badt＜0，(f(x)＞0)F(b)=∫abf(t)dt+∫bbdt=∫abf(t)dt＞0，(f(x)＞0)所以由零點定理知，方程F(x)=0在(a，b)內至少有一實根．②又F’(x)=f(x)+＞0，于是F(x)在(a，b)內單調遞增，F(xiàn)(x)在(a，b)內與x軸至少有一個交點，即方程F(x)=0在(a，b)內至少有一個實根．故由①、②知，方程∫axf(t)dt+∫bxdt=0在(a，b)內有且僅有一個實根．知識點解析：暫無解析三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、下列極限求解正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：當x→0時，為有界函數(shù)，x為無窮小量，故其乘積也為無窮?。?0，而sin(2x+1)有界，所以sin(2x+1)=0．故選D項．7、函數(shù)y=的單調減少區(qū)間為()．A、(-∞，+∞)B、(-∞，-1)∪(-1，+∞)C、(0，+∞)D、(-∞，0)標準答案：B知識點解析：y’=-＜0(x≠-1)故區(qū)間為(-∞，-1)∪(-1，+∞)．故選B項．8、定積分∫02|x-1|dx=()．A、0B、2C、-1D、1標準答案：D知識點解析：原式=∫01(1-x)dx+∫12(x-1)dx=(x-=1．9、設L為正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，則曲線部分∫Lxdy-2ydx的值為()．A、π／2B、3π／2C、2π／3D、π／4標準答案：B知識點解析：正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示為于是∫Lxdy-2ydx=∫0π／2[sinθ]dθ=π+∫0π／22sin2θdθ=10、下列結論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：∵n→∞時，收斂，由比較判別法可知收斂．11、設f(x)=sint2dt，則f’(t)=()．A、sinx4B、2xsinx2C、2xcosx2D、2xsinx4標準答案：D知識點解析：利用變上限積分求導法則，f’(x)=sinx4(x2)’=2xsinx4．四、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)12、設y=y(x)滿足exy+sin(x2y)=y3，則y’(0)=_______．標準答案：1／3知識點解析：x=0，y=1，exy(y+xy’)+cos(x2y)×(2xy+x2y’)=3y2y’代入得1+0=3y’(0)，所以y’(0)=1／3．13、設函數(shù)y=2x2+ax+3在x=1處取得極小值，則a=_______．標準答案：-4知識點解析：由極值存在的必要條件知：y’|x=1=0，即4+a=0，故a=-4．14、z=ln(x+|(1，0)=_______．標準答案：1／2知識點解析：15、微分方程y’cosx-ysinx=1的通解為_______．標準答案：知識點解析：(ycosx)’=116、設|a|=1，a⊥b，則a．(a+b)=_______．標準答案：1知識點解析：a．(a+b)=a．a+a．b，又a⊥ba．b=0，a．a=|a2|=1，所以a．(a+b)=1+0=1．17、曲線y=2x與y=log2x關于_______對稱．標準答案：直線y=x知識點解析：因為函數(shù)y=2x與y=log2x互為反函數(shù)，故關于直線y=x對稱．五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、設方程ex+ysin(x+z)=0確定z=z(x，y)，求dz．標準答案：[-1-tan(x+z)]dx-tan(x+z)dy(1)令F=ex+ysin(x+z)，F(xiàn)’x=ex+y[sin(x+z)+cos(x+z)]F’y=ex+ysin(x+z)，F(xiàn)’z=ex+ycos(x+z)(2)=-1-tan(x+z)=-tan(x+z)dz=[-1-tan(x+z)]dx-tan(x+z)dy．知識點解析：暫無解析19、計算二重積分dxdy，其中D={(x，y)|x2+y2≤2x，y≥0}．標準答案：16／9知識點解析：暫無解析20、判別的斂散性，若收斂，是絕對收斂或條件收斂．標準答案：絕對收斂(1)這是任意項極數(shù)(2)∵收斂，故絕對收斂．知識點解析：暫無解析21、求的收斂半徑與收斂域．標準答案：收斂半徑=1＜x＜5，收斂域[-1，5)(1)∵ρ=∴收斂半徑R=3有-3＜x-2＜3即-1＜x＜5．(2)當x=5時，發(fā)散(調和級數(shù))；當x=-1時，收斂(萊布尼茲級數(shù))．(3)級數(shù)的收斂域為[-1，5)．知識點解析：暫無解析22、求dy／dx=1-x+y2-xy2的通解．標準答案：y=tan(C-)(1)判別方程的類型：dy／dx=(1-x)+y2(1-x)=(1-x)(1+y2)可分離變量方程(2)=∫(1-x)dx知識點解析：暫無解析23、求y"+6y’+13y=0滿足y(0)=3，y’(0)=-1的特解．標準答案：y=e-3x(3cos2x+4sin2x)(1)∵r2+6r+13=0，∴r1，2==-3±2i．(2)通解y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)．(3)特解：∵y(0)=3，∴3=C1，y’=-3e-3x(C1cos2x+C2sin2x)+e-3x(-2C1sin2x+2C2cos2x)．∵y’(0)=-1，-1=-9+2C2，∴C2=4．特解為y=e-3x(3cos2x+4sin2x)．知識點解析：暫無解析24、設y=ln，求dy．標準答案：dy=dx(1)y=ln(+1)知識點解析：暫無解析25、求由方程x2y2+y=1(y＜0)所確定y=y(x)的極值．標準答案：極大值y(0)=1(1)求駐點：2xy2+x22yy’+y’=0，令y’=0，2xy2=0，(y＞0)→駐點x=0．(2)判別極值點2y2+2x2yy’+4xyy’+2x2(y’2+yy")+y"=0，當x=0時y=1代入上式2+0+0+0+y"(0)=0，y"(0)=-2＜0．x=0為極大值點．(3)極大值y(0)=1．知識點解析：暫無解析江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第3套一、綜合題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．標準答案：函數(shù)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=3x2-3，令f’(x)=0，得駐點x1=-1，x2=1，列表得：函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(-∞，-1)和(1，+∞)，單調減區(qū)間為[-1，1]．f(-1)=3為極大值，f(1)=-1為極小值．知識點解析：暫無解析已知一平面圖形由拋物線y=x2、y=-x2+8圍成．2、求此平面圖形的面積；標準答案：用定積分求面積和體積，如圖，所圍平面圖形的面積為S=∫-22(8-x2-2x2)dx=64／3知識點解析：暫無解析3、求此平面圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積．標準答案：此平面圖形繞y軸旋轉一周所成旋轉體的體積為V=π∫04()2dy+π∫48()2dy=16π．知識點解析：暫無解析已知某廠生產x件產品的成本C=25000+200x+x2(單位：元)．試問：4、要使平均成本最小，應生產多少件產品?標準答案：設平均成本為y，則y=(25000+200x+x2)，y’=-，令y’=0，得x=10000，此即為所求．知識點解析：暫無解析5、若產品以每件500元售出，要使利潤最大，應生產多少件產品?標準答案：設利潤為L，則L=500x-(25000+200x+x2)，L’=500-200-x．令L’=0，得x=6000，此即為所求．知識點解析：暫無解析二、證明題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)6、當x＞0時，證明成立．標準答案：(1)變形：ln(1+)=ln(1+x)-lnx，這是對數(shù)函數(shù)的增量形式令f(t)=lnt，t∈[x，1+x]．(2)f(t)=lnt在[x，1+x]應用拉格朗日中值定理：ln(1+x)-lnx=(x+1-x)，故有(x＞0)證畢。知識點解析：暫無解析7、設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，G(x)是的一個原函數(shù)且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，證明：f(x)=ex或f(x)=e-x．標準答案：(1)∵F(x)．G(x)=-1，∴F’(x)G(x)+F(x)G’(x)=0→f(x)G(x)+F(x)=0→f(x)=0→F2(x)=f2(x)．(2)討論，(i)若F(x)=f(x)，即f(x)=f’(x)，=1lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex由f(0)=1，得C=1故有f(x)=ex(ii)若F(x)=-f(x)，即f(x)=-f’(x)→lnf(x)=-x+C2，f(x)=Ce-x．由f(0)=1，得C=1．故有f(x)=e-x證畢．知識點解析：暫無解析三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、已知∫f(x)dx=e2x+C，則∫f’(-x)dx=()．A、2e-2x+CB、e-2x+CC、-2e-2x+CD、-e-2x+C標準答案：C知識點解析：原式兩邊分別求導得，f(x)=2e2x，再兩邊求導，得f’(x)=4e2x，則f’(-x)=4e-2t．∫f’(-x)dx=∫4e-2xdx=-2∫e2xd(-2x)=-2e-2x+C故選C項．9、在下列極限求解中，正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：10、下列級數(shù)中條件收斂的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：為交錯級數(shù)，且其通項的絕對值趨于0，據(jù)萊布尼茲準則知，它是收斂級數(shù)．另外∑|an|=∑發(fā)散，據(jù)第一比較準則知∑|an|發(fā)散，故此級數(shù)條件收斂．11、曲線y=x3-3x在開區(qū)間(0，1)內為()．A、單調上升，且上凹B、單調下降，且下凹C、單調上升，且下凹D、單調下降，且上凹標準答案：D知識點解析：當0＜x＜1時，y’=3x2-3＜0，y"=6x＞0．曲線單調下降，且上凹，故選D項．12、若直線l與Ox平行，且與曲線y=x-ex相切，則切點坐標為()．A、(1，1)B、(-1，1)C、(0，-1)D、(0，1)標準答案：C知識點解析：根據(jù)題意得：y’=(1-ex)’=0x=0，代入得y=-1．13、f(x)=且f(x)在x=0處連續(xù)，則a的值為()．A、1B、0C、5／2D、-標準答案：C知識點解析：使用洛必達法則可知：根據(jù)f(x)在x=0處連續(xù)，可知a=-四、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)14、設f(x)=(x500-1)g(x)，其中g(x)在x=1處連續(xù)，g(1)=4，則f’(1)=_______．標準答案：2000知識點解析：=．4(因為g(x)在x=1處連續(xù)且g(1)=4)=2000．15、y=y(x)由ln(x+y)=exy確定，則x=0處的切線方程為_______．標準答案：y-e=(e2-1)x知識點解析：由ln(x+y)=exy，得(1+y’)=exy(y+xy’)，x=0，y=e，(1+y’)=e，k=y’(0)=e2-1，所以方程為：y-e=(e2-1)x．16、∫-11(1+x3)dx=_______．標準答案：6／13知識點解析：∫-11(1+x3)dx=∫-11x1／3dx+∫-11x10／3dx=．17、標準答案：1知識點解析：18、若函數(shù)f(x)=為連續(xù)函數(shù)，則a+b=_______．標準答案：1知識點解析：b=-1，所以a+b=1．19、設函數(shù)y=2x2ax+3在x=1處取得極小值，則a=_______．標準答案：-4知識點解析：由極值存在的必要條件知：y’|x=1=0，即4+a=0，故a=-4．五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)20、求(1+xlnx)lnx的極限．標準答案：因為(-x)=0，所以所以原式=e0=1．知識點解析：暫無解析21、求∫(2x-1)ln2xdx．標準答案：∫(2x-1)ln2xdx=∫ln2xd(x2-x)=(x2-x)ln2x-2∫(x2-x)lnxdx=(x2-x)ln2x-2∫(x-1)lnxdx=(x2-x)ln2x-2∫lnxd(-x)=(x2-x)ln2x-2(dx=(x2-x)ln2x-(x2-2x)lnx+x2-2x+C．知識點解析：暫無解析22、計算定積分標準答案：利用定積分換元法，被積函數(shù)中有，令x=sint，則知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、解常微分方程：x+y=xy2．標準答案：令，q=-1∫p(x)dx=∫-dx=-lnx，∫q(x)e∫p(x)dxdx=∫-1dx=lnx，z=(lnx+C)elnx=(lnx+C)x，所以y=知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)=展開為x的冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間．標準答案：知識點解析：暫無解析26、求過點(1，2，3)且垂直于直線的平面方程．標準答案：由題意所求平面的法向量為：n=(1，1，1)×(2，-1，1)==(2．1．-3)．根據(jù)點法式，所求平面方程為2(x-1)+y(-2)-3(z-3)=0，即2x+y-3x+5=0．知識點解析：暫無解析27、如圖所示，D為x2+y2≤a2與x≥0所圍的區(qū)域，計算x2y2dxdy．標準答案：x2y2dxdy=dθ∫0ar2cos2θ．r2sin2θ．rdr=cos2θsin2θdθ=(cos2θ-cos4θ)dθ=(I2-I4)=知識點解析：暫無解析江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第4套一、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、試求由拋物線(y一2)2=x一1和與拋物線相切于縱坐標y0=3處的切線以及x軸所圍成圖形面積。標準答案：拋物線(y一2)2=x一1，頂點在(1，2)，開口向右，切點縱坐標為3，則x坐標為2，則切線斜率為k=，而y′=，所以k=，切線方程y一3=，改寫成x=2y一4，S=∫30[(y—2)2+1—(2y—4)]dy=9知識點解析：暫無解析2、從半徑為R的圓中切去怎樣的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容積為最大?標準答案：設余下部分的圓心角為φ時所卷成的漏斗容積V最大，漏斗的底半徑為r，高為h，則2πr=Rφ，h=，V=πr2h=r2，V′=，r=R此時φ=，即當余下的圓心角為φ=時漏斗容積最大。知識點解析：暫無解析3、某工廠生產過程中，次品率與日生產量關系是y(x)=，其中x為正數(shù)，每生產一件產品可贏利A元，但生產一件次品要損失元，問為了獲得最大盈利，每大的生產量為多少?標準答案：設日生產量為x件，日利潤為u元，則日次品數(shù)為xy件，日正品數(shù)為(x—xy)件，因為當x≥50時次品率為1，為獲最大利潤故必0≤x<50。于是日利潤為u=A(x—xy)一xy，(0≤x<50)u′=A(1—y—xy′)——令u′=0，得y+xy′=將y=代入，解得x=51±，即x≈42．8或x≈59．25，舍去x≈59．25．比較U(0)=0，U(42)=166．4，u(43)=189．9的值，故日生產量為43件時，獲得最大盈利。知識點解析：暫無解析二、證明題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、證明：函數(shù)f(x)=在x=0處連續(xù)，在x=0處不可導。標準答案：因為，所以=0，又f(0)=0，所以函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)。因為==，==，所以函數(shù)f(x)在x=0處不可導。知識點解析：暫無解析5、證明：當x>0時，(x2—1)lnx≥(x一1)。標準答案：令F(x)=lnx一，顯然，F(xiàn)(x)在(0，+∞)上連續(xù)。由于F′(x)=，故F(x)在(0，+∞)上單調遞增，于是，當0＜x＜1時，F(xiàn)(x)＜F(1)=0，即lnx＜，又(x2一1)lnx＞(x一1)2，故(x2一1)lnx＞(x一1)2；當x≥1時，F(xiàn)(x)≥F(1)=0，即lnx≥，又x2一1≥0，故(x2—1)lnx≥(x一1)2知識點解析：暫無解析三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、設=e2，則m的值為()。A、B、2C、一2D、標準答案：C知識點解析：=一2。7、當x→0時，在下列變量中為無窮小量的是()。A、ex一1B、C、D、標準答案：A知識點解析：選項A：(ex一1)=0：選項B：=1：選項C：=e；選項D：=1。8、∫41|x2—3x+2|dx的值為()。A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：∫41|x2—3x+2|dx=∫21(—x2+3x—2)dx+∫42(x2—3x+2)dx=9、下列說法不正確的是()。A、是發(fā)散的B、是發(fā)散的C、是收斂的D、是發(fā)散的標準答案：D知識點解析：un==ln(n+1)—lnn，Sn=u1+2+…+un=ln(n+1)，=∞所以是發(fā)散的；因為不存在，所以是發(fā)散的；un=；是收斂的，由比較審斂法知也收斂。因為=0<1，由比值審斂法可知所給的級數(shù)是收斂的。10、在下面曲面中，為旋轉拋物面的是()。A、x2+y2=z2B、x2+y2+2z2=1C、D、x2+y2=2x標準答案：C知識點解析：A項為圓錐面，B項為球面。11、設f(x，y)=+(y一1)ln(x2.y)，貝f′x(x，1)=()。A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：f(x，1)=，故。四、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)12、定積分∫20|x—1|dx=_________。標準答案：1知識點解析：∫20|x—1|dx=∫10(1—x)dx+∫21(x—1)dx=(x—)|10+(—x)|21=+=1。13、曲線y=4—的拐點是_________。標準答案：(1，4)知識點解析：y′=，y″=當x=1時，y″==0。當x∈(一∞，1)時，y″<0，而當x∈(1，+∞)時，y″>0，當x=1時，y=4，所以拐點是(1，4)。14、若f(x)=，則f[f(f(x))]=_________。標準答案：x知識點解析：f[f(f(x))]=====x。15、已知a，b均為單位向量，且a.b=，則以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_________。標準答案：知識點解析：根據(jù)向量叉積，以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為S=|a|.|b|sinθ=|a×b|，由已知，|a|=1，|b|=1，a.b=|a|.|b|cosθ=，所以cosθ=，可得sinθ=，可得平行四邊形面積為|a×b|=|a||b|sinθ=。16、的收斂半徑和收斂域為_________。標準答案：，[，]知識點解析：an=，R===，當x=時，級數(shù)=，收斂；當x=時，級數(shù)=收斂。故原級數(shù)收斂域為[，]17、若z=，則=_________。標準答案：(，)知識點解析：=，=，把(1，一1)代入即可。五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、設方程確定x2+y2+z2—4z=0確定z=z(x，y)，求。標準答案：知識點解析：(1)F=x2+y2+z2一4z，F(xiàn)′x=2x，F(xiàn)′y=2y，F(xiàn)′z=2z一4。(2)(3)19、計算I=(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤2x。標準答案：π知識點解析：(1)畫出積分區(qū)域D(2)I=D關于x軸對稱，Y關于y為奇函數(shù)，=0I==π20、判別的斂散性。標準答案：收斂知識點解析：解法(1)：這是正項級數(shù)，且收斂|q|=＜1，由比較法非極限形式知收斂。解法(2)：收斂，收斂，由性質知也收斂。21、將f(x)=展開成x的冪級數(shù)。標準答案：(一1＜x＜1)知識點解析：解法(1)：f(x)=x=x=，收斂域：||<1，|x|<1|x|<1即一1＜x＜1，解法(2)：f(x)==(一1＜x＜1)22、求xydx+=0滿足y(一1)=2的特解。標準答案：y=知識點解析：(1)可分離變量方程。(2)，，lny=+C1，lny=+C1。(3)y=，又y(一1)=2，C=2，特解y=23、已知二階線性常系數(shù)齊次方程的特征方程的根為r1、2=1±2i，求此微分方程。標準答案：y″一2y′+5y=0知識點解析：(1)特征方程：(r一1—2i)(r一1+2i)=0，(r一1)2一(2i)2=0，(r一1)2一4i2=0(i2=一1)，r2一2r+1+4=0，r2一2r+5=0。(2)微分方程：y″一2y′+5y=0。24、設y=xarcsin+，求y′及y″。標準答案：、知識點解析：(1)y′==(2)y″=25、求曲線y=x2+的凹凸區(qū)間與拐點。標準答案：拐點(0，一1)及(1，)；(一∞，0)，(1，+∞)為凹區(qū)間，(0，1)為凸區(qū)間知識點解析：(1)定義域(一∞，+∞)。(2)y′=y″=令y″=0，y″==0，得x=0；y″不存在的點為x=1。(3)列表江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第5套一、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內大于0，并滿足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲線y=f(x)與x=1，y=0所圍成的圖形S的面積為2，求y=f(x)．標準答案：由xf’(x)=f(x)+3x2，可得知識點解析：暫無解析2、設其中Dt是由x=t、y=t以及坐標軸圍成的正方形區(qū)域，函數(shù)f(x)連續(xù)．(1)求a的值使得g(t)連續(xù)；(2)求g’(t)．標準答案：如圖，畫出積分區(qū)域，則知識點解析：暫無解析3、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資金，銷售收入z(萬元)與電臺廣告費用x(萬元)及報紙廣告費用y(萬元)之間的關系有如下公式：z=15+14z+32y一8xy一2x2—10y2．問：在廣告費用不限的情況下，怎樣才能達到最優(yōu)的廣告策略?標準答案：廣告策略最優(yōu)，即要求公司通過做廣告，獲得的利潤最大因利潤函數(shù)：L(x，y)=R(x，y)一C(x，y)=15+14x+32y一8xy一2x2—10y2一(x+y)=15+13x+31y一8xy一2x2一10y2又Lxx’’(x，y)=一4，Lxy’’(x，y)=一8，Lyy’’(x，y)=一20，故B2一AC=64一(一4)×(一20)=一16＜0．又A=一4＜0，于是點(0．75，1．25)為極大值點，也是最大值點即廣告費用為0．75萬元，報紙廣告費用為1.25萬元時，才能達到最優(yōu)廣告策略．知識點解析：暫無解析二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)4、設f(x)在[1，2]上具有二階導數(shù)f’’(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x-1)f(x)，試證明至少存在一點ξ∈(1，2)，使F’’(ξ)=0．標準答案：設G(x)=F(x)一(x-2)f(1)，則G(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內可導，而G(1)=f(1)，G(2)=f(2)，于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2)．由羅爾定理知在(1，2)內至少有一點ξ1使G1(ξ1)=0，即F’(ξ1)=f(1)．又由F’(x)=f(x)+(x一1)f’(x)知F’(1)=f(1)．顯然F’(x)=f(x)+(x一1)f’(x)在[1，ξ1]上滿足羅爾定理條件．于是在(1，ξ1)內至少有一點ξ使F’;(ξ)=0，即在(1，2)內至少有一點ξ使F’’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、若=()．A、B、2C、3D、標準答案：C知識點解析：用變量代換求極限，令[*]，故選C項．6、設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則=()．A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：故答案為B項．7、則k的值為()．A、1B、C、D、一2標準答案：B知識點解析：根據(jù)結論：8、下列無窮積分收斂的是()．A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：9、設y=f(x)為[a,b]士的連續(xù)函數(shù)，則曲線y=f(x)，x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積為()．A、∫abf(x)dxB、｜∫abf(x)dx｜C、∫ab(x)｜dxD、∫abf(x)dx標準答案：C知識點解析：對于在[a，b]上函數(shù)f(x)有時取正值，有時取負值，所以求面積時f(x)要帶上絕對值．10、的間斷點有()．A、一個B、兩個C、三個D、0個標準答案：B知識點解析：其定義域為x≥3，間斷點為x=4，x=5．四、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)11、函數(shù)y’’(0)=________．標準答案：知識點解析：暫無解析12、設u=exysinx，=_________.標準答案：exy(ysinx+cosx)知識點解析：13、交換二次積分得∫01dx∫0xf(z，y)dy+∫12dx∫02-xf(x，y)dy=___________.標準答案：∫01dy∫y2-yf(x,y)dx知識點解析：暫無解析14、冪級數(shù)的收斂半徑R=_________．標準答案：知識點解析：暫無解析五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、若f(x)在x=0處連續(xù)，求a，b，c.標準答案：因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(0一0)一f(0+0)=f(0)，得：b=ce-4=1所以c=e4,b=1，a為任意實數(shù)．知識點解析：暫無解析16、求不定積分∫x2e-xdx．標準答案：∫x2e-xxdx=一∫x2d(e-x)=一x2e-x=+2∫dx=一x2e-x－2∫xd(ex)一一x2e-x一2xe-x一2e-x+C知識點解析：暫無解析17、求標準答案：知識點解析：暫無解析18、求函數(shù)哪一點上的切線與直線y=x成60°角?標準答案：設切線斜率為k2＜0，y=x→k1=1知識點解析：暫無解析19、u=f(x+y，x2，ysinx)，求標準答案：知識點解析：暫無解析20、求微分方程xy’一y=x2ex的通解．標準答案：原方程化為：知識點解析：暫無解析21、求級數(shù)的和數(shù)．標準答案：∴對上式兩邊求導得：對上式兩邊再次求導，得：于是，對上式兩邊取x=1，得知識點解析：暫無解析22、當k為何值時，廣義積分收斂?當k為何值時，這個廣義積分發(fā)散?又當k為何值時，廣義積分取得最小值?標準答案：當k≠1時，即，當k＞1時，廣義積分收斂；當k≤1時，廣義積分發(fā)散．令f’(k)=0，得駐點但當k＜k0時，f’(k)＜0；當k＞k0時，f’(k)＞0，所以，當k=k0=時，廣義積分取極小值，也就是最小值．知識點解析：暫無解析江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第6套一、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、在直角坐標系的第一象限內作4x2+y2=1的切線，使其與兩坐標軸所構成的三角形面積最小，求切點坐標。標準答案：根據(jù)題意畫出圖形：設切點為(x，y)=(x，)，由4x2+y2=1求導得：8x+2y=0，=，k==切線方程為y—=令x=0得y=+=令y=0得x=X+=則S(X)=求S(X)的最小值即求的最大值，令F(X)=則F′(X)=+X=0，解得X=唯一駐點．所以切點坐標為知識點解析：暫無解析2、某公司的甲、乙兩廠生產同一種產品，月產量分別是x，y(千件)，甲廠的月生產成本是C1=x2一2x+5(千元)，乙廠的月生產成本是C2=y2+2y+3(千元)。若要求該產品每月總產量為8千件，并使總成本最小，求甲、乙兩工廠的最優(yōu)產量和相應的最小成本。標準答案：本題為求函數(shù)z=f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8在條件x+y一8=0下的條件極值。方法一：用拉格朗日乘數(shù)法總成本f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8，約束條件φ(x，y)=x+y一8，作輔助函數(shù)F(x，y)=x2+y2一2x+2y+8+λ(x+y一8)，令，解得x=5，y=3，由于駐點(5，3)唯一，實際中確有最小值。所以當x=5千件，y=3千件時使總成本最小，最小成本為f(5，3)=38千元。方法二：化條件極值為無條件極值總成本為z=f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8，約束條件x+y一8=0，將y=8一x代入f(x，y)中，得z=x2+(8一x)2一2x+2(8一x)+8=2x2一20x+88z′x=4x一20，令z′x=0，得x=5。因為z″xx4>0，所以x=5時z取極小值，又因為極值點唯一，所以x=5時，z取最小值，此時y=3，故x=5千件，y=3千件時，總成本最小，最小成本為：f(5，3)=38千元。知識點解析：暫無解析3、把一根長為a的鉛絲切成兩段，一段圍成圓形，一段圍成正方形，問這兩段鉛絲各多長時，圓形面積與正方形面積之和最小。標準答案：設圍成圓形的長度為x，面積設為S1，則圍成正方形的長度為a一x，而面積記為S2，則S(x)=S1(x)+S2(x)=+=+，(0≤x≤a)S′(x)=+(x—a)=0，得x=所以x=時，圓形面積與正方形面積之和最小。知識點解析：暫無解析二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)4、設f(x)在[a，b]上連續(xù)(a＜b)，且f(x)＞0，證明：=0標準答案：①令F(x)=根據(jù)積分上限函數(shù)的性質知，F(xiàn)(x)在[a，b]上連續(xù)且可導，又F(a)=+=＜0，(f(x)＞0)F(b)=+=＞0，(f(x)＞0)所以由零點定理知，方程F(x)=0在(a，b)內至少有一實根。②又F′(x)=f(x)+>0，于是F(x)在(a，b)內單調遞增，F(xiàn)(x)在(a，b)內與x軸只有一個交點，即方程F(x)=0在(a，b)內只有一個實根，故由①、②知，方程+=0在(a，b)內有且僅有一個實根。知識點解析：暫無解析三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、下列極限求解正確的是()。A、=1B、=1C、=eD、sin(2x+1)=0標準答案：D知識點解析：xlnx==0，=e—1，當x→0時，為有界函數(shù)，x為無窮小量，故其乘積也為無窮小。=0，=0，而sin(2x+1)有界，所以sin(2x+1)=0，故選D項。6、函數(shù)y=的單調減少區(qū)間為()。A、(一∞，+∞)B、(一∞，一1)U(一1，+∞)C、(0，+∞)D、(一∞，0)標準答案：B知識點解析：y′=<0(x≠一1)故區(qū)間為(一∞，一1)U(一1，+∞)，故選B項。7、定積分∫20|x一1|dx=()。A、0B、2C、一1D、1標準答案：D知識點解析：原式=∫10(1—x)dx+∫21(x—1)dx==1。8、設L為正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，則曲線部分∫Lxdy一2ydx的值為()。A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示為于是∫Lxdy—2ydx=dθ=π+=9、下列結論正確的是()。A、收斂B、收斂C、收斂D、收斂標準答案：A知識點解析：∵n→∞時，，即=1，又收斂，由比較判別法可知收斂?！?1，而調和級數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散。=2≠0，原式發(fā)散。不存在，原式發(fā)散。10、設f(x)=，則f′(x)=()。A、sinx4B、2xsinx2C、2xcosx2D、2xsinx4標準答案：D知識點解析：利用變上限積分求導法則，f′(x)=sinx4(x2)′=2xsinx4。四、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)11、=_________。標準答案：e6知識點解析：12、設f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=_________。標準答案：一1知識點解析：f(x)=f(0)=aa=—113、y=+1的水平漸近線是_________。標準答案：y=1知識點解析：=114、已知=1，則k的值為_________。標準答案：知識點解析：15、設曲線y=x2+x+2上點M處的斜率為一3，則點M的坐標是_________。標準答案：(一2，4)知識點解析：y′=2x+1=一3x=一2，代入到原方程得y=4。16、設向量a，b，令|a+b|=|a一b|，a={3，一5，8}，b={一1，1，z}，則z=_________。標準答案：1知識點解析：因為a+b={2，一4，8+z}，a—b={4，一6，8—2}，由|a+b|=|a—b|有，解得z=1。五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)17、求。標準答案：原式==e—1知識點解析：暫無解析18、已知z=arctan，求dz。標準答案：，dz==知識點解析：暫無解析19、已知∫xf(x)dx=arcsinx+C，求。標準答案：xf(x)=(arcsinx)′=，則f(x)=，=+C=+C知識點解析：暫無解析20、若函數(shù)y=y(x)是由參數(shù)方程所確定，求，。標準答案：由參數(shù)方程求導法則=知識點解析：暫無解析21、設y=f(x)滿足y″—3y′+2y=2ex，其圖形在(0，1)處與曲線y=x2—x+1在該點處切線重合，求f(x)表達式。標準答案：r2一3r+2=Or1=1，r2=2，所以y=C1ex+C2e2x，y″=Axex，則y″=A(1+x)ex，=A(2+x)ex，代入原方程得A(2+x)ex一3A(1+x)ex+2Axex=2ex，化簡得A=一2，所以y*=2xex，所以y=C1e2x+C2e2x一2xex，則y′=C1ex+2C2e2x一2(1+x)ex根據(jù)已知條件，圖像經過點(0，1)，所以有y(0)=1；又切線的斜率k=(2x一1)|x=0=一1，所以有y′(0)=一1，這樣就得到了兩個初始條件，分別代入得C1+C2=1，C1+2C2—2=一1，解得C1=1，C2=0，因此y=一ex一2xex。知識點解析：暫無解析22、求直線在平面x+y+2z一1=0上的投影線方程。標準答案：知識點解析：暫無解析23、求二重積分[1+x3一(x2+y2)]dxdy，其中D為x2+y2≤2ay。標準答案：由對稱性知=0原式=(1—r2)rdr=dθ=(2a2sin2θ—4a4sin4θ)dθ=(2a2sin2θ—4a4sin4θ)dθ=4a2sin2θdθ—8a4sin4θdθ=4a2—8a4=πa2—πa4本題也可以這樣做，[1+x3—(x2+y2)]dxdy=dxdy+x3dxdy—(x2+y2)dxdy=dxdy—(x2+y2)dxdy=πa2—r2.rdr=…=πa2—πa4這里的πa2就是積分區(qū)域的面積，即半徑為a的圓的面積，這里x2+y2=2ayx2+(y—a)2=a2，即圓心為(0，a)，半徑為a的圓。知識點解析：暫無解析24、將函數(shù)y=xlnx在x=1處展開為冪級數(shù)，并指出成立范圍。標準答案：y=xlnx=(x一1)lnx+lnx=(x一1)ln(1+x一1)+ln(1+x一1)=(x一1)(x一1)n+1+(x一1)n+1=(x一1)n+2+(x一1)n+2+(x一1)=(x一1)+(x一1)n+2=(x一1)+(x一1)n+2=(x一1)+(x一1)n+2，又一1＜x—1≤1，所以0＜x≤2。注：一般來說，一個題目中用到兩個冪級數(shù)展開公式的時候，需要把它們合并到一起。知識點解析：暫無解析江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第7套一、綜合題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、已知三點：A(1，0，一1)，B(1，一2，0)，C(一1，2，一1)，(1)求；(2)求以A、B、C為頂點的三角形面積。標準答案：一4，知識點解析：(1)∵={0，一2，1}，={一2，2，0}，∴={0，一2，1}.{一2，2，0}=0—4+0=一4．(2)∵S△ABC=，又=={一2，一2，一4}，∴S△ABC==2、求由曲線y=，y=x2所圍平面圖形分別繞x軸、y軸旋轉的旋轉體的體積Vx和Vv。標準答案：，知識點解析：(1)畫出平面圖形x4+x2一2=0交點(一1，1)或(1，1)。(2)==(3)Vy==二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)3、設函數(shù)f(x)和g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，證明在(a，b)內至少存在一點ε使得f′(ε)g(ε)+2f(ε)g′(ε)=0。標準答案：設F(x)=f(x)g2(x)，由題設條件知，F(xiàn)(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，并且F(a)=F(b)=0，所以由羅爾中值定理得，在(a，b)內至少存在一點ξ，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g′(ξ)=0，由于g(ξ)≠0，得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。知識點解析：暫無解析三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、=1，則常數(shù)k等于()。A、1B、2C、4D、任意實數(shù)標準答案：B知識點解析：由題意可知，x=2時，x2—3x+k=0k=2。5、下列命題中正確的是()A、若x0是f(x)的極值點，則必有f′(x0)=0B、若f(x)在(a，b)內有極大值也有極小值，則極大值必大于極小值C、若f′(x0)=0，則x0必是f(x)的極值點D、若f(x)在點x0處可導，且點x0是f(x)的極值點，則必有f′(x0)=0標準答案：D知識點解析：根據(jù)極值存在的必要條件與充分條件。6、若x=2是函數(shù)y=x—ln的可導極值點，則常數(shù)a值為()。A、一1B、C、D、1標準答案：C知識點解析：y=x—=0由題意得f′(2)=0，可知a=。7、若y=arctanex，則dy=()。A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：8、=0是級數(shù)收斂的()條件。A、充分B、必要C、充分必要D、既非充分又非必要標準答案：B知識點解析：由級數(shù)收斂定義、性質可知答案為B項。9、設函數(shù)f(x)=x(x—1)(x—2)(x—3)，則方程f′(x)=0的實根個數(shù)為()。A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：由于f(x)是四次多項式，故f′(x)=0是三次方程，有3個實根。四、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)10、如果f(x)=在x=0處連續(xù)，那么a=__________。標準答案：0知識點解析：=f(0)，那么a=0。11、設，則=___________。標準答案：tant知識點解析：===tant。12、點M(2，一3，4)到平面3x+2y+z+3=0的距離d=__________。標準答案：知識點解析：根據(jù)點M(x1，y1，z1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為d=。13、設函數(shù)y=y(x)是由方程ex—ey一sin(xy)確定，則=__________。標準答案：1知識點解析：對方程兩邊求導得：ex一eyy′=cosxy.(y+xy′)，根據(jù)x的值求出y值，則可得出=1。14、函數(shù)f(x)=arctanx在[一1，1]上滿足拉格朗日中值定理的點是=__________。標準答案：知識點解析：設點ε，根據(jù)拉格朗日定理，則此點滿足f(1)—f(一1)=f′(ε)[1一(一1)]，所以點ε等于。15、交換積分次序f(x，y)dx=__________。標準答案：知識點解析：通過作圖可得出結論。五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)16、求。標準答案：知識點解析：暫無解析17、求。標準答案：設arctanx=t，x=tant，則：I=dx=.sec2tdt=∫tantcost.etdt=∫etsintdt=∫sintdet=etsint—∫etcostdt=etsint—∫costdet=etsint—costet一∫etsintdt=etsint—costet一I則I=etsint—etcost+C，所以原式=+C知識點解析：暫無解析18、已知z=(x+y)exy，求dz。標準答案：因為=exy+(x+y)exy.y=(1+xy+y2)exy=(1+xy+x2)exy所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy。知識點解析：暫無解析19、求。標準答案：=知識點解析：暫無解析20、求y′一(cosx)y=esinx滿足y(0)=1的解。標準答案：這是一階線性非齊次微分方程，其中P(x)=一cosx，Q(x)=esin。于是方程的通解為：y=e-∫p(x)dx[∫Q(x)e-∫p(x)dxdx+C]=e-∫(cosx)dx[∫esinxe∫(-cosx)dxdx+C]=esinx(∫esinxe-sinx+C)=esinx(x+C)．由y(0)=1，得C=1，故所求解為：y=esinx(x+1)知識點解析：暫無解析21、設z=xf(x2，xy)，其中f(u，v)的二階偏導數(shù)存在，求、。標準答案：，=2x+x(+)=2x+2x3+x2知識點解析：暫無解析22、求函數(shù)y=x—ln(x+1)的單調區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間。標準答案：①函數(shù)的定義域為(一1，+∞)；②∵y′=1一，令y′=0，得駐點x=0．又y″=>0，x∈(一1，+∞)，于是函數(shù)的曲線恒為凹的曲線弧，即凹區(qū)間為：(一1，+∞)；③又一10，函數(shù)遞增，故函數(shù)單調遞減區(qū)間為：(一1，0)；遞增區(qū)間為：(0，+∞)；且函數(shù)在x=0處取得一極小值f(0)=0。知識點解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂域。標準答案：令x一5=t，則原式=，收斂半徑為：R==1，當t=1時，級數(shù)發(fā)散；當t=一1時，級數(shù)收斂。所以級數(shù)的收斂域為[一1，1)，那么級數(shù)的收斂域為[4，6)。知識點解析：暫無解析江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第8套一、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設函數(shù)y=f(x)滿足方程xy’+y=x，且。(1)求f(x)；(2)求f(x)的單調增加區(qū)間。標準答案：解：(1)經整理得一階線性微分方程知識點解析：暫無解析2、某公司年產量為x百臺機床，總成本為C萬元，其中固定成本為2萬元，每產1百臺增加1萬元，市場上每年可銷售此商品4百臺，其銷售總收入R(x)(單位：萬元)是x的函數(shù)，問每年生產多少臺利潤最大?標準答案：解：設每年的產量為x百臺時利潤為y萬元。令y’=0得x=3。計算y(0)=-2，y(3)=，y(4)=2。故每年生產3百臺時利潤最大為y(3)=萬元。知識點解析：暫無解析3、若f(x)在x=0處連續(xù)，求k，a的值。標準答案：知識點解析：暫無解析二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)4、證明曲線上任意一點的切線所截兩坐標軸的截距之和等于a。(a>0)標準答案：證明：方程兩端y對x求導有，所以，過點(x，y)的切線方程為Y－y＝(X-x)，這里(X，Y)為切線上點的流動坐標。令X=0得切線在y軸上的截距為Y=y+，令Y=0得切線在x軸上的截距為X=x+，所以兩截距和為，故得證。知識點解析：暫無解析三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、已知f(x)=2｜x｜，則f’(0)=()。A、2｜x｜ln2B、2xln2C、2-x1n2D、不存在標準答案：D知識點解析：暫無解析6、下列積分收斂的是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：暫無解析7、下列極限中正確的是()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：暫無解析8、y=xx，則下列正確的是()。A、y’=xxx-1B、dy=xxlnxdxC、y’=xx(lnx+1)D、y’=xxdx標準答案：C知識點解析：暫無解析9、與平面x+y+z=1平行的直線方程是()。A、B、x-1=y-1=z-2C、D、z-2y+z=3標準答案：C知識點解析：暫無解析10、下列哪個結論是正確的()。A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：暫無解析四、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)11、如果在x=0處連續(xù)，那么a＝＿＿＿＿＿＿。標準答案：0知識點解析：＝f(0)，那么a=0。12、設＝＿＿＿＿＿＿。標準答案：tant知識點解析：。13、點M(2，-3，4)到平面3x+2y+z+3=0的距離d＝＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：根據(jù)點M(x1，y1，z1，)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為。14、設函數(shù)y=y(x)是由方程ex-ey=sin(xy)確定，則＝＿＿＿＿＿＿。標準答案：1知識點解析：對方程兩邊求導得：ex－eyy’＝cosxy·xy’，根據(jù)x的值求出y值，則可得出y’｜x=1＝1。15、函數(shù)f(x)=arctanx在[-1，1]上滿足拉格朗日中值定理的點是＿＿＿＿＿＿。標準答案：知識點解析：設點ε，根據(jù)拉格朗日定理，則此點滿足f(1)-f(-1)=f’(ε)[1-(-1)]，所以點ε等于。16、交換積分次序＝＿＿＿＿＿＿。標準答案：∫0edx∫0lnxf(x,y)dy知識點解析：通過作圖可得出結論。五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)17、已知F(x)在0點連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)+2sinx在0處的導數(shù)并且f(x)連續(xù)在0處導數(shù)為f’(0)=6，求。標準答案：解：=f’(0)+2=6+2=8。知識點解析：暫無解析18、計算。標準答案：解：原式=。知識點解析：暫無解析19、求。標準答案：解：令x=atant，dx=，當x=a時，t=。當x=+∞時，t=，所以原式。知識點解析：暫無解析20、設f(x)=x-cos2x，求f(x)的極值。標準答案：解：f’(x)=+2sin2x=0sin2x=則：2x=+kπ(k∈Z)。f”(x)=4cos2x，f”(+kπ)=4cos(+2kπ)=>0。故當x=+kπ時取得最小值，且。知識點解析：暫無解析21、求微分方程yy”－y’2＝0的通解。標準答案：解：設y’=p，則y”=，代入微分方程yy”-y’2=0得：=p2，即p=0或=p，由p=0得y=C1；由，所以(其中C1，C2為任意常數(shù))，綜上所述，。知識點解析：暫無解析22、若z=z(x，y)是由方程x2+y2+z2=3xyz所確定的隱函數(shù)，求。標準答案：解：根據(jù)方程x2+y2+z2=3xyz，兩邊對x求導：。知識點解析：暫無解析23、求的收斂半徑和收斂域。標準答案：解：令y=2x+1，原級數(shù)=，Ry=1，。當y=1時，發(fā)散；當y=-1時，收斂，所以y的收斂區(qū)間為[-1，1)，相應的x的收斂區(qū)間為[-1，0)。知識點解析：暫無解析24、平面π通過直線，且垂直于平面x+2y+3z=1，求平面π的方程。標準答案：解：設π方程為(x-2y+z-1)+λ(2x-y+2z-1)=0，即：(1+2λ)x+(-2-λ)y+(1+2λ)z+(-1-λ)=0，那么n={1+2λ，-2-λ，1+2λ｝，由于π垂直于x+2y+3z=1，所以(1+2λ)+2(-2-λ)+3(1+2λ)=0λ=0，即平面π的方程為x-2y+z=1。知識點解析：暫無解析江蘇省專轉本（高等數(shù)學）模擬試卷第9套一