考研數(shù)學(xué)概率論筆記

概率論基礎(chǔ)知識(shí)

第一章隨機(jī)事件及其概率

-隨機(jī)事件

§1幾個(gè)概念

1、隨機(jī)實(shí)驗(yàn):滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為邈邈；(1)試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的

可能結(jié)果不止一個(gè),且所有可能結(jié)果是已知的;(3)每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是未知的；隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)

稱為試驗(yàn)，并常記為E。

例如：Ei：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；

E3：觀察某交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2、隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機(jī)事件:常記為A,B,C……

例如，在Ei中，A表示“擲出2點(diǎn)”，B表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。

3、必然事件與不可能事件：每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱為|必然事件|,記為Q.每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的

事情稱為|不可能事件|,記為①。

例如，在日中，“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事

件,以后，隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為雷雨。

4、基本事件：試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱為基本事件

例如，在Ei中，“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”，……，”擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件。

由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件，例如，在Ei中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。

5、樣本空間：從集合觀點(diǎn)看，稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)，常記為e.

例如,在E］中,用數(shù)字1,2,……,6表示擲出的點(diǎn)數(shù),而由它們分別構(gòu)成的單點(diǎn)集{1},{2},…{6}

便是日中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有(H,H),(H,T),

(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}顯然，任何

事件均為某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。

例如，在日中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的事件便可表為{2,4,6}°試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本

空間。記為Q。

例如，

在Ei中，Q={1,2,3,4,5,6}

在E2中，Q={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}

在E3中，Q={0,1,2)....}

例1,一條新建鐵路共10個(gè)車(chē)站，從它們所有車(chē)票中任取一張，觀察取得車(chē)票的票種。

此試驗(yàn)樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為N0=p2|o=9O.（排列：和順序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京）

若觀察的是取得車(chē)票的票價(jià)，則該試驗(yàn)樣本空間中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為岡

______________1（組合）

例2.隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗(yàn)的樣本空間所

有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

岡

第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列

§2事件間的關(guān)系與運(yùn)算

1、包含：“若事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A,記為A哥或B與

例如，在Ei中，令A(yù)表示“擲出2點(diǎn)”的事件，即人=｛2｝

B表示“擲出偶數(shù)”的事件，即8=｛2,4,6｝則Fj~~I

2、相等：若A字且B審，則稱事件A等于事件B,記為A=B

例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A(yù)表示“取得到少有3張紅桃”

的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事件。顯然A=B

4=B

3、和：稱事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B的和事件簡(jiǎn)稱為和，記為A⑼，或A+B

例如，甲，乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B表示“乙

擊中目標(biāo)”的事件，則AUB表示“目標(biāo)被擊中”的事件。

AUB

4、積：稱事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡(jiǎn)稱為積，記為A⑼或AB。

例如，在E3中，即觀察某交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中，令人=｛接到偶數(shù)次呼喚｝,B=｛接到

奇數(shù)次呼喚｝,則A哥=｛接到6的倍數(shù)次呼喚｝

0

推廣:

任意有限個(gè)

無(wú)窮可列個(gè)

5,差：稱事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件簡(jiǎn)稱為差，記為AB。

例如，測(cè)量晶體管的B參數(shù)值，令A(yù)=｛測(cè)得P值不超過(guò)50｝,B=｛測(cè)得B值

不超過(guò)100｝,則，AB=4>,BA=｛測(cè)得B值為50<BW100｝

AB

6、互不相容：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=6,則稱A與B是互不相容的。

例如，觀察某定義通路口在某時(shí)刻的紅綠燈：若人=｛紅燈亮｝,B=｛綠燈亮｝,

則A與B便是互不相容的。

AB?

7、對(duì)立：稱事件A不發(fā)生的事件為A的對(duì)立事件，記為國(guó)顯然|岡AD導(dǎo)小

例如，從有3個(gè)次品，7個(gè)正品的10個(gè)產(chǎn)品中任取3個(gè)，若令A(yù)=｛取得的3

個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)次品｝,則尋｛取得的3個(gè)產(chǎn)品均為正品｝。

§3事件的運(yùn)算規(guī)律

1、交換律AUB=BUA；ACB=BCA

2、結(jié)合律(AUB)UC=AU(BUC)；(APB)nC=AD(BCIC)

3、分配律AC(BUC)=(AAB)U(ACC),AU(BAC)=(AUB)A(AUC)

4、對(duì)偶律舊

此外，還有一些常用性質(zhì)，如

AUB與a，AUB哥(越求和越大)；ACB口AAB哥(越求積越小)。

若A用，則AUB=B,AAB=AAB=AAB=A@等等。

例3,從一批產(chǎn)品中每次取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，令入=｛第i次取得合格品｝,i=l,2,3,試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示

下列事件。A=｛三次都取得合格品｝B=｛三次中至少有一次取得合格品｝C=｛三次中恰有兩次取得合

格品｝D=｛三次中最多有一次取得合格品｝

=

解：AA1A2A3I

表示方法常常不唯一，如事件B又可表為

國(guó)或因

例4,一名射手連續(xù)向某一目標(biāo)射擊三次，令A(yù)j=｛第i次射擊擊中目標(biāo)｝,i=l,2,3,試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺?/p>

件：國(guó)"

解:同

aA|A2A3=｛三次射擊都擊中目標(biāo)｝

A3A2=｛第三次擊中目標(biāo)但第二次未擊中目標(biāo)｝

可

岡

例5,下圖所示的電路中，以A表示“信號(hào)燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點(diǎn)，I,II,

III,閉合，試寫(xiě)出事件A,B,C,D之間的關(guān)系。

解，不難看出有如下一些關(guān)系:

回

—事件的概率

§1概率的定義

所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P(A)。規(guī)定P(A)》O,P(Q)=1。

1、古典概型中概率的定義

古典概型：滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型。

(1)所有基本事件是有限個(gè)；(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同；

例如：擲一勻稱的骰子，令人=｛擲出2點(diǎn)｝=｛2｝,B=｛擲出偶數(shù)總｝=｛2,4,6｝o此試驗(yàn)樣本空間為

Q=｛1,2,3,4,5,6｝,于是，應(yīng)有1=P(Q)=6P(A),即P(A)=巾

而P(B)=3P(A)=岡

定義1:在古典概型中，設(shè)其樣本空間Q所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為N.而事件A所

含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為NA，則事件A的概率便定義為：

例1，將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。

解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗(yàn)的樣本空間

Q={(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}。

可見(jiàn)Nn=8令A(yù)=(恰有一次出現(xiàn)正面},則人={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)}

可見(jiàn)，令NA=3故因

例2,(取球問(wèn)題)袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。

(1)有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后放回袋中，再取下一個(gè)球；

(2)無(wú)放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后不再放回袋中，再取下一個(gè)球；

(3)一次取球：從袋中任取3個(gè)球。在以上三種取法中均求恰好取得2個(gè)白球)的概率。

解：(1)有放回取球N?=8X8X8=83=512(袋中八個(gè)球，不論什么顏色，取到每個(gè)球的概率相等)

(先從三個(gè)球里取兩個(gè)白球，第一次取白球有五種情況，第二次取

白球還有五種情況〈注意是有放回〉，第三次取黑球只有三種情況)

(2)無(wú)放回取球

(3)一次取球

屬于取球問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例:

設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有5%的次品，今從中隨機(jī)抽取15件，則其中恰有2件次品的概率便為

0

（屬于一次取球模型）

例3（分球問(wèn)題）將n個(gè)球放入N個(gè)盒子中去，試求恰有n個(gè)盒子各有一球的概率（n<N）。

解：令人=｛恰有n個(gè)盒子各有一球｝,先考慮基本事件的總數(shù)

NQ-WN?電-AT,先從N個(gè)盒子里選n個(gè)盒子，然后在n個(gè)盒子里n個(gè)球全排列

屬于分球問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例:

全班有40名同學(xué)，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令人=｛40個(gè)同學(xué)生日皆不相同｝,則有

回

岡故

（可以認(rèn)為有365個(gè)盒子，40個(gè)球）

例4（取數(shù)問(wèn)題）

從0,1,……,9共十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的丕放回的接連取四個(gè)數(shù)字，并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列

事件的概率：（1）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)；（2）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù)；（3）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位偶數(shù);

解：令人=｛四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)｝,B=｛四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù)｝,C=｛四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位偶數(shù)｝

岡0

0,S

例5（分組問(wèn)題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個(gè)人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里

有4張A牌的概率各為多少？

解：令人=｛有人手里有13張黑桃｝,B=｛有人手里有4張A牌｝

a

岡

于是

a

a,故

不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質(zhì):

rP(A)20

2°P(Q)=1

3°若Ai，Ai、,An兩兩互不相容，則同

2、概率的統(tǒng)計(jì)定義

頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A出現(xiàn)了以次，則稱:問(wèn)為事件A的頻率。頻率具有一

定的穩(wěn)定性。示例見(jiàn)下例表

正面（A）出現(xiàn)的

試驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)n正面（A）出現(xiàn)次數(shù)nA頻率岡

德?摩爾根204810610.5180

浦豐404021480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

維尼30000149940.4998

定義2：在相同條件下，將試驗(yàn)重復(fù)n次，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A的頻率f￡A）越來(lái)越

穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，則稱常數(shù)p為事件A的概率，即P（A）=p

不難證明頻率有以下基本性質(zhì):

12°

3°若Ai，A2,……，兩兩互不相容，則岡

3、概率的公理化定義(數(shù)學(xué)定義)

定義3：設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為Q,對(duì)其中每個(gè)事件A定義一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),如果它滿足下列三條公理:

1°P(A)20(非負(fù)性)2°P(Q)=1(規(guī)范性)

(可列可加性，簡(jiǎn)稱可加性)

3°若A”A2,An兩兩互不相容，則

則稱P(A)為A的概率

4、幾何定義

定義4：假設(shè)Q是Rn(n=l,2,3)中任何一個(gè)可度量的區(qū)域，從Q中隨機(jī)地選擇一點(diǎn)，即Q中任何一點(diǎn)都有

同樣的機(jī)會(huì)被選到，則相應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間就是Q,假設(shè)事件A是Q中任何一個(gè)可度量的子集，則

P(A)==a(A)/u(Q)

§2概率的性質(zhì)

性質(zhì)1:若A與，則P(BA)=P(B)P(A)——差的概率等于概率之差

證：因?yàn)椋篈口^

所以：8=人1_)(6人)且人(1田人)=。,由概率可加性

得P(B)=P[AU(BA)]=P(A)+P(BA)

即P(BA)=P(B)P(A)

性質(zhì)2：若A多，則P(A)WP(B)一一概率的單調(diào)性

證：由性質(zhì)1及概率的非負(fù)性得OWP(BA)=P(B)P(A),即P(A)WP(B)

性質(zhì)3:P(A)證明：由于A用，由性質(zhì)2及概率的規(guī)范性可得P(A)<1

性質(zhì)4：對(duì)任意事件A,P(0!=1P(A)

證明：在性質(zhì)1中令B=Q便有P(曷=P(QA)=P(Q)P(A)=1P(A)

性質(zhì)5：P(。)=0證：在性質(zhì)4中，令A(yù)=Q，便有P(6)=P

(IFxl|)=1P(Q)=11=0

性質(zhì)6(加法公式)對(duì)任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)

AUB-AU(BAB

P(AB)

證：由于AUB=AU(BAB)且AD(BAB)=6(見(jiàn)圖)

由概率的可加性及性質(zhì)1便得

P(AUB)=P[AU(BAB)]=P(A)+P(BAB)

=P(A)+P(B)P(AB)

推廣：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)

例6設(shè)10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)是次品，今從中任取3個(gè)，試求取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品的概率.

解：令C=｛取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品｝,則昌｛取出產(chǎn)品中皆為正品｝,于是由性質(zhì)4得

3

例7,甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為和，而同時(shí)下雨的概率為，問(wèn)在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城

市中至少有一個(gè)城市下雨的概率。

解：令人=｛甲城下雨｝,B=｛乙城下雨｝,按題意所要求的是

P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)

例8.設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有

一個(gè)發(fā)生的概率。

S

于是所求的概率為

三條件概率

§1條件概率的概念及計(jì)算

在已知事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的概率稱為事件A的條件概率，記為P(A/B)。條件概率P(A/B)

與無(wú)條件概率P(A)通常是不相等的。

例1：某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職

工人員結(jié)構(gòu)如下：

人數(shù)男女總和

非熟練工人401050

其他職工210240450

總和250250500

現(xiàn)從該廠中任選一職工，令人=｛選出的職工為非熟練工人｝,B=｛選出的職工為女職工｝

顯然，回一;而

aa

定義1設(shè)A、B為兩事件，如果P(B)>0,則稱岡為在事件B發(fā)生的條件下，事件A

的卜條件概率同樣，如果P(A)>0,則稱囚為在事件A發(fā)生條件下，事件B的|條件概率

條件概率的計(jì)算通常有兩種辦法:

(1)由條件概率的含義計(jì)算(通常適用于古典概型)，(2)由條件概率的定義計(jì)算。

例2：一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無(wú)放回地取二次晶管，每次取一只,

當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時(shí)，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？

解：令A(yù)=(第一次取的是好的晶體管｝,B=｛第二次取的是好的晶體管｝

按條件概率的含義立即可得:0

岡

按條件概率的定義需先計(jì)算:國(guó);于是

例3：某種集成電路使用到2000小時(shí)還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時(shí)還能正常工作的概

率為0.87.有一塊集成電路已工作了2000小時(shí)，向它還能再工作1000小時(shí)的概率為多大？

解：令A(yù)=｛集成電路能正常工作到2000小時(shí)｝,B=｛集成電路能正常工作到3000小時(shí)｝

已知:：P(A)=0.94,P(B)=0.87H.IT]I，既有AB=B于是

按題意所耍求的概率為:可

§2關(guān)于條件概率的三個(gè)重要公式

定理1：回

例4:已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級(jí)品，今從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得的為

一級(jí)的概率.

解：令A(yù)=｛任取一件產(chǎn)品為一級(jí)品｝,B=｛任取一件產(chǎn)品為合格品｝,顯然耳二］,即有AB=A

故P（AB）=P（A）。于是，所要求的概率便為叵I

例5:為了防止意外，在礦內(nèi)安裝兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)a和b,每個(gè)報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)a有效的概率為0.92,

系統(tǒng)b的有效概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈情況下，系統(tǒng)b有效的概率為，試求：（1）當(dāng)發(fā)生意外時(shí)，兩個(gè)報(bào)

警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；（2）在系統(tǒng)b失靈情況下，系統(tǒng)a有效的概率.

解：令A(yù)=｛系統(tǒng)a有效｝B=｛系統(tǒng)b有效｝

已知向,a

對(duì)問(wèn)題（1）,所要求的概率為

,其中（見(jiàn)圖）

0.a-------

于是回

對(duì)問(wèn)題（2）,所要求的概率為:a岡

推廣：如果

LR______可

證:由于國(guó)

所以上面等式右邊的諸條件概率均存在，且由乘法公式可得

岡

□

（依此類(lèi)推）=岡

例6：10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，三個(gè)人參加抽簽（無(wú)放回）甲先，乙次，丙最后，試問(wèn)（1）甲、乙、丙均抽得難

簽的概率為多少？（2）甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少？

解：令A(yù),B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件,

對(duì)問(wèn)題（1）,所求的概率為:

對(duì)問(wèn)題⑵，甲抽得難簽的概率為：岡

a

乙抽得難簽的概率為

RC）?F（ABCUABCU.CU府C）?府尸（疝C）+F^AJc）

丙抽得難簽的概率為

市到咐也M%3）囁抬-5

其中1^1叱修⑷仞網(wǎng)為嗑抬咻

于是3

2.全概率公式

完備事儂:如果一組事件回在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè),

a

即則稱此事件組為該試驗(yàn)的一個(gè)完備事件組

例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，以下事件組均為完備事件組：①{1},{2},{3},{4},{5},{6}；②

{1,2,3},{4,5{6}；③A,為試驗(yàn)中任意一事件）

定理2：設(shè)且_________為一完備事件組，且三］____________________,則對(duì)于任意事件A有

岡

證：由于0且對(duì)于任意R

0,于是由概率的可加性及

乘法公式便得:0

例7,某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對(duì)陣如下:

根據(jù)以往資料可知，中國(guó)勝美國(guó)的概率為0.4,中國(guó)勝日本的概率

為，而日本勝美國(guó)的概率為，求中國(guó)得冠軍的概率。

解：☆H={日本勝美國(guó)},國(guó)={美國(guó)勝日本},A={中國(guó)得冠軍}

由全概率公式便得所求的概率為

0

例8,盒中放有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)，從盒中任取3個(gè)使用，用后放會(huì)盒中,

第二次比賽時(shí)，再取3個(gè)使用，求第二次取出都是新球的概率

解：令H"{第一次比賽時(shí)取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球}i=0,1,2,3,A={第二次比賽取出的3個(gè)

球均為新球}

S0-S0

于是

0aa0

而

由全概率公式便可得所求的概率

回

3貝葉斯公式

例9：某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果：患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽(yáng)性的概率為，不患有癌癥者做此

實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為，并假定就診者中有的人患有癌癥。己知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，問(wèn)他是一

個(gè)癌癥患者的概率是多少？

先驗(yàn)概率

解：令H=｛做實(shí)驗(yàn)的人為癌癥患者｝,目｛做實(shí)驗(yàn)的人不為癌癥患者｝,A=｛實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陽(yáng)性｝，｛實(shí)

驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陰性｝,由貝葉斯公式可求得所要求的概率：

a

例10：兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時(shí)，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為

X的概率為0.01.信息X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X,問(wèn)原發(fā)信息也是X

的概率為多少？

解：設(shè)H=｛原發(fā)信息為X｝國(guó)

岡

2

由題意可知代〃）=彳.麗

p（4”）-1-尸（NW）廣1-。。2=098

0

由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為

例11：設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已知其中國(guó)的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各

占回;已知甲，乙兩廠的次品率為2%,丙廠的次品率為4%,現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（1）求所取得

產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2）求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3）已知所取得產(chǎn)品是次品，

問(wèn)他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？

解：令岡|分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=｛所取得的產(chǎn)品為次品｝

顯然0,國(guó)，0,0

0

對(duì)問(wèn)題（1）,由乘法公式可得所要求的概率:

對(duì)問(wèn)題（2）,由全概率公式可得所要求的概率

a

岡

對(duì)問(wèn)題（3）,由貝葉斯公式可得所要求的概率

四獨(dú)立性

§1事件的獨(dú)立性

如果事件B的發(fā)生不影響事件A的概率，即回則稱事件A對(duì)事件B獨(dú)立。

如果事件A的發(fā)生不影響事件B的概率，即習(xí)則稱事件B對(duì)事件A獨(dú)立。

反之，如果舊一則有可

即a

同樣可證囚

總之，?,?可見(jiàn)事件獨(dú)立性是相互的。

回

山設(shè)48為兩個(gè)事件，如果

定義1

,則稱事件4與事件8相互獨(dú)立。

例1,袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中（1）有放回；（2）無(wú)放回的取兩次球，每次取一球，令

A=｛第一次取出的是白球｝B=｛第二次取出的是白球｝問(wèn)A,B是否獨(dú)立?

解：（1）有放回取球情況，則有0

可見(jiàn)，區(qū),可見(jiàn)A,B獨(dú)立。

2*3

（2）無(wú)放回取球情況，則有

可見(jiàn)，|岡故A,B不獨(dú)立。（實(shí)際上就是抓閹模型）

例2,設(shè)有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)I,II（見(jiàn)圖）每個(gè)元件的可靠性（即元件正常工作的

概率）為r（O<r<l）.假定兩元件工作彼此獨(dú)立,求兩系統(tǒng)的可靠性.

解：令A(yù)=｛元件a正常工作｝,B=｛元件b正常工作｝，且A,B獨(dú)

】卜立。Cl=｛系統(tǒng)I正常工作｝,C2=｛系統(tǒng)II正常工作｝

于是系統(tǒng)I的可靠性為困

;|

系銃■

系統(tǒng)II的可靠性為而岡

顯然|岡I.I，系統(tǒng)n可靠性大于系統(tǒng)］的可靠性。

定義：設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨(dú)立的。

定義2：設(shè)A,,Az,……A。為n個(gè)事件，如果對(duì)任意正整數(shù)|岡|及上述事件中的任意

國(guó)目力眄稱這n個(gè)事件A“A2……,A”是相

互獨(dú)立的。

下面幾個(gè)醫(yī)圖是常用的：

國(guó)|其它三個(gè)必成立。

證：設(shè)A,B成立，即烏________________,

于是有|岡

故互］獨(dú)立。利用這個(gè)結(jié)果便可證明其它結(jié)論，即

回――

(2)如果S相互獨(dú)立，則

(3)如果|國(guó)"|相互獨(dú)立,則可

岡

證:

例3：三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為求密碼能被譯出的概率

解：令A(yù)i=｛第□個(gè)人能譯出密碼｝,1=1,2,3；A=｛密碼能被譯出｝,所要求的概率為

囚

例4：設(shè)每支步槍擊中飛機(jī)的概率為乂|,(1)現(xiàn)有250支步槍同時(shí)射擊，求飛機(jī)被擊中的概率;

(2)若要以反二|概率擊中飛機(jī)，問(wèn)需多少支步槍同時(shí)射擊？

解：令A(yù)i=｛第i支步槍擊中飛機(jī)｝目1,2,……,n；A=(飛機(jī)被擊中｝

對(duì)問(wèn)題(1),n=250,所要求的概率為國(guó)

對(duì)問(wèn)題(2),n為所需的步數(shù)，按題意0

于是得

§2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)|在相同條件下，將某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，且每次試驗(yàn)中任何一事件的概率不受其它次試

驗(yàn)結(jié)果的影響，此種試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

稱此試驗(yàn)為貝努里試驗(yàn)

n重貝努里試驗(yàn)|將貝努里試驗(yàn)獨(dú)立重得n次所構(gòu)成n次獨(dú)立重得試驗(yàn)稱為n重貝努里試驗(yàn)。

例如，

(1)將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)一一10重貝努里試驗(yàn)

(2)在裝有8個(gè)正品，2個(gè)次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個(gè)，觀察取得次品的次數(shù)

——5重貝努里試驗(yàn)

(3)向目標(biāo)獨(dú)立地射擊n次，每次擊中目標(biāo)的概率為P,觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)一n重貝努里試驗(yàn)等等

一個(gè)重要的結(jié)果：在n重貝努里實(shí)驗(yàn)中，假定每次實(shí)驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為p,則在這n重貝

努里實(shí)驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn)k(kWn)次的概率為|區(qū)|其中q=lp

因此，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn)k次的事件便可表為

上式為在n次試驗(yàn)中恰有k次A出現(xiàn)，而在

另外nk次A不出現(xiàn)的所有可能事件之和這

岡及事件的獨(dú)立性便可

得到在n重貝努里試驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn)k次的概率為

□

例5：設(shè)電燈泡的耐用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2,求三個(gè)燈泡在使用了1000小時(shí)之后：(1)恰

有一個(gè)燈泡損壞的概率；(2)至多有一個(gè)燈泡損壞的概率。

解：在某一時(shí)刻觀察三個(gè)燈泡損壞情況為3重貝努里實(shí)驗(yàn)。令A(yù)=｛燈泡是壞的｝,則

若令Bi=｛有i個(gè)燈泡損壞｝,i=0,123；對(duì)于問(wèn)題(1),所求的概率為網(wǎng)媯)?瑪⑴?|；〉0針022?0096

網(wǎng)&U用卜*)+?(珀=5(o)+舄1)

對(duì)于問(wèn)題(2),所求的概率為，;,0.1

-(02)3?(；)08】022-0008+0096-0104

例6：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其次品率為0.01,該廠以每10個(gè)產(chǎn)品為一包出售，并保證若包內(nèi)多于一

個(gè)次品便可退貨，問(wèn)賣(mài)出的產(chǎn)品與被退的比例多大

解：賣(mài)出產(chǎn)品被退回的比例也即賣(mài)出一包產(chǎn)品被退回的概率，觀測(cè)一包內(nèi)次品(即事件A,)數(shù)的實(shí)

驗(yàn)可視為10重貝努里實(shí)驗(yàn)。令|岡|則

舊-I令C=｛賣(mài)出一包被退回),則

網(wǎng)。)?1.鹿)?1?P&Ua)-1?F0J?同片)7?(09910A017(0.99)**0004

如果廠方以20個(gè)產(chǎn)品為一包出售，并保證包內(nèi)多于2個(gè)次品便可退貨，情況又將如何呢?

完全類(lèi)似可算得0

第二章隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

-隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

§1隨機(jī)變量的概念

為了對(duì)各種各樣不同性質(zhì)的試驗(yàn)?zāi)芤越y(tǒng)一形式表示實(shí)驗(yàn)中的事件，并能將微積分等數(shù)學(xué)工具引進(jìn)概

率論。我們需引入隨機(jī)變量的概念。

隨機(jī)變量：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為Q,在。上定義一個(gè)單值實(shí)函數(shù)X=X(e),eG。,對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果

e,X=X(e)有確定的值與之對(duì)應(yīng)。由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果是隨機(jī)的，那X=X(e)的取值也是隨機(jī)的，我們便

稱此定義在樣本空間同t的單值實(shí)函數(shù)X=X(e)為一個(gè)隨機(jī)變量。

引進(jìn)隨機(jī)變量后，試驗(yàn)中的每個(gè)事件便可以通過(guò)此隨機(jī)變量取某個(gè)值

0

或在某范圍內(nèi)取值來(lái)表示了。（見(jiàn)圖）

通俗講，隨機(jī)變量就是依照試驗(yàn)結(jié)果而取值的變量。

例1向靶子（見(jiàn)圖）射擊一次，觀察其得分，規(guī)定

擊中區(qū)域I得2分

III

擊中區(qū)域n得1分

擊中區(qū)域ni得o分

樣本空間。={III,HI}。定義隨機(jī)變量X表示射擊一次的得分

即(2,

于是,-11,

hLin,

4=(擊中區(qū)域l]X(e)-2)==(Jf=2)

曜｛X=2或X=

例2觀察某交換臺(tái)，在時(shí)間T內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。樣本空間。={0,1,2,……}?？啥x隨

機(jī)變量X就表示在時(shí)間T內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。于是，

A={接到呼喚次數(shù)不超過(guò)10次}={XW10}

B={接到呼喚次數(shù)介于5至10次之間}={5WXW10},,

例3從一批燈泡中任取一個(gè)燈泡作壽命試驗(yàn)。觀察所測(cè)燈泡的壽命（單位：小時(shí)）樣本空間。=L0,

+8］。可定義隨機(jī)變量X表示所測(cè)得燈泡的壽命于是，

A={測(cè)得燈泡壽命大于500（小時(shí)）}={X>500}

B={測(cè)得燈泡壽命不超過(guò)5000（小時(shí)））={XW5000}。

不具明顯數(shù)量性質(zhì)的試驗(yàn)也可以定義隨機(jī)變量表示試驗(yàn)中每個(gè)事件。

例4將一枚硬幣上拋一次，觀察正，反面出現(xiàn)的情況。試驗(yàn)的樣本空間。={H,T},H—正面，T

一反面?？啥x隨機(jī)變量X表示上拋1次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，即

1}。用隨機(jī)變量表示事件常見(jiàn)形式有

定義設(shè)X為隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)X,則稱函數(shù)F（x）=P{X《x}為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

例1機(jī)房?jī)?nèi)有兩臺(tái)設(shè)備，令X表示某時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，并知P{X=0}=0.5,P{X=l}=0.3,

P{X=2}=0.2,求X的分布函數(shù)F(x)。

解：由于X的可能取值為0,1,2故應(yīng)分情況討論：

(1)當(dāng)x〈0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{XWx}=0

(2)當(dāng)0Wx<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{XWx}=p{X=0}=0.5

(3)當(dāng)lWx<2時(shí),F(x)=P{XWx}=P{X=0}+P{X=l}=0.5+0.3=0.8

(4)當(dāng)x22時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X當(dāng)x}=P{X=0}+P{X=l}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=l

0岡

總之,

例2向一半徑為2米的圓形靶子射擊，假設(shè)擊中靶上任何一同心圓的概率為該同心圓的面積成正比，且

每次射擊必中靶。令X表示彈著點(diǎn)到靶心距離，求X的分布函數(shù)F(x)。

解：當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{XWx}=0

當(dāng)0WxW2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{XWx}=P{擊中半徑為x的同心圓}=入JTx2

特別，當(dāng)x=2時(shí)，1=F{2}=An4,解得入=1/4",代入上式便得

a當(dāng)x>2時(shí),F(x)當(dāng){XWx}=l

aa

性質(zhì)1oF(x)是單調(diào)不減的，即對(duì)任意xf<x2,有F(x,)WF(x2)；

2oOWF(x)W1且Fg=o,F(+8)=1；

3oF(x)為右連續(xù)的，即對(duì)任意x,有F(x+0)=F(x)。

可以證明(略)以上三條性質(zhì)是分布函數(shù)所具有的三條基本共同特性。

利用分布函數(shù)可求隨機(jī)變量落在某些區(qū)間上的概率，如

因

%也

寺守。

例3在前面打靶的例子中，已知X表示彈著點(diǎn)到靶心距離，并求得其分布函數(shù)為

于是便可以利用此分布函數(shù)，求出擊中靶上環(huán)形區(qū)域（見(jiàn)圖）的概率

a

隨機(jī)變量分類(lèi)：

a

二離散型隨機(jī)變量及其分布律

§1離散型隨機(jī)變量及其分布律的概念

定義：如果隨機(jī)變量X的所有可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量。

設(shè)X的所有可能取值為X”x,則稱下列一組概率

P{X=xJ=p”i=l,2,為X的分布律。分布律也常常寫(xiě)成表

格形式

國(guó)

[3性質(zhì):1°P》0,一切I；2,

例1設(shè)袋中裝著分別標(biāo)有1,2,2,2,3,3數(shù)字的六個(gè)球，現(xiàn)從袋中任取一球，令X表示取得球上所

標(biāo)的數(shù)字，求X的分布律。

解：X的可能取值為1,2,3,且容易求得

故X的分布律為

例：相同條件下，獨(dú)立的向目標(biāo)射擊4次，設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為，求擊中目標(biāo)次數(shù)X的分布律

解：X的可能取值為0,1,2,3,4利用二項(xiàng)概率公式便可求得

-0)-(02)4-00016

卜*8)*(0270256x的分布律為

P{X-2}-rjtO.S)3^^)2-0,1536

X01234

RX=3}=g(08)3(03)1=0.4096

P

P(X?4)-(0.8)4=0.4096

例2社會(huì)上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券，每券一元，中獎(jiǎng)率為p,某人每次買(mǎi)1張獎(jiǎng)券，如果沒(méi)有中獎(jiǎng)便繼續(xù)買(mǎi)

一張，直到中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)券次數(shù)X的分布律。如果中獎(jiǎng)率為1%,問(wèn)他至少應(yīng)買(mǎi)多少?gòu)埅?jiǎng)券

才能以不少于99%的概率中獎(jiǎng)。

解：（1）令A(yù)i={第i次購(gòu)買(mǎi)的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)},i=l,2,……

__________________________g/⑷=?一尸二）=1”44-…具相互獨(dú)立的。于是

a

x的分布律為

X123......i......

PP(lp)p(lp)2p......(lp))lp......

（2）設(shè)n為所需購(gòu)買(mǎi)的獎(jiǎng)券數(shù)，