高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)第04講基本不等式及其應用(講義)(原卷版+解析)

第04講基本不等式及其應用目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解基本不等式的推導過程．（2）會用基本不等式解決簡單的最值問題．（3）理解基本不等式在實際問題中的應用．2022年II卷第12題，5分2021年乙卷第8題，5分2020年天津卷第14題，5分高考對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應適當關注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題．1、基本不等式如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若，則，當且僅當時取等號；基本不等式2：若，則（或），當且僅當時取等號．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．【解題方法總結(jié)】1、幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則（當且僅當“”時取“”）．特例：（同號）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關系式）③（溝通兩積與兩和的不等關系式）④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見求最值模型模型一：，當且僅當時等號成立；模型二：，當且僅當時等號成立；模型三：，當且僅當時等號成立；模型四：，當且僅當時等號成立．題型一：基本不等式及其應用【解題方法總結(jié)】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進行驗證．例1．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．例3．（2023·江蘇·高三專題練習）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設，求的最小值；解答過程：，當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個題型二：直接法求最值【解題方法總結(jié)】直接利用基本不等式求解，注意取等條件．例4．（2023·河北·高三學業(yè)考試）若，，且，則的最大值為______．例5．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）若，，且，則的最小值是____________．例6．（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）已知實數(shù)，則的最小值為___________.題型三：常規(guī)湊配法求最值【解題方法總結(jié)】1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗證取得條件．例7．（2023·全國·高三專題練習）若，則的最小值為___________.例8．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的最小值為__________.例9．（2023·全國·高三專題練習）若，則的最小值為______例10．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）若關于x的不等式的解集為，則的最小值為_________．題型四：消參法求最值【解題方法總結(jié)】消參法就是對應不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！例11．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6例12．（2023·全國·高三專題練習）若，，則的最小值為___________.例13．（2023·全國·高三專題練習）已知，，滿足，則的最小值是______．題型五：雙換元求最值【解題方法總結(jié)】若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、注意驗證取得條件．例14．（2023·浙江省江山中學高三期中）設，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．例15．（2023·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．例16．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則取到最小值為________．題型六：“1”的代換求最值【解題方法總結(jié)】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形．1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、注意驗證取得條件．例17．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點，則的最小值為______．例18．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則的最小值為__________.例19．（2023·湖南衡陽·高三?？计谥校┮阎?，，且，則的最小值為______.例20．（2023·山東青島·高三山東省青島第五十八中學?？茧A段練習）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.題型七：齊次化求最值【解題方法總結(jié)】齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式進行求解．例21．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．例22．（2023·全國·高三專題練習）已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為______．例23．（2023·天津紅橋·高三天津市復興中學?？茧A段練習）已知，則的最大值是____________.題型八：利用基本不等式證明不等式【解題方法總結(jié)】類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得證明．例24．（2023·全國·高三專題練習）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：例25．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知x，y，z為正數(shù)，證明：(1)若，則；(2)若，則．例26．（2023·四川廣安·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)，若的解集為．(1)求實數(shù)，的值；(2)已知均為正數(shù)，且滿足，求證：．題型九：利用基本不等式解決實際問題【解題方法總結(jié)】1、理解題意，設出變量，建立函數(shù)模型，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題．2、注意定義域，驗證取得條件．3、注意實際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．例27．（2023·全國·高三專題練習）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？例28．（2023·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為．(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？(2)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？例29．（2023·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學考試）截至年月日，全國新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破人疫情嚴峻，請同學們利用數(shù)學模型解決生活中的實際問題.(1)我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時間（單位：）.的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有療效的時長大約為多少小時？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側(cè)面長為米，且不超過，房高為米.房屋正面造價元平方米，側(cè)面造價元平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側(cè)面長為多少時，總價最低？題型十：與、平方和、有關問題的最值【解題方法總結(jié)】利用基本不等式變形求解例30．（多選題）（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．例31．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知，且，則（

）A．的最小值為4 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為例32．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．例33．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）設，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最小值為1．（多選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．2．（多選題）（2020·海南·高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．第04講基本不等式及其應用目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解基本不等式的推導過程．（2）會用基本不等式解決簡單的最值問題．（3）理解基本不等式在實際問題中的應用．2022年II卷第12題，5分2021年乙卷第8題，5分2020年天津卷第14題，5分高考對基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應適當關注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題．1、基本不等式如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若，則，當且僅當時取等號；基本不等式2：若，則（或），當且僅當時取等號．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．【解題方法總結(jié)】1、幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則（當且僅當“”時取“”）．特例：（同號）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關系式）③（溝通兩積與兩和的不等關系式）④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見求最值模型模型一：，當且僅當時等號成立；模型二：，當且僅當時等號成立；模型三：，當且僅當時等號成立；模型四：，當且僅當時等號成立．題型一：基本不等式及其應用【解題方法總結(jié)】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進行驗證．例1．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖知：，在中，，所以，即，故選：C例2．（2023·全國·高三專題練習）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，這三個不等式都是當且僅當時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；中當且僅當時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．故選：D．例3．（2023·江蘇·高三專題練習）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設，求的最小值；解答過程：，當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】對：基本不等式適用于兩個正數(shù)，當，均為負值，此時，當且僅當，即時等號成立，故的用法有誤，故錯誤；對：，當且僅當，即時取等號，但，則等號取不到，故的用法有誤；對：，，，當且僅當，即時取等號，故的用法有誤；故使用正確的個數(shù)是0個，故選：.題型二：直接法求最值【解題方法總結(jié)】直接利用基本不等式求解，注意取等條件．例4．（2023·河北·高三學業(yè)考試）若，，且，則的最大值為______．【答案】【解析】由題知，，，且因為，所以，所以，即，當且僅當，即時，取等號，故答案為：例5．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）若，，且，則的最小值是____________．【答案】【解析】因為（當且僅當時，等號成立），所以，所以，所以，所以，所以的最小值為.故答案為：例6．（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）已知實數(shù)，則的最小值為___________.【答案】【解析】∵，，，∴，當且僅當即時取等號.故答案為：.題型三：常規(guī)湊配法求最值【解題方法總結(jié)】1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗證取得條件．例7．（2023·全國·高三專題練習）若，則的最小值為___________.【答案】0【解析】由，得，所以，當且僅當即時等號成立.故答案為：0例8．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的最小值為__________.【答案】3【解析】，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：3.例9．（2023·全國·高三專題練習）若，則的最小值為______【答案】/【解析】由，則.因為，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.例10．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習）若關于x的不等式的解集為，則的最小值為_________．【答案】8【解析】因為不等式的解集為，則，因為，所以，∴．當且僅當，即時，取到等號．故答案為：8題型四：消參法求最值【解題方法總結(jié)】消參法就是對應不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！例11．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】由，得，所以，當且僅當，即取等號.故選：B.例12．（2023·全國·高三專題練習）若，，則的最小值為___________.【答案】【解析】因為且，則兩邊同除以，得，又因為，當且僅當，即時等號成立，所以.故答案為:例13．（2023·全國·高三專題練習）已知，，滿足，則的最小值是______．【答案】.【解析】由，得，所以.當且僅當即時等號成立，所以的最小值是.故答案為：.題型五：雙換元求最值【解題方法總結(jié)】若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、注意驗證取得條件．例14．（2023·浙江省江山中學高三期中）設，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）設，則，條件，所以，即.故選：D.法二：（三角換元）由條件，故可設，即，由于，，故，解得所以，，所以,當且僅當時取等號.故選：D.例15．（2023·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．【答案】【解析】由題意，，，，得：，設，則，故，當且僅當，即時取得等號，故的最小值為，故答案為：例16．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則取到最小值為________．【答案】．【解析】令，∴，∴，當且僅當時，等號成立，即的最小值是．題型六：“1”的代換求最值【解題方法總結(jié)】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形．1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、注意驗證取得條件．例17．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點，則的最小值為______．【答案】/【解析】∵直線過點，．，當且僅當，即，時取等號．的最小值為．故答案為：．例18．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則的最小值為__________.【答案】【解析】，，當且僅當時取等號，則的最小值為.故答案為：例19．（2023·湖南衡陽·高三?？计谥校┮阎?，，且，則的最小值為______.【答案】1【解析】因為，所以，即，因為，，所以，，當且僅當，即時取等號.所以的最小值為1.故答案為：1例20．（2023·山東青島·高三山東省青島第五十八中學?？茧A段練習）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】8【解析】因為，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為8.故答案為：8.題型七：齊次化求最值【解題方法總結(jié)】齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式進行求解．例21．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．【答案】/【解析】由正實數(shù)a，b，，可得，所以而，當且僅當即時取等號，故，當且僅當時，即時取等號，故答案為：例22．（2023·全國·高三專題練習）已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為______．【答案】6【解析】由已知條件得，，當且僅當，即，時取等號．故答案為：6.例23．（2023·天津紅橋·高三天津市復興中學校考階段練習）已知，則的最大值是____________.【答案】【解析】，設，所以原式=，令所以原式=.(函數(shù)在上單調(diào)遞增)故答案為：題型八：利用基本不等式證明不等式【解題方法總結(jié)】類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運算獲得證明．例24．（2023·全國·高三專題練習）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：【解析】都是正數(shù)，（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號），即.例25．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知x，y，z為正數(shù)，證明：(1)若，則；(2)若，則．【解析】（1）因為，所以，同理可得，，所以，故，當且僅當時等號成立．（2），因為，所以，當且僅當時等號成立．例26．（2023·四川廣安·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)，若的解集為．(1)求實數(shù)，的值；(2)已知均為正數(shù)，且滿足，求證：．【解析】（1）因為的解集為，所以，即，所以，又，所以，即.所以，當時，,得，則，當時，，得，當時，，得，不成立，綜上所述：的解集為，因為的解集為．所以.（2）由（1）知，，所以，所以，當且僅當，時，等號成立，所以，所以，當且僅當，時，等號成立.題型九：利用基本不等式解決實際問題【解題方法總結(jié)】1、理解題意，設出變量，建立函數(shù)模型，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題．2、注意定義域，驗證取得條件．3、注意實際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．例27．（2023·全國·高三專題練習）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？【解析】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當且僅當，即時等號成立，故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.（2）不獲利，設該單位每個月獲利為S元，則，因為，則，故該當單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.例28．（2023·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為．(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？(2)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？【解析】（1）該單位每月的月處理成本：，因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得當時，函數(shù)取得最小值，即.所以該單位每月處理量為200噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元.（2）由題意可知：，每噸二氧化碳的平均處理成本為：當且僅當，即時，等號成立.所以該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低，為200元．例29．（2023·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學考試）截至年月日，全國新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破人疫情嚴峻，請同學們利用數(shù)學模型解決生活中的實際問題.(1)我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時間（單位：）.的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對病人有療效的時長大約為多少小時？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個房間是長方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側(cè)面長為米，且不超過，房高為米.房屋正面造價元平方米，側(cè)面造價元平方米.如果不計房屋背面、屋頂和地面費用，則側(cè)面長為多少時，總價最低？【解析】（1）由題意得，，設該藥在病人體內(nèi)的血藥含量變?yōu)闀r需要是時間為，由，得，故，．該新藥對病人有療效的時長大約為．（2）由題意，正面長為米，故總造價，即.由基本不等式有，當且僅當，即時取等號.故當，即，時總價最低；當，即時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，時總價最低；綜上，當時，時總價最低；當時，時總價最低.題型十：與、平方和、有關問題的最值【解題方法總結(jié)】利用基本不等式變形求解例30．（多選題）（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】,當時，，當且僅當或時等號成立，得，當時，，當且僅當或時等號成立，得，當時，由可得或綜合可得，故C正確，D錯誤；，當時，，故A錯誤，B正確；故選：BC.例31．（多選題）（2023·全