高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第01講平面向量的概念及其線性運(yùn)算(分層精練)(原卷版+解析)

第01講平面向量的概念及其線性運(yùn)算(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·河南鄭州·高一校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量是平行向量D．單位向量都相等2．（2023春·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、O中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)3．（2022春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是非零向量，分別是的單位向量，則下列各式中正確的是（

）A． B．或C． D．4．（貴州省貴陽市三新改革聯(lián)盟校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）（

）A． B． C． D．5．（2023春·廣東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正六邊形中，（

）A． B． C． D．6．（2023春·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）對于任意兩個(gè)向量和，下列命題中正確的是（

）A．若滿足，且與同向，則B．C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使D．7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)非零向量（

）A．若，則B．若，則C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則8．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，則（

）A． B．1 C． D．二、多選題9．（2022秋·遼寧·高一遼陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則下列描述錯(cuò)誤的有（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)，使得.B．若，則.C．若，則，反向.D．若，則，一定同向10．（2023春·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，與交于P點(diǎn)，若，則（

）．A． B．C． D．三、填空題11．（2022春·湖北·高一校聯(lián)考期中）給出下列命題：①若，同向，則有；②若，不共線，則有；③恒成立；④對任意兩個(gè)向量、，總有；其中正確的命題是__________（填序號）．12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）正五角星是一個(gè)與黃金分割有著密切聯(lián)系的優(yōu)美集合圖形，在如圖所示的正五角星中，，，，，是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)，且，若，則__________（用表示）.四、解答題13．（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量不共線，且，，．(1)用表示；(2)若，求的值，14．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知平面向量不共線，由平面向量基本定理知，對于該平面內(nèi)的任意向量，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得.(1)證明：三點(diǎn)共線的充要條件是；(2)如圖，的重心是三條中線的交點(diǎn)，證明：重心為中線的三等分點(diǎn).B能力提升1．（遼寧省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為2．（2019春·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考期中）如圖，中，，CD與BE交于F，設(shè)，則為（

）A． B． C． D．3．（2022春·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）在中，在射線上，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．（2023春·山東濱州·高一校考階段練習(xí)）如圖矩形ABCD，，，AC與EF交于點(diǎn)N．(1)若，求的值；(2)設(shè)，，試用，表示．5．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知向量，不共線，向量，，，若A，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知，，，求．第01講平面向量的概念及其線性運(yùn)算(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量是平行向量D．單位向量都相等【答案】C【詳解】對于A，若，只能說明兩個(gè)向量的模長相等，但是方向不確定，所以A錯(cuò)誤；對于B，如果，結(jié)論B不正確；對于C，根據(jù)平行向量的定義，C正確；對于D，單位向量長度相等，但是方向不確定，所以D錯(cuò)誤；故選：C.2．（2023春·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、O中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有（

）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】C【詳解】圖中與共線的向量有：，共9個(gè)，故選：C.3．（2022春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是非零向量，分別是的單位向量，則下列各式中正確的是（

）A． B．或C． D．【答案】D【詳解】兩個(gè)向量模相等，但是方向也可能不同，所以選項(xiàng)AB不正確；題中沒有明確向量模的大小關(guān)系，所以選項(xiàng)C不正確；因?yàn)榉謩e是的單位向量，所以，故選：D4．（貴州省貴陽市三新改革聯(lián)盟校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故選：B5．（2023春·廣東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正六邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)榱呅螢檎呅?，所以．故選：A6．（2023春·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）對于任意兩個(gè)向量和，下列命題中正確的是（

）A．若滿足，且與同向，則B．C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使D．【答案】B【詳解】對于A，向量不能比較大小，故A不正確；對于B，根據(jù)向量加法運(yùn)算公式可知，當(dāng)向量與不共線時(shí)，兩邊之和大于第三邊，即，當(dāng)與同向時(shí)，等號成立，故B正確；對于C，若，，不存在實(shí)數(shù)，使，故C不正確；對于D，當(dāng)向量與不共線時(shí)，根據(jù)向量減法法則可知，兩邊之差小于第三邊，即，故D不正確.故選：B.7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)非零向量（

）A．若，則B．若，則C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】C【詳解】對于選項(xiàng)A、C，因?yàn)?、為兩個(gè)非零向量，，所以，即：，所以，則，即與反向共線.所以存在實(shí)數(shù)，使得.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，所以，，又因?yàn)椤閮蓚€(gè)非零向量，所以，所以，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，，所以?dāng)時(shí)，即：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即：或時(shí)，.故選項(xiàng)D不成立.故選：C.8．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】由，則，所以，即，又，故，故.故選：D二、多選題9．（2022秋·遼寧·高一遼陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則下列描述錯(cuò)誤的有（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)，使得.B．若，則.C．若，則，反向.D．若，則，一定同向【答案】ACD【詳解】對于選項(xiàng)A：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相反且，則存在實(shí)數(shù)，使得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：當(dāng)，則以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個(gè)矩形的兩條對角線長，則，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：當(dāng)，由向量加法的意義知，方向相同，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，則，同向或反向，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上所述：選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤，故選：ACD.10．（2023春·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，與交于P點(diǎn)，若，則（

）．A． B．C． D．【答案】AC【詳解】如圖所示，設(shè)，，由，可得，，因?yàn)镃，P，M共線，所以，解得，因?yàn)镹，P，B共線，所以，解得，故，，即，．故選：AC．三、填空題11．（2022春·湖北·高一校聯(lián)考期中）給出下列命題：①若，同向，則有；②若，不共線，則有；③恒成立；④對任意兩個(gè)向量、，總有；其中正確的命題是__________（填序號）．【答案】①④【詳解】①由向量的加法法則，當(dāng)若，同向，則有，正確；②若，不共線，則有，②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤；④由向量加法的三角形法則，知對任意兩個(gè)向量、，總有，正確．故答案為：①④．12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）正五角星是一個(gè)與黃金分割有著密切聯(lián)系的優(yōu)美集合圖形，在如圖所示的正五角星中，，，，，是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)，且，若，則__________（用表示）.【答案】【詳解】由已知，結(jié)合正五角星的圖形，有，∵與方向相同，，∴.故答案為：.四、解答題13．（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量不共線，且，，．(1)用表示；(2)若，求的值，【答案】(1)(2)【詳解】（1）.（2）因?yàn)?，所以，即，又向量不共線，所以解得，即的值為．14．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知平面向量不共線，由平面向量基本定理知，對于該平面內(nèi)的任意向量，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得.(1)證明：三點(diǎn)共線的充要條件是；(2)如圖，的重心是三條中線的交點(diǎn)，證明：重心為中線的三等分點(diǎn).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）證明：必要性，三點(diǎn)共線，不妨設(shè)，可得，，又，所以，得，得證；充分性：，，即，，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線；所以三點(diǎn)共線的充要條件是；（2）法一（向量法）的重心是三條中線的交點(diǎn)，可設(shè)，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可設(shè)，則，所以，解得，所以，為的三等分點(diǎn)，同理可證為的三等分點(diǎn)，重心為中線的三等分點(diǎn).法二（幾何法）：連接，為的中點(diǎn)，，，所以，同理可得，所以重心為中線的三等分點(diǎn).B能力提升1．（遼寧省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】D【詳解】對A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯(cuò)誤；對B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有，與共線且同方向．易知，均為含角的直角三角形，故，則，而，故，故，故B錯(cuò)誤；對C，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對D，，則在上的投影向量為，故D正確．故選：D．2．（2019春·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？计谥校┤鐖D，中，，CD與BE交于F，設(shè)，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，同理：，因?yàn)槠矫嫦蛄炕径ɡ砜芍蛄坑貌还簿€的兩個(gè)向量線性表示是唯一的，所以，解得，所以，即為.故選：A.3．（2022春·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）在中，在射線上，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由于在射線上,設(shè)，則,因?yàn)椋?，解得，故選：D4．（2023春·山東濱州