高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(高頻精講)(原卷版+解析)

第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：解三角形應(yīng)用舉例 3角度1：測量距離問題 3角度2：測量高度問題 10角度3：測量角度問題 14高頻考點(diǎn)二：求平面幾何問題 19高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題 25第四部分：數(shù)學(xué)文化題 32溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點(diǎn)必背1、基線在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.2、仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角3、方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.4、方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)，例：(1)北偏東：(2)南偏西：5、坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即.第二部分：高考真題回歸1．（2021·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：解三角形應(yīng)用舉例角度1：測量距離問題典型例題例題1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）小趙同學(xué)騎自行車從地出發(fā)向東騎行了km到達(dá)地，然后從地向西偏南方向騎行了一段距離到達(dá)地，再從地向西偏北方向騎行了km到達(dá)地，已知地在地東偏南方向上，則地與地之間的距離為（

）A．km B．km C．km D．km例題2．（2023春·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測得，，，，則、兩點(diǎn)的距離為___________m．例題3．（2023春·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從乘纜車到，在B處停留1min后，再從勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130m/min，山路長為1260m，經(jīng)測量，，．(1)求索道的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領(lǐng)土，如圖：點(diǎn)、、分別表示釣魚島、南小島、黃尾嶼，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東47°方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西36°方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東79°方向，且、兩點(diǎn)的距離約為3海里.（1）求、兩點(diǎn)間的距離；（精確到0.01）（2）某一時刻，我國一漁船在點(diǎn)處因故障拋錨發(fā)出求救信號.一艘國艦艇正從點(diǎn)正東10海里的點(diǎn)處以18海里/小時的速度接近漁船，其航線為（直線行進(jìn)），而我東海某漁政船正位于點(diǎn)南偏西60°方向20海里的點(diǎn)處，收到信號后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點(diǎn)處，再折向點(diǎn)直線航行，航速為22海里/小時.漁政船能否先于國艦艇趕到進(jìn)行救助？說明理由．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（2023春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，在無法到達(dá)的河對岸，為測量出，兩點(diǎn)間的距離，在河岸邊選取，兩個觀測點(diǎn)，測得，，，，則，兩點(diǎn)之間的距離為____________（結(jié)果用m表示）.3．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，設(shè)、兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)，測出的距離為，，后，就可以計算出、兩點(diǎn)的距離為______4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，甲船從A處以每小時30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B處沿固定方向勻速航行，B在A北偏西105°方向且與A相距10海里處．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)C處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處，此時兩船相距10海里．（1）求乙船每小時航行多少海里？（2）在C處北偏西30°方向且與C相距海里處有一個暗礁E，暗礁E周圍海里范圍內(nèi)為航行危險區(qū)域．問：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險？如有危險，從有危險開始多少小時后能脫離危險；如無危險，請說明理由．角度2：測量高度問題典型例題例題1．（2023春·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列為“世界文化遺產(chǎn)”．秦姬陵是印度古代皇帝為了紀(jì)念他的皇妃建造的，于1631年開始建造，用時22年，距今已有366年歷史．如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物高約為50m，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測得處、泰姬陵頂端處的仰角分別是45°和60°，在處測得泰姬陵頂端處的仰角為15°，則估算泰姬陵的高度為（

）A．75m B．m C．m D．80m例題2．（2023春·寧夏石嘴山·高一平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中華中學(xué)某班級課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座山峰的高氣度，先在山腳處測得山頂處的仰角為60°，又利用無人機(jī)在離地面高400m的處（即），觀測到山頂處的仰角為15°，山腳處的俯角為45°，則山高_(dá)__________m.例題3．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山頂上的一座基站，已知基站高，該同學(xué)眼高（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置處（眼睛所在位置）測得基站底部的仰角為37°，測得基站頂場的仰角為45°.(1)求出山高（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)如圖，當(dāng)該同學(xué)面向基站前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置處（眼睛所在位置）到基站所在直線的距離，且記在處觀測基站底部的仰角為，觀測基站頂端的仰角為.試問當(dāng)多大時，觀測基站的視角最大？參考數(shù)據(jù)：，，，.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·北京通州·高一通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校研究性學(xué)習(xí)小組想要測量某塔的高度，現(xiàn)選取與塔底在同一個水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)A與，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)A處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為（）米.A． B．C． D．2．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)2千米后到達(dá)D處，又測得山頂B的仰角為75°，則山的高度BC為___________千米.3．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與.在和兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為和，且，，則塔高為___________.角度3：測量角度問題典型例題例題1．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（

）A．北偏東， B．北偏東，C．北偏東， D．北偏東，例題2．（2023春·上海黃浦·高一格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是某海域位于南北方向相距海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于點(diǎn)北偏東45°，點(diǎn)南偏東30°的處有一艘漁船遇險后拋錨發(fā)出求救信號，位于點(diǎn)正西方向且與點(diǎn)相距50海里的處的救援船立即前往營救，其航行速度為40海里/時.(1)求兩點(diǎn)間的距離；(2)該救援船前往營救漁船時應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)處需要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）例題3．（2023春·福建莆田·高一校考階段練習(xí)）在某片海域上，一艘海上護(hù)衛(wèi)艦位于點(diǎn)處，一艘貨輪在點(diǎn)東偏北15°方向的點(diǎn)處行駛著，通過雷達(dá)監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)北偏東30°方向且距離點(diǎn)24海里處的點(diǎn)處出現(xiàn)一艘海盜船，此時海盜船與貨輪相距海里，且護(hù)衛(wèi)艦距離貨輪比距離海盜船更近.(1)求發(fā)現(xiàn)海盜船時護(hù)衛(wèi)艦與貨輪的距離；(2)護(hù)衛(wèi)艦為確保貨輪的安全，護(hù)衛(wèi)艦開始以海里/小時的速度追擊海盜船，與此同時，海盜船開始以20海里/小時的速度沿著北偏西30°方向逃竄，求護(hù)衛(wèi)艦?zāi)茏凡兜胶１I船的最短時長以及最佳追擊方向.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東，距離海里，燈塔C在A的北偏西，距離為海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東方向，則__________．2．（2023春·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東的方向航行后到達(dá)海島，然后從出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行到達(dá)海島.(1)求的長；(2)如果下次航行直接從出發(fā)到達(dá)，應(yīng)沿什么方向航行多少？3．（2023春·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習(xí)）如圖，為測塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點(diǎn)C，測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由C向塔前進(jìn)30米后到點(diǎn)D，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再由D向塔前進(jìn)米后到點(diǎn)E，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則θ＝_____，塔高為_____________米．高頻考點(diǎn)二：求平面幾何問題典型例題例題1．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┰谌鐖D所示的平面四邊形中，，，記，的面積分別為，則的最大值為__________．例題2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，為半圓（為直徑）上一動點(diǎn)，，，，記.(1)當(dāng)時，求的長；(2)當(dāng)周長最大時，求.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．(1)求的大??；(2)若點(diǎn)在直線同側(cè)，，求的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）濕地公園是國家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則______千米．2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）如圖，平面四邊形內(nèi)接于圓O，內(nèi)角，對角線AC的長為7，圓的半徑為.(1)若，，求四邊形的面積；(2)求周長的最大值.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在平面四邊形中，.(1)求的長；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題典型例題例題1．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，、、分別是角、、的對邊，向量，，.(1)求角的大??；(2)若，，求的值.例題2．（2023春·吉林·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角、、對的邊分別為、、．且．(1)求角的大小；(2)求的取值范圍；(3)若，，為邊中點(diǎn)，求的長．例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)設(shè)的三個角、、所對的邊分別為，若，且，求的取值范圍．例題4．（2023春·天津東麗·高一天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)設(shè)的三個角所對的邊分別為，，，若，且，求的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，分別求函數(shù)取得最大值和最小值時的值；(2)設(shè)的內(nèi)角的對應(yīng)邊分別是且，，求的值．2．（2023春·山東煙臺·高一山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，求的最大值．3．（2023春·全國·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，若，求的最大值．4．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)已知銳角的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┕绫?，是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成.圭表和日晷一樣，也是利用日影進(jìn)行測量的古代天文儀器.所謂高表測影法，通俗的說，就是垂直于地面立一根桿，通過觀察記錄它正午時影子的長短變化來確定季節(jié)的變化.垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以測量影長的標(biāo)尺叫“圭”，如圖1，利用正午時太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令．已知某地夏至和冬至正午時，太陽光線與地面所成角分別約為，，如圖2，若影長之差尺，則表高AB為（

）尺．A． B．C． D．2．（2023·江蘇南通·二模）古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC100m，則該球體建筑物的高度約為（

）（cos10°≈0.985）A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60m3．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）中國最早的天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了漢代，使用圭表有了規(guī)范，規(guī)定“表”為八尺長（1尺=10寸）．用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈量土地．同一日內(nèi)，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差千里”．記“表”的頂部為A，太陽光線通過頂部A投影到“圭”上的點(diǎn)為B．同一日內(nèi)，甲地日影長是乙地日影長的，記甲地中直線AB與地面所成的角為，且則甲、乙兩地之間的距離約為（

）A．8千里 B．10千里 C．12千里 D．14千里4．（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）定慧禪寺位于江蘇省如皋市，是國家AAA級旅游景區(qū)．地處如皋古城東南隅，寺門正對玉帶河，東臨放生池，西南傍玉蓮池，寺院平面布置呈"回"字形，樓堂環(huán)繞四周，寶殿坐落中央，形成"水環(huán)寺，樓抱殿"獨(dú)特格局．某同學(xué)為測量寺內(nèi)觀音塔的高度，在觀音塔的正北方向找到一座建筑物，高約為22.5，在地面上點(diǎn)處（，，三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，觀音塔頂部的仰角分別為30°和45°，在A處測得觀音塔頂部的仰角為15°，觀音塔的高度約為（

）A．32 B．39 C．45 D．555．（2023春·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）南海諸島自古以來就是中國領(lǐng)土，早在公元前2世紀(jì)的西漢時期，中國先民就發(fā)現(xiàn)了南海諸島，并進(jìn)行命名.三國時期吳國萬震所著《南州異物志》將南海稱為“漲?！?，將南海中的島礁稱為“崎頭”，南宋周去非在《嶺外代答》中以“長砂（長沙）”“石塘”統(tǒng)稱南海諸島.明代中葉以后，中國官方和民間有許多對南海諸島命名的記載，如《渡海方程》《桴海圖經(jīng)》《順風(fēng)相送》等.南海上A，B兩個小島相距，從A島望C島和B島所成的視角為，從B島望C島和A島所成的視角為，求C島和B島之間的距離.（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：解三角形應(yīng)用舉例 3角度1：測量距離問題 3角度2：測量高度問題 10角度3：測量角度問題 14高頻考點(diǎn)二：求平面幾何問題 19高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題 25第四部分：數(shù)學(xué)文化題 32溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點(diǎn)必背1、基線在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.2、仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角3、方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.4、方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)，例：(1)北偏東：(2)南偏西：5、坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即.第二部分：高考真題回歸1．（2021·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：解三角形應(yīng)用舉例角度1：測量距離問題典型例題例題1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）小趙同學(xué)騎自行車從地出發(fā)向東騎行了km到達(dá)地，然后從地向西偏南方向騎行了一段距離到達(dá)地，再從地向西偏北方向騎行了km到達(dá)地，已知地在地東偏南方向上，則地與地之間的距離為（

）A．km B．km C．km D．km【答案】C【詳解】如圖，在、中，，，在中，，由正弦定理得：，即，在中，由余弦定理得：，即，所以A地與D地之間的距離為km.故選：C例題2．（2023春·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測得，，，，則、兩點(diǎn)的距離為___________m．【答案】【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案為：例題3．（2023春·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從乘纜車到，在B處停留1min后，再從勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130m/min，山路長為1260m，經(jīng)測量，，．(1)求索道的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）在中，因?yàn)?，，所以，，從而，又，由正弦定理，得．答：索道AB的長為．（2）假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了，乙距離A處，所以由余弦定理得，因，即，答：當(dāng)時，甲、乙兩游客距離最短．（3）在中，由正弦定理，得，乙從B出發(fā)時，甲已經(jīng)走了，還需走才能到達(dá)C，設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得.答：為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi)．例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領(lǐng)土，如圖：點(diǎn)、、分別表示釣魚島、南小島、黃尾嶼，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東47°方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西36°方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東79°方向，且、兩點(diǎn)的距離約為3海里.（1）求、兩點(diǎn)間的距離；（精確到0.01）（2）某一時刻，我國一漁船在點(diǎn)處因故障拋錨發(fā)出求救信號.一艘國艦艇正從點(diǎn)正東10海里的點(diǎn)處以18海里/小時的速度接近漁船，其航線為（直線行進(jìn)），而我東海某漁政船正位于點(diǎn)南偏西60°方向20海里的點(diǎn)處，收到信號后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點(diǎn)處，再折向點(diǎn)直線航行，航速為22海里/小時.漁政船能否先于國艦艇趕到進(jìn)行救助？說明理由．【答案】(1)14.25海里；（2）漁政船能先于R國艦艇趕到進(jìn)行救助．【詳解】1）求得，由海里.（2）R國艦艇的到達(dá)時間為：小時.在中，得海里，所以漁政船的到達(dá)時間為：小時.因?yàn)?，所以漁政船先到.答：漁政船能先于R國艦艇趕到進(jìn)行救助.

練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【詳解】設(shè)甲驅(qū)逐艦、乙護(hù)衛(wèi)艦、航母所在位置分別為A，B，C，則，，.在△ABC中，由正弦定理得，即，解得，即甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為海里故選：A2．（2023春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，在無法到達(dá)的河對岸，為測量出，兩點(diǎn)間的距離，在河岸邊選取，兩個觀測點(diǎn)，測得，，，，則，兩點(diǎn)之間的距離為____________（結(jié)果用m表示）.【答案】##【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所?在中，,,所以.由正弦定理得：，即，解得：.在中，,,,由余弦定理解得：.故答案為：3．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，設(shè)、兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)，測出的距離為，，后，就可以計算出、兩點(diǎn)的距離為______【答案】【詳解】解：在中，，，，即，則由正弦定理，得：．故答案為：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，甲船從A處以每小時30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B處沿固定方向勻速航行，B在A北偏西105°方向且與A相距10海里處．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)C處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處，此時兩船相距10海里．（1）求乙船每小時航行多少海里？（2）在C處北偏西30°方向且與C相距海里處有一個暗礁E，暗礁E周圍海里范圍內(nèi)為航行危險區(qū)域．問：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險？如有危險，從有危險開始多少小時后能脫離危險；如無危險，請說明理由．【答案】（1）每小時30海里；（2）甲船沒有危險，乙船有危險，且在遭遇危險開始持續(xù)小時后脫險，理由見解析.【詳解】（1）如圖，連結(jié)AD，由題知CD＝10，AC＝×30＝10，∠ACD＝60°，∴△ACD是等邊三角形．∴AD＝10．又∠DAB＝，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AB×ADcos45°＝100，∴BD＝10，v＝10×3＝30(海里)．答：乙船的速度為每小時30海里．（2）在海平面內(nèi)，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以東西方向作x軸，以南北方向作y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．危險區(qū)域在以E為圓心，半徑為r＝的圓內(nèi)．

∵∠BAC又∵∠DAB＝∠DBA＝45°，故直線BD的方程為y＝x，所以E的橫坐標(biāo)為ABcos15°－CEsin30°，縱坐標(biāo)為ABsin15°＋CEcos30°＋AC，故A(5＋5，5－5)，C(5＋5，5＋5)，E．點(diǎn)E到直線BD的距離為D1＝＝1<，故乙船有危險；點(diǎn)E到直線AC的距離為D2＝，故甲船沒有危險．以E為圓心，半徑為的圓截直線BD所得的弦長分別為l＝2＝2，乙船遭遇危險持續(xù)時間為t＝＝(小時)．答：甲船沒有危險，乙船有危險，且在遭遇危險開始持續(xù)小時后脫險．角度2：測量高度問題典型例題例題1．（2023春·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列為“世界文化遺產(chǎn)”．秦姬陵是印度古代皇帝為了紀(jì)念他的皇妃建造的，于1631年開始建造，用時22年，距今已有366年歷史．如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物高約為50m，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測得處、泰姬陵頂端處的仰角分別是45°和60°，在處測得泰姬陵頂端處的仰角為15°，則估算泰姬陵的高度為（

）A．75m B．m C．m D．80m【答案】A【詳解】由已知得為等腰直角三角形，，，，，則有，A處測C處的仰角為15°，則，∴，中，由正弦定理，，即，解得，中，.故選：A例題2．（2023春·寧夏石嘴山·高一平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中華中學(xué)某班級課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座山峰的高氣度，先在山腳處測得山頂處的仰角為60°，又利用無人機(jī)在離地面高400m的處（即），觀測到山頂處的仰角為15°，山腳處的俯角為45°，則山高_(dá)__________m.【答案】600【詳解】，則，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，則.故答案為：例題3．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考階段練習(xí)）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山頂上的一座基站，已知基站高，該同學(xué)眼高（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置處（眼睛所在位置）測得基站底部的仰角為37°，測得基站頂場的仰角為45°.(1)求出山高（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)如圖，當(dāng)該同學(xué)面向基站前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置處（眼睛所在位置）到基站所在直線的距離，且記在處觀測基站底部的仰角為，觀測基站頂端的仰角為.試問當(dāng)多大時，觀測基站的視角最大？參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，，在中，，所以，在中，，所以出山高；（2）由題意知，且，則，在中，，在中，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以取得最大值時，，又因?yàn)?，所以此時最大，所以當(dāng)時，最大.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·北京通州·高一通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校研究性學(xué)習(xí)小組想要測量某塔的高度，現(xiàn)選取與塔底在同一個水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)A與，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)A處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為（）米.A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：在三角形中：，由正弦定理得，，在中，．故選：A．2．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)2千米后到達(dá)D處，又測得山頂B的仰角為75°，則山的高度BC為___________千米.【答案】2【詳解】解：作,垂足為，如圖所示：由題意得，，所以，，，且，在中，由正弦定理得，即，，解得，所以，故答案為：23．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與.在和兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為和，且，，則塔高為___________.【答案】【詳解】設(shè)，則，，在中，由余弦定理可得，整理可得，，解得，因此，塔高為.故答案為：.角度3：測量角度問題典型例題例題1．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（

）A．北偏東， B．北偏東，C．北偏東， D．北偏東，【答案】C【詳解】據(jù)題意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以，所以航行的方向和路程分別為北偏東，海里.故選：C.例題2．（2023春·上海黃浦·高一格致中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是某海域位于南北方向相距海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于點(diǎn)北偏東45°，點(diǎn)南偏東30°的處有一艘漁船遇險后拋錨發(fā)出求救信號，位于點(diǎn)正西方向且與點(diǎn)相距50海里的處的救援船立即前往營救，其航行速度為40海里/時.(1)求兩點(diǎn)間的距離；(2)該救援船前往營救漁船時應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)處需要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）【答案】(1)30海里(2)南偏東；小時【詳解】（1）依題意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求兩點(diǎn)間的距離為30海里.（2）依題意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到達(dá)C處需要的時間為小時，在中，由余弦定理得,因?yàn)?，所以，所以該救援船前往營救漁船時的方向是南偏東﹒例題3．（2023春·福建莆田·高一?？茧A段練習(xí)）在某片海域上，一艘海上護(hù)衛(wèi)艦位于點(diǎn)處，一艘貨輪在點(diǎn)東偏北15°方向的點(diǎn)處行駛著，通過雷達(dá)監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)北偏東30°方向且距離點(diǎn)24海里處的點(diǎn)處出現(xiàn)一艘海盜船，此時海盜船與貨輪相距海里，且護(hù)衛(wèi)艦距離貨輪比距離海盜船更近.(1)求發(fā)現(xiàn)海盜船時護(hù)衛(wèi)艦與貨輪的距離；(2)護(hù)衛(wèi)艦為確保貨輪的安全，護(hù)衛(wèi)艦開始以海里/小時的速度追擊海盜船，與此同時，海盜船開始以20海里/小時的速度沿著北偏西30°方向逃竄，求護(hù)衛(wèi)艦?zāi)茏凡兜胶１I船的最短時長以及最佳追擊方向.【答案】(1)海里(2)護(hù)衛(wèi)艦的最佳追擊方向?yàn)檎狈较?，能迫擊到海盜船的最短時長為1.2小時【詳解】（1）由題意可知，由正弦定理可得，則，所以或120°.若，則，，不符合題意，所以，，，海里，故發(fā)現(xiàn)海盜船時護(hù)衛(wèi)艦與貨輪的距離為海里.（2）如圖，設(shè)護(hù)衛(wèi)艦?zāi)茏凡兜胶１I船的最短時長為小時，且追到時位于點(diǎn).則.由余弦定理可得，，整理可得，解得或-0.6（舍去），此時（海里），（海里），則，，故護(hù)衛(wèi)艦的最佳追擊方向?yàn)檎狈较?，能迫擊到海盜船的最短時長為1.2小時.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東，距離海里，燈塔C在A的北偏西，距離為海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東方向，則__________．【答案】##【詳解】如圖，在中，，則，因?yàn)?，所以，在中，，則，所以，則.故答案為：.2．（2023春·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東的方向航行后到達(dá)海島，然后從出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行到達(dá)海島.(1)求的長；(2)如果下次航行直接從出發(fā)到達(dá)，應(yīng)沿什么方向航行多少？【答案】(1)；(2)應(yīng)沿北偏東的方向航方向航行即可.【詳解】（1）由題意知，在中，，，，根據(jù)余弦定理，得，所以．（2）根據(jù)正弦定理可得，即又，所以．所以應(yīng)沿北偏東的方向航方向航行即可到達(dá)C處.3．（2023春·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習(xí)）如圖，為測塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點(diǎn)C，測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由C向塔前進(jìn)30米后到點(diǎn)D，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再由D向塔前進(jìn)米后到點(diǎn)E，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則θ＝_____，塔高為_____________米．【答案】

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15【詳解】解析由題意，得又在中，由余弦定理的推論得，，∴，∴，，∵，∴．故答案為：；15.高頻考點(diǎn)二：求平面幾何問題典型例題例題1．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┰谌鐖D所示的平面四邊形中，，，記，的面積分別為，則的最大值為__________．【答案】【詳解】在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，整理可得：；，，，則當(dāng)時，.故答案為：.例題2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，為半圓（為直徑）上一動點(diǎn)，，，，記.(1)當(dāng)時，求的長；(2)當(dāng)周長最大時，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，，，，∴，，且在以為直徑的圓上，∴，在中，，，由正弦定理，，解得.（2）在中，，，由余弦定理，即，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，∴，即當(dāng)時，周長最大，此時∴.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，的面積是的面積的倍．，，．(1)求的大??；(2)若點(diǎn)在直線同側(cè)，，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)，則，因，，，則，而，，則有，即，又，，因此，，所以.（2）由（1）知，，連AC，有，則，而，中，由正弦定理有，，，，又，令，則，，因此，因，則，有，即，，所以的取值范圍為．練透核心考點(diǎn)1．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）濕地公園是國家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則______千米．【答案】【詳解】在三角形中由正弦定理得，所以，即，所以，所以，又，，所以為等腰直角三角形，所以，在中由余弦定理得，所以.故答案為：.2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）如圖，平面四邊形內(nèi)接于圓O，內(nèi)角，對角線AC的長為7，圓的半徑為.(1)若，，求四邊形的面積；(2)求周長的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示，連結(jié)，在中，，，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以為等邊三角形，，，，在中，，即，又，?（2）設(shè)，，則在中，，，則，即，故，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，則，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即周長的最大值為.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在平面四邊形中，.(1)求的長；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）在中，，由余弦定理可得，即，解得或；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，在中，因?yàn)?，所以，由，得，所以，所?高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題典型例題例題1．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，、、分別是角、、的對邊，向量，，.(1)求角的大??；(2)若，，求的值.【答案】(1)或(2)或【詳解】（1）解：因?yàn)橄蛄?，，且，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以，?（2）解：因?yàn)?，，則，故為銳角，即，由余弦定理可得，即，解得或.例題2．（2023春·吉林·高一校考階段練習(xí)）在中，角、、對的邊分別為、、．且．(1)求角B的大??；(2)求的取值范圍；(3)若，，為邊中點(diǎn)，求的長．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，化簡得，故，又，故；?）由（1）知，，故，又，則，，即；（3）∵，∴，又，，∴，∴，即BP的長為.例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)設(shè)的三個角、、所對的邊分別為，若，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）函數(shù)函數(shù)的最小正周期為．（2），所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以的取值范圍為．例題4．（2023春·天津東麗·高一天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)設(shè)的三個角所對的邊分別為，，，若，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），則，函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）可得，的單調(diào)遞減區(qū)間需要滿足：，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，所以的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，分別求函數(shù)取得最大值和最小值時的值；(2)設(shè)的內(nèi)角的對應(yīng)邊分別是且，，求的值．【答案】(1)時最大值0；時最小值；(2)或．【詳解】（1）由題知：，，則，故，∴當(dāng)，即，得時取得最大值0，當(dāng)，即，得時取得最小值．（2）由，即，又，則．法一：由余弦定理A得：，解得：或．法二：由正弦定理有，則或，當(dāng)時，，由勾股定理有；當(dāng)時，，則；綜上所解：或．2．（2023春·山東煙臺·高一山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，求的最大值．【答案】(1)(2)4【詳解】（1）由解得：，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），，又，，，又，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)“”時取等所以的最大值為.3．（2023春·全國·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，若，求的最大值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，所以函數(shù)的周期為.（2）由（1）知，，在中，，有，于是，解得，則，，顯然，，因此當(dāng)，即時，，所以的最大值為.4．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)已知銳角的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若，求的最大值.【答案】(