高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第15練導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(原卷版+解析)

第15練導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P92練習(xí)T1變式）函數(shù)的定義域為開區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示,則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（

）A．個 B．個 C．個 D．個2.（人A選擇性必修二P89練習(xí)T3變式）偶函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．3.（人A選擇性必修二P97習(xí)題5.3T12變式）已知函數(shù),若恒成立,則正數(shù)a的取值范圍是_______；4.（人A選擇性必修二P97習(xí)題5.3T13變式）已知函數(shù)在與時,都取得極值．(1)求,的值；(2)若,求的單調(diào)增區(qū)間和極值．二、考點分類練(一)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性5.（2022屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期三模）若對任意的,且,都有成立,則實數(shù)m的最小值是（

）A．1 B． C． D．6.（2022屆河北省省級聯(lián)測高三考試）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則m的取值范圍是_________．7．（2022屆四川省成都市高三第三次診斷考試）已知函數(shù),其中．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)．當(dāng),時,證明：．(二)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值8.（2022屆新疆高三下學(xué)期第三次檢測）若函數(shù)在處有極值10,則（

）A．6 B． C．或15 D．6或9.（2022屆廣東省高三三模）已知,e是自然對數(shù)的底,若,則的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)＝－2x＋2a,x∈R．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a＞ln2－1且x＞0時,－2ax＋1．(三)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點、方程實根11．（2022屆華大聯(lián)考高三3月教學(xué)質(zhì)量測評）已知函數(shù)若,,,且僅有1個零點,則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．12.（2022屆山東省泰安市高三二模）已知函數(shù),,則下列結(jié)論正確的是（

）A．對任意的,存在,使得B．若是的極值點,則在上單調(diào)遞減C．函數(shù)的最大值為D．若有兩個零點,則13.（2022屆河南省重點高中“頂尖計劃”高三第四次考試）已知函數(shù),,若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有四個不同的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是______.14．（2022屆河南省洛陽市高三第三次統(tǒng)考）已知函數(shù),（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)判斷函數(shù)的零點的個數(shù),并說明理由；(2)當(dāng)時,恒成立,求整數(shù)的最大值.(四)導(dǎo)數(shù)與不等式15．（2022屆江西省贛州市高三二模）已知,,,則,,的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．16.（2022屆云南省高三第二次統(tǒng)一檢測）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若,使,則實數(shù)m的取值范圍為__________．17．（2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三模擬）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)如果當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍．三、最新模擬練18．（2022屆甘肅省平?jīng)鍪懈呷诙文M）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則的極值點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．319．（2022屆四川省涼山州高三第三次診斷）函數(shù),若在上有最小值,則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（2022屆廣西南寧市高三第二次適應(yīng)性測試）已知函數(shù),,則函數(shù)的最大值是（

）A． B． C．-1 D．21．（2022屆廣西桂林、崇左、賀州市高三3月聯(lián)合調(diào)研）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,對,都有成立,若,則不等式的解集是（

）A． B． C． D．22．（2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三模擬）使函數(shù)在上存在零點的實數(shù)a的值可以是(

)A．－1 B．0 C． D．e23．（多選）（2022屆山東省德州市高考二模）若函數(shù)存在兩個極值點,則（

）A．函數(shù)至少有一個零點 B．或C． D．24．（2022屆江西省重點中學(xué)盟校高三第二次聯(lián)考）已知函數(shù),且恒成立,則實數(shù)的最小值為___________.25．（2022屆遼寧省縣級重點高中協(xié)作體高三下學(xué)期4月聯(lián)考）若關(guān)于x的不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為___________.26．（2022屆浙江省紹興市高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試）已知a,,若,,是函數(shù)的零點,且,,則的最小值是__________．27．（2022屆山東省德州市二模）已知函數(shù),．(1)當(dāng)時,求圖象在(,f())處的切線方程；(2)當(dāng)時,求的極值；(3)若,為函數(shù)的導(dǎo)數(shù),恒成立,求a的取值范圍．28．（2022屆山東省臨沂市高三二模）已知函數(shù)．(1)若存在,使≤成立,求a的取值范圍；(2)若,存在,,且當(dāng)時,,求證：．四、高考真題練29.（2021新高考卷Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè),為兩個不相等的正數(shù),且,證明：．30.（2021新高考卷Ⅱ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個,證明：有一個零點①；②．31．(2021全國卷=2\*ROMANII)已知且,函數(shù)．(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點,求a的取值范圍．32．(2021年全國卷=1\*ROMANI)設(shè)函數(shù),已知是函數(shù)的極值點．(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)．證明:．33.（2020新高考山東卷）.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時,求曲線y=f（x）在點（1,f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1,求a的取值范圍．五、綜合提升練34.已知不等式對恒成立,則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．35.（多選）（2022屆湖北省部分重點中學(xué)高三4月聯(lián)考）已知為常數(shù),函數(shù)有兩個極值點,則（

）A． B． C． D．36.（2022屆山東省濰坊市高三下學(xué)期核心素養(yǎng)測評）設(shè)函數(shù)（a,）在區(qū)間上總存在零點,則的最小值為________．37.（2022屆四川省宜賓市高三下學(xué)期第三次診斷）已知函數(shù)．(1)求在上的最值；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立,求k的取值范圍．第15練導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P92練習(xí)T1變式）函數(shù)的定義域為開區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示,則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【解析】由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象可知,函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個公共點,在從左到右第一個點處導(dǎo)數(shù)左正右負,在從左到右第二個點處導(dǎo)數(shù)左負右正,在從左到右第三個點處導(dǎo)數(shù)左正右正,在從左到右第四個點處導(dǎo)數(shù)左正右負,所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點有個,故選A.2.（人A選擇性必修二P89練習(xí)T3變式）偶函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象可知,的圖象從左往右,是增減增,由此排除AD選項,由圖象可知,當(dāng)時,增長越來越快,由此排除C選項.故選B3.（人A選擇性必修二P97習(xí)題5.3T12變式）已知函數(shù),若恒成立,則正數(shù)a的取值范圍是_______；【答案】【解析】,當(dāng)時,原不等式恒成立；當(dāng)時,,由得,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?所以．4.（人A選擇性必修二P97習(xí)題5.3T13變式）已知函數(shù)在與時,都取得極值．(1)求,的值；(2)若,求的單調(diào)增區(qū)間和極值．【解析】(1),由條件可知和,即,解得：,,所以,檢驗：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增經(jīng)檢驗與時,都取得極值,滿足條件,所以,；(2),解得：,所以單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和,單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的極大值是,函數(shù)的極小值是.二、考點分類練(一)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性5.（2022屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期三模）若對任意的,且,都有成立,則實數(shù)m的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由,且,可得,則等價于,即,所以,故,令,則,因為,所以在上為單調(diào)遞減函數(shù),又由,解得,所以,所以實數(shù)的最小值為.故選D.6.（2022屆河北省省級聯(lián)測高三考試）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則m的取值范圍是_________．【答案】【解析】,則原向題等價于在上有解,即在上有解,即在上有解,因為,且在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,,所以.7．（2022屆四川省成都市高三第三次診斷考試）已知函數(shù),其中．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)．當(dāng),時,證明：．【解析】(1)由題可得．①若,當(dāng)時,；當(dāng)或時,．②若,恒有．③若,當(dāng)時；當(dāng)或時,．綜上,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,；當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,．(2)由題可得．由題意,則需證明對任意,,不等式成立．由恒成立,只需證明對任意,不等式成立,①當(dāng)時,∵,,∴不等式成立．②當(dāng)時,設(shè)．∴．設(shè)．∴．∵當(dāng)時,恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴．∴當(dāng)時,恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴．即不等式成立．綜上,當(dāng),時,不等式成立,即成立．(二)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值8.（2022屆新疆高三下學(xué)期第三次檢測）若函數(shù)在處有極值10,則（

）A．6 B． C．或15 D．6或【答案】B【解析】,又時有極值10,解得或當(dāng)時,此時在處無極值,不符合題意經(jīng)檢驗,時滿足題意,故選B9.（2022屆廣東省高三三模）已知,e是自然對數(shù)的底,若,則的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【解析】設(shè),則在R上單調(diào)遞增,因為,則,設(shè),則,即,所以,設(shè),,當(dāng),當(dāng),則在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,即,所以,即,故的取值可以是3和4.故選CD.10．設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)＝－2x＋2a,x∈R．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a＞ln2－1且x＞0時,－2ax＋1．【解析】(1)由f(x)＝－2x＋2a(x∈R)知＝－2．令＝0,得x＝ln2．當(dāng)x＜ln2時,＜0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞,ln2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ln2時,＞0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln2,＋∞)上單調(diào)遞增．∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2,＋∞),f(x)極小值為f(ln2)＝－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a,無極大值；(2)要證當(dāng)a＞ln2－1且x＞0時,－2ax＋1,即證當(dāng)a＞ln2－1且x＞0時,＋2ax－1＞0．設(shè)g(x)＝＋2ax－1(x＞0)．則＝－2x＋2a,由(1)知＝2－2ln2＋2a．又a＞ln2－1,則＞0．于是對?x∈R,都有＞0,∴g(x)在R上單調(diào)遞增．于是對?x＞0,都有g(shù)(x)＞g(0)＝0．即＋2ax－1＞0,故－2ax＋1．(三)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點、方程實根11．（2022屆華大聯(lián)考高三3月教學(xué)質(zhì)量測評）已知函數(shù)若,,,且僅有1個零點,則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為R,有,即,即與同號,所以在R上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,則,故；因為在處的切線方程為,即,又,所以與沒有公共點,若函數(shù)僅有一個零點,所以函數(shù)與圖象僅有一個交點,則與有且僅有1個公共點,且為,所以在處的切線的斜率k大于等于1,而,得,即,解得,綜上,的取值范圍為.故選C.12.（2022屆山東省泰安市高三二模）已知函數(shù),,則下列結(jié)論正確的是（

）A．對任意的,存在,使得B．若是的極值點,則在上單調(diào)遞減C．函數(shù)的最大值為D．若有兩個零點,則【答案】BD【解析】由題意知：,,當(dāng)時,,單增,無最大值,故C錯誤；當(dāng)時,在上,單增；在上,單減；故,當(dāng),即時,無零點,故A錯誤；若是的極值點,則,,故在單減,B正確；若有兩個零點,則,且,解得,又時,,時,,此時有兩個零點,D正確.故選BD.13.（2022屆河南省重點高中“頂尖計劃”高三第四次考試）已知函數(shù),,若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有四個不同的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】問題即在區(qū)間上恰有四個不同的實數(shù)根.設(shè),,則時,,函數(shù)單調(diào)遞增,時,,函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,且.如示意圖：

由圖可知,當(dāng)時,函數(shù)有2個零點,于是問題關(guān)于t的的方程即在上有2個不等實根.設(shè)的兩個零點為,易知.于是,.14．（2022屆河南省洛陽市高三第三次統(tǒng)考）已知函數(shù),（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)判斷函數(shù)的零點的個數(shù),并說明理由；(2)當(dāng)時,恒成立,求整數(shù)的最大值.【解析】(1)函數(shù)有且只有一個零點.理由如下:因為當(dāng)時,,所以,在上遞增.所以函數(shù)至多有一個零點,又時,；時,所以函數(shù)有且只有一個零點.(2)當(dāng)時,,即,令,所以,當(dāng)時,,設(shè),在(0,1]上單調(diào)遞增,且,所以存在,使得,即,當(dāng)時,；當(dāng)時,.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴,又在上單調(diào)遞減,又,所以,所以整數(shù)的最大值是.(四)導(dǎo)數(shù)與不等式15．（2022屆江西省贛州市高三二模）已知,,,則,,的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞增；當(dāng)時,,單調(diào)遞減；當(dāng)時,取得極大值,則,,故．故選D16.（2022屆云南省高三第二次統(tǒng)一檢測）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若,使,則實數(shù)m的取值范圍為__________．【答案】【解析】當(dāng)時,,顯然成立,符合題意；當(dāng)時,由,,可得,即,,令,,在上單增,又,故,即,即,,即使成立,令,則,當(dāng)時,單增,當(dāng)時,單減,故,故；綜上：.17．（2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三模擬）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)如果當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)因為,所以,所以,,即切點為,切線的斜率,所以切線方程為,即；(2)因為對恒成立,即對恒成立,即對恒成立,令,,則令,,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,即在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,即；三、最新模擬練18．（2022屆甘肅省平?jīng)鍪懈呷诙文M）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則的極值點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因為在左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)值均為負數(shù),所以0不是極值點,故由圖可知只有2個極值點.故選C19．（2022屆四川省涼山州高三第三次診斷）函數(shù),若在上有最小值,則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意,函數(shù),可得,若時,當(dāng)時,可得,在上單調(diào)遞減,此時函數(shù)在沒有最小值,不符合題意；當(dāng)時,令,即,即與的交點,畫出函數(shù)與的圖象,如圖所示,結(jié)合圖象,可得存在,使得,當(dāng)時,,單調(diào)遞減；當(dāng)時,,單調(diào)遞增,此時函數(shù)在上有最小值,符合題意,綜上可得,實數(shù)a的取值范圍是.故選A.20．（2022屆廣西南寧市高三第二次適應(yīng)性測試）已知函數(shù),,則函數(shù)的最大值是（

）A． B． C．-1 D．【答案】B【解析】依題意函數(shù),,則函數(shù)在上遞增,在上遞減．因此在上,．故選B．21．（2022屆廣西桂林、崇左、賀州市高三3月聯(lián)合調(diào)研）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,對,都有成立,若,則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵,都有成立,∴,令,則于是有,所以在上單調(diào)遞增,∵,∴,∵不等式,∴,即不等式的解集是.故選B．22．（2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高三模擬）使函數(shù)在上存在零點的實數(shù)a的值可以是(

)A．－1 B．0 C． D．e【答案】D【解析】,令,,則函數(shù)在上存在零點等價于y=a于y=g(x)的圖像有交點．,令,,則,故h(x)在上單調(diào)遞增,∵,,∴存在唯一的,使得,即,即,,∴當(dāng)時,,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,,單調(diào)遞增,∴,又時,,故,,∴a≥1．故選D．23．（多選）（2022屆山東省德州市高考二模）若函數(shù)存在兩個極值點,則（

）A．函數(shù)至少有一個零點 B．或C． D．【答案】ACD【解析】對于A,,是的一個零點,故A正確對于B,存在兩個極值點,有兩個不相等的實數(shù)根,即有兩個變號零點,即,又,,解得綜上,,故B錯誤對于C,由B選項可得,,,,故C正確對于D,將代入上式令有在上單調(diào)遞增,,故D正確故選ACD24．（2022屆江西省重點中學(xué)盟校高三第二次聯(lián)考）已知函數(shù),且恒成立,則實數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】由題,,故恒成立即,即恒成立,令則,令有,故當(dāng)時,單調(diào)遞增；當(dāng)時,單調(diào)遞減,故,故,即實數(shù)的最小值為25．（2022屆遼寧省縣級重點高中協(xié)作體高三下學(xué)期4月聯(lián)考）若關(guān)于x的不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】[1,+∞）【解析】,其中,分離參數(shù)為,令,定義域為有.令,,則,所以在上單調(diào)遞增,又,,故存在,使得,可得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0,m）,遞減區(qū)間為,有,可得：,故實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞）26．（2022屆浙江省紹興市高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試）已知a,,若,,是函數(shù)的零點,且,,則的最小值是__________．【答案】【解析】即,可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點①若,此時,由對稱性可知,不合題意②若,此時,由題意得對于方程故解得故令,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增故的最小值為故答案為：27．（2022屆山東省德州市二模）已知函數(shù),．(1)當(dāng)時,求圖象在(,f())處的切線方程；(2)當(dāng)時,求的極值；(3)若,為函數(shù)的導(dǎo)數(shù),恒成立,求a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)時,,,故,,所以,即；(2)因為,令,當(dāng)時,恒成立,所以單調(diào)遞增,且,則在(－∞,0)上,)在(－∞,0)上單調(diào)遞減；則在(0,+∞)上),)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；且,所以,函數(shù)的極小值為1－a,無極大值．(3)已知,,由,即在恒成立,即在恒成立．設(shè),,,設(shè),,由可得,,所以,則在上單調(diào)遞減,可得,所以,在上單調(diào)遞減,,則a的取值范圍是．28．（2022屆山東省臨沂市高三二模）已知函數(shù)．(1)若存在,使≤成立,求a的取值范圍；(2)若,存在,,且當(dāng)時,,求證：．【解析】(1)由,得,,即,令,,則,設(shè),,則,在上單調(diào)遞增,,在上,,單調(diào)遞增,,取值范圍是；(2)不妨設(shè),,(*),,令,故,故函數(shù)在上單調(diào)遞增．,從而,由(*)得,,下面證明：,令,則.即證明：,則只要證明,設(shè),在恒成立,在單調(diào)遞減,故,,．四、高考真題練29.（2021新高考卷Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè),為兩個不相等的正數(shù),且,證明：．【解】（1）解：由函數(shù)的解析式可得,,,單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減,則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減．（2）證明：由,得,即,由（1）在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,且,令,,則,為的兩根,其中．不妨令,,則,先證,即證,即證,令,則,故函數(shù)單調(diào)遞增,（1）．,,得證．同理,要證,即證,令,,則,令,,,單調(diào)遞增,,,,單調(diào)遞減,又,,且（e）,故,,（1）（1）,恒成立,得證,則．30.（2021新高考卷Ⅱ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個,證明：有一個零點①；②．【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：,當(dāng)時,若,則單調(diào)遞減,若,則單調(diào)遞增；當(dāng)時,若,則單調(diào)遞增,若,則單調(diào)遞減,若,則單調(diào)遞增；當(dāng)時,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,若,則單調(diào)遞增,若,則單調(diào)遞減,若,則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于,故,則,而,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.,由于,,故,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得,題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于,故,則,當(dāng)時,,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當(dāng)時,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,注意到,故恒成立,從而有：,此時：,當(dāng)時,,取,則,即：,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.,由于,,故,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得,題中的結(jié)論成立.31．(2021全國卷=2\*ROMANII)已知且,函數(shù)．(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點,求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時,,令得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）,設(shè)函數(shù),則,令,得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又,當(dāng)趨近于時,趨近于0,所以曲線與直線有且僅有兩個交點,即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是．32．(2021年全國卷=1\*ROMANI)設(shè)函數(shù),已知是函數(shù)的極值點．(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)．證明:．【解析】（1）由,,又是函數(shù)的極值點,所以,解得；（2）由（1）得,,且,當(dāng)時,要證,,,即證,化簡得；同理,當(dāng)時,要證,,,即證,化簡得；令,再令,則,,令,,當(dāng)時,,單減,假設(shè)能取到,則,故；當(dāng)時,,單增,假設(shè)能取到,則,故；綜上所述,在恒成立33.（2020新高考山東卷）.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時,求曲線y=f（x）在點（1,f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1,求a的取值范圍．【解析】（1）,,.,∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為;（2）解法一：,,且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,∴,∴成立.當(dāng)時,,,,∴存在唯一,使得,且當(dāng)時,當(dāng)時,,,因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時,∴不是恒成立.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).解法二：等價于,令,上述不等式等價于,顯然為單調(diào)增函數(shù),∴又等價于,即,令,則在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,∴,,∴a的取值范圍是[1,+∞).五、綜合提升練34.已知不等式對恒成立,則實數(shù)a的最小值為（